2025屆湖南省株洲市茶陵縣第二中學(xué)高考?jí)狠S卷數(shù)學(xué)試卷含解析

2025屆湖南省株洲市茶陵縣第二中學(xué)高考?jí)狠S卷數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，集合，則等于（）A． B．C． D．2．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢． B．C． D．3．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，若動(dòng)點(diǎn)滿足，則的取值范圍是（）A． B．C． D．4．設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A． B． C．1 D．5．若函數(shù)在時(shí)取得最小值，則（）A． B． C． D．6．設(shè)，，是非零向量.若，則（）A． B． C． D．7．已知雙曲線（，）的左、右頂點(diǎn)分別為，，虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，，若四邊形的內(nèi)切圓面積為，則雙曲線焦距的最小值為（）A．8 B．16 C． D．8．已知點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若，則的面積為（）A． B． C． D．9．雙曲線的一條漸近線方程為，那么它的離心率為（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸為，將函數(shù)的圖象向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)圖象，則函數(shù)的解析式為（）A． B．C． D．11．已知不等式組表示的平面區(qū)域的面積為9，若點(diǎn)，則的最大值為（）A．3 B．6 C．9 D．1212．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且周期為，當(dāng)時(shí)，，則的值為___________________．14．已知正方形邊長(zhǎng)為，空間中的動(dòng)點(diǎn)滿足，，則三棱錐體積的最大值是______.15．設(shè)函數(shù)，則______.16．已知平面向量與的夾角為，，，則________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線與曲線相交于兩點(diǎn)，的頂點(diǎn)也在曲線上運(yùn)動(dòng)，求面積的最大值.18．（12分）已知.（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若時(shí)不等式成立，求的取值范圍.19．（12分）如圖，在四棱錐中，是等邊三角形，，，.（1）若，求證：平面；（2）若，求二面角的正弦值．20．（12分）已知，函數(shù)的最小值為1．（1）證明：．（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值．21．（12分）如圖，在四棱錐中底面是菱形，，是邊長(zhǎng)為的正三角形，，為線段的中點(diǎn)．求證：平面平面；是否存在滿足的點(diǎn)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．22．（10分）已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，．（1）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，求的值；（2）若，問函數(shù)有無極值點(diǎn)？若有，請(qǐng)求出極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；若沒有，請(qǐng)說明理由．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

求出中不等式的解集確定出集合，之后求得.【詳解】由，所以，故選：B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)集合的運(yùn)算的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有一元二次不等式的解法，集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題目.2、A【解析】試題分析：由題意，得，解得，故選A．考點(diǎn)：函數(shù)的定義域．3、D【解析】

設(shè)出的坐標(biāo)為，依據(jù)題目條件，求出點(diǎn)的軌跡方程，寫出點(diǎn)的參數(shù)方程，則，根據(jù)余弦函數(shù)自身的范圍，可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則∵，∴∴∴為點(diǎn)的軌跡方程∴點(diǎn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)）則由向量的坐標(biāo)表達(dá)式有：又∵∴故選：D【點(diǎn)睛】考查學(xué)生依據(jù)條件求解各種軌跡方程的能力，熟練掌握代數(shù)式轉(zhuǎn)換，能夠利用三角換元的思想處理軌跡中的向量乘積，屬于中檔題.求解軌跡方程的方法有：①直接法；②定義法；③相關(guān)點(diǎn)法；④參數(shù)法；⑤待定系數(shù)法4、A【解析】

由降冪公式，兩角和的正弦公式化函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，然后由正弦函數(shù)性質(zhì)求得參數(shù)值．【詳解】，時(shí)，，，∴，由題意，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查二倍角公式，考查兩角和的正弦公式，考查正弦函數(shù)性質(zhì)，掌握正弦函數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．5、D【解析】

利用輔助角公式化簡(jiǎn)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的最值，求得在函數(shù)取得最小值時(shí)的值．【詳解】解：，其中，，，故當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取最小值，所以，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查輔助角公式，正弦函數(shù)的最值的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．6、D【解析】試題分析：由題意得：若，則；若，則由可知，，故也成立，故選D.考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積.【思路點(diǎn)睛】幾何圖形中向量的數(shù)量積問題是近幾年高考的又一熱點(diǎn)，作為一類既能考查向量的線性運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積及平面幾何知識(shí)，又能考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力及轉(zhuǎn)化與化歸能力的問題，實(shí)有其合理之處.解決此類問題的常用方法是：①利用已知條件，結(jié)合平面幾何知識(shí)及向量數(shù)量積的基本概念直接求解(較易)；②將條件通過向量的線性運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再利用①求解(較難)；③建系，借助向量的坐標(biāo)運(yùn)算，此法對(duì)解含垂直關(guān)系的問題往往有很好效果.7、D【解析】

根據(jù)題意畫出幾何關(guān)系，由四邊形的內(nèi)切圓面積求得半徑，結(jié)合四邊形面積關(guān)系求得與等量關(guān)系，再根據(jù)基本不等式求得的取值范圍，即可確定雙曲線焦距的最小值.【詳解】根據(jù)題意，畫出幾何關(guān)系如下圖所示：設(shè)四邊形的內(nèi)切圓半徑為，雙曲線半焦距為，則所以，四邊形的內(nèi)切圓面積為，則，解得，則，即故由基本不等式可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故焦距的最小值為.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的定義及其性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，圓錐曲線與基本不等式綜合應(yīng)用，屬于中檔題.8、D【解析】

設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為，連接，由對(duì)稱性可知四邊形是平行四邊形，設(shè)，得，求出的值，即得解.【詳解】設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為，連接，由對(duì)稱性可知四邊形是平行四邊形，所以，.設(shè)，則，又.故，所以.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查余弦定理解三角形和三角形面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.9、D【解析】

根據(jù)雙曲線的一條漸近線方程為，列出方程，求出的值即可.【詳解】∵雙曲線的一條漸近線方程為，可得，∴，∴雙曲線的離心率.故選：D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線離心率的求法，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

根據(jù)輔助角公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式，結(jié)合為函數(shù)的一條對(duì)稱軸可求得，代入輔助角公式得的解析式.根據(jù)三角函數(shù)圖像平移變換，即可求得函數(shù)的解析式.【詳解】函數(shù)，由輔助角公式化簡(jiǎn)可得，因?yàn)闉楹瘮?shù)圖象的一條對(duì)稱軸，代入可得，即，化簡(jiǎn)可解得，即，所以將函數(shù)的圖象向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度可得，則，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了輔助角化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的應(yīng)用，三角函數(shù)對(duì)稱軸的應(yīng)用，三角函數(shù)圖像平移變換的應(yīng)用，屬于中檔題.11、C【解析】

分析：先畫出滿足約束條件對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用平面區(qū)域的面積為9求出，然后分析平面區(qū)域多邊形的各個(gè)頂點(diǎn)，即求出邊界線的交點(diǎn)坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)求得最大值.詳解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖所示：則，所以平面區(qū)域的面積，解得，此時(shí)，由圖可得當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，取得最大值9，故選C.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)線性規(guī)劃的問題，在求解的過程中，首先需要正確畫出約束條件對(duì)應(yīng)的可行域，之后根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的形式，判斷z的幾何意義，之后畫出一條直線，上下平移，判斷哪個(gè)點(diǎn)是最優(yōu)解，從而聯(lián)立方程組，求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入求值，要明確目標(biāo)函數(shù)的形式大體上有三種：斜率型、截距型、距離型；根據(jù)不同的形式，應(yīng)用相應(yīng)的方法求解.12、A【解析】

首先求得時(shí)，的取值范圍.然后求得時(shí)，的單調(diào)性和零點(diǎn)，令，根據(jù)“時(shí)，的取值范圍”得到，利用零點(diǎn)存在性定理，求得函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間.【詳解】當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，且，則是唯一零點(diǎn).由于“當(dāng)時(shí)，.”，所以令，得，因?yàn)?，，所以函?shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì)，考查符合函數(shù)零點(diǎn)，考查零點(diǎn)存在性定理，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由題意可得：，周期為，可得，可求出，最后再求的值即可.【詳解】解：函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，.由周期為，可知，，..故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

以為原點(diǎn)，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，根據(jù)題中條件得出，進(jìn)而可求出的最大值，由此能求出三棱錐體積的最大值.【詳解】以為原點(diǎn)，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)點(diǎn)，空間中的動(dòng)點(diǎn)滿足，，所以，整理得，，當(dāng)，時(shí)，取最大值，所以，三棱錐的體積為.因此，三棱錐體積的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐體積的最大值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．15、【解析】

由自變量所在定義域范圍，代入對(duì)應(yīng)解析式，再由對(duì)數(shù)加減法運(yùn)算法則與對(duì)數(shù)恒等式關(guān)系分別求值再相加，即為答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，則因?yàn)?，則故故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)求值，屬于簡(jiǎn)單題.16、【解析】

根據(jù)已知求出，利用向量的運(yùn)算律，求出即可.【詳解】由可得，則，所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查向量的模、向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）：，：；（2）【解析】

（1）由直線參數(shù)方程消去參數(shù)即可得直線的普通方程，根據(jù)極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程互化的公式即可得曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）由即可得的底，由點(diǎn)到直線的距離的最大值為即可得高的最大值，即可得解.【詳解】（1）由消去參數(shù)得直線的普通方程為，由得，曲線的直角坐標(biāo)方程為；（2）曲線即，圓心到直線的距離，所以，又點(diǎn)到直線的距離的最大值為，所以面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化，考查了直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.18、（1）；（2）【解析】分析：(1)將代入函數(shù)解析式，求得，利用零點(diǎn)分段將解析式化為，然后利用分段函數(shù)，分情況討論求得不等式的解集為；(2)根據(jù)題中所給的，其中一個(gè)絕對(duì)值符號(hào)可以去掉，不等式可以化為時(shí)，分情況討論即可求得結(jié)果.詳解：（1）當(dāng)時(shí)，，即故不等式的解集為．（2）當(dāng)時(shí)成立等價(jià)于當(dāng)時(shí)成立．若，則當(dāng)時(shí)；若，的解集為，所以，故．綜上，的取值范圍為．點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)絕對(duì)值不等式的解法，以及含參的絕對(duì)值的式子在某個(gè)區(qū)間上恒成立求參數(shù)的取值范圍的問題，在解題的過程中，需要會(huì)用零點(diǎn)分段法將其化為分段函數(shù)，從而將不等式轉(zhuǎn)化為多個(gè)不等式組來解決，關(guān)于第二問求參數(shù)的取值范圍時(shí)，可以應(yīng)用題中所給的自變量的范圍，去掉一個(gè)絕對(duì)值符號(hào)，之后進(jìn)行分類討論，求得結(jié)果.19、（1）詳見解析（2）【解析】

（1）如圖，作，交于，連接.因?yàn)?，所以是的三等分點(diǎn)，可得.因?yàn)?，，，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?又，平面，平面，所以平面.因?yàn)椋?、平面，所以平面平面，所以平?（2）因?yàn)槭堑冗吶切?，，所?又因?yàn)椋?，所以，所?又，平面，，所以平面.因?yàn)槠矫?，所以平面平?在平面內(nèi)作平面.以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，，，.設(shè)為平面的法向量，則，即，令，可得.設(shè)為平面的法向量，則，即，令，可得.所以，則，所以二面角的正弦值為.20、（1）2；（2）【解析】分析：（1）將轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，求函數(shù)的最小值（2）分離參數(shù)，利用基本不等式證明即可．詳解：（Ⅰ）證明：，顯然在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，即．（Ⅱ）因?yàn)楹愠闪?，所以恒成立，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以，即實(shí)數(shù)的最大值為．點(diǎn)睛：本題主要考查含兩個(gè)絕對(duì)值的函數(shù)的最值和不等式的應(yīng)用，第二問恒成立問題分離參數(shù)，利用基本不等式求解很關(guān)鍵，屬于中檔題．21、證明見解析；2.【解析】

利用面面垂直的判定定理證明即可；由，知，所以可得出，因此，的充要條件是，繼而得出的值.【詳解】解：證明：因?yàn)槭钦切?，為線段的中點(diǎn)，所以．因?yàn)槭橇庑?，所以．因?yàn)?，所以是正三角形，所以，而，所以平面．又，所以平面．因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?，知．所以，，．因此，的充要條件是，所以，．即存在滿足的點(diǎn)，使得，此時(shí)．【點(diǎn)睛】本題主要考查平面與平面垂直的判定、三棱錐的體積等基礎(chǔ)知識(shí)；考查空間想象能力、