人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《實(shí)際問題與一元一次方程（第5課時(shí)）》示范課教學(xué)設(shè)計(jì)

5.3實(shí)際問題與一元一次方程（第5課時(shí)）教學(xué)目標(biāo) 教學(xué)目標(biāo)1．能從實(shí)際問題中找出相等關(guān)系，由此列出方程，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．2．針對(duì)不同的題目類型，能正確進(jìn)行解答，并將解方程的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的答案．教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)通過尋找相等關(guān)系，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．教學(xué)難點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)由實(shí)際問題抽象出數(shù)學(xué)模型的探究過程．教學(xué)過程教學(xué)過程新課導(dǎo)入一元一次方程在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，這類問題常與現(xiàn)實(shí)生活背景結(jié)合，常見類型有“配套問題”“工程問題”“商品銷售問題”“比賽積分問題”“分段計(jì)費(fèi)問題”等．解決這類問題的關(guān)鍵是先通過對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行分析，找出相等關(guān)系，再設(shè)未知數(shù)列方程求解．本節(jié)課，主要對(duì)這幾種類型的題目進(jìn)行復(fù)習(xí)鞏固，進(jìn)一步提高同學(xué)們分析和解決問題的能力．新知探究類型一、配套問題與工程問題【問題】1．用白鐵皮做罐頭盒，每張鐵皮可制盒身25個(gè)，或制盒底40個(gè)，一個(gè)盒身與兩個(gè)盒底配成一套．現(xiàn)在有36張白鐵皮，用多少?gòu)堉坪猩?，多少?gòu)堉坪械?，可使盒身與盒底正好配套？【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立解答，小組內(nèi)部交流糾錯(cuò)．【答案】解：設(shè)用x張白鐵皮制盒身，則用(36－x)張制盒底．由題意，得2×25x＝40(36－x)．解方程，得x＝16，36－x＝36－16＝20．答：用16張白鐵皮制盒身，20張白鐵皮制盒底，可使盒身與盒底正好配套．【問題】2．甲、乙兩人想共同承包一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做30天完成，乙單獨(dú)做20天完成，合同規(guī)定15天完成，每超過1天罰款1000元，甲、乙兩人商量后簽訂了該合同．（1）正常情況下，甲、乙兩人能按期履行該合同嗎？為什么？（2）現(xiàn)兩人合作完成了這項(xiàng)工程的75%，因別處有急事，必須調(diào)走1人，則調(diào)走誰合適？為什么？【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立解答，小組內(nèi)部交流糾錯(cuò)．【答案】解：（1）能按期履行該合同．理由如下：設(shè)甲、乙兩人合作x天完成，則有x＝1，可得x＝12．因?yàn)?2＜15，所以兩人能按期履行該合同．（2）調(diào)走甲合適．理由如下：由（1）知，兩人合作完成這項(xiàng)工程的75%需要的時(shí)間為12×75%＝9（天）．剩下6天必須由某人單獨(dú)做完余下的工程，故他的工作效率至少為(1－75%)÷6＝．因?yàn)?，所以調(diào)走甲合適．【歸納】列一元一次方程解決工程問題應(yīng)注意：（1）要清楚地表達(dá)出各個(gè)工作者的工作效率．（2）明確各階段工作效率對(duì)應(yīng)的工作時(shí)間．（3）一般有單獨(dú)工作、合作兩種形式，總量一般記為單位“1”．【設(shè)計(jì)意圖】通過解答這兩道題目，檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)本類型題目的掌握程度，讓學(xué)生知道列一元一次方程解決工程問題的三個(gè)注意點(diǎn)，同時(shí)對(duì)配套問題進(jìn)行解后反思，意識(shí)到解決配套問題的關(guān)鍵是找到數(shù)量關(guān)系．類型二、商品銷售問題【問題】3．某商場(chǎng)將某種電器的標(biāo)價(jià)按進(jìn)價(jià)提高40%后，進(jìn)行促銷：“大酬賓，八折優(yōu)惠”，結(jié)果每件電器可獲利270元，請(qǐng)問這種電器每件的進(jìn)價(jià)是多少元？【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立解決問題，教師提問．【答案】解：設(shè)每件電器的進(jìn)價(jià)是x元，按進(jìn)價(jià)提高40%后的價(jià)格是x(1＋40%)元，“大酬賓，八折優(yōu)惠”，是價(jià)格提高后的80%．由題意，得x(1＋40%)×80%－x＝270．解方程，得x＝2250．答：這種電器每件的進(jìn)價(jià)是2250元．【問題】4．某水果店以5元/千克的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批橙子，很快售罄，該店又再次購(gòu)進(jìn)，第二次進(jìn)貨價(jià)格比第一次每千克便宜了2元，兩次一共購(gòu)進(jìn)600千克，且第二次進(jìn)貨的花費(fèi)是第一次進(jìn)貨花費(fèi)的1.2倍．（1）該水果店兩次分別購(gòu)進(jìn)了多少千克的橙子？（2）售賣中，第一批橙子在其進(jìn)價(jià)的基礎(chǔ)上加價(jià)a%進(jìn)行定價(jià)，第二批橙子因?yàn)檫M(jìn)價(jià)便宜，因此以第一批橙子的定價(jià)再打八折進(jìn)行銷售．銷售時(shí)，在第一批橙子中有5%的橙子變質(zhì)不能出售，在第二批橙子中有10%的橙子變質(zhì)不能出售，該水果店售完兩批橙子能獲利2102元，求a的值．【師生活動(dòng)】教師引導(dǎo)學(xué)生分步解答本題，鼓勵(lì)學(xué)生組內(nèi)討論，盡量準(zhǔn)確地找出等量關(guān)系，列出方程．【答案】解：（1）設(shè)第一次購(gòu)進(jìn)橙子x千克，則第二次購(gòu)進(jìn)橙子(600－x)千克．由題意，得1.2×5x＝(5－2)×(600－x)．解方程，得x＝200，所以600－x＝400．答：第一次購(gòu)進(jìn)橙子200千克，第二次購(gòu)進(jìn)橙子400千克．（2）由題意，得5(1＋a%)×200×(1－5%)＋5(1＋a%)×80%×400×(1－10%)－200×5－400×3＝2102．解方程，得a＝80，即a的值為80．【歸納】類型常用概念相關(guān)公式商品銷售問題①成本：進(jìn)價(jià)，即進(jìn)貨價(jià)格；②標(biāo)價(jià)：商品在出售時(shí)標(biāo)明的價(jià)格；③售價(jià)：商品在出售時(shí)的實(shí)際價(jià)格；④利潤(rùn)：商品的售價(jià)高于成本的錢數(shù)；⑤利潤(rùn)率：商品的利潤(rùn)與成本的比值①利潤(rùn)＝售價(jià)－成本（進(jìn)價(jià)）＝成本（進(jìn)價(jià)）×利潤(rùn)率；②利潤(rùn)率＝×100%；③售價(jià)＝成本＋利潤(rùn)＝成本×（1＋利潤(rùn)率）；④商品售價(jià)（打折后）＝商品標(biāo)價(jià)×【設(shè)計(jì)意圖】這兩道題目涉及概念較多，主要讓學(xué)生回顧商品銷售問題中的相關(guān)概念，并對(duì)所涉及公式進(jìn)行鞏固．類型三、比賽積分問題與行程問題【問題】5．某市今年公務(wù)員錄用考試是這樣統(tǒng)計(jì)成績(jī)的：綜合成績(jī)＝筆試成績(jī)×60%＋面試成績(jī)×40%．王小明的筆試成績(jī)是82分，他的競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手的筆試成績(jī)是86分，王小明要使自己的綜合成績(jī)追平競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手，則他的面試成績(jī)必須比競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手多（）．A．2.4分B．4分C．5分D．6分【師生活動(dòng)】學(xué)生分組解決此問題，以組為單位匯報(bào)解答結(jié)果．【答案】D【解析】若王小明要使自己的綜合成績(jī)追平競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手，設(shè)他的面試成績(jī)必須比競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手多x分，由題意，得82×60%＋40%x＝86×60%，解得x＝6．所以王小明要使自己的綜合成績(jī)追平競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手，則他的面試成績(jī)必須比競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手多6分．故選D．【問題】6．一列火車勻速行駛，經(jīng)過一條長(zhǎng)450m的隧道時(shí)，需要20s的時(shí)間，隧道的頂上有一盞燈，垂直向下發(fā)光，燈光照在火車上的時(shí)間是5s．根據(jù)以上數(shù)據(jù)，解答問題：（1）求火車的長(zhǎng)度；（2）求火車完全在隧道里行駛的時(shí)間．【師生活動(dòng)】教師引導(dǎo)學(xué)生設(shè)出未知數(shù)，學(xué)生獨(dú)立列出方程解答．【答案】解：（1）設(shè)火車的長(zhǎng)度為xm．由題意，得．解方程，得x＝150．答：火車的長(zhǎng)度為150m．（2）因?yàn)榛疖嚨乃俣葹椋海?0（m/s），所以火車完全在隧道里行駛的時(shí)間為：＝5（s）．答：火車完全在隧道里行駛的時(shí)間是5s．【歸納】相遇問題中等量關(guān)系的尋找方法（1）從時(shí)間考慮：兩人同時(shí)出發(fā)，相遇時(shí)兩人所用的時(shí)間相等．（2）從路程考慮：沿直線運(yùn)動(dòng)，兩人相向而行，相遇時(shí)兩人所走的路程之和等于全路程．【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生掌握相遇問題中等量關(guān)系的尋找方法，同時(shí)由問題7意識(shí)到，火車是有長(zhǎng)度的，不能單純地看作一個(gè)點(diǎn)．類型四、分段計(jì)費(fèi)問題與方案選擇問題【問題】7．為了鼓勵(lì)節(jié)約用水，某市對(duì)自來水的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)作如下規(guī)定：用水量/m30～18（含）18～40（含）40以上費(fèi)用/（元/m3）2.23.36.6另外：1m3收污水處理費(fèi)1元．（1）9月，小張家用水10m3，交費(fèi)_____元；小趙家用水26m3，交費(fèi)_____元．（2）已知小李家10月份繳水費(fèi)175元，他家10月份用了多少水？【師生活動(dòng)】師生合作，解答問題．【答案】解：（1）10×1＋2.2×10＝32（元），2.2×18＋(26－18)×3.3＋26＝92（元）．故答案為：32；92．（2）設(shè)小李家10月份用水xm3，由題意，得2.2×18＋(40－18)×3.3＋(x－40)×6.6＋x＝175．解方程，得x＝43．答：小李家10月份用水43m3．【問題】8．小商品批發(fā)市場(chǎng)內(nèi)，某商品的價(jià)格按如下優(yōu)惠：購(gòu)買不超過300件時(shí)，每件3元；超過300件但不超過500件時(shí)，每件2.5元；超過500件時(shí)，每件2元．某客戶欲采購(gòu)這種小商品700件．（1）現(xiàn)有兩種購(gòu)買方案：①分兩次購(gòu)買，第一次購(gòu)買240件，第二次購(gòu)買460件；②一次性購(gòu)買700件．問哪種購(gòu)買方案費(fèi)用較?。渴《嗌僭?？說明理由．（2）若該客戶分兩次購(gòu)買該商品共700件（第二次多于第一次），共付費(fèi)1860元，則第一次、第二次分別購(gòu)買該商品多少件？【師生活動(dòng)】教師提問，學(xué)生在不借助計(jì)算的前提下猜測(cè)哪種購(gòu)買方案更省錢．在猜測(cè)的前提下，列方程進(jìn)行驗(yàn)證．【答案】解：（1）購(gòu)買方案②費(fèi)用較省，理由如下：購(gòu)買方案①所需費(fèi)用為：3×240＋2.5×460＝720＋1150＝1870（元）；購(gòu)買方案②所需費(fèi)用為：2×700＝1400（元）．因?yàn)?870＞1400，1870－1400＝470（元）．所以購(gòu)買方案②費(fèi)用較省，省470元．（2）設(shè)第一次購(gòu)買該商品x件，則第二次購(gòu)買該商品（700－x）件．①當(dāng)0＜x＜200時(shí)，3x＋2(700－x)＝1860．解方程，得x＝460（不合題意，舍去）；②當(dāng)200≤x≤300時(shí)，3x＋2.5(700－x)＝1860．解方程，得x＝220，所以700－x＝700－220＝480．③當(dāng)300＜x＜350時(shí)，2.5x＋2.5(700－x)＝1750≠1860，該情況不存在．答：第一次購(gòu)買該商品220件，第二次購(gòu)買該商品480件．【設(shè)計(jì)意圖】此處設(shè)置方案選擇題目，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)該種題型，并掌握解答這種題目的方法，知道在解題過程中，一定要把實(shí)際問題抽象成一元一次方程，利用解方程獲得最終答案．類型五、數(shù)字問題和年齡問題【問題】9．若一個(gè)三位數(shù)的十位數(shù)字是個(gè)位數(shù)字的2倍，我們稱這個(gè)三位數(shù)為“倍尾數(shù)”，如521．已知一個(gè)“倍尾數(shù)”的百位數(shù)字比十位數(shù)字大1，其各位數(shù)字之和是16，求這個(gè)“倍尾數(shù)”．【師生活動(dòng)】學(xué)生設(shè)出未知數(shù)，列出方程，教師巡視．【答案】由題意，得(2x＋1)＋2x＋x＝16．解方程，得x＝3．所以2x＝6，2x＋1＝7．即這個(gè)“倍尾數(shù)”是763．答：這個(gè)“倍尾數(shù)”是763．【問題】10．小明問老師的年齡，老師說：“我們兩人現(xiàn)在的年齡和為50歲，5年后，我的年齡比你的年齡的2倍還大3歲．”小明聽后說：“老師，我知道自己的年齡，也就知道了您的年齡．”同學(xué)們，你們知道老師今年年齡是多少嗎？【師生活動(dòng)】學(xué)生解答完此題后，教師再以自己的年齡舉例，讓學(xué)生求解．【答案】解：設(shè)老師今年的年齡為x歲，則小明的年齡為(50－x)歲．根據(jù)題意，得x＋5＝2(50－x＋5)＋3．解方程，得x＝36．答：老師今年的年齡為36歲．【歸納】數(shù)字問題設(shè)未知數(shù)的技巧：在數(shù)字問題中，一般直接設(shè)未知數(shù)不易列出方程，可以采用間接設(shè)法，即設(shè)某個(gè)數(shù)位上的數(shù)字為未知數(shù)，并用它表示出其他數(shù)位上的數(shù)字，求解后再確定要求的具體數(shù)字．【設(shè)計(jì)意圖】此處數(shù)字問題主要是考查學(xué)生設(shè)未知數(shù)的能力，要求學(xué)生能掌握間接設(shè)法，即由某一位來表示其余數(shù)位；年齡問題更加貼合實(shí)際，進(jìn)一步鞏固學(xué)生列方程解決問題的能力．類型六、調(diào)配問題和圖形問題【問題】11．某工廠有甲、乙兩車間各生產(chǎn)不同型號(hào)的產(chǎn)品，原計(jì)劃乙車間人數(shù)比甲車間少100人，產(chǎn)品上市后，甲車間的產(chǎn)品成為爆款，于是又從乙車間調(diào)50人支援甲車間，這時(shí)甲車間的人數(shù)是乙車間剩余人數(shù)的3倍，求原來甲、乙車間各有多少人．【師生活動(dòng)】學(xué)生列出方程并解答，組內(nèi)交流糾錯(cuò)．【答案】解：設(shè)乙車間原有x人，則甲車間原有(x＋100)人．由題意，得x＋100＋50＝3(x－50)．解方程，得x＝150．故甲車間原有人數(shù)為：150＋100＝250．答：乙車間原有150人，甲車間原有250人．【歸納】類型特點(diǎn)等量關(guān)系調(diào)配問題從甲處調(diào)一些人（或物）到乙處，使之符合一定數(shù)量關(guān)系，或從第三方調(diào)入一些人（或物）到甲、乙兩處，使之符合一定數(shù)量關(guān)系甲數(shù)＋乙數(shù)＝總數(shù)；甲調(diào)人數(shù)＋乙調(diào)人數(shù)＝總調(diào)人數(shù)【問題】12．如圖，寬為50cm的長(zhǎng)方形圖案由10個(gè)相同的小長(zhǎng)方形拼成，求其中一個(gè)小長(zhǎng)方形的面積．【師生活動(dòng)】教師引導(dǎo)學(xué)生分析圖形，找出邊長(zhǎng)之間的等量關(guān)系，列出方程．【答案】解：設(shè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為xcm，則寬為(50－x)cm．由題意，得2x＝x＋4(50－x)．解方程，得x＝40，所以50－x＝10．所以一個(gè)小長(zhǎng)方形的面積為：10×40＝400（cm2）．答：其中一個(gè)小長(zhǎng)方形的面積為400cm2．類型七、古代數(shù)學(xué)問題中的一元一次方程【問題】13．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：隔墻聽得客分銀，不知人數(shù)不知銀，七兩分之多四兩，九兩分之少半斤，問：人數(shù)多少？銀子幾何？意思是：有若干客人分銀若干兩，如果每人分7兩，還多4兩；如果每人分9兩，還差8兩．問：有幾位客人，幾兩銀子？（注：題中斤、兩為舊制，1斤＝16兩）【師生活動(dòng)】教師引導(dǎo)學(xué)生讀題，理解題意，找出等量關(guān)系．【答案】解：設(shè)有x位客人．由題意，得7x＋4＝9x－8．解方程，得x＝6，7x＋4＝42＋4＝46．答：有6位客人，46兩銀子．【問題】14．我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有下列問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺．問日織幾何？”其意思為：今有一女子很會(huì)織布，每日加倍增長(zhǎng)，5日共織布5尺．問第一天織多少布？【師生活動(dòng)】學(xué)