函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性與對稱性（解析版）-2025年天津高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第05講函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性與對稱性

（13類核心考點精講精練）

.考情探究?

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析

2024年天津卷，第4題,5分函數(shù)奇偶性的定義與判斷求含COSX的函數(shù)的奇偶性

函數(shù)奇偶性的定義與判斷判斷指數(shù)型函數(shù)的圖象形狀識別三角函數(shù)的

2023年天津卷，第4題,5分

圖象（含正、余弦，正切）根據(jù)函數(shù)圖象選擇解析式

2022年天津卷，第3題,5分函數(shù)奇偶性的應(yīng)用函數(shù)圖像的識別根據(jù)解析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度從低到高，分值為5分

【備考策略】L理解、掌握函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性與對稱性，能夠靈活運用函數(shù)的各種性質(zhì)。

2.能掌握函數(shù)的性質(zhì)

3.具備數(shù)形結(jié)合的思想意識，根據(jù)不同函數(shù)的性質(zhì)解決問題

4.會解周期性與對稱性的運算.

【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般給需要靈活結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，求解含參，不等式,

解析式，求和等各種問題。

卜7\?考點梳理?

1.單調(diào)函數(shù)的定義

\考點一、函數(shù)的單調(diào)性

2.單調(diào)區(qū)間的定義/考點二、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

C知識點一?函數(shù)的單調(diào)性（3.函數(shù)單調(diào)性的等價結(jié)論

|考點三、利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍

4.判斷函數(shù)單調(diào)性的四種方法

"［由燦.何枇岫中.考點四、函數(shù)的奇偶性

雪鬻曹黑繇右注考點五'利用函數(shù)奇偶性求參數(shù)

知識點二.函數(shù)的奇偶性Y（勰鬻既￥膽?'考點六、利用函數(shù)奇偶性求解析式

函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性與對稱性3.函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論考點七、利用單調(diào)性奇偶性解不等式

考點八、函數(shù)的對稱性

―考點九、利用函數(shù)對稱性求解析式

“鬻荒考點十、函數(shù)的周期性

知識點三.周期性與對稱性瑞耀對L論裴匚,鬻麓囂鬻，

考謂十3奇偶性與周期性解不等式

知識講解

知識點一.函數(shù)的單調(diào)性

1.單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)兀0的定義域為/,如果對于定義域/內(nèi)某個區(qū)間。上的任

意兩個自變量的值xi，X2

定

當(dāng)X1＜X2時，都有"1）＞

義當(dāng)尤1＜尤2時，都有/fa）＜"2），那么就說函數(shù)

屆）,那么就說函數(shù)yu）在區(qū)

式力在區(qū)間D上是增函數(shù)

間。上是減函數(shù)

y

圖

象__-：加1）：大初）

0到x

描0X\X2X

述

自左向左一看圖象是上升的自左向彳3看圖象是下降的

2.單調(diào)區(qū)間的定義

如果函數(shù)y="）在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù),那么就說函數(shù)＞=兀0在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)

間D叫做y=兀0的單調(diào)區(qū)間.

注意：（1）函數(shù)單調(diào)性關(guān)注的是整個區(qū)間上的性質(zhì)，單獨一點不存在單調(diào)性問題，所以單調(diào)區(qū)間的端點若屬

于定義域，則該點處區(qū)間可開可閉，若區(qū)間端點不屬于定義域則只能開.

（2）單調(diào)區(qū)間定義域/.

（3）遵循最簡原則，單調(diào)區(qū)間應(yīng)盡可能大.

3.函數(shù)單調(diào)性的等價結(jié)論

（1）函數(shù)f（x）在區(qū)間［a,b］上是增函數(shù)：

。任取xi,x2e[a,b],Mxi<X2,都有f(xi)-f(x2)<0;

。任取xi,X26[a,b],且xi力X2,都有上上叵2>0;

一%2

0任取Xi,X2C[a,b],且X1?X2,都有(Xl-X2)[f(Xi)-f(X2)]>0；

=任取X],X2C[a,b],且X法X2,都有卷篇>

⑵函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上是減函數(shù):

O任取Xi,X2E[a,b],且X1VX2,都有f(xi)-f(x2)>0;

0任取xi,x2e[a,b],Mx浮X2,都有四"型<0;

%]一%2

=任取Xi,X2G[a,b],_&X1rX2,都有(Xi-X2)[f(Xi)-f(X2)]<0；

O任取xi,X2C[a,b],且X"X2閽有-「寧、<0

(3)在區(qū)間。上，兩個增函數(shù)的和仍是增函數(shù)，兩個減函數(shù)的和仍是減函數(shù).

(4)復(fù)合函數(shù)八g(x))的單調(diào)性與函數(shù)y=A")和a=g(x)的單調(diào)性的關(guān)系是“同增異減”.

(5)對勾函數(shù)(耐克函數(shù))

形如y=x+"(p>0,且p為常數(shù))

x

在(-00,-y[p卜口[J7,+00)上為增函數(shù)，在(-J3,o)和(o,4P)上為減函數(shù).

對勾函數(shù)有兩條漸近線：一條是y軸(xwO,圖象無限接近于y軸，但不相交)，

另一條是直線y=x(當(dāng)x趨近于無窮大時，K趨近于0,y趨近于％,因為"wO,所以y#尤)

XX

4.判斷函數(shù)單調(diào)性的四種方法：

(1)定義法：取值、作差、變形因式分解、配方、有理化、通分、定號、下結(jié)論.

(2)復(fù)合法：同增異減，即內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性相同時為增函數(shù)，不同時為減函數(shù).

(3)圖象法：如果40是以圖象形式給出的，或者丸尤)的圖象易作出，可由圖象的直觀性判斷函數(shù)單調(diào)性.

(4)導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)單調(diào)性.(選修中會學(xué)到)

(5)證明函數(shù)的單調(diào)性有定義法、導(dǎo)數(shù)法.但在高考中，見到有解析式，盡量用導(dǎo)數(shù)法.

易錯警示：①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)先求定義域，在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間.

②如有多個單調(diào)增減區(qū)間應(yīng)分別寫，不能用“U”聯(lián)結(jié).

知識點二.函數(shù)的奇偶性

1.函數(shù)奇偶性的定義：

奇偶性偶函數(shù)奇函數(shù)

條件設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為I,如果VxeL都有一xel

結(jié)論f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)

圖象特點關(guān)于y軸對稱關(guān)于原點對稱

注意：判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個必備條件：

1.定義域關(guān)于原點對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；

2.判斷人尤）與斤x）是否具有等量關(guān)系.在判斷奇偶性的運算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價關(guān)系式y(tǒng)w+y（㈤

=0（奇函數(shù)）或"X）T/（-X）=O（偶函數(shù)）是否成立.

3.若兀0加，則奇（偶）函數(shù)定義的等價形式如下：

①/（元）為奇函數(shù)=八-尤）=-汽x）0fi~x）+八x）=0=今m=-L

②/（X）為偶函數(shù)鈣為-無）=/0）鈣/（-尤）；/^）=。0隼？=1.

TI引

2.判斷函數(shù)奇偶性的方法

利用奇、偶函數(shù)的定義或定義的等價形式：降?=±1如）邦）判斷函數(shù)的奇偶性.

1.定義法:

2.圖象法：利用函數(shù)圖象的對稱性判斷函數(shù)的奇偶性.

3.驗證法：即判斷人功句（一尤）是否為0.

4.性質(zhì)法：設(shè)於），g（x）的定義域分別是。1，D2,那么在它們的公共定義域上，有下面結(jié)論:

g(x)+g(x)fO)—f(x)—g(x)f[g(.x)]

偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)

偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)

奇函數(shù)偶函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)

奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)

總結(jié)：奇±奇=奇偶±偶=偶奇、奇=偶偶、偶=偶奇、偶=奇

3.函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論

1.如果一個奇函數(shù)大尤）在x=。處有定義，那么一定有四片也.

2.如果函數(shù)/（X）是偶函數(shù)，那么Kx）=/（|x|）.

3奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.

4在公共定義域內(nèi)有：奇土奇=奇，偶±偶=偶，奇義奇=偶，偶義偶=偶，奇、偶=奇.

5.若y=/（x+a）是奇函數(shù)，則八一x+a）=—/（尤+a）；若y=?r+a）是偶函數(shù)，則八一x+a）=/（x+a）.

知識點三.周期性與對稱性

1.周期性

(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y=f(x),如果存在一個非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x+T)

=f(x),那么就稱函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最

小正周期.

2.中心對稱

定義：如果一個函數(shù)的圖像沿一個點旋轉(zhuǎn)180度，所得的圖像能與原函數(shù)圖像完全重合，則稱該函數(shù)具備

對稱性中的中心對稱，該點稱為該函數(shù)的對稱中心

3.周期性與對稱性的常用結(jié)論

(1)函數(shù)周期的常見結(jié)論設(shè)函數(shù)y=/(x),x€R,a>0.

①若a),則函數(shù)的周期為2a；

②若兀r+a)=—/(無)，則函數(shù)的周期為2a；

③若式x+a)=則函數(shù)的周期為2a；

7(無)'

1

④若加+a)=則函數(shù)的周期為2a；

於＞'

(2)對稱軸常見類型

①/■(久+a)=/(-X+b)代x)圖像關(guān)于直線x=W■對稱

②/(%+a)=/(-x+a)qy=/(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱

③/'(久)=f(一%+2a)=y=f(%)的圖象關(guān)于直線x=a對稱

④/(-x)=f(x+2a)oy=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱

(3)對稱中心常見類型

①)于(x+a)+f(b-x)=2cay=f(x)圖像關(guān)于直線心對稱

②f(a+x)+/(?—x)=2b=y=/(x)的圖象關(guān)于點(a涉)對稱

③/(%)+/(2a-X)=2b。y=/(x)的圖象關(guān)于點(。/)對稱

@/(-%)+f(2a+x)=2b<=>y=/(x)的圖象關(guān)于點(a/)對稱

(4)周期與對稱性的區(qū)分

①若f(x+a)=+f(x+b),則f(x)具有周期性；

②若/1(x+a)=+f(-x+b),則f(x)具有對稱性：

口訣：“內(nèi)同表示周期性，內(nèi)反表示對稱性”。

考點一、函數(shù)的單調(diào)性

典例引領(lǐng)

1.(2023?北京?高考真題)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增的是()

A./(x)=-InxB.f(x)=表

C./(%)=-D./(x)=3lxT

【答案】C

【分析】利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷ABC,舉反例排除D即可.

【詳解】對于A,因為y=In久在(0,+8)上單調(diào)遞增，y=-X在(0,+8)上單調(diào)遞減，

所以/0)=—Inx在(0,+8)上單調(diào)遞減，故A錯誤；

對于B,因為y=2》在(0,+8)上單調(diào)遞增，y=(在(0,+8)上單調(diào)遞減，

所以/(%)=/在(0,+8)上單調(diào)遞減，故B錯誤；

對于C,因為y=1在(0,+8)上單調(diào)遞減，y=-x在(0,+oo)上單調(diào)遞減，

所以/(%)=-5在(0,+8)上單調(diào)遞增，故C正確；

對于D,因為/'⑨=3bli==百，/(I)=311T=3。=1,/(2)=312-11=3,

顯然〃%)=3氏-11在(0,+8)上不單調(diào)，D錯誤.

故選：C.

2.(2020?山東?高考真題)己知函數(shù)/。)的定義域是R,若對于任意兩個不相等的實數(shù)均，無2，總有

""2)-"卬)>o成立，則函數(shù)fQ)一定是()

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.增函數(shù)D.減函數(shù)

【答案】C

【分析】利用函數(shù)單調(diào)性定義即可得到答案.

【詳解】對于任意兩個不相等的實數(shù)%,%,總有>0成立,

2%2Tl

等價于對于任意兩個不相等的實數(shù)/<尤2,總有f(尤1)</(X2).

所以函數(shù)/(X)一定是增函數(shù).

故選：C

??即時檢測

1.(2021?全國?高考真題)下列函數(shù)中是增函數(shù)的為()

A./(x)=—XB./(x)-(勺C./(x)=x2D./(x)=K[x

【答案】D

【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷后可得正確的選項.

【詳解】對于A,"%)=-X為R上的減函數(shù)，不合題意，舍.

對于B,/(x)=6)”為R上的減函數(shù)，不合題意，舍.

對于C,/(x)=/在(_8,0)為減函數(shù)，不合題意，舍.

對于D,f(%)=版為/?上的增函數(shù)，符合題意，

故選：D.

2.(2024高三?全國?專題練習(xí))已知/'(x)是定義在R上的偶函數(shù),函數(shù)g(x)滿足g(x)+g(-x)=。，且/(%)、

g(x)在(-8,0］單調(diào)遞減，則()

A.f(g(x))在［0,+8)單調(diào)遞減

B.g(g(x))在(一8,0］單調(diào)遞減

C.0))在［0,+8)單調(diào)遞減

D./(/(x))在(一8,0］單調(diào)遞減

【答案】C

【分析】利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性一一判定選項即可.

【詳解】由題意知/(久)在［0,+8)單調(diào)遞增，g(x)為奇函數(shù)，在R上單調(diào)遞減.

設(shè)ow<犯，則g(%2)<wo，/(9(>2))>/(g3))，

所以f(g(x))在0+8)單調(diào)遞增，故A錯誤，

設(shè)/<x2<0,則g3)>g(x2),<。(。3))，

所以g(g(x))在(-8,o］單調(diào)遞增，故B錯誤；

設(shè)ow勺<冷，貝療(/)</'(犯)，>g(f(%2))，

所以g(f(x))在［。,+8)單調(diào)遞減，故c正確；

取/(%)-x2-1,貝1］/'(/■(%))=(%2-1)2—1,/(/(0))=0,/(/(-I))=-1,

此時/(/(%))在(-8,0］不單調(diào)遞減，故D錯誤.

故選：C.

3.(2024?山西呂梁?二模)已知函數(shù)y=/(4x-在區(qū)間。2)上單調(diào)遞減，則函數(shù)/(%)的解析式可以為

()

A./(x)=4x—x2B./(x)=2㈤

C./(%)=—sinxD./(x)=x

【答案】A

【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性分析可知在區(qū)間(3,4)上單調(diào)遞減，進(jìn)而逐項分析判斷即可.

【詳解】因為t=4x—/開口向下，對稱軸為t=2,

可知內(nèi)層函數(shù)t=4x-/在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，

當(dāng)x=1,t=3；當(dāng)x=2,t=4；

可知t=4x—%2￡(3,4),

又因為函數(shù)y=/(4x-/)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞減，

所以f(t)在區(qū)間(3,4)上單調(diào)遞減,即f(x)在區(qū)間(3,4)上單調(diào)遞減.

對于選項A：因為函數(shù)f(x)=4久-/在區(qū)間⑶4)上單調(diào)遞減，故A正確；

對于選項B：因為x6(3,4),則/(%)=2⑶=2*在區(qū)間(3,4)上單調(diào)遞增，故B錯誤；

對于選項C：因為x6(3,4)=('?)，則^0)=-5行%在區(qū)間(3,4)上單調(diào)遞增，故C錯誤；

對于選項D：因為/(%)在區(qū)間(3,4)上單調(diào)遞增，故D錯誤.

故選：A.

4.(23-24高三上?上海楊浦?期中)已知函數(shù)y=f(久)，xeR.若f(1)<f(2)成立，則下列論斷中正確的

是()

A.函數(shù)/'Of)在(-8,+8)上一定是增函數(shù)；

B.函數(shù)/(X)在(-8,+8)上一定不是增函數(shù)；

C.函數(shù)/(久)在(-8,+8)上可能是減函數(shù)；

D.函數(shù)/(￡)在(-8,+8)上不可能是減函數(shù).

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷即可.

【詳解】因為函數(shù)y=/(%),xeR且f(1)<f(2)成立，

則函數(shù)人久)在(-8,+8)上不可能是減函數(shù)，可能是增函數(shù)，也可能不是增函數(shù)，

如f(x)=X2,滿足"1)<f(2),但是f(x)在(-8,+8)上不具有單調(diào)性，

故D正確，A、B、C錯誤.

故選:D

考點二、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

典例引領(lǐng)

1.(2024高三?全國?專題練習(xí))函數(shù)y=%的單調(diào)遞減區(qū)間為()

X

A.(—°°,+°°)

B.(0,+8)

C.(—0)U(0,+°°)

D.(―°°,0),(0,+°°)

【答案】D

【分析】由反比例函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】由反比例函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)y=1的單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,0),(0,+8).

故選：D.

2.（23-24高三上?河南南陽?階段練習(xí)）函數(shù)y=因（1-久）在區(qū)間A上是減函數(shù)，那么區(qū)間A

是.

【答案】（一8,0）,G，+8）（答案不唯一）

【分析】化簡函數(shù)y=|汨（1一切為〃x）=產(chǎn)一作出其圖象，數(shù)形結(jié)合，即可得答案.

【詳解】由題意得y=f（x）=|x|（l-x）=產(chǎn)一，

作出其圖像如圖：

由圖像可知函數(shù)在區(qū)間（-8,0）,G，+8）上是減函數(shù)，

故區(qū)間A是（一8,0）,（|,+oo）,或其子集

故答案為：（一8,0）,（，+8）

即時悒測

1.（23-24高三上?寧夏固原?階段練習(xí)）函數(shù)y=|—J+4久+5］的單調(diào)遞減區(qū)間為

【答案】（一8,-1）,（2,5）

【分析】作出y=|-%2+4x+5］的圖像，根據(jù)圖像即可求出結(jié)果.

【詳解】由--+4%+5=0,得到x=-1或尤=5,

函數(shù)y=|-%2+4x+5］的圖像如圖所示，

由圖知,函數(shù)y=|-/+軌+5|的單調(diào)遞減區(qū)間為（—8,-1）,（2,5）,

2.(20-21高三上?陜西漢中?階段練習(xí))函數(shù)f(x)="X2-2X-8的單調(diào)遞增區(qū)間是.

【答案】。+8)/[1,+8)

【分析】由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行求解.

【詳解】因為y=在R上單調(diào)遞增，故y=/一2%-8的單調(diào)遞增區(qū)間即為/(%)=的單調(diào)遞增

區(qū)間，

y=/_2刀-8的對稱軸為x=-￡=1,故(1,+8)或[1,+8)為y=%2-2%-8的單調(diào)遞增區(qū)間，

故/(%)="/-2>8的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+8)或口+8).

故答案為：(1,+8)

3.(2023?海南海口?二模)已知偶函數(shù)y=/0+1)在區(qū)間[0,+8)上單調(diào)遞減，則函數(shù)y=/(x—1)的單

調(diào)增區(qū)間是.

【答案】(—8,2]

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的對稱性結(jié)合圖象平移分析求解.

【詳解】因為偶函數(shù)y=f(x+1)在區(qū)間[0,+8)上單調(diào)遞減，

所以y=f(x+1)在區(qū)間(-8,o]上單調(diào)遞增，

又因為/O-1)=/((%-2)+1),則函數(shù)/(x-1)的圖象是由函數(shù)/(X+1)的圖象向右平移2個單位長度得

到，

所以函數(shù)f(x-l)的單調(diào)增區(qū)間是(-8,2].

故答案為：(-8,2].

【點睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)，要求學(xué)生了解函數(shù)圖象的平移與單調(diào)性和奇偶性的綜合關(guān)系.

4.(22-23高三上?北京?階段練習(xí))能夠說明“若g(x)在R上是增函數(shù)，則xg(尤)在R上也是增函數(shù)”是假

命題的一個g(x)的解析式g(x)=.

【答案】x(答案不唯一，符合題意即可)

【分析】根據(jù)單調(diào)性的概念分析理解.

【詳解】例如：g(x)=%在R上是增函數(shù)，則%g(x)=%2在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以

在R上不是增函數(shù)

故答案為：x(答案不唯一，符合題意即可).

5.(23-24高三上?海南儲州?階段練習(xí))若/。)=3―1為奇函數(shù)，則g(x)=ln[(x-3)(x-a)]的單調(diào)

遞減區(qū)間是.

【答案】(-8,2)

【分析】由奇函數(shù)得/(0)=0,解出a值，再由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得減區(qū)間.

【詳解】由/'(x)=-xeR為奇函數(shù)，

ex+l

則f(0)=]-1=。，解得a=2，

當(dāng)a=2時，/0)=島-1=貳

則f(r)=M=lS=—滿足題意?

當(dāng)a=2時，g(x)=ln[(x-3)(%—2)],

由(x-3)(x-2)>0解得％<2,或x>3,

令t=(x-3)(%—2),

當(dāng)x<2時，t=(x-3)(久一2)單調(diào)遞減，y=lnt單調(diào)遞增，

則g(x)=ln[(x-3)(x-2)]單調(diào)遞減;

當(dāng)%>3時，t=(%-3)(x—2)單調(diào)遞增，y=lnt單調(diào)遞增，

則g(x)=ln[(x-3)(x-2)]單調(diào)遞增；

則g(X)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-8,2).

故答案為：(-oo,2).

6.(22-23高三上?上海楊浦?階段練習(xí))若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間/上是嚴(yán)格增函數(shù)，而函數(shù)y=號在區(qū)間/上

是嚴(yán)格減函數(shù)，那么稱函數(shù)y=f(久)是區(qū)間/上的“緩增函數(shù)”，區(qū)間/叫做“緩增區(qū)間”.已知函數(shù)

是區(qū)間/上的“緩增函數(shù)”，若定義6-a為[a,b]的區(qū)間長度，那么滿足條件的“緩增區(qū)間”/的

區(qū)間長度最大值為.

【答案】V3-1

【分析】分別求出函數(shù)/(x)的單增區(qū)間，再求出度號的單減區(qū)間，即可求出函數(shù)/(x)的“緩增區(qū)間”，進(jìn)

而求出“緩增區(qū)間”/的區(qū)間長度最大值.

【詳解】二次函數(shù)/(￡)=卜2一正的單增區(qū)間是[1,+oo).

而、=竽4+/T.

由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知：尸號=楙+2-1的單減區(qū)間為卜禽,0),(0,V3].

所以[1,網(wǎng)及其非空真子集均為函數(shù)/(%)=評-x+|的“緩增區(qū)間”，其中區(qū)間[1,網(wǎng)的長度最長，為g7

所以滿足條件的''緩增區(qū)間”/的區(qū)間長度最大值為通-L

故答案為：V3-1.

考點三、利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍

典例引領(lǐng)

1.(2023?全國?高考真題)設(shè)函數(shù)f(x)=2工(”。)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，貝b的取值范圍是()

A.(—8,—2]B.[—2,0)

C.(0,2]D.[2,+00)

【答案】D

【分析】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計算作答.

【詳解】函數(shù)y=2久在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)“X)=2》(x-a)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，

則有函數(shù)、=雙久一。)=(久一三)2-竽在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，因此三1,解得a22,

所以a的取值范圍是[2,+oo).

故選：D

x

2.(2024?湖北?二模)已知函數(shù)f(%)=log5(a-2)在[1,+8)上單調(diào)遞增,則a的取值范圍是(

A.(l,+oo)B.[In2,+8)C.(2,+8)D.[2,+8)

【答案】C

【分析】先由題設(shè)條件證明。>2,再驗證a>2時條件滿足即可.

【詳解】若f(x)=logs(a%-2)在[1,+8)上單調(diào)遞增，

則必然在％=1處有定義，所以小一2>0,即a>2；

若Q>2,則當(dāng)尤之1時Q*-22a—2>0,所以/(%)在[L+8)上有定義，

再由a>1知a%-2在R上單調(diào)遞增，所以/(%)在[1,+8)上單調(diào)遞增.

故選：C.

1.(2024?廣東揭陽?二模)已知函數(shù)f(x)=-x2+ax+1在(2,6)上不單調(diào),則a的取值范圍為(

A.(2,6)B.(―oo,2]U[6,4-00)

C.(4,12)D.(-oo,4]U[12,+oo)

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，利用二次函數(shù)的單調(diào)性列出不等式求解即得.

【詳解】函數(shù)/(%)=—/+〃+1的圖象對稱軸為％=會依題意，2<]<6,得4<"12,

所以a的取值范圍為(4,12).

故選：C

2.(2024?吉林?二模)若函數(shù)/(x)=ln(ax+1)在(1,2)上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是

【答案】[，0)

【分析】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得9(%)=。久+1在(1,2)上單調(diào)遞減且恒大于0,可得>⑶_葭?1>n

計算可求實數(shù)a的取值范圍.

【詳解】函數(shù)f(x)=ln(ax+1)在(1,2)上單調(diào)遞減,

由函數(shù)y=Inx在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，

所以函數(shù)g(x)=a尤+1在(1,2)上單調(diào)遞減且恒大于0,

貝第｛g(2)="2：：iN0,解得后Wa<°?

故實數(shù)a的取值范圍是[-，0).

3.(2024?全國,模擬預(yù)測)命題p:0<a<1,命題q：函數(shù)/(久)=loga(6-ax)(a>0,a黃1)在(一8,3)上

單調(diào)，貝Up是q的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】由命題q求出a的取值范圍，再判斷充分性和必要性即可.

【詳解】設(shè)t=6-ax,則/(x)=loga(6-ax)(a>0,a1)可化為y=logat.

充分性：當(dāng)0<a<l時，函數(shù)y=log/在(一8,3)上單調(diào)遞減，t=6-ax在(一8,3)上單調(diào)遞減，且t>0,

所以f(x)=loga(6-ax)(a>0,a不1)在(-~3)上單調(diào)遞增，因此充分性成立.

必要性：當(dāng)0<a<l時，y=loga在(-8,3)上單調(diào)遞減，t=6-ax在(-8,3)上單調(diào)遞減，且t>0,所

以f(x)=loga(6-ax)(a>0,a71)在(-8,3)上單調(diào)遞增;

當(dāng)a〉1時，y=log/在(—8,3)上單調(diào)遞增，t=6—ax在(—8,3)上單調(diào)遞減，且t=6—ax>0在(―8,3)

上恒成立，所以6-3a2。，則1<aS2,此時函數(shù)/(x)=loga(6-ax)(a>0,a力1)在(一8,3)上單調(diào)遞

減.

綜上可知，當(dāng)函數(shù)/'(x)=loga(6-ax)(a>0,a71)在(-8,3)上單調(diào)時，0<a<l或l<aW2,因此必

要性不成立.所以p是q的充分不必要條件.

故選：A.

【點睛】易錯點點睛：本題以含有參數(shù)的對數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性為背景，考查充分條件與必要條件的判斷，

體會函數(shù)思想、分類討論思想的應(yīng)用.先考慮充分性，再考慮命題q為真命題時，參數(shù)a的取值范圍，對參

數(shù)a進(jìn)行分類討論，同時不要忘記考慮真數(shù)大于0這一情況，這是本題的易錯點.

考點四、函數(shù)的奇偶性

典例引領(lǐng)

1.(2024?天津?高考真題)下列函數(shù)是偶函數(shù)的是(

sinx+4x

【答案】B

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的判定方法一一判斷即可.

【詳解】對A,設(shè)=函數(shù)定義域為R,但/■(—1)=匕F，則/(—1)力”1)，故A錯

誤；

對B,設(shè)g(%)=W^,函數(shù)定義域為R,

xz+l

且9(-行=竺曷親立=箋等=9(久)，則。(久)為偶函數(shù)，故B正確；

對C,設(shè)函數(shù)定義域為{x|xK-1},不關(guān)于原點對稱，則h(x)不是偶函數(shù)，故C錯誤；

對D,設(shè)0(x)=藝受，函數(shù)定義域為R,因為9(1)=_,s(_i)=弋二，

則W(1)#W(-1),則0(x)不是偶函數(shù),故D錯誤.

故選：B.

2.(2020?全國?高考真題)設(shè)函數(shù)f(x)=%3-則/(久)()

A.是奇函數(shù)，且在(0,+8)單調(diào)遞增B.是奇函數(shù)，且在(0,+8)單調(diào)遞減

C.是偶函數(shù)，且在(0,+8)單調(diào)遞增D.是偶函數(shù)，且在(0,+8)單調(diào)遞減

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式可知函數(shù)的定義域為｛久比70｝,利用定義可得出函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，

再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性法則，即可解出.

【詳解】因為函數(shù)f(x)=x3—專定義域為｛小力。｝,其關(guān)于原點對稱，而〃—x)=-/(>),

所以函數(shù)/(%)為奇函數(shù).

又因為函數(shù)y=/在(0,+8)上單調(diào)遞增，在(-8,0)上單調(diào)遞增，

而y=點=在(0,+8)上單調(diào)遞減，在(-co,0)上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)f(x)=/—點在電+8)上單調(diào)遞增，在(-8,0)上單調(diào)遞增.

故選：A.

【點睛】本題主要考查利用函數(shù)的解析式研究函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

即時便測

1.(2020?全國?高考真題)設(shè)函數(shù)/(x)=ln|2x+l|—ln|2x—l|,則f(x)()

A.是偶函數(shù)，且在G，+8)單調(diào)遞增B.是奇函數(shù)，且在(-3與單調(diào)遞減

C.是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增D.是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減

【答案】D

【分析】根據(jù)奇偶性的定義可判斷出久支)為奇函數(shù)，排除AC；當(dāng)ft)時，利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)可

判斷出f(x)單調(diào)遞增，排除B；當(dāng)xe(-%-m時，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可判斷出f(x)單調(diào)遞減，從而得到

結(jié)果.

【詳解】由/■(?=ln|2x+1|-ln|2x-1|得/(%)定義域為｛x|x4±m(xù)，關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，

又f(―%)=ln|l-2%|—ln|-2%-1|=ln|2x-1|—ln|2x+1|=—/(%),

???/(%)為定義域上的奇函數(shù)，可排除AC；

當(dāng)久E(―時，/(%)=ln(2x4-1)—ln(l—2%),

???y=ln(2x+1)在(一^彳)上單調(diào)遞增，y=ln(l-2式)在(一|片)上單調(diào)遞減，

f(x)在(-3|)上單調(diào)遞增，排除B；

當(dāng)尤6—時，/(x)=ln(-2x-1)-ln(l-2x)=足普=In(1+總)，

???M=1+^^在(一8,-1)上單調(diào)遞減，/(〃)=In〃在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，

根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：在(-8,-9上單調(diào)遞減，D正確.

故選：D.

【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷；判斷奇偶性的方法是在定義域關(guān)于原點對稱的前提下，根

據(jù)f(-x)與/(%)的關(guān)系得到結(jié)論；判斷單調(diào)性的關(guān)鍵是能夠根據(jù)自變量的范圍化簡函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)

和復(fù)合函數(shù)“同增異減”性得到結(jié)論.

2.(2024?北京?三模)下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增的是()

A.7'(工)=后B./(x)=s,in|x|

C./(%)—2X+2TD./(x)=tanx

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性的定義，對選項逐一判斷，即可得到結(jié)果.

【詳解】=，則/(X)為偶函數(shù)，但在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減，

I%

故A錯誤；

/(%)=sin|%|=仍心久)，笈0為偶函數(shù)，但在區(qū)間(0,+8)上不具有單調(diào)性，

故B錯誤；

f(x)=2X+2T的定義域為R,且/'(一萬)=2T+2X=/(x),

則/'(x)為偶函數(shù)，令t=2*,當(dāng)xe(0,+8)時，則te(l,+8),

則丫=￡+:/>1,由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，y=t+(在(1,+8)單調(diào)遞增，

所以fO)=2工+2f在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，故c正確；

/(%)=tan工為奇函數(shù)，故D錯誤；

故選：C

3.(2024?湖北武漢?模擬預(yù)測)函數(shù)/(%)=ln(e'+1)-^()

A.是偶函數(shù)，且在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增B.是偶函數(shù)，且在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞獨

C.是奇函數(shù)，且在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增D.既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)

【答案】A

【分析】借助函數(shù)奇偶性的定義可判斷函數(shù)奇偶性，借助導(dǎo)數(shù)即可得函數(shù)單調(diào)性.

【詳解】：/(x)的定義域為R，/(-x)=ln(e-x+1)+|=ln(ex+1)-%4-1=ln(ex+1)-1=/(%),

??.f(x)為偶函數(shù)；

當(dāng)x>0時，/0)=￡—：=靠高>0,.-./(x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增.

故選：A.

4.(2024?北京朝陽?二模)下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在其定義域上是增函數(shù)的是()

A.f(%)=sinxB.f(%)=cosx

C./(x)=VxD./(x)=x3

【答案】D

【分析】根據(jù)已知的各個函數(shù)的性質(zhì)，可以直接作出判斷.

【詳解】/(x)=sinx是奇函數(shù)，它在區(qū)間[-]+2/OT(+eZ上單調(diào)遞增，在定義域內(nèi)不是增函數(shù),

所以選項A是錯誤的；

f(%)=cosx是偶函數(shù)，所以選項B是錯誤的；

f(x)=々既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，所以選項C是錯誤的；

/(X)=產(chǎn)滿足既是奇函數(shù)又在其定義域上是增函數(shù)，所以選項D是正確的；

故選：D.

考點五、利用函數(shù)奇偶性求參數(shù)

典例引領(lǐng)

1.(2023?全國?高考真題)已知"X)=嚏二是偶函數(shù)，貝必=()

A.-2B.—1C.1D.2

【答案】D

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義運算求解.

【詳解】因為/(%)=需為偶函數(shù)，則/(》)—/(—W=奈—辛=把=2=0,

axJaxaxax

」e-l'e-le-le-l

又因為％不恒為0,可得e%—e(aT)%=0,即e%=e(aT)%,

則久=(a—l)x,即1=a—1,解得a=2.

故選：D.

2.(2023?全國?高考真題)若f(%)=(x+a)ln器為偶函數(shù)，則a=().

1

A.一1B.0C,-D.1

【答案】B

【分析】根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)，利用特殊值法求出a值，再檢驗即可.

【詳解】因為/(%)為偶函數(shù)，貝U/(l)=/(—1),(l+a)ln|=(-l+a)In3,解得a=0,

當(dāng)a=0時，/(%)=(2%—1)(2%+1)>0?解得或％<-￡

則其定義域為｛小>1或x<-#關(guān)于原點對稱.

f(一行=(一%)ln|g^=(一切足署=(-%)ln(1^)^==/(%)?

故此時/■(%)為偶函數(shù).

故選：B.

即時檢測

■一

1.(2024?黑龍江?三模)已知函數(shù)f(x)=(ex+e-%)sinx-2在［—2,2］上的最大值和最小值分別為M,N,

則“+N=()

A.-4B.0C.2D.4

【答案】A

【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)+2,證明g(x)為奇函數(shù)，從而得到M+2+N+2=0,即可求出M+N的

值.

【詳解】令g(x)=/(x)+2=(e*+e-x)sinx,定義域為R,

因為“x)在［-2,2］上的最大值和最小值分別為M,N,

所以g(x)在［-2,2］上的最大值和最小值分別為M+2,N+2,

因為g(—%)=(e-x+ex)sin(—%)=—(e-x+ex)sinx=—g(x),

所以g(x)為奇函數(shù)，g(x)的圖象關(guān)于原點對稱，

所以g(x)的最大值和最小值互為相反數(shù)，即M+2+N+2=0,

所以M+N=-4,

故選：A.

2.(23-24高三上?安徽安慶?階段練習(xí))己知函數(shù)/(無)=茨+3在區(qū)間［-2023,2023］上的最大值為”,

最小值為6，則M+m=.

【答案】6

【分析】設(shè)g(x)=總，分析可知g(x)為奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的對稱性分析求解.

【詳解】設(shè)9(久)=總，

則g(x)的定義域為R,且連續(xù)不斷，

0,

由g(x)+g(-x)=&+,然+7=可知gO)為奇函數(shù)，

設(shè)gO)在［-2023,2023］上的最大值為9(殉)，

由奇函數(shù)的對稱性可知g(x)在［-2023,2023］上的最小值為9(-3=-9(尤o)，

則函數(shù)fO)=g(x)+3在區(qū)間［-2023,2023］上的最大值為M=gg)+3,最小值為m=-gg)+3,

所以M+m=。(而)+3-g(x())+3=6.

故答案為：6.

3.(23-24高三上?福建莆田?期中)函數(shù)/(x)=(x2-6x)sin(x-3)+x+a(xe［0,6］)的最大值為M,最

小值為m，若M+m=10,則a=.

【答案】2

【分析】

將函數(shù)解析式化為/(%)=[(%-3)2-9]sin(x-3)+%-3+。+3,設(shè)久-3=tG[-3,3]，則/(%)=g(t)=

(t2-9)sint+t+a+3,記/i(t)=(產(chǎn)-9)sint+；tE則h(t)為奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)及M+

m=10,即可求得。的值.

【詳解】因為/(%)=(%2—6x)sin(x—3)+x+a=[(x-3)2—9]sin(x—3)+x—3+a+3,

設(shè)％—3=tE[—3,3],

則/(%)=g(t)=(t2—9)sint+t+a+3,

設(shè)八(t)=(t2—9)sint+t,te[—3,3]，

則—t)=—(力之—9)sint—t——/i(t)9

所以九④)是[一3,3]上的奇函數(shù)，最大值為M—(Q+3),最小值為m—(a+3),

所以M—(a+3)+zu—(a+3)=0,

由M4-m=10,得a=2,

故答案為：2.

4.(2023高三?全國?專題練習(xí))若關(guān)于x的函數(shù)f(x)=2’婷+§；丫71+"因豐0)的最大值和最小值之和

為4,貝Ut=.

【答案】2

【分析】

根據(jù)三角恒等變換和分類常量法可得/(%)=￡+黑E=t+g(%),由函數(shù)的奇偶性可知g(%)為奇函數(shù)，

則g(%)max+g(%)min=進(jìn)而f(%)max+f(%)min=9(^)max+9(X)min+2t=0,即可求解.

【詳解】

當(dāng)一j4工工弓時，0<2/4i,cos%>0,當(dāng)久V—產(chǎn)或％>/時，2—>1,

所以/(%)的定義域為R.

2tx2sinx+cosx+x2

▽_+V2t(Y^)_t(2x4-cosx)+(tsinx+x)_心(tsinx+x

/(%)=-----------；---------------=----------；------------=tH；------,

2xz+cosx2xz+cosx2xz+cosx

設(shè)9(無)=鼠篝’則9(—%)=盍黑=一9(為，，g(x)為奇函數(shù)；設(shè)g(x)的最大數(shù)值為M,最小值為N,

則M+N=0,則/(x)的最大數(shù)值為M+t,最小值為N+t,

的最大值與最小值之和為M+N+2t=4,得t=2.

故答案為：2.

5.(2024高三?全國?專題練習(xí))如果奇函數(shù)〃久)在[3,7]上是增函數(shù)且最小值5,那么/(>)在區(qū)間[-7,-3]

上是().

A.增函數(shù)且最小值為-5B.減函數(shù)且最小值為-5

C.增函數(shù)且最大值為-5D.減函數(shù)且最大值為-5

【答案】c

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)即可得對稱區(qū)間上的單調(diào)性與最值.

【詳解】因為/(X)是奇函數(shù)，所以/(x)在區(qū)間［-7,-3］上的單調(diào)性與/(久)在［3,7］上的單調(diào)性相同，也是增

函數(shù)，,0)在［3,7］上的最小值5,即f(3)=5,

所以在區(qū)間［—7,-3］上的最大值為/(—3)=-f(3)=-5.

故選：C.

考點六、利用函數(shù)奇偶性求解析式

典例引領(lǐng)

1.(23-24高三下?上海?階段練習(xí))已知函數(shù)y=f{x),xeR為奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)=2x3+2X-1,

當(dāng)X<0時，/(久)的表達(dá)式為()

A.2x3+2X-1B.2x3-2-x+l

C.-2x3+2~x-1D.-2x3-2X+1

【答案】B

【分析】根據(jù)奇函數(shù)定義，結(jié)合x20的解析式直接求解即可.

【詳解】當(dāng)x<0時，—x>0,.1./(-%)=-2x3+2T-1,

又/'(x)為奇函數(shù),f(x)=-f(-x)=2x3-2T4-1,

即當(dāng)x<0時，/(%)=2%3—2T+1.

故選：B.

2.(23-24高三上?云南昆明?階段練習(xí))/。)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)k>。時，f(x)=2*+1,則x<0

時，.

【答案】-2-x-1

【分析】由x<0時，得