多元函數(shù)條件極值-解析版

專題6多元函數(shù)條件極值

多元函數(shù)條件極值是學生數(shù)學學習的一個心病，卡殼點極多.眾所周知，消

元需要結(jié)構(gòu)判斷與變形技巧，然而技巧也是知識，面對多元函數(shù)條件極值，只有

準確的審題和正確的解題思路并不意味著題目的解決，需解決題目還必須正確和

專業(yè)地完成一些技術(shù)性的具體操作.這些操作沒有創(chuàng)新性，只需要你的專業(yè)性和

專注力.對大多數(shù)學生而言，這兩方面都存在著解題障礙與思維痛點.多元函數(shù)

條件極值求解中有許多智慧點，掌握它才能破解難題，積累技巧，豐富智慧.

一、二元函數(shù)條件極值結(jié)構(gòu)識別

問題1：已知正實數(shù)a,b滿足9a2+爐=1,則的最大值為.

【解析】卡殼點：看不出結(jié)構(gòu)特點，也不會換元處理.

應(yīng)對策略：把握條件與目標變量結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系.

問題解答：解法1利用不等式作《、干，可得饋丫=

-+-\23a十匕J-+-、2

xy23aN

力.故^^的最大值為3

3V23a-\-b12

【反思】在識別出條件與所求目標之間是調(diào)和平均數(shù)與平方平均數(shù)的聯(lián)系后,

直接利用基本不等式就可以解決問題.

解法2由9a2+>=i可得M41.

6

同理3a+匕>2y[3y[ab.

以上兩處不等式的等號均在3a=5時取得.

abab_y[ab1V2

故

3a+b、2V3VaF2V3、2V3-V612

故ab的最大值為圣

3a+b

【反思】只需要運用兩次基本不等式就可以破解,但要注意等號成立的條件.

211

由9a2+爐=1可得就《g則

6\3CL~rb/72

所以總的最大值為噂.解讀：在整體思想的支配下，把M視為一個變量去

3a+b12

探究所求目標與條件之間的聯(lián)系.

解法4令3a=sin6,b=cosO,9e（0,1）,則sinOcosQ

sin0+cos0

_f-z._-i

令sine+cos9=t,te（1,V2],貝Usin。?cos6=---.

sinOcos6

sin0+cos0

由于函數(shù)在區(qū)間（1,迎］上單調(diào)遞增，故當t=/時，取最大值去.

【反思】二元函數(shù)"9。2+塊=1"轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)最直接的方法就是三角換元.

二、二元函數(shù)消元基方方法運用

問題2：已知a>0,b>0,且一一十一一=1,則a+b的最小值是，止匕時

a+2a+2b

【解析】卡殼點：看不出所求目標與條件式在結(jié)構(gòu)上的聯(lián)系，也不會消元轉(zhuǎn)

應(yīng)對策略：已知兩個量之和為定值1時，學會用均值法減元或?qū)⒛繕苏w設(shè)

為末知元.

問題解答：解法1令一=：一七，1,于是a+2=^-,a~\~~2b=

a+22a-\-2b2--t

兩式相加得2a+2b+2=i—+i—=

——t--rt

3,

令^―-=u,整理得〃/+「+---=0.

—嚴24

4

方程有實根，則/=1一411《一4》0,即虱2一6虱+1》0,解得觀》時史

\24/2

=3+2V2.

于是2a+2b》1+2A/^,a-\-b1+V2,a+b的最小值是1+A/^.

從而=+V—=1，化簡得a2—2V^a+2=0,解得a=&.

解法2令a+b=3b=t—a,代人條件得2a+4(七—a)+a+2=

(a+2)[a+2(t—a)].

即4t-a+2=—a2—2G+2at+43整理得M+q—2t)a+2=0.

方程有實根，則/=(2t—1)2—8》0,解得

代回原方程可得a?—2&a+2=0,解得￡1=魚.

【反思】均值消元的前提條件是題設(shè)中有兩變量和為定值的特征，借助均值

法可以將二元函數(shù)化歸為一元函數(shù)，此時至少有兩個途徑：一是化成二次方程，

2+t

然后用判別式法建立目標函數(shù)的不等關(guān)系式;二是利用導數(shù)工具求最值,如令片

=u,求a=o,從而求得二元函數(shù)的最值.

三、二元函數(shù)化數(shù)式結(jié)構(gòu)識別

在多元函數(shù)條件極值問題中，代數(shù)式是基本的特征，因此判斷代數(shù)式的結(jié)構(gòu)

特征成為解決問題的關(guān)鍵，然而，學生在代數(shù)式結(jié)構(gòu)判斷方面意識不強，導致求

解受阻甚至失敗.

問題3：已知實數(shù)a,b滿足be(0,1)且a—5=1,則二?+義的最小值是

【解析】卡殼點：看不出條件與所求目標代數(shù)式之間的結(jié)構(gòu)聯(lián)系.

應(yīng)對策略：充分挖掘代數(shù)式結(jié)構(gòu)特點，尋找與數(shù)學模型相似的結(jié)構(gòu).

|可題解答:解法1(基本不等式)因為1=Q—b=ct—1~\~--b-所以“=ct—

444

1+--b.

4

11

CL—15—4b

從而

>45/(54+,19

5

當且僅當1）時取等號.

故士+1的最小值是:

a-15-4b

解法2（導數(shù)法）由已知得a—1=兒/（匕）=三+^=：+^'be

(0,1).

對/（匕）求導得尸（b）=—a+—=0,

當5-45=±25,即b=|時,/3嬴=/(1)=]

o\ozO

故工+1的最小值是:

a-15—4匕

1+2

解法3（權(quán)方和不等式）三十^=三+1;9

5,>

4~b(a-l)+Q-b)5

1

當且僅當1=存時取等號.

a-14~b

故工+1的最小值是:

a-15-4b

【反思】（1）此題的條件與所求目標中的代數(shù)結(jié)構(gòu)隱藏得比較深，若要順利求

解，首先要善于判斷，其次要學會將已知條件向著所求目標不斷變形.

⑵不同思維層次的讀者會有不同的方法，上面給出的三種解法僅供參考.

四、多元函數(shù)消元途徑探究

多元函數(shù)條件極值的另一個特征是變量多，要消元，變多元為一元，再用一

元函數(shù)求最值的方法求解，或整體看作一元處理.不同結(jié)構(gòu)特征的代數(shù)式消元的

方法也不同，然而部分學生針對不同類型的多元結(jié)構(gòu)，消元的基本方法儲備不足,

運用不熟，導致消元失敗或找不到問題求解的基本思路.

問題4：已知正實數(shù)a,B滿足+求新的最大值.

(2a+b)b(2b+a)a

【解析】卡殼點：看不出條件與目標間的聯(lián)系.

應(yīng)對策略：充分挖掘所求目標與條件代數(shù)式結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系.

問題解答：解法1(結(jié)構(gòu)剖析+基本不等式)

a2b

口,2a+b+2b+a

2(2a+b)—(26+a)2(2b+a)—(2a+b)

_3「X3

2a+b2b+a

_ll2b+a2(2a+b)l2V2

232。+/)+2b-\~a4?3

22224

((2b+a)2=2(2a+b)2,(a=^~,

當且僅當彳a,2b即《工普時，取等號.

(2a+b2b+ayb-CL

【反思】找出所求目標與條件代數(shù)式結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系是關(guān)鍵.化簡過程的前

三個等號中，第一個等號容易想到.第二個等號建立在

a=A(2a+b)+A(2b+a)

12>的基礎(chǔ)上，即將分子線性表示為兩個基本量2a+b

2b=〃i(2a+b)+〃2(2b+a)

『X由2〃1+〃2=0,解

與2b+a之間的數(shù)量關(guān)系，由

x：>4=一』；41+2〃2=2

%2

得第三個等號在于化簡呈現(xiàn)出對勾函數(shù)形式，為使用基本不等式奠

〃23.

定基礎(chǔ).最后在求最大值時，要解一個復雜的二元分式方程組，這也會成為解題

障礙.

解法2(換元+基本不等式)

令A七,=一D，則mila7b=--a--+?----=——1+?--z-r-=1y+?--r---±--

a2a+b2b+a2+t2t+l2t2+5t+2

令a=t-1(為求最大值，考慮其大于0),

則gQ)=l+,：,=1+—1+-^—=2--,

2小+如+92U+5+96V2+93

2

當且僅當“2=3即1)2=?,即已一1)=3且劭=三十即

2v72\a722a+b2b+a

2_22V2-24

a二一，時取等號.解讀：解法2第二行的前三個等號中，第一個等號容

{b=-T-a

易想到，第二個等號是建立在前面的分式為一次齊次式基礎(chǔ)上的變量換元，第三

個等號是將分式運算后的假分式轉(zhuǎn)化為真分式的過程，然后根據(jù)‘I；的分子

分母特征再次換元，為下一步化簡呈現(xiàn)出對勾函數(shù)形式及使用基本不等式奠定基

礎(chǔ).在求最大值點時，要解一個復雜的二元分式方程組，這也會成為運算障礙.

解法3(判別式法)令a=ab,b=-,于是條件轉(zhuǎn)化為丁X+V^=l.

a2u+b22u+a2

整理得(2〃+匕2)(2〃+a2)=6〃+a2+2匕2,即(2a—l)a2+(2u—2)b2

+5u2-6u=0.

兩邊同乘以小得(2a—l)a4+(5u2—6u)a2+(2u—2)u2=0,此方程為關(guān)于

小的二次方程，該方程有解，則由判別式可得(5〃2一6〃)2-4(2〃-1)(2〃-

2)u2>0.

整理得91?一36虱+28>0,解得U4S362-4X9X28=?—也,當且僅當

183

(ab=2-^,(ab=2-^l,

)a.2b_2V2叫心4V2\21fn吟:28vl112時取等節(jié).

(加+加—2—亍，=--v

【反思】不同數(shù)學思維層次的學生接受能力不同，有些學生習慣用判別式法

解決，此方法相對比較固定、程序化，容易掌握，只是如前所述，在求最大值點

時，要解一個復雜的二元分式和二元二次方程組，這會成為運算障礙.

⑴將目標代數(shù)式表示成條件代數(shù)式中元素的線性組合，這是一個重要的方法.

⑵利用待定系數(shù)法確定其中的待定系數(shù)，比較方便.

五、二元函數(shù)極值消元層層剝離

解決多元極值問題的基本思想方法（消元意識+消元技巧+變形能力十運算

能力）是問題突破的基本途徑，沒有在腦海中建立起這些基本思想方法，就無法

解決此類問題，痛點自然產(chǎn)生.

問題5：若實數(shù)X,y滿足％》一1,y》—1且2*+2曠=小+4乙求22尸尸+

22y-x的最大值.

【解析】卡殼點：對于指數(shù)式結(jié)構(gòu)換元意識不到位.

應(yīng)對策略：識別條件與所求目標中代數(shù)式結(jié)構(gòu)特點，每個結(jié)構(gòu)特點都有相應(yīng)

的方法.

問題解答：條件式與目標式中最明顯的表征就是含有指數(shù)形式.

設(shè)2苫=（2,2y=b,則a,匕》g且a2+b2=a+b.

記所求代數(shù)式為M,則a+b（代數(shù)變換，將指數(shù)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為代數(shù)式

結(jié)構(gòu)）

解法1"=絲+胃=Y箴,

ababa“十匕"

令廣如則知=%*=千缶=6+升2）（1-2）.儕次變

換，將分

式結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為對勾函數(shù)結(jié)構(gòu)）令t+j=s,于是得M=（s+2）（1-：）=l+s-

白（代數(shù)變換，簡化函數(shù)結(jié)構(gòu)）

S

2久+2，=4久+4"轉(zhuǎn)化為（a—/+（5—丁=”指數(shù)變換，將條件轉(zhuǎn)化從

而呈現(xiàn)幾何結(jié)構(gòu)）

于是點（a,6）在圓心為G，3，半徑為了的;圓弧上（包括端點），從而有幸

=tG[V2-1,V2+1],se[2,2V2],故M的最大值是1+誓.

1

+0

-V-2cos

2

2[o,外，（三角變換，將目標二元結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)

解法2令1E

+V-20e

-2sn

2in

化為一元結(jié)構(gòu)）則知=[2+y2(sin0+cos0)][3+v2(sin0+cos0)-2sin0cos0]

2[1+V2(sin0+cos6)+2sin0cos6]

々t=sine+cos6,則t=V^sin（6+G[1,V2],且2sin0cos0=t2—1.（代

數(shù)變換，將目標三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為代數(shù)函數(shù)）

故時=乎（；亡）+141+?，即M的最大值為1+y.

【反思】⑴面對如此復雜的目標一二二元分式無理函數(shù)，觀察條件

"x+2y=5",發(fā)現(xiàn)其結(jié)構(gòu)可以進行三角換元.

⑵將代數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)后，必須有三角變換的基本功作為支撐,當然,

這也是訓練三角變換的機會.

六、二元函數(shù)條件與目標結(jié)構(gòu)挖掘

多元函數(shù)條件對所求目標一般都有結(jié)構(gòu)上的暗示，通過對條件與所求目標結(jié)

構(gòu)的挖掘，找到解決問題的思路.

問題7：設(shè)％,y為實數(shù)，J=Lx2+2%y+4y2=6,求/+4y2的取值范圍.

【解析】卡殼點：缺乏對目標結(jié)構(gòu)與條件結(jié)構(gòu)的換元意識與求解方法.

應(yīng)對策略：條件結(jié)構(gòu)挖掘，三角換元；目標結(jié)構(gòu)挖掘，三角換元.

22

問題解答：解法1設(shè)/+4y2=t,則有扁+為=1.

設(shè)％=V?cos。,y=J|sin0,0E[0,2TT],

代回條件式得tcos20+tsin0cos0+tsin20=6.

整理得sin2。=工[—1,1],解得te[4,12].

故%2+4、2的取值范圍是[4,12].解法2條件式配方得（%+y）2+3y2=6.

令%+y=V^cosa,V3y=V6sina,貝!J/+4y2=_4sin(2a+2)+8E

[4,12].

故/+4y2的取值范圍是[4,12].

解法3令m,則/―2幾=6,x2+4y2=m2—4n.

kxy=n,

將變換式汽=租—2丫代人工2+2)7%+4)72=6,消去％得4y2—2my+mz—

6=0.

由/>0得zu248.

又當m=0時，n=-3,此時關(guān)于汽，y的方程組["+2、m,有解，

vxy=n

所以0<m248,x2+4y2=m2—4n=m2—2(m2—6)G[4,12].

故/+4y2的取值范圍是[4,12].

解法46=%2+2y%+4y2》4\xy\+2xy,當且僅當、=2y時取等號.

當戶》0,時，解得0《孫《1；

16>4xy+2xy

當[町<°’時，解得-3<xy<0.

16>—4xy+2xy

所以一3<xy<l,t^x2+4y2=6—2xyE[4,12].

故》2十句/2的取值范圍是[4,12].

【反思】從給定的代數(shù)式結(jié)構(gòu)中尋找變形突破口是智慧思考之一.

強化練習

1、⑴若正數(shù)a，°滿足W+W=L則3a+2b的最小值是-------

【解析】⑴令3Q+2b=X(Q+/?)+〃(Q-Z?),

仁二'所“2=r

則

1

5a+b1a-b

于是3a+2/?=-(a+b\+—(a-b\|--——I——--=3+—x------+—x

2，)2、7U+Z7a-b2a-b2a+b

..3+2

⑵若正數(shù)a,b滿足工+2=1,則二7+三的最小值是

aba-1b-1--------

【解析】令'=cos2",—=sin2tz,

ab

171Hl919cos2a9sin2a

貝!J----------1------------二------------------------1---------------------二-----------------------1--------------------

a-1b-11111l-cos2cifl-sin2df

cosasina

cos2a+9sin2?

sin2acos2a

【反思】目標與條件間線性表示的一般方法是待定系數(shù)法.

2、若正實數(shù)》,y,z滿足％+y+z=2,xy+yz+xz=l,則z的最大值是

【解析】由已知得4=X2+/+Z2+2,貝Ijx2+y2+z2=2(*).

又(z—2)2=d+y2+2孫,,21+力，%2+y2…(z22)(**),

所以z2=2—必―立,2—紅,

化簡得322—4Z,,0,Oit

3

144

當且僅當x=—=y,z=—時，z取最大值一.

3'33

【反思】條件中蘊含關(guān)系式"(x+y+z>=d+;/+Z?+2(肛+yz+xz)",建

立(*)式與(**)式之間的橋梁是一個智慧點.

3、設(shè)久>0,y>0,x+2y=5,則牡詈里2的最小值為.

【解析】三角換元.

令JWfosa則原式=(58,2”(5?8+1)=述+生皿"

L=7?sinagsin&osd5(sm2。4)

V2

..4A/3.

【反思】充分挖掘條件代數(shù)式的結(jié)構(gòu).

4、已知a,b,cGR,且3+—^=1,則16abe-1|的最小值

1+a21+4匕2l+9c2

為.

【解析】設(shè)一r=x>—7=y>—7=z,則x+y+z=l

1+a-1+4Z?l+9c~

,,1V1Y1、(y+z)(z+x)(x+y)

^(6abc)2=a2-4b2-9c2=——1——1——1——八——八~"..8,

U人y人z)孫z

于是6"c的取值范圍是~),-20]U[20,+8),所求的最小值為2&-1.

117

當x=y=z=—時取到等號，此時a2^2,b2=—,c2=-,取值時保證abc>0

329

即可.

5、已知正實數(shù)％,y滿足xy+2%+3y=42,則孫+5%+4y的最小值為

【解析】解法1令取+5x+4y=〃，且孫+2x+3y=42,

兩式相減得y=〃一3%-42,

代回得3*+(49—M)X+168—3M=0.

該方程有解，所以判別式非負，BPw2-62M+385..0,(w-55)(?-7)..O,u..55.

u-n什42—2x

解法2y-------,u=xy+5x+4y=xx”+5x+4x—

x+3x+3x+3

3X2+49X+168

,從而有3/+(49-M)X+168-3〃=0有解，所以判別式非負,

x+3

即W2-62M+385..O,(w-55)(w-7)..O,M..55.

【反思】把握整體結(jié)構(gòu)，轉(zhuǎn)化模型.

2222

6、設(shè)P為橢圓a+&=l(a>b>。)上的點，點4B分別為雙曲線a-^=1

兩漸近線上的動點，且標=2而伍為常數(shù))，設(shè)。為坐標原點，若AZOB面積的最

大值為《簽與某，則工十:的取值范圍是

a+b4|A|ab

【解析】設(shè)4(劭?,加n)，B^an,-bri),則根據(jù)定比分點公式，有

/加+4〃7m-An

P\a-----,/?------

I1+21+2

點P在橢圓上，所以即m2+力/=工（1+㈤2,于

[1+2）[1+2）2

是3（1+彳）2..2同同川，即向““.

由面積坐標公式知S=3玉%,其中A（%,yJ,5（%2，%），

可得AAOB的面積為a。1〃2時?ab+J）,

因此進而工+1=〃+/77a2-^-Sab+b2

—+—

aba1+b2a1+Z?2

令X，〉1,M-+-7x+8x+1_8x—6

bab

此函數(shù)當xe（l,2）時單調(diào)遞增，當xe（2,y）時單調(diào)遞減，因此所求取值范

圍是（7,9].

2,72

【反思】充分挖掘題設(shè)信息中隱藏的條件等式巴士=?.

這是一個綜合性很強的問題，在關(guān)鍵性一步"（*）"中利用了"1"代換技術(shù)，使

問題順利求解."1"代換技術(shù)，就是構(gòu)造出"1",然后利用公式或給定的信息進行變

形或運算的技術(shù)."1"代換技術(shù)在三角函數(shù)變換和代數(shù)式變形中有十分重要的作用,

體現(xiàn)了優(yōu)化意識、簡潔意識.

7、設(shè)實數(shù)%yz滿足Xy+yz+zx=l,求S=4O%2+2Oy2+10z2能取到的最小

整數(shù)值.

【解析】已知孫+yz+zx=l,當％=。時，yz=l,貝[J有S=20/十]。%?

..20底yz=20底.

當y=0時，xz=l,貝I」有S=40X2+10Z2..40%Z=40.

當z=0時，xy=l,貝U有S=40/+20/..40底移=40板.

下面討論孫zw0的情況.

由基本不等式知，存在參數(shù)a,/?,7>0,^2=2xy+2yz+2zx

(1、/、

ccx2H—1y2+/3y~9+—z,2+yz■2+-x-,2

aIB7\r7

?+-1x?+|/7+—1|/+,+]■z2

lY)a

當且僅當ax=y,By=z,/z=x時等號成立，此時有%=1.

1,7

a+—=4%

/

a+a/3=4k

令/3+-=2k,則

a(3+-=2k

17a

7+——=k

4左+1

a=-------,

2k+l

8F-1

解得B=

4左+1'

8k3-5k-1

Y=8左2—1

代人協(xié)/=1,化簡得8人3—7左一2=0,解得1.054（氏<1.055.

22222

所以S=40x+20y2+lOz=—(4fcc+2ky+fc)...—

kk

又18＜上＜19,所以S能取到的最小整數(shù)值為19.

k

【反思】多變量消元的技術(shù)分析.

8、設(shè)久，y為實數(shù)，若4%2+y2+%y=i,求2%+y的最大值.

【解析】解法1（方程思想）

設(shè)2x+y=/,則y=/-2x.

代人4r+=1,有6x?—3/x+廠—1=0,

將它看作一個關(guān)于x的二次方程，則由判別式大于等于0,可得

△=（3戶）-46