函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性與對稱性（原卷版）-2025年天津高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第05講函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性與對稱性

（13類核心考點精講精練）

I他.考情探究?

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析

2024年天津卷，第4題,5分函數(shù)奇偶性的定義與判斷求含COSX的函數(shù)的奇偶性

函數(shù)奇偶性的定義與判斷判斷指數(shù)型函數(shù)的圖象形狀識別三角函數(shù)的

2023年天津卷，第4題,5分

圖象（含正、余弦，正切）根據(jù)函數(shù)圖象選擇解析式

2022年天津卷，第3題,5分函數(shù)奇偶性的應(yīng)用函數(shù)圖像的識別根據(jù)解析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度從低到高，分值為5分

【備考策略】L理解、掌握函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性與對稱性，能夠靈活運用函數(shù)的各種性質(zhì)。

2.能掌握函數(shù)的性質(zhì)

3.具備數(shù)形結(jié)合的思想意識，根據(jù)不同函數(shù)的性質(zhì)解決問題

4.會解周期性與對稱性的運算.

【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般給需要靈活結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，求解含參，不等式,

解析式，求和等各種問題。

1A?考點梳理?

1.單調(diào)函數(shù)的定義

\考點一、函數(shù)的單調(diào)性

.單調(diào)區(qū)間的定義

C知識點一?函數(shù)的單調(diào)性(32.函數(shù)單調(diào)性的等價結(jié)論/考點二、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

|考點三、利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍

4.判斷函數(shù)單調(diào)性的四種方法

r?0貼云何枇岫中.考點四、函數(shù)的奇偶性

胃釐翳器線狹考點五'利用函數(shù)奇偶性求參數(shù)

知識點二.函數(shù)的奇偶性;盥鬻既受曹皺\考點六、利用函數(shù)奇偶性求解析式

函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性與對稱性3.函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論考點七、利用單調(diào)性奇偶性解不等式

考點八、函數(shù)的對稱性

考點九、利用函數(shù)對稱性求解析式

-q1.周期性考點十、函數(shù)的周期性

知識點三.周期性與對稱性2.中心對稱々考點十一、奇偶性與周期性求值

3.周期性與對稱性的常用結(jié)論考點十二、奇偶性與周期性求參數(shù)

考點十三、奇偶性與周期性解不等式

知識講解

知識點一.函數(shù)的單調(diào)性

1.單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)兀0的定義域為/,如果對于定義域/內(nèi)某個區(qū)間D上的任

意兩個自變量的值尤1，及

定

當(dāng)X1<X2時，都有"1)>

義當(dāng)尤1<X2時，都有"1)<也2),那么就說函數(shù)

儂1，那么就說函數(shù)“X)在區(qū)

八X)在區(qū)間。上是增函數(shù)

間。上是減函數(shù)

y

圖y內(nèi)W

象加1)於2)

0孫力2X

描0X\X2X

述

自左向左一看圖象是上升的自左向彳亍看圖象是下降的

2.單調(diào)區(qū)間的定義

如果函數(shù)v=/U)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù),那么就說函數(shù)y=/U)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性，區(qū)

間D叫做y=fix)的單調(diào)區(qū)間.

注意：(1)函數(shù)單調(diào)性關(guān)注的是整個區(qū)間上的性質(zhì)，單獨一點不存在單調(diào)性問題，所以單調(diào)區(qū)間的端點若屬

于定義域，則該點處區(qū)間可開可閉，若區(qū)間端點不屬于定義域則只能開.

(2)單調(diào)區(qū)間定義域/.

(3)遵循最簡原則，單調(diào)區(qū)間應(yīng)盡可能大.

3.函數(shù)單調(diào)性的等價結(jié)論

(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上是增函數(shù)：

Q任取xi,x2e[a,b],Mxi<X2,都有f(xi)-f(x2)<0;

。任取xi,X26[a,b],且xi力X2,都有上上叵2>0;

一%2

0任取Xi,X2C[a,b],且X1?X2,都有(Xl-X2)[f(Xi)-f(X2)]>0；

=任取X],X2C[a,b],且X法X2,都有卷篇>

⑵函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上是減函數(shù):

0任取xi,X2C[a,b],且xi<X2,都有f(Xi)-f(X2)>0;

0任取xi,x2e[a,b],Mx浮X2,都有四"型<0;

%]一%2

=任取Xi,X2G[a,b],_&X1rX2,都有(Xi-X2)[f(Xi)-f(X2)]<0；

O任取xi,X2C[a,b],且X"X2閽有-「寧、<0

(3)在區(qū)間。上，兩個增函數(shù)的和仍是增函數(shù)，兩個減函數(shù)的和仍是減函數(shù).

(4)復(fù)合函數(shù)八g(x))的單調(diào)性與函數(shù)y=A")和a=g(x)的單調(diào)性的關(guān)系是“同增異減”.

(5)對勾函數(shù)(耐克函數(shù))

形如y=x+"(p>0,且p為常數(shù))

x

在(-00,-y[p卜口[J7,+00)上為增函數(shù)，在(-J3,o)和(o,4P)上為減函數(shù).

對勾函數(shù)有兩條漸近線：一條是y軸(xwO,圖象無限接近于y軸，但不相交)，

另一條是直線y=x(當(dāng)x趨近于無窮大時，K趨近于0,y趨近于％,因為"wO,所以y#尤)

XX

4.判斷函數(shù)單調(diào)性的四種方法：

(1)定義法：取值、作差、變形因式分解、配方、有理化、通分、定號、下結(jié)論.

(2)復(fù)合法：同增異減，即內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性相同時為增函數(shù)，不同時為減函數(shù).

(3)圖象法：如果40是以圖象形式給出的，或者丸尤)的圖象易作出，可由圖象的直觀性判斷函數(shù)單調(diào)性.

(4)導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)函數(shù)的正負判斷函數(shù)單調(diào)性.(選修中會學(xué)到)

(5)證明函數(shù)的單調(diào)性有定義法、導(dǎo)數(shù)法.但在高考中，見到有解析式，盡量用導(dǎo)數(shù)法.

易錯警示：①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)先求定義域，在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間.

②如有多個單調(diào)增減區(qū)間應(yīng)分別寫，不能用“U”聯(lián)結(jié).

知識點二.函數(shù)的奇偶性

1.函數(shù)奇偶性的定義：

奇偶性偶函數(shù)奇函數(shù)

條件設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為I,如果VxeL都有一xel

結(jié)論f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)

圖象特點關(guān)于y軸對稱關(guān)于原點對稱

注意：判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個必備條件：

1.定義域關(guān)于原點對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；

2.判斷人尤）與斤x）是否具有等量關(guān)系.在判斷奇偶性的運算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價關(guān)系式y(tǒng)w+y（㈤

=0（奇函數(shù)）或"X）T/（-X）=O（偶函數(shù)）是否成立.

3.若兀0加，則奇（偶）函數(shù)定義的等價形式如下：

①/（元）為奇函數(shù)=八-尤）=-汽x）0fi~x）+八x）=0=今m=-L

②/（X）為偶函數(shù)鈣為-無）=/0）鈣/（-尤）；/^）=。0隼？=1.

TI引

2.判斷函數(shù)奇偶性的方法

利用奇、偶函數(shù)的定義或定義的等價形式：降?=±1如）邦）判斷函數(shù)的奇偶性.

1.定義法:

2.圖象法：利用函數(shù)圖象的對稱性判斷函數(shù)的奇偶性.

3.驗證法：即判斷人功句（一尤）是否為0.

4.性質(zhì)法：設(shè)於），g（x）的定義域分別是。1，D2,那么在它們的公共定義域上，有下面結(jié)論:

g(x)+g(x)fO)—f(x)—g(x)f[g(.x)]

偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)

偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)

奇函數(shù)偶函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)

奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)

總結(jié)：奇±奇=奇偶±偶=偶奇、奇=偶偶、偶=偶奇、偶=奇

3.函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論

1.如果一個奇函數(shù)大尤）在x=。處有定義，那么一定有四片也.

2.如果函數(shù)/（X）是偶函數(shù)，那么Kx）=/（|x|）.

3奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.

4在公共定義域內(nèi)有：奇土奇=奇，偶±偶=偶，奇義奇=偶，偶義偶=偶，奇、偶=奇.

5.若y=/（x+a）是奇函數(shù)，則八一x+a）=—/（尤+a）；若y=?r+a）是偶函數(shù)，則八一x+a）=/（x+a）.

知識點三.周期性與對稱性

1.周期性

(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y=f(x),如果存在一個非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x+T)

=f(x),那么就稱函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最

小正周期.

2.中心對稱

定義：如果一個函數(shù)的圖像沿一個點旋轉(zhuǎn)180度，所得的圖像能與原函數(shù)圖像完全重合，則稱該函數(shù)具備

對稱性中的中心對稱，該點稱為該函數(shù)的對稱中心

3.周期性與對稱性的常用結(jié)論

(1)函數(shù)周期的常見結(jié)論設(shè)函數(shù)y=/(x),x€R,a>0.

①若a),則函數(shù)的周期為2a；

②若兀r+a)=—/(無)，則函數(shù)的周期為2a；

③若式x+a)=則函數(shù)的周期為2a；

7(無)'

1

④若加+a)=則函數(shù)的周期為2a；

於＞'

(2)對稱軸常見類型

①/■(久+a)=/(-X+b)代x)圖像關(guān)于直線x=W■對稱

②/(%+a)=/(-x+a)qy=/(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱

③/'(久)=f(一%+2a)=y=f(%)的圖象關(guān)于直線x=a對稱

④/(-x)=f(x+2a)oy=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱

(3)對稱中心常見類型

①)于(x+a)+f(b-x)=2cay=f(x)圖像關(guān)于直線心對稱

②f(a+x)+/(?—x)=2b=y=/(x)的圖象關(guān)于點(a涉)對稱

③/(%)+/(2a-X)=2b。y=/(x)的圖象關(guān)于點(。/)對稱

@/(-%)+f(2a+x)=2b<=>y=/(x)的圖象關(guān)于點(a/)對稱

(4)周期與對稱性的區(qū)分

①若f(x+a)=+f(x+b),則f(x)具有周期性；

②若/1(x+a)=+f(-x+b),則f(x)具有對稱性：

口訣：“內(nèi)同表示周期性，內(nèi)反表示對稱性”。

考點一、函數(shù)的單調(diào)性

典例引領(lǐng)

1.(2023?北京?高考真題)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增的是()

A.f(x)=-InxB.f(x)=表

C.f(x)=一：D.f(x)=

2.(2020?山東?高考真題)已知函數(shù)f(x)的定義域是R,若對于任意兩個不相等的實數(shù)亞，總有

“女)-/(右)>0成立，則函數(shù)〃為一定是()

X2~X1

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.增函數(shù)D.減函數(shù)

■即一時檢測

1.(2021?全國?高考真題)下列函數(shù)中是增函數(shù)的為()

A./(x)=—XB./(x)=(|)C./(%)=x2D./(%)=yfx

2.(2024高三?全國?專題練習(xí))已知/(%)是定義在R上的偶函數(shù)，函數(shù)g(%)滿足g(%)+g(-%)=0,且/(%)、

g(%)在(一8,0］單調(diào)遞減，則()

A./(g(%))在［0,+8)單調(diào)遞減

B.g(g(%))在(一8,0］單調(diào)遞減

C.g(/(%))在［0,+8)單調(diào)遞減

D./(/(%))在(一8,0］單調(diào)遞減

3.(2024?山西呂梁?二模)已知函數(shù)y=/(4%-/)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞減，則函數(shù)/(%)的解析式可以為

()

A./(%)=4x—x2B.f(x)=2陽

C./(%)=—sin%D./(%)=x

4.(23-24高三上?上海楊浦?期中)已知函數(shù)y=/(%),%ER.若f(1)</(2)成立，則下列論斷中正確的

是()

A.函數(shù)fQ：)在(一8,+8)上一定是增函數(shù)；

B.函數(shù)/(%)在(-8,+8)上一定不是增函數(shù)；

C.函數(shù)/(%)在(-8,+8)上可能是減函數(shù)；

D.函數(shù)/(%)在(-8,+8)上不可能是減函數(shù).

考點二、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

典例I啊

1.(2024高三?全國?專題練習(xí))函數(shù)y=工的單調(diào)遞減區(qū)間為()

X

A.(—°°,+°°)

B.(0,+8)

C.(—0)U(0,+°°)

D.(―°°,0),(0,+°°)

2.(23-24高三上?河南南陽?階段練習(xí))函數(shù)y=在區(qū)間A上是減函數(shù)，那么區(qū)間A

是.

即時檢測

1.(23-24高三上?寧夏固原?階段練習(xí))函數(shù)y=|—/+4久+5]的單調(diào)遞減區(qū)間為.

2.(20-21高三上?陜西漢中?階段練習(xí))函數(shù)/O)=的單調(diào)遞增區(qū)間是.

3.(2023?海南?？?二模)已知偶函數(shù)y=/(x+l)在區(qū)間[0,+8)上單調(diào)遞減，則函數(shù)y=/(x—1)的單

調(diào)增區(qū)間是.

4.(22-23高三上?北京?階段練習(xí))能夠說明“若g(久)在R上是增函數(shù)，貝hg(外在R上也是增函數(shù)”是假

命題的一個g(x)的解析式g(x)=.

5.(23-24高三上?海南僧州?階段練習(xí))若f(%)=3-1為奇函數(shù),則g(x)=ln[(x-3)(%-a)]的單調(diào)

遞減區(qū)間是.

6.(22-23高三上?上海楊浦?階段練習(xí))若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間/上是嚴格增函數(shù)，而函數(shù)y=號在區(qū)間/上

是嚴格減函數(shù)，那么稱函數(shù)y=/(x)是區(qū)間/上的“緩增函數(shù)”，區(qū)間/叫做“緩增區(qū)間”.已知函數(shù)

是區(qū)間/上的“緩增函數(shù)”，若定義b-a為[a,切的區(qū)間長度，那么滿足條件的“緩增區(qū)間”/的

區(qū)間長度最大值為.

考點三、利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍

典例引領(lǐng)

1.(2023?全國?高考真題)設(shè)函數(shù)f(x)=在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，貝b的取值范圍是()

A.(—co,-2]B.[—2,0)

C.(0,2]D.[2f+oo)

x

2.(2024?湖北?二模)已知函數(shù)f(%)=log5(a-2)在[1,+8)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是()

A.(1,+oo)B.[In2,+8)C.(2,+8)D.[2,+oo)

即時檢測

1.(2024?廣東揭陽?二模)已知函數(shù)/■(￡)=-/+a%+1在(2,6)上不單調(diào)，貝Ua的取值范圍為()

A.(2,6)B.(—co,2]U[6,+oo)

C.(4,12)D.(-oo,4]U[12,+oo)

2.(2024?吉林?二模)若函數(shù)/(久)=ln(ax+1)在(1,2)上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是.

3.(2024?全國,模擬預(yù)測)命題p:0<a<1,命題q：函數(shù)f(久)=loga(6-ax)(a>0,aK1)在(一co,3)上

單調(diào)，則p是q的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

考點四、函數(shù)的奇偶性

典例引領(lǐng)

1.(2024?天津?高考真題)下列函數(shù)是偶函數(shù)的是()

x2「2x「

A..y=—e-—xB.y=-cos；-x-+-xCc.y=-e---xD.y=——sinxr+-4p-;

;x2+l,x2+l)x+1)elxl

2.(2020?全國?高考真題)設(shè)函數(shù)/(x)=/-妥,則/(久)()

A.是奇函數(shù)，且在(0,+8)單調(diào)遞增B.是奇函數(shù)，且在(0,+8)單調(diào)遞減

C.是偶函數(shù)，且在(0,+8)單調(diào)遞增D.是偶函數(shù)，且在(0,+8)單調(diào)遞減

1.(2020?全國?高考真題)設(shè)函數(shù)/(x)=ln|2x+l|—ln|2x—l|,則f(x)()

A.是偶函數(shù)，且在&+8)單調(diào)遞增B.是奇函數(shù)，且在(-單調(diào)遞減

C.是偶函數(shù)，且在(-8,-｝單調(diào)遞增D.是奇函數(shù)，且在(-8,-》單調(diào)遞減

2.(2024?北京?三模)下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增的是()

A./(%)=或B.f(%)=sin|x|

C./(x)-2X+2~xD.f(x)—tanx

3.(2024?湖北武漢?模擬預(yù)測)函數(shù)/(x)=ln(ex+1)-^()

A.是偶函數(shù)，且在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增B.是偶函數(shù)，且在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞領(lǐng)

C,是奇函數(shù)，且在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增D.既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)

4.(2024?北京朝陽?二模)下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在其定義域上是增函數(shù)的是()

A.f(x)=sinxB.f(x)=cosx

C./(%)=VxD.f(久)=%3

考點五、利用函數(shù)奇偶性求參數(shù)

典例引領(lǐng)

1.(2023?全國?高考真題)已知/(久)=含是偶函數(shù)，貝b=(

A.-2B.-1C.1

2.(2023?全國?高考真題)若/(%)=(%+為偶函數(shù)，則a=(

A.-1B.0C.-

2

即時檢測

1.(2024?黑龍江?三模)已知函數(shù)f(x)=(ex+e-x)sinx-2在［-2,2］上的最大值和最小值分別為M,N,

則“+N=()

A.-4B.0C.2D.4

2.(23-24高三上?安徽安慶?階段練習(xí))已知函數(shù)/(%)=品+3在區(qū)間［-2023,2023］上的最大值為M,

最小值為則M+zn=.

3.(23-24高三上?福建莆田?期中)函數(shù)/(%)=(%2-6x)sin(x-3)+%+a(%G［0,6］)的最大值為M,最

小值為血，若M+m=10,則a=.

2

..,_,,r-4、，一，，一、“，2tx+V2tsin(x+—)+%一一,,.u,.,一、一

4.(2023IWJ三?全國?專題練習(xí))右關(guān)于x的函數(shù)/(%)=----—————(tW0)的取大值和取小值N和

乙K十COSX

為4,貝肛=.

5.(2024高三?全國?專題練習(xí))如果奇函數(shù)/(久)在［3,7］上是增函數(shù)且最小值5,那么/(x)在區(qū)間［-7,-3］

上是().

A.增函數(shù)且最小值為-5B.減函數(shù)且最小值為-5

C.增函數(shù)且最大值為-5D.減函數(shù)且最大值為-5

考點六、利用函數(shù)奇偶性求解析式

典例引領(lǐng)

1.(23-24高三下?上海?階段練習(xí))已知函數(shù)y=/(%),%eR為奇函數(shù)，當(dāng)久＞0時，/(%)=2x3+2%—1,

當(dāng)久＜0時，/(%)的表達式為()

A.2x3+2%—1B.2x3—2~x+1

C.-2x3+2-x-1D.-2x3-2X+1

2.(23-24高三上-云南昆明?階段練習(xí))/(%)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)久＞。時，/(%)=2%+1,則久＜0

時,/(%)-?

即時

1.(2024?江西景德鎮(zhèn)?三模)己知函數(shù)/0)=[(5月”<°是奇函數(shù)，貝|久〉0時，g(x)的解析式為

ig(x),x>0

()

A.B.Q)XC.-2XD.2X

2.(22-23高三上-黑龍江哈爾濱?期末)已知f(%)為奇函數(shù)，g(%)為偶函數(shù)，且滿足/(%)+gM=e%+%,

則g(%)=()

3.(2024?云南昆明-模擬預(yù)測)已知/(%),g(%)分別為定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，/(%)+gM=%3+

ax*12+a,則/'(3)=.

4.(23-24高一上?甘肅蘭州?期末)設(shè)函數(shù)/O)=言是定義在(—1,1)上的奇函數(shù)，且/6)=點則函數(shù)

/(X)的解析式為.

5.(2023?黑龍江?模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(%)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)％V0時，/(%)=%-cosx+1,則

當(dāng)久>0時，/(x)=.

考點七、利用單調(diào)性奇偶性解不等式

典例引領(lǐng)

1.(22-23高三上?甘肅定西?階段練習(xí))定義在R上的奇函數(shù)/(久)滿足對任意的右,外e(0,+8)(刈豐%2),

有忠上9>0,且“2)=0,則不等式(x-1)/(%)<0的解集為()

A.[—2,0]B.(—8,-2)U[1,2]

C.[-2,0]U[1,2]D.(一8,—2]U[0,2]

2.(2024?廣西貴港?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/'(X)=log4(4x+1)-],若/(a-1)W/(2a+1)成立，則實

數(shù)a的取值范圍為()

A.(—8,—2]B.(―8,—2]U[0,+8)C.[―2,4"D.(―8,—2]U4+8)

1.(2024?湖北武漢?二模)己知函數(shù)/(%)=幻燈，則關(guān)于x的不等式/(2x)>/(I-x)的解集為()

A.&+8)B.(-oo,0C.&1)D.(-1,0

2.(2024?江西?模擬預(yù)測)己知奇函數(shù)人萬)在R上單調(diào)遞增，且/(2)=1,則不等式/。)+1<0的解集

為()

A.(—1,1)B.(—2,2)C.(—2,+8)D.(—8,—2)

3.(22-23高三上?甘肅定西?階段練習(xí))已知函數(shù)/0)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)％>0時,/(無)=/-

則使得/(-2)>f(x+1)成立的x的取值范圍是()

A.(-oo,-3)B.(1,+co)

C.(―8,—3)U(1,+8)D.(—3,1)

4.(2014?全國?高考真題)已知偶函數(shù)f(x)在［0,+8)單調(diào)遞減，/(2)=0.若—1)>0,貝卜的取值范

圍是.

5.(2024?湖南長沙?三模)已知函數(shù)f(x)=產(chǎn)產(chǎn)=L久*1，則不等式&+2)<2-7(%-4)的解集

(V%+3,%>L

為.

考點八、函數(shù)的對稱性

典例引領(lǐng)

1.(?全國?高考真題)函數(shù)f(x)=1-X的圖象關(guān)于

A.y軸對稱B.直線y=-%對稱

C.坐標(biāo)原點對稱D.直線y=久對稱

2.(2024?四川成都?三模)函數(shù)y=32》與y=3>2x的圖象()

A.關(guān)于工=2對稱B.關(guān)于x=1對稱

C.關(guān)于x=巳對稱D.關(guān)于久=:對稱

即時性沖

1.(2024?吉林長春?模擬預(yù)測)函數(shù)f(x)=%3-3/圖象的對稱中心為()

A.(0,0)B.(1,-2)C.(|,一半)D.(2,-4)

2.(2024?寧夏銀川?三模)已知函數(shù)/(x)=33，則下列說法不正確的是()

A.函數(shù)/(X)單調(diào)遞增B.函數(shù)/(久)值域為(0,2)

C.函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于(0,1)對稱D.函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于(1,1)對稱

3.(23-24高三上?北京?開學(xué)考試)下列函數(shù)中，沒有對稱中心的是()

A，f。)=左B./(%)=%3

C./(x)=tanxD.f(x)—2團

4.(22-23高三上?北京房山?期中)已知函數(shù)y=士，則下列命題錯誤的是()

A.該函數(shù)圖象關(guān)于點(1,1)對稱；

B.該函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=-x+2對稱；

C.該函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減;

D.將該函數(shù)圖象向左平移一個單位，再向下平移一個單位后與函數(shù)y=：的圖象重合.

考點九、利用函數(shù)對稱性求解析式

典例引領(lǐng)

L(高考真題)與曲線y=2關(guān)于原點對稱的曲線為()

=±B.y=一士C.y=±D.y=一三

2.(全國?高考真題)下列函數(shù)中，其圖像與函數(shù)y=In尤的圖像關(guān)于直線x=1對稱的是

A.y—ln(l—%)B.y—ln(2—x)C.y—ln(l+x)D.y—ln(2+%)

即時便測

1.(22-23高三上?四川成都?階段練習(xí))下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)f(x)=2,的圖象關(guān)于原點對稱的是

()

X-z

A.y=—2B.y=2TC.y=log2xD.y=—2

2.(22-23高三下?河南平頂山?階段練習(xí))下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)y=log2》的圖象關(guān)于直線x=2對

稱的是()

A.y=log2(2+x)B.y=log2(2-x)

C.y=log2(4+x)D.y=log2(4-x)

3.(2022?湖北?模擬預(yù)測)下列函數(shù)與y=2,-cosx的圖象關(guān)于原點對稱的函數(shù)是()

Xx

A.=-2+cosxB.yr=2~—cos(—x)

xx

C.yr=—2~+cos(—x)D.=—2~—cos(—x)

4.(2023?陜西寶雞?二模)請寫出一個圖像關(guān)于點(1,0)對稱的函數(shù)的解析式.

5.(22-23高三上?廣東汕頭?期末)寫出符合如下兩個條件的一個函數(shù)/0)=.①-

/(x+2)=0,②“久)在(一8,0)內(nèi)單調(diào)遞增.

6.(20-21高三上?北京西城?期中)函數(shù)/(久)的圖象與曲線y=log2%關(guān)于久軸對稱，則/(?=()

A.2XB.-2X

C.log2(-x)D.log2i

考點十、函數(shù)的周期性

典例引領(lǐng)

1.(2024?陜西西安?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(2x+5)的周期是3,則/(x)的周期為().

3

A.5B.3C.6D,9

2.(2024?全國?模擬預(yù)測)德國數(shù)學(xué)家狄利克雷(Dirichlet)是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一，下列關(guān)于狄利

(1%為有理數(shù)

克雷函數(shù)D(x)=)%的結(jié)論正確的是()

S,久為無理數(shù)

A.。0(%)有零點B.0(%)是單調(diào)函數(shù)

C.DQ)是奇函數(shù)D.是周期函數(shù)

1.(22-23高三上?廣東廣州?階段練習(xí))已知實數(shù)a〉0,函數(shù)/(x)的定義域為R,則“對任意的都有

是“2a是函數(shù)f(x)的一個周期”的()

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.(20-21高三上?上海崇明?階段練習(xí))關(guān)于函數(shù)的周期有如下三個命題：

甲：已知函數(shù)y=/(x)和y=g(x)定義域均為R，最小正周期分別為Ti、T2,如果geQ,則函數(shù)y=/(x)+g(x)

T2

一定是周期函數(shù)；

乙：y=/(%)不是周期函數(shù)，y=|/Q)|一定不是周期函數(shù)；

丙：函數(shù)y=/(x)在R上是周期函數(shù)，則函數(shù)y=/(%)在［0,+8)上也是周期函數(shù).

其中正確的命題的個數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

3.(2024高三?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)f(x)的定義域為R,且對于xGR,恒有f(x+1)=-f(x),

則函數(shù)f(x)的周期為.

4.(22-23高三?全國?對口高考)若存在常數(shù)p>0,使得函數(shù)/(%)滿足/'(px)=/(px—9，則f(p久)的

一個正周期為.

考點十一、奇偶性與周期性求值

典例引領(lǐng)

1.(23-24高三下?云南?階段練習(xí))定義在R上的函數(shù)/(久)滿足/(I-x)=以x+1),且、=/(%+2)為

奇函數(shù).當(dāng)久6(2,3］時，/(%)=(x-2)123-3(x-2),貝次(2023)=()

A.-5B.-2C.-1D.1

2.(2024?福建泉州?模擬預(yù)測)已知y=/(%+1)+1為奇函數(shù)，貝仔(一1)+/(0)+/(I)+f(2)+f(3)=

()

A.6B.5C.-6D.—5

即時檢測

1.(2024?江西?二模)己知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足/(0)=0J(3x)=4/(1)且/(I—x)+f(x)=2,則

)

A.52B,-12C.-D.-1

2.(2024?貴州黔西?一模)已知f(x+4)=〃一久)"(久+1)為奇函數(shù)，且f(2)=2,則f(2023)+f(2024)=

()

A.4047B.2C.-2D.3

3.(2020?重慶沙坪壩?模擬預(yù)測)定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+l)=f(l-久)，且xe[0,1]時,f(x)=

2X-1,則f(log28)=()

A.TB.1C.7D.-j

4.(2024?寧夏固原?一模)已知定義在R上的函數(shù)/(X)滿足對任意實數(shù)x都有/(X+3)=/(x+2)/(x+1),

/(X)=/(2-%)成立，若/(2)=1,則￡上1/(￡)=.

5.(23-24高三上?貴州貴陽,階段練習(xí))已知函數(shù)/(%)=log2|x-a\+1,當(dāng)久6{x\x*-2}時，/1(6+%)=

fQ—x)，則/(2)=.

考點十二、奇偶性與周期性求參數(shù)

典例引領(lǐng)

1.2024?全國?模擬預(yù)測)若函數(shù)/(%)=而-的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，則。=()

2x{x—a)A

A.0B.-1C.1D.2

2.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(x)=丸的圖象關(guān)于點(1,/(1))對稱，則a=()

A.1B.2C.eD.e2

即時檢測

[__________________

1.(2023?江西南昌?三模)若實數(shù)小,九滿足鴻3+刖2吧3爪=；?,則根+幾=()

(71，+6nz+13n=-30

A.-4B.-3C.-2D.-1

2.(2023?山西臨汾?模擬預(yù)測)若9。+9—2)-3?！?=0,9b+(b+1)-3b+1-9=0,則a+6=

()

A.-B.-C.1D.2

32

3.(23-24高三上?安徽淮南?階段練習(xí))函數(shù)門＞)=(久2+2x)(久2+a久+》)滿足：對\/久€/?,都有

/(I+x)=/(I—%),貝！Ja+b為()

A.0B.1C.2D.3

4.(2024高三下?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)g(%)=——9/+29%—30,g(jn)=—12,g(n)=18,則

m+n=.

5.(23-24高三上-廣東東莞?期末)若函數(shù)/(%)=(%2一2%)(%2+a%+b)的圖象關(guān)于％=-2對稱，則a+

b=,/(%)的最小值為.

6.(23-24高三上?山東濟寧?期中)已知函數(shù)f(%)=(x+a)log'二關(guān)于直線％=b對稱，則2a+

24—x

2b=.

考點十三、奇偶性與周期性解不等式

典例引領(lǐng)

1.(2022?四川涼山?二模)定義在R上的奇函數(shù)/(%),滿足+2)=-/(%),當(dāng)0<%<1時/(%)=x,

則f(X)>W勺解集為()

A$+8)B.[|,j]

C.14/c+3>4k+目(/ceZ)D.12/c+—,2k+(fcGZ)

2.⑵22?湖北十堰-模擬預(yù)測)已知函數(shù)是偶函數(shù),/(%)在區(qū)間[一1,+8)內(nèi)單調(diào)遞減,/(一3)=0,

則不等式/(%)?ln|%+1|>。的解集為()

A.(—3,—1)U(1,+8)B.(—3,—2)U(0,1)

C.(-00,-2)U(-1,1)D.(-1,0)U(1,+oo)

??眼舉w

1.(23-24高三上?江蘇徐州?階段練習(xí))已知函數(shù)f(x)=/一品，則不等式(0)+/(2久-1)>-2的

解集為()

A.&+8)B.(1,+co)C.(―8,1)D.(―OO,1)

2.(2023?甘肅張掖?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)的定義域為R,/(久―1)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，/(3)=0,

且對任意的久1，%2￡(-00,0),/H叼，滿足"6"看)<0,則不等式(％-1)/(%+1)>0的解集為()

%2一工1

A.(-oo,l]U[2,+oo)B.[-4,-1]U[0,1]

C.[—4,—1]U[1,2]D.[—4,-1]U[2,+8)

3.(23-24高三上?遼寧遼陽?期末)已知/(%+1)是偶函數(shù)，/(%)在[1,+8)上單調(diào)遞增，f(0)=0,則不

等式0+1)/(%)>0的解集為()

A.(1,+oo)B.(2,+oo)

C.(-2,0)U(0,2)D.(-1,0)U(2,4-00)

4.(2022?上海?模擬預(yù)測)設(shè)/(久)是定義在R上的以2為周期的偶函數(shù)，在區(qū)間［1,2］上嚴格遞減，且滿足

f5)=1，f(2n)=0,則不等式組1的解集為—.

5.(2022?江西景德鎮(zhèn)?三模)周期為4的函數(shù)/(%)滿足f(x)=/(4-x),且當(dāng)x6［0,2］時/(x)=j—i,

則不等式f(x)<0在［-2,2］上的解集為—；

6.(22-23高三上?全國?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞增，若/(4-x)+/O)=2,且"3)=2,

則0—1)W2的解集為.

IN.好題沖關(guān)

A基礎(chǔ)過關(guān)

1.(2024?陜西安康?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(無)=比3一%+］n(x+不淳)(xeR)為奇函數(shù)，則a=

()

A.-1B.0C.1D.V2

2.(2024?山東泰安?三模)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x20時，f(x)=-x5-3x+a-1,

則f(-a)的值為()

A.1B.2C.3D.4

3.(2024?浙江紹興?三模)已知函數(shù)f(2久+1)為偶函數(shù)，若函數(shù)90)=/(久)+21-支+2，-1一5的零點個

數(shù)為奇數(shù)個，則/(I)=()

A.1B.2C.3D.0

4.(2024?四川成都?模擬預(yù)測)函數(shù)y=3支與y=一*的圖象()

A.關(guān)于x軸對稱B.關(guān)于y軸對稱

C.關(guān)于原點對稱D.關(guān)于y=久對稱

5.(2024?青海西寧?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(久)是定義在R上的偶函數(shù),且滿足f(x+4)=〃久)，當(dāng)xe［-2,0］

時，/(x)=-3X-2