代數(shù)式與整式-2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（江蘇專(zhuān)用）（解析版）

?第一章數(shù)與式

第02講代數(shù)式與整式

（思維導(dǎo)圖+24考點(diǎn)+6種題型+難度分層練）

考情透視目標(biāo)導(dǎo)航..............................................................................2

知識(shí)導(dǎo)圖思維導(dǎo)航..............................................................................3

考點(diǎn)突破考法探究..............................................................................4

重點(diǎn)考點(diǎn)一代數(shù)式的相關(guān)概念.............................................................4

重點(diǎn)考點(diǎn)二整式的相關(guān)概念...............................................................4

重點(diǎn)考點(diǎn)三整式的運(yùn)算....................................................................5

重點(diǎn)考點(diǎn)四整式化簡(jiǎn)求值（高頻考點(diǎn)）......................................................9

重點(diǎn)考點(diǎn)五因式分解.....................................................................10

題型精研考向洞悉.............................................................................12

第一部分：?？伎键c(diǎn)講練........................................................................12

考點(diǎn)1：列代數(shù)式..........................................................................12

考點(diǎn)2：代數(shù)式求值........................................................................15

考點(diǎn)3：合并同類(lèi)項(xiàng)........................................................................15

考點(diǎn)4：規(guī)律型：數(shù)字的變化類(lèi).............................................................17

考點(diǎn)5：規(guī)律型：圖形的變化類(lèi).............................................................20

考點(diǎn)6：整式的加減........................................................................24

考點(diǎn)7：整式的加減一化簡(jiǎn)求值.............................................................26

考點(diǎn)8：懸的乘方與積的乘方...............................................................27

考點(diǎn)9：同底數(shù)導(dǎo)的除法....................................................................28

考點(diǎn)10：?jiǎn)雾?xiàng)式乘單項(xiàng)式...................................................................29

考點(diǎn)11：?jiǎn)雾?xiàng)式乘多項(xiàng)式...................................................................32

考點(diǎn)12：多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式...................................................................33

考點(diǎn)13：完全平方公式的幾何背景..........................................................35

考點(diǎn)14：平方差公式的幾何背景............................................................39

考點(diǎn)15：整式的除法.......................................................................40

考點(diǎn)16：整式的混合運(yùn)算..................................................................42

考點(diǎn)17：整式的混合運(yùn)算一化簡(jiǎn)求值........................................................44

考點(diǎn)18：因式分解-提公因式法.............................................................45

考點(diǎn)19：因式分解-運(yùn)用公式法.............................................................46

考點(diǎn)20：提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用....................................................47

考點(diǎn)21：因式分解-分組分解法.............................................................47

考點(diǎn)22：因式分解-十字相乘法等...........................................................48

考點(diǎn)23：實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式..............................................................49

考點(diǎn)24：因式分解的應(yīng)用...................................................................50

第二部分：高頻題型洞悉.......................................................................54

題型1:代數(shù)式的相關(guān)概念與列代數(shù)式.......................................................54

題型2：同類(lèi)項(xiàng)與合并同類(lèi)項(xiàng)...............................................................56

題型3：實(shí)數(shù)指數(shù)幕及其運(yùn)算法則...........................................................58

題型4：完全平方公式與平方差公式及其應(yīng)用.................................................60

題型5：整式的混合運(yùn)算與化簡(jiǎn)求值.........................................................61

題型6：因式分解及其應(yīng)用.................................................................63

分層訓(xùn)練鞏固提升.............................................................................66

基礎(chǔ)夯實(shí)訓(xùn)練.............................................................................66

能力拔高訓(xùn)練.............................................................................70

考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航

考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測(cè)

借助現(xiàn)實(shí)情境了解代數(shù)式,進(jìn)一步理解用字母表示中考數(shù)學(xué)中，整式這個(gè)考點(diǎn)一般會(huì)

數(shù)的意義；考學(xué)生對(duì)整式化簡(jiǎn)計(jì)算的應(yīng)用，偶

代數(shù)式的相關(guān)概念

能分析具體問(wèn)題中的簡(jiǎn)單數(shù)量關(guān)系，并用代數(shù)式表爾考察整式的基本概念，對(duì)整式的

示；復(fù)習(xí)，重點(diǎn)是要理解并掌握整式的

理解整式的概念，掌握合并同類(lèi)項(xiàng)和去括號(hào)的法加減法則、乘除法則及幕的運(yùn)算，

貝IJ,能進(jìn)行簡(jiǎn)單的整式加法和減法運(yùn)算；能進(jìn)行簡(jiǎn)難度一般不大.

整式的相關(guān)概念

單的整式乘法運(yùn)算（其中多項(xiàng)式相乘僅指一次式之因式分解作為整式乘法的逆運(yùn)算，

間以及一次式與二次式相乘）在數(shù)學(xué)中考中占比不大，但是依然

能推導(dǎo)乘法公式；了解公式的幾何背景，并能利用屬于必考題，常以簡(jiǎn)單選擇、填空

整式的運(yùn)算

公式進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算題的形式出現(xiàn)，而且一般只考察因

式分解的前兩步，拓展延伸部分

整式化簡(jiǎn)求值靈活運(yùn)用多種方法化簡(jiǎn)代數(shù)式

基本不考，所以學(xué)生在復(fù)習(xí)這部分

內(nèi)容時(shí)，除了要扎實(shí)掌握好基礎(chǔ)，

能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超過(guò)二

因式分解更需要甄別好主次，合理安排復(fù)習(xí)

次）進(jìn)行因式分解（指數(shù)是正整數(shù)）

方向.

知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航

考點(diǎn)突破?考法探究

重點(diǎn)考點(diǎn)一代數(shù)式的相關(guān)概念

圜充實(shí)縣礎(chǔ)SH只精/

代數(shù)式的概念：用基本的運(yùn)算符號(hào)把數(shù)和表示數(shù)的字母連接起來(lái)的式子叫做代數(shù)式.

代數(shù)式的值的概念：一般地，用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，

按照代數(shù)式中的運(yùn)算關(guān)系計(jì)算得出的結(jié)果叫做代數(shù)式的值.

廉!高^(guò)易錯(cuò)把握細(xì)節(jié)

1.代數(shù)式中不含有=、＜、＞、。等.

2.單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是代數(shù)式.

3.列代數(shù)式時(shí)注意事項(xiàng)：

①仔細(xì)辨別詞義.列代數(shù)式時(shí)，要先認(rèn)真審題，抓住關(guān)鍵詞語(yǔ)，仔細(xì)辨析詞義.如“除”與“除以”，“平

方的差（或平方差）”與“差的平方”的詞義區(qū)分.

②分清數(shù)量關(guān)系.要正確列代數(shù)式，只有分清數(shù)量之間的關(guān)系.

③注意運(yùn)算順序.列代數(shù)式時(shí)，一般應(yīng)在語(yǔ)言敘述的數(shù)量關(guān)系中，先讀的先寫(xiě)，不同級(jí)運(yùn)算的語(yǔ)言，且又

要體現(xiàn)出先低級(jí)運(yùn)算，要把代數(shù)式中代表低級(jí)運(yùn)算的這部分用括號(hào)括起來(lái).

④規(guī)范書(shū)寫(xiě)格式.列代數(shù)時(shí)要按要求規(guī)范地書(shū)寫(xiě).像數(shù)字與字母、字母與字母相乘可省略乘號(hào)不寫(xiě)，數(shù)與

數(shù)相乘必須寫(xiě)乘號(hào)；除法可寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式，帶分?jǐn)?shù)與字母相乘需把代分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，書(shū)寫(xiě)單位名稱(chēng)什么

時(shí)不加括號(hào)，什么時(shí)要加括號(hào).注意代數(shù)式括號(hào)的適當(dāng)運(yùn)用.

⑤正確進(jìn)行代換.列代數(shù)式時(shí)，有時(shí)需將題中的字母代入公式，這就要求正確進(jìn)行代換.

重點(diǎn)考點(diǎn)二整式的相關(guān)概念

星礎(chǔ)知浪稿以

判斷依據(jù)次數(shù)系數(shù)與項(xiàng)數(shù)

①數(shù)字與字母或字母與字母相乘組成

單項(xiàng)系數(shù)：?jiǎn)雾?xiàng)式中不為零的

的代數(shù)式所有字母指數(shù)的和

式數(shù)字因數(shù)

整式②單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或字母

多項(xiàng)項(xiàng)數(shù)：多項(xiàng)式中所含單項(xiàng)

幾個(gè)單項(xiàng)式的和次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)

式式的個(gè)數(shù)

?ft高^(guò)易錯(cuò)把握細(xì)節(jié)

1.由定義可知，單項(xiàng)式中只含有乘法運(yùn)算.

2.一個(gè)單項(xiàng)式中只含有字母因數(shù)時(shí)，它的系數(shù)是1或者-1,不能認(rèn)為是0.一個(gè)單項(xiàng)式是一個(gè)常數(shù)時(shí)，它的

系數(shù)就是它本身.確定一個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)，要注意包含在它前面的符號(hào).例如：-（3x）的系數(shù)是-3.

3.圓周率”是常數(shù)，當(dāng)它出現(xiàn)在單項(xiàng)式中時(shí)，應(yīng)將其作為系數(shù)的一部分，而不能當(dāng)成字母.

4.單項(xiàng)式的指數(shù)只和字母的指數(shù)有關(guān)，與系數(shù)的指數(shù)無(wú)關(guān).如單項(xiàng)式一25/y3z4的次數(shù)是2+3+4=9而不是

14.

5.由定義可知，多項(xiàng)式中可以含有:乘法、加法、減法運(yùn)算.

6.多項(xiàng)式有統(tǒng)一的次數(shù)，但是沒(méi)有統(tǒng)一的系數(shù)，多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)有自己的系數(shù).

7.多項(xiàng)式通常以它的次數(shù)和項(xiàng)數(shù)來(lái)命名，稱(chēng)幾次（最高次項(xiàng)的次數(shù)）幾項(xiàng)（多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)）式.

?技15點(diǎn)提方法歸納

通過(guò)觀察與歸納，分別找出單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)的規(guī)律是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵.

重點(diǎn)考點(diǎn)三整式的運(yùn)算

M兗實(shí)縣礎(chǔ)知浪嶂血

同類(lèi)項(xiàng)所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類(lèi)項(xiàng).

合并同類(lèi)項(xiàng)把同類(lèi)項(xiàng)中的系數(shù)相加減，字母與字母的指數(shù)不變.

整式的

括號(hào)外是“+”，添（去）括號(hào)不變號(hào)，

加減添（去）括號(hào)法則

括號(hào)外是，添（去）括號(hào)都變號(hào).

整式的加減法則幾個(gè)整式相加減，如有括號(hào)就先去括號(hào)，然后再合并同類(lèi)項(xiàng).

離顓易錯(cuò)把握維〒

1.所有常數(shù)項(xiàng)都是同類(lèi)項(xiàng).

2."同類(lèi)項(xiàng)口訣”：①兩同兩無(wú)關(guān)，識(shí)別同類(lèi)項(xiàng)：②一相加二不變，合并同類(lèi)項(xiàng).

“兩同”：一是所含字母相同；二是相同字母的指數(shù)也相同，這兩點(diǎn)也是判斷同類(lèi)項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)，缺一不可.

“兩無(wú)關(guān)”：一是與系數(shù)大小無(wú)關(guān)；二是與所含字母的順序無(wú)關(guān).

“一相加”：系數(shù)相加作為結(jié)果的系數(shù).“二不變”：字母連同字母指數(shù)不變.

3.合并同類(lèi)項(xiàng)一定要完全、徹底，不能有漏項(xiàng)，而且合并同類(lèi)項(xiàng)結(jié)果可能是單項(xiàng)式，也可能是多項(xiàng)式.

4.去括號(hào)只是改變式子形式，但不改變式子的值，它屬于多項(xiàng)式的恒等變形.

5.去括號(hào)和添括號(hào)是兩種相反的變形，因此可以相互檢驗(yàn)正誤.

習(xí)兗實(shí)目礎(chǔ)知深精退

*的運(yùn)■內(nèi)容公式孫充說(shuō)明

Lit川公式1

冏底菽己叫才?二.?*"

K底觸不受，指數(shù)相加

相策(m.nMfftk/2【小展】】

…；

[負(fù)號(hào)在拍＜5內(nèi)時(shí)a次方給果為正奇次方為負(fù)

負(fù)號(hào)在括號(hào)外結(jié)累都為負(fù)

(.叩,廣

口的*力施做不變，招數(shù)相察

(m.n疝是整效；2遂MJ公式?乃

3tr*](B,n.P0M1EM)

杷稅的每一個(gè)因式分別察方.(abf=arbnLift用公式3a"bn=(?b)n

積的票方

再也所將的黑相集(nAKft)

N(ITIrJ(abc|=aVc1'

IX?看扈故是否相同.梅敷相W4福跳就式

的指敷城去除式的指蚊

2英網(wǎng)公式1ru/w(400.m、nMLE

m,。都為?111

MO.

同底鈦幕

底數(shù)不交，指數(shù)相武

和除3.【曠?】廣aa^O.a.n,p

都是il：整散).

等福效Ka°=l(a*0)

負(fù)鱉散海散樣晨7

a"

(■=0?n為正整數(shù)》

國(guó)顓易錯(cuò)杷握細(xì)節(jié)

1.塞的乘方法則的條件是“哥”的乘方，結(jié)論是“底數(shù)不變，指數(shù)相乘”.這里的“底數(shù)不變"是指'‘塞"

的底數(shù)“a”不變.例如：(a3)2=a6,其中，“幕”的底數(shù)是“a”，而不是的2"，指數(shù)相乘是指“3X2”.

2.同底數(shù)塞的乘法和幕的乘方在應(yīng)用時(shí)，不要發(fā)生混淆.

3.式子（a+b）2不可以寫(xiě)成a2+b2,因?yàn)槔ㄌ?hào)內(nèi)的a與b是“加”的關(guān)系，不是“乘”的關(guān)系.

4.應(yīng)用積的乘方時(shí)，特別注意觀察底數(shù)含有幾個(gè)因式都分別乘方；要特別注意系數(shù)及系數(shù)符號(hào)，對(duì)于系數(shù)

是負(fù)數(shù)的要多加注意.

?技巧點(diǎn)被方法歸納

塞的運(yùn)算首先要熟練掌握幕的四條基本性質(zhì)，要做到不但會(huì)直接套用公式，還要能逆用.其次要注意要求的

代數(shù)式與已知條件的聯(lián)系，沒(méi)明顯關(guān)系時(shí)常常逆用公式將其分解.第三塞的底數(shù)是常數(shù)且指數(shù)中有常數(shù)也有

未知數(shù)時(shí)，通常把常數(shù)的整數(shù)指數(shù)累化成常數(shù)作為其它基的系數(shù)，然后進(jìn)行其它運(yùn)算（例：已知22X+3—22X+I=48,

求X的值）.第四底數(shù)不同而指數(shù)可變相同的，可通過(guò)比較底數(shù)確定其大小關(guān)系，還可通過(guò)積的乘方的逆運(yùn)

算相乘.

充實(shí)目礎(chǔ)知識(shí)精沮

整式的乘除運(yùn)算步驟說(shuō)明補(bǔ)充說(shuō)明及注意事項(xiàng)

①將單項(xiàng)式系數(shù)相乘作為積的系數(shù)；

②相同字母的因式，利用同底數(shù)累的乘法，作1）實(shí)質(zhì):乘法的交換律和同底數(shù)幕的乘法法

單項(xiàng)式乘單

為積的一個(gè)因式；則的綜合應(yīng)用.

項(xiàng)式

③單獨(dú)出現(xiàn)的字母，連同它的指數(shù)，作為積的2）單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式所得結(jié)果仍是單項(xiàng)式.

一個(gè)因式.

1）單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式實(shí)質(zhì)上是轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式

單項(xiàng)式乘多①先用單項(xiàng)式和多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別相乘；乘以單項(xiàng)式

項(xiàng)式②再把所得的積相加.2）單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的結(jié)果是多項(xiàng)式，積的

項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同.

運(yùn)用法則時(shí)應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：

①相乘時(shí)，按一定的順序進(jìn)行，必須做到不

①先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)與另一個(gè)多項(xiàng)式重不漏；

多項(xiàng)式乘多

的每一項(xiàng)相乘，②多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，多項(xiàng)式的每一項(xiàng)

項(xiàng)式

②再把所得的積相加.都應(yīng)該帶上它前面的正負(fù)號(hào).且結(jié)果仍是多

項(xiàng)式，在合并同類(lèi)項(xiàng)之前，積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)等于

原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)之積.

①將單項(xiàng)式系數(shù)相除作為商的系數(shù)；

單項(xiàng)式除單②相同字母的因式，利用同底數(shù)累的除法，作

項(xiàng)式為商的一個(gè)因式；

③只在被除式里含有的字母連同指數(shù)不變.

多項(xiàng)式除單①先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式；

項(xiàng)式②再把所得的商相加

整式的混合運(yùn)算的運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號(hào)時(shí)先算括號(hào)里面的.

票法公式變形

平方型公大(a4*b)(a~b)-b*

1.均過(guò)移項(xiàng)變形

用法：LlfiU+b.如、/??>'中的兩求另,項(xiàng)的債(如二求，?).

2.a*b與a-b的1#化

J)加?|!)'—(■-!!)②(a-fa)**(a*b)**4ab

,3)―《iib-1=2(ft*,*b*)

如±b）'=J±2ab+b2用法3已皿外、ah、??b中的兩jfll求另一?的依(til.求T.

*媒結(jié)構(gòu)

完全平方公式口諛?平方.尾單方.B

二倍果積放中央J)+4②x:4~—；

<jr?g?g

3)(x-3，?d~2+9④點(diǎn)-~)2*2

4riR

J)(a±b)'=u"±3ia>+3tti>。土b'

②Gi*b*c)'n/+b，++2?b+2?c?21>c

完全平方公式的幾何背景

1.意義：運(yùn)用幾何圖形直觀理解、解決完全平方公式的推導(dǎo)過(guò)程，通過(guò)幾何圖形之間的數(shù)量關(guān)系對(duì)完全平

方公式做出幾何解釋.

2.常見(jiàn)驗(yàn)證完全平方公式的幾何圖形

結(jié)論：（a+b）2=a>2ab+b2.（用大正方形的面積等于邊長(zhǎng)為a和邊長(zhǎng)為b的兩個(gè)正方形與兩個(gè)長(zhǎng)寬分別是a,

b的長(zhǎng)方形的面積和作為相等關(guān)系）

平方差公式的幾何背景

L意義：運(yùn)用幾何圖形直觀理解、解決平方差公式的推導(dǎo)過(guò)程，通過(guò)幾何圖形之間的數(shù)量關(guān)系對(duì)平方差公

式做出幾何解釋.

2.常見(jiàn)驗(yàn)證平方差公式的幾何圖形

?技15點(diǎn)提方法歸納

整式的加減運(yùn)算的實(shí)質(zhì)就是合并同類(lèi)項(xiàng).主要的理論依據(jù)是：去括號(hào)法則，合并同類(lèi)項(xiàng)法則，以及分配率.

因此關(guān)于整式加減的一般步驟為：①列出代數(shù)式；②去括號(hào)；③找出同類(lèi)項(xiàng)；④合并同類(lèi)項(xiàng).需要注意的是

整式加減的最后結(jié)果中：①不能含有同類(lèi)項(xiàng)，要合并到不能再合并為止；

②不能出現(xiàn)帶分?jǐn)?shù)，帶分?jǐn)?shù)要化成假分?jǐn)?shù).

涉及整式加減運(yùn)算的常見(jiàn)題型還有代數(shù)式求值，這類(lèi)題目的一般步驟：①代數(shù)式化簡(jiǎn)；②代入計(jì)算；③對(duì)

于某些特殊的代數(shù)式，可采用“整體代入”進(jìn)行計(jì)算.做題時(shí)特別要注意的是在整式的加減運(yùn)算過(guò)程中，不

多項(xiàng)，不漏項(xiàng)，交換項(xiàng)的位置時(shí)，要注意連同符號(hào)一起交換.

重點(diǎn)考點(diǎn)四整式化簡(jiǎn)求值（高頻考點(diǎn)）

習(xí)充實(shí)目礎(chǔ)知識(shí)精沮

1.直接代入法：把已知字母的值直接代入代數(shù)式計(jì)算求值.

2.間接代入法：將已知的代數(shù)式化簡(jiǎn)后，再將已知字母的值代入化簡(jiǎn)后的代數(shù)式中計(jì)算求值.

3.整體代入法：①觀察已知代數(shù)式和所求代數(shù)式的關(guān)系.

②利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式將已知代數(shù)式和所求代數(shù)式進(jìn)行變形，使它

們成倍分關(guān)系.

③把已知代數(shù)式看成一個(gè)整式代入所求代數(shù)式中計(jì)算求值.

4.賦值求值法：指代數(shù)式中的字母的取值由答題者自己確定，然后求出所提供的代數(shù)式的值的一種方法.這

是一種開(kāi)放型題目，答案不唯一.在賦值時(shí)，要注意取值范圍，選擇合適的代數(shù)式的值.

5.隱含條件求值法：先通過(guò)隱含條件求出字母值，然后化簡(jiǎn)再求值.

例如：①若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0,則每個(gè)非負(fù)數(shù)的值均為0

②已知兩個(gè)單項(xiàng)式為同類(lèi)項(xiàng)，通過(guò)求次數(shù)中未知數(shù)的值，進(jìn)而帶入到代數(shù)式中計(jì)算求值.

6.利用“無(wú)關(guān)”求值：

①若一個(gè)代數(shù)式的值與某個(gè)字母的取值無(wú)關(guān)時(shí)需先對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，則可得出該無(wú)關(guān)字母的系數(shù)為0；

②若給定字母寫(xiě)錯(cuò)得出正確答案，則該代數(shù)式的值與該字母無(wú)關(guān).

7.配方法：若已知條件含有完全平方式，則可通過(guò)配方，把條件轉(zhuǎn)化成幾個(gè)平方和的形式，再利用非負(fù)數(shù)

的性質(zhì)來(lái)確定字母的值，從而求得結(jié)果.

8.平方法：在直接求值比較困難時(shí)，有時(shí)也可先求出其平方，再求平方值的平方根，但要注意最后結(jié)果的

符號(hào).

9.特殊值法：有些試題，用常規(guī)方法直接求解比較困難，若根據(jù)答案中所提供的信息，選擇某些特殊情況

進(jìn)行分析，或選擇某些特殊值進(jìn)行計(jì)算，把一般形式變?yōu)樘厥庑问竭M(jìn)行判斷，這時(shí)常常會(huì)使題目變得十分

簡(jiǎn)單.

10.設(shè)參法：遇到比值的情況，可對(duì)比值整體設(shè)參數(shù)，把每個(gè)字母用參數(shù)表示，然后代入計(jì)算即可.

11.利用根與系數(shù)的關(guān)系求解：如果代數(shù)式可以看作某兩個(gè)“字母”的輪換對(duì)稱(chēng)式，而這兩個(gè)“字母”又可

能看作某個(gè)一元二次方程的根，可以先用根與系數(shù)的關(guān)系求得其和、積式，再整體代入求值.

12.利用消元法求值：若已知條件以比值的形式出現(xiàn)，則可利用比例的性質(zhì)設(shè)比值為一個(gè)參數(shù)，或利用一

個(gè)字母來(lái)表示另一個(gè)字母.

13.利用倒數(shù)法求值：將已知條件或待求的代數(shù)式作倒數(shù)變形，從而求出代數(shù)式的值.

重點(diǎn)考點(diǎn)五因式分解

習(xí)兗實(shí)目礎(chǔ)知深精退

■包把?個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的卷機(jī)的賬式7做詞式，r*.P1式計(jì)修與整式象法旦且逆雯格.

置公因式法Bapb*scQ(a)

整本

①運(yùn)用平方裝公式，?T=(a+b)(a-b),

方法

②運(yùn)用光金千方公式e?:±2ab4-b?=(a±b)5

丁?(prb*po^sp)€oz)

hi訣】的二分?.2丈和衾.實(shí)齡舞選.求和港中.

，字照乘法

t抬憔】BI式分thax沁11

①若8br=o?m必有因式K-I②若a-brR.則必“四式x”

方法

因式分用力制法nc*a(Bbc*cd=a(c*d)*b(c*d):(a*b)(c*d)

分僅此處1；項(xiàng)式中某部分代觸式血0出現(xiàn),郡么可桁運(yùn)部分代融式用另一個(gè)字母代K.

帙元法例：閃式分M(Y*5x*2)(~12.iS”*5x*2-t

則.蛆式(1?1)-12*(t(x*2)(x^3)Cx**5x-1＞

1＞如果4”式方鵬怖公限式.應(yīng)先搬“公因式:

2＞加聯(lián)各“沒(méi)保公因式.可以常虢使用公式法：①為兩項(xiàng)時(shí),考慮平方景公式?

般②為二用時(shí)?焉臉需全平方公式t

③為四珈時(shí).考虎利用分19的方法13廳分*h

3)檢畬分”陽(yáng)式站古M底.必編分加到*個(gè)多項(xiàng)式■不■胃分M為止.

以上少?可以口特為?一■、二th三?查?.________________________________________________

廉I離顓易錯(cuò)杷握細(xì)節(jié)

1.因式分解分解對(duì)象是多項(xiàng)式，分解結(jié)果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個(gè)要素缺一不可；

2.因式分解必須是恒等變形；

3.因式分解必須分解到每個(gè)因式都不能分解為止.

4.因式分解與整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式.

?技巧點(diǎn)撥方法歸納

因式分解的關(guān)鍵在于熟練掌握因式分解的兩種基本方法：提取公因式法和公式法.因式分解的一般步

驟：

二套三檢查

題型精研?考向洞悉

第一部分：常考考點(diǎn)講練

考點(diǎn)1:列代數(shù)式

【例1】(2024?高港區(qū)三模)用面積為1,3,4,8的四張長(zhǎng)方形紙片拼成如圖所示的一個(gè)大長(zhǎng)方形，則圖

中陰影的面積為()

【思路點(diǎn)撥】設(shè)面積為1的長(zhǎng)方形長(zhǎng)、寬分別為a、b,則必=1,根據(jù)面積發(fā)分別計(jì)算面積為3、4、8的

長(zhǎng)、寬，用。、6表示陰影部分的面積，即可解題.

【規(guī)范解答】解：如圖，設(shè)面積為1的長(zhǎng)方形長(zhǎng)、寬分別為a、b,則必=1,b=~,

a

面積為3的長(zhǎng)方形寬為a,長(zhǎng)為』，

a

面積為4的長(zhǎng)方形和面積為8的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相等，則寬的比例為4:8=1:2,

故面積為4的長(zhǎng)方形的寬為七1*33+口=24,長(zhǎng)為4;=3*

3a3aJL

3a

4

:.BD=——b,

3a

陰影部分的面積為AABD和ABCD面積之和，

、…1414S9

陰影部分的面積為一x(---b)xa+—x(----Z?)x3a=——2ab=—,

23a23a33

故選：A.

bA

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了長(zhǎng)方形面積的計(jì)算，考查了三角形面積的計(jì)算，本題中求助的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.

【變式1](2022?廣陵區(qū)校級(jí)三模)某便利店的咖啡單價(jià)為10元/杯，為了吸引顧客，該店共推出了三種會(huì)

員卡，如表：

會(huì)員卡類(lèi)型辦卡費(fèi)用/元有效期優(yōu)惠方式

A類(lèi)401年每杯打九折

B類(lèi)801年每杯打八折

C類(lèi)1301年一次性購(gòu)買(mǎi)2杯，第二

杯半價(jià)

例如，購(gòu)買(mǎi)A類(lèi)會(huì)員卡，1年內(nèi)購(gòu)買(mǎi)50次咖啡，每次購(gòu)買(mǎi)2杯，則消費(fèi)40+2x50x(0.9x10)=940元.若

小玲1年內(nèi)在該便利店購(gòu)買(mǎi)咖啡的次數(shù)介于75~85次之間，且每次購(gòu)買(mǎi)2杯，則最省錢(qián)的方式為()

A.購(gòu)買(mǎi)A類(lèi)會(huì)員卡B.購(gòu)買(mǎi)3類(lèi)會(huì)員卡

C.購(gòu)買(mǎi)C類(lèi)會(huì)員卡D.不購(gòu)買(mǎi)會(huì)員卡

【思路點(diǎn)撥】設(shè)一年內(nèi)在便利店購(gòu)買(mǎi)咖啡尤次，用x表示出購(gòu)買(mǎi)各類(lèi)會(huì)員年卡的消費(fèi)費(fèi)用，把x=75、85

代入計(jì)算，比較大小得到答案.

【規(guī)范解答】解：設(shè)一年內(nèi)在便利店購(gòu)買(mǎi)咖啡尤次，

購(gòu)買(mǎi)A類(lèi)會(huì)員年卡，消費(fèi)費(fèi)用為40+2x(0.9xl0)x=(40+18尤)元；

購(gòu)買(mǎi)3類(lèi)會(huì)員年卡，消費(fèi)費(fèi)用為80+2x(0.8xl0)x=(80+16x)元；

購(gòu)買(mǎi)C類(lèi)會(huì)員年卡，消費(fèi)費(fèi)用為130+(10+5)x=(130+15x)元；

把x=75代入得4:1390元；3:1280元；C1255元，

把x=85代入得A:157O元；3:1440元；C1405元，

則小玲1年內(nèi)在該便利店購(gòu)買(mǎi)咖啡的次數(shù)介于75~85次之間，且每次購(gòu)買(mǎi)2杯，則最省錢(qián)的方式為購(gòu)買(mǎi)C類(lèi)

會(huì)員年卡.

故選：C.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查的是有理數(shù)的混合運(yùn)算的應(yīng)用，掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

【變式2］（2024?涕陽(yáng)市一模）班主任王老師近期準(zhǔn)備換車(chē)，看中了價(jià)格相同的兩款國(guó)產(chǎn)車(chē).

燃油車(chē)新能源車(chē)

油箱容積：40升電池電量：60千瓦時(shí)

油價(jià)：8元/升電價(jià)：I元/千瓦時(shí)

續(xù)航里程：加千米續(xù)航里程：機(jī)千米

每千米行駛費(fèi)用：每千米行駛費(fèi)用

320一60一

——?！?/p>

mm

（1）用含機(jī)的代數(shù)式表示新能源車(chē)的每千米行駛費(fèi)用.

（2）若燃油車(chē)的每千米行駛費(fèi)用比新能源車(chē)多0.52元.

①分別求出這兩款車(chē)的每千米行駛費(fèi)用.

②若燃油車(chē)和新能源車(chē)每年的其它費(fèi)用分別為5000元和7600元.問(wèn)：每年行駛里程超過(guò)多少千米時(shí)，買(mǎi)

新能源車(chē)的年費(fèi)用更低？

（年費(fèi)用=年行駛費(fèi)用+年其它費(fèi)用）

【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)表中的信息，可以計(jì)算出新能源車(chē)的每千米行駛費(fèi)用;

（2）①根據(jù)燃油車(chē)的每千米行駛費(fèi)用比新能源車(chē)多0.54元和表中的信息，可以列出相應(yīng)的分式方程，然

后求解即可，注意分式方程要檢驗(yàn);

②根據(jù)題意，可以列出相應(yīng)的不等式，然后求解即可.

【規(guī)范解答】解：（1）由表格可得，新能源車(chē)的每千米行駛費(fèi)用為:

60,一、

oOx14-/it=—(yG)，

m

故答案為：—.

m

(2)①當(dāng)-?=0.52,

mm

解得m=500,

經(jīng)檢驗(yàn)，加=500是原分式方程的解,

320_,./一、60A—/

---=0.64(兀)，---=0.12(兀).

500500

答：燃油車(chē)的每千米行駛費(fèi)用為0.64元，新能源車(chē)的每千米行駛費(fèi)用為0.12元.

②設(shè)每年行駛里程為無(wú)km.

由題意得：0.64x+5000>0.l2x+7600,

解得x>5000,

答：當(dāng)每年行駛里程大于5000初7時(shí)，買(mǎi)新能源的年費(fèi)用更低.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了列代數(shù)式的問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的分式方程和不等式.

考點(diǎn)2：代數(shù)式求值

【例2】（2024?鼓樓區(qū)校級(jí)三模）如果a-b+3=0,那么代數(shù)式l-2a+2的值是7

【思路點(diǎn)撥】將a—b+3=0變形后得a—6=—3,代入原式=1—2（a—Z?）求解可得.

【規(guī)范解答】解：a-6+3=0,

a—b=-3,

則原式=1-2（。一3

=l-2x（-3）

=1+6

=7

故答案為：7.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是掌握整體代入思想的運(yùn)用.

【變式1］（2024?鼓樓區(qū)一模）若x+2y=5,則3元+6y一1的值是14.

【思路點(diǎn)撥】將3x+6y-1轉(zhuǎn)化為3（x+2y）-1再整體代入計(jì)算即可.

【規(guī)范解答】解：-x+2y=5,

.-.3x+6j-l=3（x+2y）-l=3x5-l=14.

故答案為：14.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了代數(shù)式求值，整體代入是解答本題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)3：合并同類(lèi)項(xiàng)

【例3】（2021?江陰市模擬）下列計(jì)算正確的是（）

A.a+a=cTB.6x3—5x2=x

C.3a2b—4ba2=—a2bD.3x2+2X3=5x5

【思路點(diǎn)撥】利用同并同類(lèi)項(xiàng)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷.

【規(guī)范解答】解：A、原式=2a,所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、6三和一5尤2不能合并，所以3選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、原式=-/匕，所以c選項(xiàng)正確；

D、3爐和2爐不能合并，所以。選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：C.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了合并同類(lèi)項(xiàng)：“合并”是指同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)的相加，并把得到的結(jié)果作為新的系數(shù),

要保持同類(lèi)項(xiàng)的字母和字母的指數(shù)不變.

【變式1](2024?海陵區(qū)校級(jí)三模)下列計(jì)算正確的是()

A.2x+3x=5xB.(x-y)2=x2-y2

C.x6-i-x2=x,D.(-2xy)2=-4x2y2

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)合并同類(lèi)項(xiàng)的運(yùn)算法則、完全平方公式、同底數(shù)幕的除法和積的乘方分別進(jìn)行計(jì)算即可

得出答案.

【規(guī)范解答】解：A>2x+3x=5x,故本選項(xiàng)正確；

B、(x-j)2=x2-2xy+y2,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C>f+元?=工4,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、(-2xy)2=4x2y2,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：A.

【考點(diǎn)評(píng)析】此題考查了同底數(shù)幕的除法、積的乘方、完全平方公式和合并同類(lèi)項(xiàng)，熟練掌握運(yùn)算法則是

解題的關(guān)鍵，是一道基礎(chǔ)題.

【變式2】.(2020?東臺(tái)市模擬)下列各式，運(yùn)算正確的是()

A.5a—3a=2B.2a+3b=Sab

C.la+a—la2D.10ab2—5b2a=5ab2

【思路點(diǎn)撥】合并同類(lèi)項(xiàng)的法則：把同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變，據(jù)

此逐項(xiàng)判定即可.

【規(guī)范解答】解：5a-3a=2a,，選項(xiàng)A不符合題意；

2。+36w5"，，選項(xiàng)3不符合題意；

7a+a=8a,，選項(xiàng)C不符合題意；

10ab2-5b2a^5ab2,選項(xiàng)。符合題意.

故選：D.

【考點(diǎn)評(píng)析】此題主要考查了合并同類(lèi)項(xiàng)的方法，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確合并同類(lèi)項(xiàng)的法

則：把同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變.

【變式3］（2024?亭湖區(qū)一模）若為大于1的整數(shù)），貝防的值是9.

a個(gè)/-----

【思路點(diǎn)撥】將。個(gè)。"相加合并同類(lèi)項(xiàng)，根據(jù)同底數(shù)幕的乘法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求出〃的值即可.

【規(guī)范解答】解：=a-an=an+l=a10，

a個(gè)，

7?+1=10,

/.n=9.

故答案為：9.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查合并同類(lèi)項(xiàng)，掌握合并同類(lèi)項(xiàng)的方法及同底數(shù)嘉的乘法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)4：規(guī)律型：數(shù)字的變化類(lèi)

【例4】（2024?徐州）觀察下列各數(shù)：3、8、18、38、…，按此規(guī)律，第5~7個(gè)數(shù)可能為（）

A.48、58、68B.58、78、98C.76、156、316D.78、158、318

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意得出已知數(shù)組的規(guī)律，得到第〃個(gè)數(shù)的表示方法，從而得出結(jié)果.

【規(guī)范解答】解：3x2+2=8,

8x2+2=18，

18x2+2=38,

.,.第5個(gè)數(shù)為38x2+2=78,

第6個(gè)數(shù)為78*2+2=158,

第7個(gè)數(shù)為158x2+2=318,

故選：D.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了數(shù)字的變化規(guī)律，題目難度不大，通過(guò)觀察、分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，

并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問(wèn)題是解答該題的關(guān)鍵.

【變式1］（2024?海陵區(qū)校級(jí)三模）“數(shù)學(xué)是將科學(xué)現(xiàn)象升華到科學(xué)本質(zhì)認(rèn)識(shí)的重要工具”.比如化學(xué)中，甲

醇的化學(xué)式為乙醇的化學(xué)式為C?凡的，丙醇的化學(xué)式為可以預(yù)見(jiàn)醇類(lèi)物質(zhì)的分子

中碳原子和氫原子的數(shù)目滿足一定的數(shù)學(xué)規(guī)律，則碳原子的數(shù)目為15的醇的化學(xué)式是（）

A.C15H30OHB.Cl5H3iOHC.Q5H320HD.Q5H330H

【思路點(diǎn)撥】由題目可知，碳原子和氫原子的數(shù)目規(guī)律為：氫原子的數(shù)目=2x碳原子的數(shù)目+1+1,由此計(jì)

算即可得出結(jié)果.

【規(guī)范解答】解：由題意可知:

碳原子的數(shù)目為1的甲醇的化學(xué)式為其氫原子的數(shù)目為3+1=4,

二碳原子和氫原子的數(shù)目規(guī)律為：氫原子的數(shù)目4=2x碳原子的數(shù)目1+1+1；

碳原子的數(shù)目為2的乙醇的化學(xué)式為。。凡?！?，其氫原子的數(shù)目為5+1=6,

，碳原子和氫原子的數(shù)目規(guī)律為：氫原子的數(shù)目6=2*碳原子的數(shù)目2+1+1；

碳原子的數(shù)目為3的丙醇的化學(xué)式為C387O/7,其氫原子的數(shù)目為7+1=8,

碳原子和氫原子的數(shù)目規(guī)律為：氫原子的數(shù)目8=2x碳原子的數(shù)目3+1+1；

.一.碳原子的數(shù)目為15的醇的氫原子數(shù)目=2x15+1+1=32,

.?.碳原子的數(shù)目為15的醇的化學(xué)式為：Cl5H3lOH,

故選：B.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查的是數(shù)字的變化規(guī)律，從題目中找出化學(xué)式之間的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【變式2](2024?高郵市一模)已知"0且awl,我們定義工(a)=」一，記為4；力(。)=—-—，記為出；

1-al-a1

=記為a?.若將數(shù)組(-1」,3)中的各數(shù)分別作工的變換，得到的數(shù)組記為(q,bx,q)；

將(4,4，C])作了2的變換，得到的數(shù)組記為b],c2)；...；則4+4+C]+a?++,+“2024+%24+。2024

的值為4160.

【思路點(diǎn)撥】要先根據(jù)題意找到規(guī)律，多算幾組，發(fā)現(xiàn)每三次變換為一個(gè)循環(huán)，進(jìn)而可得到結(jié)果.

【規(guī)范解答】解：?數(shù)組(a,b,c)確定為將一個(gè)數(shù)組(a,b,c)(a、b、c均不等于。和1)中

的各數(shù)分別作的變換，第1次變換得到(4,仿，cj；第2次變換得到(％,b2,c2)；...；第"次變換

得至！J，bn，cn),依題意得:

(%,4,9)=(匚匕1占）=32,

—,%+4+G=2,

1--

2

122

-----）=（2,9

（?，b?,Q）=（r1^2一］，，%+%+。2=

1一一1-（--）

2

（見(jiàn)，仇，Co）=（---，-------，）=（—1，_，3）,&+久+。[=2_

3T~

1-21-（-1）「22七332

~3

（&,b4,c4）=（--，r，--r）=?2,一：），%+4+q=2,

1—（—1）]，I—3Z，

-2

...,

由規(guī)律可得每三次變換為一個(gè)循環(huán)，

二.弓+b[+q+%+"2+G+/+4+G=6一,

6

2024+3=674...2,

..4+4+C]+々2+°2++“2024+°2024+02024

=674x6-4-2+1-

63

=4156-+2+1-

33

=4160.

故答案為：4160.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了數(shù)字類(lèi)規(guī)律探索，準(zhǔn)確計(jì)算、發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【變式3]（2024?南京三模）觀察下列等式：

第1個(gè)等式：--3=1--,

11

第2個(gè)等式：--5=1--,

33

第3個(gè)等式：--7-1--,

55

按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：

（1）寫(xiě)出第4個(gè)等式：土辿-9=1一9；