湖南省聯(lián)考2025屆高三10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷及答案

數(shù)學(xué)

本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼

在答題卡上的指定位置。

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，寫

在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

3.非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和

答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

4.考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。

第I卷(選擇題)

一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分)

1.己知集合人={x|ln(x-1)20},集合B={x|x2-3x<0},則AUB=()

A.(0,2]B.[2,3)C.(0,+oo)D.[2,+oo)

2.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足|z+l|=|z+i|=75,則|z|的值為()

A.1B.&C,&或2eD.1或0

3.已知向量a=(zo),b=(AY).若向量b--在向量臺(tái)上的投影向,=G，O),則|5|=()

A.V3B.V7C.逗D.1

4.已知函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(2-x),且在區(qū)間[1,+8)上單調(diào)遞減.設(shè)a=f(-lnl.1),b=

04

f(2),C=f(log25),則()

A.a>b>CB.b>C>a

C.C>b>aD.b>a>C

5.已知圓錐的母線長為定值凡當(dāng)圓錐的體積最大時(shí)，圓錐的底面半徑為（）

A-7RB.在C.1RD.1R

6.已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則不等式(x+l)f'(x)<0的解集為()

小

0|11\tz"

A.|-s,-1)U|；2|B.(-co,-1)U(2,+8)

C.(—1,1)U(3,+8)D.|—〃一))U(2.+s)

7.若正項(xiàng)等比數(shù)列｛an｝滿足anan+1=22n(neN*),則數(shù)列｛an｝的前4項(xiàng)的和S4的值是()

A.15V2B.—C.8V2D.6/+6

4

8.已知小明射箭命中靶心的概率為g且每次射擊互不影響，則小明在射擊4次后，恰好命中

兩次的概率是()

A.上B.-C.絲D.七

二、選擇題(本題共3小題，每小題6分，共18分在每小題給出的選項(xiàng)中，至少有兩項(xiàng)是符

合題目要求，若全部選對得6分，部分選對得部分分，選錯(cuò)或不選得0分)

二、多選題(本題共4小題，每小題5分，共20分)

9.如圖，在直三棱柱ABC—AiBiCi中，AAi=2,AB=BC=1,ZABC=120°,側(cè)面AAiJC

的對角線交點(diǎn)0,點(diǎn)E是側(cè)棱BBi上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是()

A.直二棱柱的側(cè)面積是4+2/3

B.直三棱柱的外接球表面積是4T

C.三棱錐E-AAiO的體積與點(diǎn)E的位置無關(guān)

D.AE+ECi的最小值為2/2

10.已知AABC的內(nèi)角Z,B,C的對邊分別為a,b,c,則下列說法正確的有()

A.^a2tanB=b2tanA,則a=b

B.若cos2r-士.則此三角形為直角三角形

2

C.若a=3,b=4,B=三則解此三角形必有兩解

D.若仆ABC是銳角三角形，則sinA+sinB>cosA+cosB

11.已知數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)為a1=1,且9aen+i=an-4an+1,數(shù)列｛七｝、數(shù)列的匕代出小數(shù)

歹M黑」的前n項(xiàng)和分別為Sn、Rn、Tn，則()

A.包LL<[B.sn<111-4C.Rn<：D,Tn<

三、填空題(本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分)

第n卷(非選擇題)

三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)

12.已知x>1,y>0,且x+二-乙則，+y的最小值是_____.

V，一1

13.已知函數(shù)f(x)=sin(2TWX)(w>0)在區(qū)間8]上有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，則w的取值范圍

是.

|x+m\,x<0,

14.設(shè)函數(shù)/(x)vi"_給出下列四個(gè)結(jié)論：

——yjx.x20.

①當(dāng)m=。時(shí)，函數(shù)f(x)在(-8,+8)上單調(diào)遞減；

②若函數(shù)f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則m>0；

③當(dāng)m<0時(shí)，若存在實(shí)數(shù)a,b,使得f(a)=f(b),則|a-b|的取值范圍為(2,+oo)；

④已知點(diǎn)p(-m,0),函數(shù)f(x)的圖象上存在兩點(diǎn)Qi(xi,y〔),Q2(X2,y點(diǎn)xi<x2<0),QiQ關(guān)

于坐標(biāo)原點(diǎn)。的對稱點(diǎn)也在函數(shù)f(x)的圖象上.若|pQi|+|pQ2|=,則m=1.

其中所有正確結(jié)論的序號是—.

四、解答題(本大題共5個(gè)小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

15.(13分)已知等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，s5=62,s10=2046,數(shù)列瓦｝滿足b〔+2b2+

…+也=---------

(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;

(2)令d=，求[G]的前n項(xiàng)和兀.

16.(15分)如圖，在三棱錐P—ABC中，A1，B1，C1分別是側(cè)棱PA,PB,PC的中點(diǎn)，AB1BC,

AiC平面BBiCiB

⑴求證：平面AiBiC1平面AiBiCi；

(2)如果AiC=BiC,AB=BC=4,求二面角一BB1-C的余弦值.

17.(15分)近年來，某大學(xué)為響應(yīng)國家號召，大力推行全民健身運(yùn)動(dòng)，向全校學(xué)生開放了A,B

兩個(gè)健身中心，要求全校學(xué)生每周都必須利用課外時(shí)間去健身中心進(jìn)行適當(dāng)?shù)捏w育鍛煉.

⑴該校學(xué)生甲、乙、丙三人某周均從A,B兩個(gè)健身中心中選擇其中一個(gè)進(jìn)行健身，若甲、乙、丙該

周選擇A健身中心健身的概率分別為!求這三人中這一周恰好有一人選擇A健身中心健身

的概率;

(2)該校學(xué)生丁每周六、日均去健身中心進(jìn)行體育鍛煉，且這兩天中每天只選擇兩個(gè)健身中心的

其中一個(gè)，其中周六選擇A健身中心的概率為L若丁周六選擇A健身中心，則周日仍選擇A健身

中心的概率為若周六選擇B健身中心，則周日選擇A健身中心的概率為求丁周日選擇B健身

中心健身的概率;

(3)現(xiàn)用健身指數(shù)k(kC[0,10])來衡量各學(xué)生在一個(gè)月的健身運(yùn)動(dòng)后的健身效果，并規(guī)定k值低

于1分的學(xué)生為健身效果不佳的學(xué)生，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，其k值低于1

分的概率為0.02.現(xiàn)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，如果抽取到的學(xué)生不是健身效果不佳的學(xué)生，

則繼續(xù)抽取下一個(gè)，直至抽取到一位健身效果不佳的學(xué)生為止，但抽取的總次數(shù)不超過n.若抽

取次數(shù)的期望值不超過23,求n的最大值.

參考數(shù)據(jù)：0.9829x0.557,O.9830~0,545,0.9831?0.535.

18.(17分)已知橢圓C：三+三1①〉1〉0)的離心率為二過點(diǎn)M(l,0)的直線1交橢圓

C于點(diǎn)A,B,且當(dāng)11x軸時(shí)，|AB|=V3.

⑴求橢圓C的方程；

(2)記橢圓C的左焦點(diǎn)為F,若過F,A,B三點(diǎn)的圓的圓心恰好在Y軸上，求直線1的斜率.

19.對于四個(gè)正數(shù)機(jī)、〃、p、q,若滿足加彳<叩，則稱有序數(shù)對(私〃)是(p,q)的"下位序列”.

(1)對于2、3、7、11,有序數(shù)對。,11)是(2,7)的“下位序列”嗎？請簡單說明理由；

⑵設(shè)a、b、c、d均為正數(shù)，且是(c,d)的“下位序列”，試判斷1、:、'…之間

的大小關(guān)系；

(3)設(shè)正整數(shù)n滿足條件：對集合｛相Q<m<2024,mEN)內(nèi)的每個(gè)機(jī)，總存在正整數(shù)k,使

得(見2024)是低〃)的“下位序列”，且(匕〃)是(冽+1,2025)的“下位序列”，求正整數(shù)n的

最小值.

數(shù)學(xué)參考答案

1.【答案】C

【解析】由ln(x-1)>0可得：x>2,所以A=[2,+oo),

由x2-3x<0可得：0<x<3,所以B=(0,3),

所以AUB=(0,+8).

故選：c.

2.【答案】C

【解析】設(shè)z=a+bi,a,beR,貝！Jz+1=(a+1)+bi,z+i=a+(b+l)i,

因?yàn)閨z+1|=|z+i|=V5,

所以-｛廠:或

(a2+(b+I)2=5b-1=-2

當(dāng)a=b=1時(shí)，|z|=&；當(dāng)a=b=-2時(shí)，|z|=2&.

故選：C

3.【答案】D

【解析】解：由已知可得，b-在a上的投影向量為普哈=言日="=(40),

又hr-在含上的投影向量C:(-,0),所以入=

所以間=/+(3=JU)+(3=乒=1,D正確.

故選：D.

4.【答案】D

【解析】由f(x)=f(2-x),得到對稱軸為x=1,則a=f(-lnl.l)=f(2+lnl.1),

04

而1<2-<2+lnl.1<log25,又f(x)在［1,+8)上單調(diào)遞減,

則葭2。4)>f(2+lnl.1)>f(log25),得b>a>C.

故選：D

5.【答案】B

【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為r,高為h,則d+h2=R2,

可得/=R2-h2,hG(0,R),

則圓錐的體積y(A)=：tr2h=、(屋一爐M=則VI=：it(R2一3川),

當(dāng)0<h<：R時(shí)，Vlh)>0；當(dāng)斗R<h<R時(shí)，▽⑺)<(I：

則V(h)在(0,二-R)上單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，

可知當(dāng)八二隊(duì)即,三RIJ,圓錐的體積取到最大值.

a1

故選：B.

6.【答案】A

【解析】由函數(shù)f(x)的圖象可得：

當(dāng)xe(一8,§時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，則f'(x)>o,

當(dāng)XW6,2)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，則f'(x)<o.

當(dāng)xG(2,+8)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，則f'(x)>0,

由(x+l)f(x)<0=｛(X)>:①或(:②

X?_LjUX?_LU

解①得，X<-1,解②得，：<x<2,

綜上，不等式(X+l)f'(x)<0的解集為(―8,-1)u；,2).

故選：A.

7.【答案】A

【解析】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛a"的公比為q>0,

因?yàn)閍nan+i=22nr”、?)，所以上—一__=4=q2,

2n

解得q=2,所以a,x2=2(an>0),

所以an=2三\所以a1=2、1，

所第,=空好=15近，

所以數(shù)列｛an｝的前4項(xiàng)的和S4的值為15/2.

故選：A.

8.【答案】D

【解析】由已知命中的概率為3,不命中的概率為2,射擊4次，命中兩次,

故概和=武(Tx(92=蕓

故選：D.

9.【答案】ACD

【解析】AAABC中，AC=4、iz-2xlx1x(一卜佰

所以直棱柱的側(cè)面積為“+I+同X2=4+2匕，故A正確；

BAABC外接圓的半徑r="-1.

所以直棱柱外接球的半徑R=

則直三棱柱外接球的表面積S=4TR2=8t,故B錯(cuò)誤；

C.因?yàn)锽BJ/AAi，且BBiC平面AAiJC,AAiu平面AARiC,所以BBi〃平面AAiJC,

點(diǎn)E在BBi上，所以點(diǎn)E到平面AAiCiC的距離相等，為等腰三角形ABC底邊的高為

且AAAiO的面積為！>2>——,

則三棱錐E-AAiO的體積為定值2x匚乂2_:，與點(diǎn)E的位置無關(guān)，故C正確;

D.將側(cè)面展開為如圖長方形，連結(jié)ACi,交BBi于點(diǎn)E,

此時(shí)AE+EC1最小，最小值為、廠二1M-入？，故D正確.

故選：ACD

10.【答案】BD

【解析】對于A：因?yàn)閍2tanB=b2tanA,由正弦定理可得siMAtanB=sin2BtanA,

則7n；人、in，H7nA

又A,BG(O,TT),則sinA豐0,sinBHO,2A,2BC(0,2TT),

可得業(yè)1--整理得sin2A=sin2B,

又因?yàn)锳+BG

可得2A=2B或2A+2B=TT,即人=B或A+B=-,

所以a=b或a?+b2=C2,故A錯(cuò)誤；

對于B：因?yàn)樯隙?gt;則2sinC+2cosAsinC=2sinB+2sinC,

22c2sinr

所以cosAsinC=sinB=sin[ir—(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

所以sinAcosC=0,

在三角形中，sinA>0,所以cosC=0,所以C=J

則此三角形為直角三角形，故B正確；

對于C：因?yàn)閍=3,b=4,B=三，所以asinB=±,所以asinBVaVb,

a2

則解此三角形只有一解，故c錯(cuò)誤；

對于D：因?yàn)锳ABC是銳角三角形，

所以0VC〈m所以《VA+B<n,

所以0、—B<A<-,所以sin(—8)(sinA,即cosB<sinA,

同理cosA<sinB,

則sinA+sinB>cosA+cosB,故D正確.

故選：BD.

11.【答案】BCD

【解析】若數(shù)列｛aQ中存在某項(xiàng)ak=0,由9anan+i=an-4an+i可推得ak-i=ak+i=0,

進(jìn)而｛aQ所有項(xiàng)均為0,與a1=1矛盾，故數(shù)列｛aQ均為非零項(xiàng).

由9anan+i=an-4an+i兩邊同時(shí)除以anan+i,可得9=--------

口?+1CU

所以」一+3=4|—+“二+3=4。0,

故數(shù)列｛￡+3｝是以4為首項(xiàng)，公比為4的等比數(shù)列，所以2+3=4%即時(shí)=白，

對于A,因?yàn)閍n=—,可得口？=：，a3=',11>矛盾，所以A錯(cuò)誤；

"it61a-?615

對于B,由Sn=(41_3)+(42—3)+…+(納-3)='(納一1)-3n=?二一：一3n<

所以鼠-4成立，所以B正確；

對干C,由=(.一；:…7=[-一號9

所以a=H(1-42%)+J'_43%)+…+QnZ_4n+1-3)]=J(1-/c)<；>所以C正

確；

對于D,因?yàn)閼?\又=：+熱+?+…+￡'貝心「=++盤+g+…+券

錯(cuò)位相減得三又=2+l+l+l...+±--l-=由卜。)-±

4"44上<?4n14”.HAJ*4?4????

■

則品=g-*x(裊+^77)<[-；x(兀X+菰)=J成立，所以D正確，

故選：BCD

12.【答案】3+2五2日+3.

【解析】由x+3=2,得x-1+工=1,

VV

因?yàn)閤>1,y>0,

所以x-1>0,y>0,

所以J_+y=(x-1(二+y)=3+(x-1)y+工>3+2V(x-1)y.-2=3+

,i-vA?I-'(x1)y/(x1)y

2V2,

當(dāng)且僅當(dāng)(x1)Y即x=V?,y=2+V"Ht,等號成立，

/(x-l)vJ

所以'_+y的最小值是3+272.

故答案為：3+2。2

13.【答案】Yw<

Q24.

【解析】因?yàn)閒(x)=sin(2twx),所以函數(shù)f(x)的最小正周期r=三=占3>0).

因?yàn)閒(x)在區(qū)間。18]上有5個(gè)零點(diǎn)，

所以2T<18<-T,即士<18<—,

可得1W3V-：

Q2K

故答案為：1<<1

QW

14.【答案】②

【解析】當(dāng)m=0時(shí)，X20時(shí)，f(x)=0,故在(-8,+8)上不是單調(diào)遞減，①錯(cuò)誤；

對于②，當(dāng)m=0顯然不成立，故mW0,

當(dāng)x20時(shí)，令f(xi=0，即一二：、二=0,得x=0,x<0,|x+m|=0=>x=-m,要使力ii

有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則-m<0,故m>0,②正確，

/-x-m.x<0,

對于③，當(dāng)m<。時(shí),fg,7...,,、，此時(shí)fW在［-8,0)單調(diào)遞減，在［0,+8)單調(diào)遞

--Vx.x20

若=由F==x=2,故|a-b|>2,所以|a-b|的取值范圍為(2,+8)；

③正確

對于④，由①③可知：m40時(shí)，顯然不成立，故m>0,

要使Qi(xi,yi),Q2(X2,y2)(xi<x2<0),Qi,Q2關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)。的對稱點(diǎn)也在函數(shù)f(x)的圖象上,

則只需要*>0/=-k-|11|的圖象與*20,打工)一血、G有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，如圖：

故xi<-m<X2<0,

IPQiI+IPQ21=-m-X]|+C|x2+m|=一Q(m+x?+「2(x2+m)=—=x2-x[=

3

2,

由對稱可得f(—X。=—y/—X]——|—X|—m|=X]+m,

..___V2m____2_________J"m2

化間可得Xi+m+0一正五=0，故Q-Xi)----V-Xi-m=0=>V~xi=-------

f(—X2)=----,-X2=一|—X2-m|=_X2_m,化簡得(，一x2)2+{—x?-m=0

v*5oi▲fi/一

-fI-TH*E

所以、F—------

VSR.,上一on▲11__...

41ft.J-4,401

由于—XI,—X2均大于0,所以□；=」_+-----,2丫---,

2

Witx2-X,=(，-xj-(7-xJ=

Vim1,,V111

=-T—二娥+4m=-+4m3

2J22J2

由于m>0,f(m)="m4+4m3為(0,+8)單調(diào)遞增函數(shù),且f(l)=

此時(shí)X2—Xi=4+4m，=g,因此m=1,④正確，

故答案為：②③④

=62

15.【解析】⑴由題意知，「承，即{「一.

(5,n=2046勺.2046

解得f：1；，所以an=aiqn-1=2,

由瓦+2b2+…-F(n-l)bn_x+nbn=F，,

-

得比+2b2+???+(n-l)bn_!='」-(n>2),

兩式相減，得nbn="W"F_r嗎M7=n(2n-1),

所以仄-2n-1,

當(dāng)n=1時(shí)，bi=1滿足上式，

故，=2n-1.

2由1：知，an=2'bn=2n—1,所以Cn=上山一二=n?2n,

2.2.

123n1n

Tn=1.2+2.2+3.2+...+(n-1),2-+n.2,

234nn+1

2Tn=1.2+2.2+3.2+...+(n-1).2+n.2,

兩式加減，

得一匚=21+22+23+...+2n-n.2n+1=-n,2n+1=fl-n).2n+1-2,

1—z

所以Tn=(n-1).2n+1+2.

16.【答案】(1)證明見解析,2帶

【解析】(1)因?yàn)锳「BrG分別是側(cè)棱PA,PB,PC的中點(diǎn)，

所以A〔Bi〃AB,B〔G〃BC,

因?yàn)锳B_LBC,所以AiBi_LB〔Ci，

因?yàn)锳iC_L平面BBiGC,BiGC平面BBiGC,

所以AiC_LBiCi，

又A〔CnAiBi=Ai,AiC,A-|B-|C平面A〔BiC,

所以B1C1_L平面A1B1C,

又因?yàn)锽iGC平面A1B1G，

所以平面A〔BiC_L平面A1B1C1；

(2)因?yàn)锳〔C_L平面BBiGC,BC,BiCC平面BBiGC,

所以AiC_LBiCAC_LBC,

因?yàn)锳B=BC=4,所以A1B1=BiG=2,

所以A1C=B1C=V2.

因?yàn)镚平面A1B〔C,B1C〔//BC,

所以BC_L平面A1B1C,

又B〔CC平面A〔BiC所以BC_LBiC,

所以CAi,CB,CBi兩兩垂直，

如圖，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，

則B(4,0,0),C(O,O,O),Ai(0,0,V2),B1(0,V2,0),

故砥=(0,y/2.-y/2),A^B=(4,0,-V2).

設(shè)平面A1BB1的法向量為n-T=(x,y,z),

則有忙色=6-9=°,可加I=(1,2〃2V2).

(n'AiB=4x-v2z=0

因?yàn)锳〔C_L平面BBiGC,

所以7q可=(0,0,寸2)即為平面BBiJC的一條法向量，

故cos伍，可)=得翻|=城E=*

所以二面角A1-BBl-C的余弦值R一.

17.【解析】(1)由題意得這三人中這一周恰好有一人選擇A健身中心健身的概率

p=X(1-X(1-.)+(1V)X，X(1-：)+(1，)X(1-：)X；=.

(2)記事件C：丁周六選擇A健身中心，事件D：丁周日選擇B健身中心，

則P(C)=P(C-)=P(D|C)=1-=>(D|C-)=1-=1,

由全概率公式得P(D)=P(C)P(D|C)+P(C-)P(D|C-)=1x2+1x1=12.

故丁周日選擇B健身中心健身的概率為U.

(3)設(shè)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，抽取到的學(xué)生是健身效果不佳的學(xué)生的概率為p,貝巾=

0.02,

設(shè)抽取次數(shù)為X,則X的分布列為

X123n-1n

pp(1-P)P(1-P)2P(1-0-2P(1-PL

故E(X)=p+(1-p)px2+(1-p)2px3+...+(1-p)n—2Px(n-1)+(1-p)n—1xn,

又(1-p)E(X)=(1-p)p+(1-p)2px2+(1-p)3px3+...+(1-p)n-1px(n-1)+

(1-p)nXn,

兩式相減得pE(x)=p+(1-p)p+(1-p)2p+...+(1-p)n-2p+(1-p)n—1p,

所以E(x)=1+(1-P)+(1-p)2+...+(1-p)n—2+(1-p)n-1

i-(l-p)"_l-Cl-