導數(shù)的概念、運算及幾何意義（9題型分類）-2025年高考數(shù)學一輪復習

專題11導數(shù)的概念、運算及幾何意義9題型分類

彩題如工總

題型1:導數(shù)的定義

彩先我寶庫

一、導數(shù)的概念和幾何性質

1.概念

函數(shù)"X)在X=X。處瞬時變化率是lim學=lim,我們稱它為函數(shù)y=f(x)在x=%處的導

-0Ax-Ax

數(shù)，記作/(%)或y'1,.

注：①增量Ax可以是正數(shù)，也可以是負，但是不可以等于o.Axf0的意義：Ax與0之間距離要多近有

多近，即|Ax-01可以小于給定的任意小的正數(shù);

②當8-0時，在變化中都趨于0,但它們的比值卻趨于一個確定的常數(shù)，即存在一個常數(shù)與

/(%+Ax)-/(%o)

Ay無限接近;

AxAx

③導數(shù)的本質就是函數(shù)的平均變化率在某點處的極限，即瞬時變化率.如瞬時速度即是位移在這一時刻的

瞬間變化率，即/'(%)=lim學=lim八%+4―.

2.幾何意義

函數(shù)y=在x=/處的導數(shù)f'(x0)的幾何意義即為函數(shù)y=f(x)在點p(x0,%)處的切線的斜率.

3.物理意義

函數(shù)S=s⑺在點務處的導數(shù)Sa）是物體在t0時刻的瞬時速度V,即v=s&）；v=v（?）在點的導數(shù)M4）是物

體在（0時亥1J的瞬時加速度a,即a=M（r。）.

二、導數(shù)的運算

1.求導的基本公式

基本初等函數(shù)導函數(shù)

/(x)=c(C為常數(shù))八尤）=。

/(x)=x"(〃￡Q)f'(x)=axa~}

/（X）=Q"（。＞。'。W1）f\x)=a"Ina

-(X)=；

f(x)=log。x(a>0,aw1)

xma

f(x)=ex/'(x)=e'

f(x)=lnxf,M=-

X

f(x)=sinxfr(x)=COSX

/(x)=cosXfr(x)=-sin%

2.導數(shù)的四則運算法則

（1）函數(shù)和差求導法則："3土g（x）r=7'（x）土g'（x）；

（2）函數(shù)積的求導法則："（x）g（x）r=尸（x）g（x）+y（x）g'（x）；

（3）函數(shù)商的求導法則：g（x）*O,則〔1荷平--------正不--------

3.復合函數(shù)求導數(shù)

復合函數(shù)V=〃g（x）］的導數(shù)和函數(shù)V=/（?）,"=g（W的導數(shù)間關系為匕'=：

4.導數(shù)的幾何意義

（1）在點的切線方程

切線方程，-/（%）=/（無。）5-不）的計算：函數(shù)＞=/（無）在點4%,/（%））處的切線方程為

%=/(%)

=f'（x）（x-x）,抓住關鍵

00人"'(無0)

（2）過點的切線方程

設切點為Pg，%),則斜率左=/'(Xo),過切點的切線方程為：y-y0=fXx0Xx-x0),

又因為切線方程過點AO,〃)，所以〃-%=/(%)(根-不)然后解出％的值.(%有幾個值，就有幾條切線)

注意：在做此類題目時要分清題目提供的點在曲線上還是在曲線外.

(一)

導數(shù)的定義

對所給函數(shù)式經(jīng)過添項.拆項等恒等變形與導數(shù)定義結構相同，然后根據(jù)導數(shù)定義直接寫出.

題型1:導數(shù)的定義

1：.(2024高二下?北京?期中)已知函數(shù)丁=〃力的圖象如圖所示，函數(shù)丫=〃力的導數(shù)為,=((力，貝底)

A.f,(2)</,(3)</(3)-/(2)B.八3)</''⑵<門3)—/⑵

C.廣⑵</(3)-〃2)<八3)D./(3)</(3)-/⑵〈廣⑵

1-2.(2024高三上?云南楚雄?期末)已知某容器的高度為20cm,現(xiàn)在向容器內注入液體，且容器內液體的

高度/?(單位：cm)與時間單位：s)的函數(shù)關系式為九=53+/，當公辦時，液體上升高度的瞬時變化

率為3cm/s,則當f=f0+l時，液體上升高度的瞬時變化率為()

A.5cm/sB.6cm/sC.8cm/sD.lOcm/s

13(2024高二下?天津?期中)已知函數(shù)的導函數(shù)是尸(x),若八%)=2,則八無。+：村-/(%)_

11111—

-Ax

()

A.；B.1C.2D.4

1-4.(2024高二下?重慶?階段練習)若函數(shù)/(%)在』處可導，且lim小。+2Ar)T(x°)=1，則/，(不)=()

-2Ax

A.1B.-1C.2D.；

1-5.(2024高三?全國?課后作業(yè))若〃尤)在毛處可導，則/'(X。)可以等于().

xxAr

A.Iim/(o)-/(o-)B.

-Ax-°Ax

cUm/(%+2Ax)-"/一Ax)口lim/(%+8)-/(%-2祠

-oAx-oAx

彩他題海籍

(二)

求函數(shù)的導數(shù)

對所給函數(shù)求導，其方法是利用和.差.積.商及復合函數(shù)求導法則，直接轉化為基本函數(shù)求導問題.

題型2:求函數(shù)的導數(shù)

2-L(2024?湖北武漢三模)已知函數(shù)/。)=尸(0至2'-/，則/(0)=.

2-2.(2024高三下?河南?階段練習)已知函數(shù)〃x)的導函數(shù)為廣(x),M/(x)=x*12/3456,(l)+x+2,則

/⑴=.

23(2024高三?全國?專題練習)求下列函數(shù)的導數(shù).

(1)/(%)=(-2%+1)%

(2)/(^)=ln(4x-l)；

(3"(X)=23A2

⑷〃x)=J5X+4；

2-4.(2024高三?全國?課后作業(yè))求下列函數(shù)的導數(shù)：

(1)y=(3f+2x+l)cosx；

-3x2+%A/X—5Vx+1

(2)y=------------T=----------;

(3)y=xls+sinx-lnx；

X

(4)y=2cosx-3xlog3x；

x

(5)y=3sinA：-3log3x；

(6)y=excosx+tanx.

彩僻題秘籍（二）

導數(shù)的幾何意義

函數(shù)y=〃尤）在點馬處的導數(shù)，就是曲線y=/（x）在點尸（X。"5））處的切線的斜率.這里要注意曲線在某點

處的切線與曲線經(jīng)過某點的切線的區(qū)別.（1）己知AM在點（%"（七））處的切線方程為

（2）若求曲線y=/Q）過點（。力）的切線方程，應先設切點坐標為（％,/（%））,由

>-%=/'&）（>%）過點（。,6）,求得與的值，從而求得切線方程.另外，要注意切點既在曲線上又在切線上.

題型3：在某點處的切線方程

3-1.（2024?廣東廣州三模）曲線y=（2元-1）3在點（1,1）處的切線方程為

3-2.（2024?全國）函數(shù)/（刈=--2丁的圖像在點（1,/⑴）處的切線方程為（）

A.y=-2x-lB.y=-2x+l

C.J=2x-3D.y=2x+l

3-3.（2024高三上?陜西?階段練習）曲線>=三在點⑵-2）處的切線方程為（）

A.y=—3x+4B.y=x—4C.y=3x—SD.y=3x-4

3-4.（2024?全國）曲線y=￡在點［,處的切線方程為（）

eeeee3e

A.y=—xB.y=—xC.y=—x+—D.y=—x+—

424424

3-5.（2024?全國）曲線y=2sinx+cos尤在點（兀，-1）處的切線方程為

A.X—y—TI-1=0B.2x-y—2n—l=0

C.2%+y—2兀+1—0D.x+y—n+l=0

題型4:過某點的切線方程

4-L（2024.湖南.模擬預測）過點（0,18）作曲線y=V-x+2的切線，則切點的橫坐標為,這條

切線在x軸上的截距為.

4-2.（2024高三下?重慶沙坪壩?階段練習）曲線/。）=/（》*0）過坐標原點的兩條切線方程

為，.

4-3.（山東新高考聯(lián)合質量測評2023-2024學年高三上學期9月聯(lián)考數(shù)學試題）過點（3,0）作曲線〃尤）=xe*

的兩條切線，切點分別為（％,/（占）），（孫"%2））,則占+*2=（）

A.-3B.-石C.73D.3

題型5：已知切線求參數(shù)問題

5-1.（2024?重慶?三模）己知直線丫=以一。與曲線>=x+@相切，則實數(shù)。=（）

X

143

A.0B.-C.-D.-

252

5-2.（2024?全國）設曲線y二ax-ln（x+l）在點。0）處的切線方程為y=2x,則a二

A.0B.1C.2D.3

5-3.（2024?全國）曲線丁=（冰+1）3在點（0,1）處的切線的斜率為—2,則〃=.

5-4.（2024?全國）已知曲線丁二恁左+H!!］在點（1,屐）處的切線方程為y=2x+Z?,貝！|

A.a=e,b=-lB.a=e9b=lC.a=e~\b=\D.a=e~\b=-l

題型6：切線平行、垂直、重合問題

6-1.（2024?安徽六安?三模）若函數(shù)f（x）=lnx+x與g（x）=2f的圖象有一條公共切線，且該公共切線與

x-1

直線y=2x+l平行，則實數(shù)加=（）

17171717

A.—B.—C.—D.—

8642

6-2.（2024?湖南長沙,一模）已知直線x-9y-8=0與曲線（7:>=/-R2+3%相交于4,3,且曲線C在A,2處

的切線平行，則實數(shù)。的值為（）

A.4B.4或-3C.-3或-1D.-3

6-3.（2024高三上?浙江?期中）若函數(shù)，（x）=ox+sinx的圖象上存在兩條相互垂直的切線，則實數(shù)。的值是

A.2B.1C.0D.-1

6-4.（2024高三.江西撫州.開學考試）已知曲線〃x）=p-[（x>-l）在點4（占,〃西））,3（々,〃々》（占<多）

處的切線44互相垂直，且切線44與y軸分別交于點。，￡，記點E的縱坐標與點。的縱坐標之差為乙則

（）

2

A.—2</<0B.2—2e</<0

e

2

C.￡<—2D.Z>2e—2

e

65（2024高三上?河北邯鄲階段練習）設函數(shù)〃x）=ln（x+a）在x=l處的切線與直線y=]+l平行，則。=

（）

A.-2B.2C.-ID.1

4

66（2024高二下?湖南?期中）已知曲線y=x+]x<0）在點尸處的切線與直線x-3y+l=0垂直，則點尸

的橫坐標為（）

A.1B.-1C.2D.-2

題型7:公切線問題

7-1.（2024?山東煙臺?三模）若曲線y=fcv—（k<0）與曲線y=e,有兩條公切線，貝必的值為.

7-2.（2024?全國）若直線>=h+萬是曲線y=lnx+2的切線，也是曲線y=ln（x+l）的切線，則6=.

7-3.（2024高二下?浙江杭州,期中）若直線>=匕（尤+1）-1與曲線丫=^相切,直線>=&。+1）-1與曲線、=111元

相切，則左的值為.

題型8:切線的條數(shù)問題

8-1.（2024高二下?福建廈門?期中）若曲線y=（x+l）e'過點P（a,0）的切線有且僅有兩條，則實數(shù)。的取值

范圍是.

8-2.（2024?福建廈門?模擬預測）若曲線y=xlnx有兩條過（1,a）的切線，則“的范圍是.

8-3.（2024高三上?福建漳州?階段練習）已知函數(shù)〃耳=-3+2/-彳，若過點尸（1J）可作曲線y=/（x）的

三條切線，貝卜的取值范圍是.

84（2024高三上?河北?階段練習）若過點（根,〃）可以作曲線>=log2尤的兩條切線，貝U（）

A.m>log2nB.n>log2mC.m<log2nD.n<log2m

題型9：最值問題

4

9-1.（2024?江蘇）在平面直角坐標系xOy中，P是曲線>=無+—（無>0）上的一個動點，則點P到直線x+y=0

x

的距離的最小值是—.

9-2.（2024?山東聊城?三模）若直線>=》+匕與曲線y=ex-0相切，則b的最大值為（）

A.0B.1C.2D.e

9-3.（2024?湖北?模擬預測）已知m>0,n>0,直線y=lx+〃z+l與曲線y=ln尤-〃+2相切，則工+工的

emn

最小值是（）

A.16B.12C.8D.4

9-4.（2024高三?全國?專題練習）設點尸在曲線y=e向上，點。在曲線y=-l+lnx上，貝力尸。|最小值為（）

A.QB.2A/2

C.應（1+歷2）D.72（1-//?2）

95（2024高三?全國?專題練習）設點尸在曲線y=e?工上，點。在曲線y=；lnx上，則|尸。|的最小值為（）

A.^（l-ln2）B.V2（l-ln2）

C.5^（1+In2）D.—（l+ln2）

2

9-6.（2024?四川?一模）若點?是曲線y=lnx--上任意一點，則點尸到直線/：%+丁-4=0距離的最小值為

（）

/y

A..2B.>\/2C.2,\/2D.4^/^'

媒習與置升

一、單選題

1.（2024?云南保山二模）若函數(shù)〃x）=41nx+l與函數(shù)8（力=：/一2元（“>0）的圖象存在公切線，則實數(shù)

。的取值范圍為（）

A.（o,1]B.

「2八「12一

C.不1D.

L3）L33」

2.（2024?海南,模擬預測）已知偶函數(shù)/（x）=（aTW-3bx+c-d-1在點處的切線方程為

x+y+l=0,則y=（）

c-d

A.-1B.0C.1D.2

3.（2024高二下?四川成都?階段練習）已知M是曲線y=ln尤+：爐+以上的任一點，若曲線在M點處的切

線的傾斜角均是不小于7T:的銳角，則實數(shù)，的取值范圍是（）

4

A.[2,+8）B.[―1,+oo）C.（-oo,2]D.（-QO,-1]

4.（2024高三?全國?專題練習）若過點（。,力）可以作曲線y=lnx的兩條切線，貝|（）

A.a<\nbB.b<]naC.\nb<aD.lna<b

5.（2024?湖南?二模）若經(jīng)過點（。涉）可以且僅可以作曲線>=lnx的一條切線，則下列選項正確的是（）

A.a<QB.b=\naC.a=\nbD.a<0^b=\na

6.（2024高三上?上海閔行?期末）若函數(shù)y=/（x）的圖像上存在兩個不同的點P,Q,使得在這兩點處的切線

重合，則稱"%）為''切線重合函數(shù)〃，下列函數(shù)中不是“切線重合函數(shù)〃的為（）

A.y=x4-x2+lB.y=sinx

C.y=x+cosxD.y=J+sin%

7.（2024高二?江蘇?專題練習）已知A,B是函數(shù)=x^x+a^-^，圖象上不同的兩點，若函數(shù)y=/（x）

[xlnx-a,x>0

在點A、8處的切線重合，則實數(shù)〃的取值范圍是（）

A.1一B.-3，+0°）C.D.；'+0°]

8.（2024高三?全國?專題練習）設點？在曲線丁=2/上,點。在曲線〉=111彳-1112上,則|尸0|的最小值為（）

A.l-ln2B.72（1-In2）

C.2（1+In2）D.72（1+In2）

9.(2024高三?全國?專題練習)己知實數(shù)。，b,c,d滿足11nm-l)-b|+|c-d+2|=0,則(a-c>+(6-d)2的

最小值為（）

A.2>/2B.8C.4D.16

10.（2024高三?全國?專題練習）設函數(shù)/（%）=（x-〃）2+4（ln%-4,其中尤>0,awR.若存在正數(shù)小,使得

/（x0）v［成立，則實數(shù)。的值是（）

12

A.-B.一C.；D.1

55

11.（2024?寧夏銀川?一模）已知實數(shù)滿足2x2_51nx-y=0,meR,則舊+外-2g-2陽+2蘇的最

小值為（）

.93叵

22

12.（2024?全國）若過點可以作曲線y=e，的兩條切線，貝|（）

A.eb<aB.ea<b

C.0<a<ebD.0<b<ea

13.（2024?全國）若直線/與曲線y=&和乂2+產(chǎn)=!都相切，貝心的方程為（）

A.y=2x+lB.y=2x+《C.片gx+1D.片gx+g

72722

14.（2024高二下?四川宜賓?期末）已知尸為函數(shù)/（x）=lnx+f圖象上一點，則曲線y=/。）在點尸處切線

斜率的最小值為（）

A.1B.72C.272D.4

15.（2024高三?全國?專題練習）函數(shù)/（無）=：尤3一V的圖像上有一動點，則在此動點處切線的傾斜角的取值

范圍為（）

3兀B.唱U5,兀）

A.0,—

4_

飛兀）

0?匕T兀3兀

D.

124」

16.（2024?全國）曲線y=x3-2x+4在點（1,3）處的切線的傾斜角為（）

A.30°B.45°C.60°D.135°

17.（2024高二下?陜西西安?期中）設函數(shù)是R上以5為周期的可導偶函數(shù)，則曲線y=〃力在x=5處

的切線的斜率為（）

11

A.—B.0C.-D.5

55

18.（2024?山東）若函數(shù)y=/（x）的圖象上存在兩點，使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則稱

y=/（x）具有T性質.下列函數(shù)中具有T性質的是

A.y=sinxB.y=ln無C.y=exD.j=x3

19.（2024高二下河南鄭州?期中）若曲線了=*^在（1，一°[）處的切線與直線/：2》-丁+5=0垂直,則實數(shù)。=

（）

33

A.1B.—C.-D.2

22

20.（2024?湖南林B州?模擬預測）定義：若直線/與函數(shù)y=，（x）,y=g（x）的圖象都相切，則稱直線/為函

數(shù)y=和y=g（尤）的公切線.若函數(shù)/■（尤）=。山彳（。>0）和8（力=*2有且僅有一條公切線，則實數(shù)°的

值為（）

A.eB.y/eC.2eD.2冊

21.（2024?全國）已知函數(shù)+2x'x,0,若|/（彳）但依，則a的取值范圍是（）

[ln（x+l）,x>0

A.（-oo,0]B.（-oo,l]C.[-2,1]D.[-2,0]

二、多選題

22.（2024,安徽蕪湖,模擬預測）牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了高次代數(shù)方程根的一種解法.具體步驟如

下：設r是函數(shù)y=〃x）的一個零點，任意選取與作為『的初始近似值，過點&/（七））作曲線y=/（x）的切

線設4與無軸交點的橫坐標為為，并稱/為"的1次近似值；過點（xj（xj）作曲線y=〃x）的切線4，

設4與X軸交點的橫坐標為巧，稱演為r的2次近似值.一般地，過點鼠〃X.））（〃eN*）作曲線y=的

切線加，記射與x軸交點的橫坐標為尤向，并稱加為廠的〃+1次近似值對于方程尤3_》+1=0,記方程的

根為「，取初始近似值為％=-1,下列說法正確的是（）

A.re（-2,-1）B.切線4：23x-4y+31=0

23.（2024高二下?江蘇宿遷?期末）牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了高次代數(shù)方程的一種數(shù)值解法一牛頓

法.首先，設定一個起始點吃,如圖，在苫=尤。處作/（X）圖象的切線，切線與x軸的交點橫坐標記作為：用巧

替代％重復上面的過程可得演；一直繼續(xù)下去，可得到一系列的數(shù)0，為，演，…，斗，…在一定精確度下，

用四舍五入法取值，當怎一無”（weN*）近似值相等時，該值即作為函數(shù)的一個零點若要求充的近

似值「（精確到0.1）,我們可以先構造函數(shù)/（力=三-6,再用"牛頓法"求得零點的近似值乙即為我的近似

22

B.若％o^Q,且不。。，則對任意〃EN*，Xn=^Xn-l+^~

C.當4=2時，需要作2條切線即可確定〃的值

D.無論看在（2,3）上取任何有理數(shù)都有r=1.8

einx

24.（2024?海南?？?一模）直線x+紗-。=。是曲線y=——的切線，則實數(shù)。的值可以是（）

x

兀71

A.3rcB.兀C.—D.一

23

三、填空題

25.（2024?海南?模擬預測）在等比數(shù)列｛%｝中，％=2,函數(shù)〃%）=；%（犬-4）（了-%）1（尤-%），貝!1

八0".

26.（2024?遼寧大連一模）已知可導函數(shù),g⑺定義域均為R,對任意x滿足+2dggx]=x-1,

且"1）=1,求:⑴+g[J=.

27.（2024高三?全國?專題練習）曲線〃尤）=11^+2）+[在點（0"（0））處的切線方程為.

28.（2024高三?全國?專題練習）已知函數(shù)/'（xQgY+bY+cos/d，/⑴為的導函數(shù).若尸（x）的

圖象關于直線X=1對稱，則曲線y=/（x）在點（2J（2））處的切線方程為

29.（2024?湖南?模擬預測）若函數(shù)/（x）=Ax3+（2-2）X2（XeR）是奇函數(shù)，則曲線y=在點（尢/⑷）處

的切線方程為.

30.（2024?江西?模擬預測）已知過原點的直線與曲線丁=12相切，則該直線的方程是.

31.（2024?浙江金華?模擬預測）已知函數(shù)"X）=9-6+1,過點尸（2,0）存在3條直線與曲線y=相切，

則實數(shù)。的取值范圍是.

32.（2024?浙江紹興?模擬預測）過點作曲線y=V的切線，寫出一條切線方程：.

33.（2024?海南?？?模擬預測）過x軸上一點尸&0）作曲線C:y=（x+3）e*的切線，若這樣的切線不存在，

則整數(shù)/的一個可能值為.

34.（2024?全國?模擬預測）過坐標原點作曲線y=（尤+2）e*的切線，則切點的橫坐標為.

35.（2024?河南商丘?模擬預測）若過點P0,a）（aeR）有〃條直線與函數(shù)f（x）=（x-2）e'的圖象相切，則當〃

取最大值時，。的取值范圍為.

36.（2024.全國?模擬預測）已知函數(shù)〃x）=；x3+/⑴￡+1,其導函數(shù)為尸（x）,則曲線〃尤）過點尸（3,1）的

切線方程為.

37.（2024?河北邯鄲三模）若曲線y=e，與圓（x-a）2+V=2有三條公切線，貝I]。的取值范圍是—