海南省?？谑?024-2025學年高二年級上冊數(shù)學期中考試預測卷（含答案）

海南省海口市2024-2025年高二數(shù)學期中考試預測卷

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.向量）=（12x7,2,4）,1（2,1-2/8）,若〃〃兀則（）

2.直線8x-y+4=0的傾斜角量（）

A.60。B.120°c,150°D,30。

3.經(jīng)過42,-3）,3（-1,⑼兩點的直線的一個方向向量為（1,-3）,則旭=（）

A.3B.4C.5D.6

4.已知直線/的傾斜角為120°,在V軸上的截距是3,則直線/的方程為（）

Ay=V3x+3By=-3y=—>/3x+3py=-3

5.已知圓°的方程是x2+V+4x-2”ll=0,則圓心c的坐標是（）

A.HDB.。,-1）C.（"ZD.（4廠2）

6.直線L辦7+2025=0,￡（3"2）x+ay-2a=0,若則實數(shù)。的值為

（）

A.0B.1C.0或1D.§或1

7.已知點“（2,3），B（-3,2）,若直線ax+N+l=°與線段力B相交，則.的取值范圍是

（）

A口，2]B.（-8,-1）。[2,+8）

C卜2,1）D（-co,-2]u[l,+co）

8..已知點P（xj）為直線/辦+夕+4=0上的動點，過尸點作圓C：/+3-1）2=1的切線尸力，

PB,切點為4巴則APNB周長的最小值為（)

4+警B.5+石C.4+^5D.4+2V5

A.

二、多選題

9.已知平面々與平面廣平行，若云=（2,一4,8）是平面廣的一個法向量，則平面a的法向量

可能為（）.

A1（-1,2,-4）B.（-I,2/）c.。，4,-8）D（-2,4,-8）

10.下列說法一定正確的是（）

A.過點（°，》的直線方程為了=息+1

B.直線xsin&_ycose+l=0的傾斜角為a

C.若g>0,6c<0,則直線ax+力+c=°不經(jīng)過第三象限

D.過（X"%）,（*2，8）兩點的直線方程為&_乂）卜2_*）=（》_%）（％一乂）

11.已知實數(shù)三〉滿足方程（、-2）2+。-1）2=1,則下列說法正確的是（）

V222

A.直線了=龍被圓截得的弦長為亍B./+/的最大值石+1

y1

C.X的最大值為§D.V+X的最大值為3+收

三、填空題

12.直線6》+8k2=0與3x+4k3=0間的距離為

巫

13.若直線4皿7+1=°與直線/2：6x-2y-〃=0平行，且4與4間的距離為〒，則

m—n=

14.在棱長為2的正方體"BCD-44G2中，點瓦/分別為棱月的中點.點P為正

方體表面上的動點，滿足其尸,匹.給出下列四個結論：

①線段吊尸長度的最大值為2g；

②存在點尸，使得DP〃EF；

③存在點尸，使得用尸=OP；

④A￡P尸是等腰三角形.

其中，所有正確結論的序號是.

四、解答題

15.根據(jù)下列條件，分別求出直線的一般式方程：

⑴經(jīng)過點/(2H),平行于直線/：3x-y+l=0；

(2)傾斜角是135。，截距是4；

(3)經(jīng)過點“(2,4),點B(T，1)；

(4)經(jīng)過點/(28)，且在兩坐標軸上截距的和為5.

16.直線/的方程為(”+1)X7-3"1=0,FLER

(1)若直線/在兩坐標軸上的截距相等，求’的方程；

⑵若直線/分別交x軸、了軸的正半軸于點4巴點。是坐標原點.

(i)若的面積為16,求a的值；

(ii)當△/OB的面積最小時，求直線/的方程.

17.如圖所示，在棱長為1的正方體中，點E是棱43上的動點.

⑴求證：DA'1ED';

AE1

⑵當萬一5時，求直線￡%與平面CE'成角的大小.

18.已知圓°的圓心在直線7上，且過點/(3，°),2(2,T)

⑴求圓C的方程；

⑵若直線/：4x-3y+9=°與圓c交于￡、尸兩點，求線段環(huán)的長度.

19.在《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬，將

四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉席.如圖，已知陽馬尸一428中，側棱尸。，底面

4BCD；且PD=CD,在尸4尸昆尸C的中點中選擇一個記為點后，使得四面體E-8C〃為

(1)確定點E的位置，并證明四面體￡-88為鱉腌；

(2)若底面/BCD是邊長為1的正方形，求平面尸4g與平面夾角的余弦值.

參考答案:

題號12345678910

答案CADCACDAADCD

題號11

答案CD

1.C

【知識點】由向量共線（平行）求參數(shù)

【分析】根據(jù)向量共線關系建立等式12x7=2"2=2（1-2J）；4=8A,即可求解.

【詳解】因為"〃人所以

由題意可得1=（1212,4）=4（2,1-2%8）,

所以，則12x7=2"2=4（1-2y）,4=82,

,113

/L=—X=—V=----

則2,6,2.

故選：C.

2.A

【知識點】直線的傾斜角、直線的一般式方程及辨析

【分析】先根據(jù)直線方程求出直線的斜率，再得出直線的傾斜角.

【詳解】直線國一》+4=°的斜率為又傾斜角的范圍在。°?180。之間，

所以直線6x7+4=。的傾斜角是60。.

故選：A.

3.D

【知識點】直線方向向量的概念及辨析

【分析】根據(jù)直線方向向量的定義即可求解.

m+3_-3

【詳解】由條件可得T-2-1,解得機=6.

故選：D.

4.C

【知識點】直線的斜截式方程及辨析

【分析】根據(jù)傾斜角求出直線斜率，然后用斜截式方程即可得解.

【詳解】因為直線/的傾斜角為120°,所以直線/的斜率為左=tan120。=-g.

又直線i在y軸上的截距是3，代入截距式方程得了=+3.

故選：C

5.A

【知識點】由標準方程確定圓心和半徑、圓的一般方程與標準方程之間的互化

【分析】把圓的一般方程化為標準方程，可得圓心坐標.

【詳解】圓C的方程可化為（x+2）2+（yT）2=16,圓心。的坐標是

故選：A.

6.C

【知識點】已知直線垂直求參數(shù)

【分析】根據(jù)兩直線垂直的公式44+4&=°求解即可.

【詳解】因為勺*7+2025=0,￡（3"2）x+即-2tz=0垂直，

所以。（3"2）+（-1州=0,

解得"0或"1,

將。=0,。=1代入方程，均滿足題意，

所以當。=0或。=1時，LM.

故選：c.

7.D

【知識點】直線與線段的相交關系求斜率范圍

【分析】由已知可得直線°x+N+l=°過定點P（°，T）,求得如8,kpA,數(shù)形結合可求a的取

值范圍.

【詳解】由直線方程以+>1=°,可知直線以+>1=°過定點尸（°，T）,

作出示意圖如圖所示：直線"+y+l=°與線段N8相交,

則可得一"W噎=T或-。2%=2,解得a4一2或a21,

所以〃的取值范圍是（-°°_2]U[l,+s）.

故選：D.

8.A

【知識點】切線長、直線與圓的位置關系求距離的最值

【分析】先求出圓心到直線的距離，確定動點尸到圓心°的最短距離，從而得出切線長

尸4必，進而求出AP/2的周長表達式，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求出最小值.

【詳解】設圓心C（°」）到直線"+>+4=°的動點P?V）的距離為尸C,

|葉

根據(jù)點到直線距離公式,

所以|尸/|=|尸同=廠1（其中"I尸C|N行）.

因為"，必是圓C的切線,

2

H=K|-1；即回=-I

又因為AP/C是直角三角形,由勾股定理可得

“P4B的周長為PA+\PB\+\AB\

因為是圓C的弦，且AP/C和△PBC全等，所以=

AB\

SP.c=-\pAxr=-|PC|x

根據(jù)三角形面積公式，“21211F（其中〃是圓的半徑）,

\AB\_4F-[

可得2-t，所以

2=2+2、2病

則AP/B的周長tVt

2」

因為>=2廠1與'V產(chǎn)均在[右，+s）上單調(diào)遞增,

2小巫=4+在

所以當》=逐時，周長取得最小值.最小值為逐5.

故選：A.

9.AD

【知識點】平面法向量的概念及辨析、空間向量共線的判定

【分析】由已知可得平面a的法向量與向量為=（2廠48）共線且為非零向量，結合共線向量

關系可得結論.

【詳解】設平面。的法向量為病，

因為平面口與平面〃平行，萬=（2廠4,8）是平面〃的一個法向量，

所以送/不，且加

所以平面a的法向量可能為（T2，f,（一2,4,-8）,

故選：AD.

10.CD

【知識點】直線的傾斜角、直線的點斜式方程及辨析、直線兩點式方程及辨析、直線截距

式方程及辨析

【分析】舉反例排除AB,將直線方程化為斜截式，結合其斜率與截距判斷C,利用直線的

兩點式判斷D,從而得解.

【詳解】對于A,當過點（°，1）的直線斜率不存在時，其方程為x=0,故A錯誤；

對于B,因為直線的傾斜角范圍為口兀），

c兀

a—27iH—

顯然當3時，不滿足題意，故B錯誤；

Q八0八

——<0,——>0

對于C,因為浦>0,6c<0,所以6b,

ac

v=—JC—

而直線G+力+c=°可化為bb,即其斜率小于o,>軸上的截距大于0,

所以直線"+如+。=°不經(jīng)過第三象限，故C正確；

對于D,過（％匕），（*2，/2）兩點的直線方程為&一乂）62-為）=G-%）（％-乂），

滿足過兩點的直線方程的要求，故D正確.

故選：CD.

11.CD

【知識點】由直線與圓的位置關系求參數(shù)、圓的弦長與中點弦

22

【分析】根據(jù)題意，利用點到直線的距離公式、兩點之間的距離公式計算，將X+V表示

y

為圓上的點到原點的距離的平方，X、X+V分別表示直線'=依、x+V=°與圓有公共點,

結合直線與圓的位置關系計算依次判斷選項，即可求解.

【詳解】A：實數(shù)滿足方程（x-2y+3-1）:1,

所以把G，X）看作是以（2，1）為圓心，以1為半徑的圓上點，

d=IM=V1

由點到直線的距離公式得圓心到直線V=x的距離2

于是弦長2萬二廬=四,故A錯誤;

B：原點到圓心的距離為"=石，所以圓上的點到原點的距離的范圍為[石一1'囪+1]

所以df+y?<V5+1,gpx2+j；2<6+2A/5,

所以,+r的最大值為6+2后，故B錯誤.

''<1

c：令廣s,則直線與圓有公共點，所以,正+1

4y4

0<k<-上=左

解得3,所以x的最大值為3.故C正確;

|2+l-a|

<1

D：令x+>=°,則直線與圓有公共點，所以6

解得3-亞W“V3+行，所以x+V的最大值為3+板.故D正確.

故選：CD.

2

12.5/0.4

【知識點】求平行線間的距離

【分析】根據(jù)平行直線間的距離公式計算即可.

【詳解】將直線直線6x+8>-2=°化為3x+4y-l=°,

?二（咒-2

所以兩直線的距離

2

故答案為：5.

13.15或一5

【知識點】已知直線平行求參數(shù)、求平行線間的距離

【分析】先由“4求出機，接著由兩條平行線的距離公式可求出〃，進而得解.

mx（-2）-（-l）x6=0

<

【詳解】由題可知所以〔Tx（f）Tx（一2）*°,解得加=3且"-2,

所以4：3x—+l=O,可表示為弘一了一萬一。，

1n

i+2_VW

則/"2間的距離為出?12,解得〃=-12或8,

所以比-〃=15或-5.

故答案為：15或3.

14.①③④

【知識點】空間位置關系的向量證明、空間線段點的存在性問題、空間向量垂直的坐標表

示

【分析】建立空間直角坐標系，利用坐標驗證垂直判斷①，找出平行直線再由坐標判斷是

否垂直可判斷B,設點的坐標根據(jù)條件列出方程組②，探求是否存在符合條件的解判斷

③④

【詳解】如圖，建立空間直角坐標系，

則4（2,0,2）,E（1,0,0）,F（2,2,l）,C（0,2,0）,。（0,0,0）,耳（2,2,2）,

對①，由正方體性質(zhì)知當尸在C時，線段4尸長度的最大值為26,

此時乖=(-2,2,-2),而=(1,2,1),布.而=-2+4-2=0

所以即滿足4尸,跖，故①正確；

對②，取正方形88。。的中心連接易知MF〃DE,MF=DE,

所以四邊形。MFE為平行四邊形，所以DM//EF,故尸運動到M處時，DPI/EF,

此時尸(1,2,1),不=(一1,2,一1),乖而=-1+4-1=2叫即不滿足4-斯，

綜上不存在點P,使得DP/但尸,故②錯誤；

對③，設尸(W，則乖=(x-2,y,z-2),而=(1,2,1),若存在，

x—2+2y+z—2=0

由4P尸，4P工EF可得方程組[-2)2+(y-2)2+(z-2)2=4+/+\

[x+2)+z=4

化簡可得b+y+z=3,解得x+z=2,y=lt

顯然當苫=0/=2/=1時滿足題意，

即存在點尸，使得用尸=°尸，故③正確；

對④,設尸(x，％z),若PE=PF,

貝!j+/+z2=^(x-2)+(^-2)+(z-l),化簡可得x+2y+z=4,

由③知4尸,訪時可得》+2了+2=4,所以不妨取x=0,y=l,z=2,

此時P(°，l，2)在正方體表面上，滿足題意，故④正確.

故答案為：①③④

【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵之處在于建立空間直角坐標系，利用坐標運算建立方程,

探求是否存在滿足條件的點，運算比較復雜，屬于難題.

15.⑴3x——=0

(2)%+>-4=0

(3)%-V+2=0

(4)3x+2y-6=0

【知識點】直線兩點式方程及辨析、直線截距式方程及辨析、直線一般式方程與其他形式

之間的互化、由兩條直線平行求方程

【分析】(1)由直線平行可知斜率相等，結合點坐標寫出直線點斜式方程，化為一般式；

（2）截距為4分為在x軸上截距為4和在V軸上的截距為4,根據(jù)條件寫出直線方程；

（3）寫出直線的兩點式方程，化為一般式；

（4）分析直線在x軸、》軸上的截距，寫出直線的截距式方程，化為一般式.

【詳解】⑴由題可知，所求直線斜率為3,故方程為W4=3（X-2）,整理得3x-”2=0

（2）由直線傾斜角是135。得直線斜率為T,

當直線在x上截距是4,即過點（4，°）時，直線方程為^=-0-4）,整理得x+y-4=0,

當直線在歹上截距是4時，直線方程為＞=-x+4,整理得x+y-4=0,

綜上得，直線方程為x+y-4=°.

y-4_x-2

（3）由條件得直線的兩點式方程為：1-4~-1-2,整理得x-y+2=0.

（4）由題意得，直線在x軸上的截距為2,故在》軸上的截距為3,

宰=1

所以直線的截距式方程為23,整理得3x+2y-6=0

16.⑴x+"5=0或2x-3y=0.

a1-1----

（2）（i）。=-3或9（ii）2x+3y-12=0.

【知識點】基本不等式求和的最小值、直線的一般式方程及辨析

【分析】（1）根據(jù)直線截距的概念，分別令》=°,N=°列式求解即可；

S.（3a+.

（2）分別求出直線在x軸、V軸的截距，代入三角形面積公式可得2（a+l）,直接解

一元二次方程求解（i）,換元令一（"+1）=’，結合基本不等式判斷（ii）即可求解.

【詳解】（1）當。+1=0即。=-1時，直線/的方程為＞=2,不滿足題意；

JQ--3-a--+--1

當a+]w0,即awT時，令x=0得了=_3q_l,令y=0,得一a+l,

3（2+11

------=—3a-1a=——

由截距相等得。+1，解得〃=-2或3,

a=—1

當。=-2時，直線/的方程為x+y-5=0,當3,直線/的方程為2x-3y=0,

故綜上所述，所求直線/的方程為x+V-5=0或2x-3y=0.

3a+l

（2）由題意知，a+lwO,-3"lw0,且/在x軸，、軸上的截距分別為KT,

-3a-1

3a+1八

------->0

<a+\

所以〔-3"l>0,解得"T,

S=1產(chǎn)+［（3a1）=（30+l）2

所以ZUOB的面積2（a+lJ2（a+l）

一竽4=16fl__U

（i）由題意知，化簡得9/+38a+ll=0,解得。=-3或9,均滿足條

件,

_11

所以4=-3或0-9.

（34+1）2/

S=-S^（"T）

/..、2（a+l）v令一（°+1）=’，則”0,且。=一17,

（nJ、7

__5

9z-i「2

當且僅當f,即3,“-I時，”0B的面積取最小值12,

此時直線的方程為2》+3了-12=0.

17.（1）證明見解析；

（2）2；

【知識點】線面垂直證明線線垂直、線面角的向量求法

【分析】（1）連接“2,通過證明DA'1平面AED',則可證明DA'1ED'.

AE

（2）建立空間直角坐標系，根據(jù)的值，計算平面CE"的法向量，結合點到面的距離

公式即可得出答案.

【詳解】（1）如圖所示：連接

因為N8JL平面u平面所以48J_Z)4,所以

又因為四邊形4°A4為正方形，所以42工04,

且AEnAD{=AADX,AEu平面/

所以平面"即，Su平面NE2,所以。4，叫

小0,1,0)

(2)以。為原點，建立如圖空間直角坐標系如圖所示：I2)

設平面一個法向量為日=?%Z),

又D(0,0,0),4(1,0,l),C(0,l,0),Dt(0,0,1),

西=(1,0,1),而=O,西=(O,T,l)

所以I2J,

CE-n=0x——y=0

<______,一，j2

因為修.〃一0［一…,所以取x=l,所以法向量五=。22)

1+2V2

V2.3-2

所以所以向量夾角為45°,所以線面夾角為45。.

18.⑴（x-l）2+（yT）2=5

⑵2.

【知識點】由圓心（或半徑）求圓的方程、圓的弦長與中點弦、求點到直線的距離

【分析】（1）因為圓心在直線〉=x上，設C（a,a）,根據(jù)|/0|=|8口="即可求得圓心和

半徑；

（2）利用垂徑定理可得線段跖的長.

【詳解】（1）設圓心為°（出”），因為圓過點43，°）,8（2「1）,則

^/（a-3）2+a~=J（a-2）2+（a+l）",解得：a=],

則半徑r=/C=J（l-3）2+12=。,

則圓c