第三章 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 章節(jié)總結(jié)（原卷版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考專用）

第16講：第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章節(jié)總結(jié)

目錄

第一部分：典型例題講解...................................1

題型一：求切線問題....................................1

題型二：公切線問題....................................2

題型三：已知切線條數(shù)求參數(shù)............................3

題型四：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性（小題）..............3

題型五：借助單調(diào)性構(gòu)造函數(shù)解不等式....................4

題型六：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性（含參討論）............5

題型七：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值........................7

題型八：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值........................8

題型九：利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題.......................10

題型十：利用導(dǎo)數(shù)解決有解問題.........................11

題型十一：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點（方程根）問題........12

第二部分：新定義題......................................15

第一部分：典型例題講解

題型一：求切線問題

1.（2024?陜西西安?二模）己知直線＞=履+》與曲線/（x）=/+2+lnx相切于點尸（1,4）,則

a+b+k=（）

A.3B.4C.5D.6

2.（23-24高二下?陜西西安?階段練習(xí)）曲線〃x）=e'+ln（2x+l）在點（0,〃0））處的切線的

方程為.

3.（2024高二?全國?專題練習(xí)）已知直線/為曲線/。）=（丁+；過點尸（2,4）的切線.則直

線/的方程為

4.（23-24高二下?四川南充?階段練習(xí)）已知函數(shù)"r）=L

X

（1）曲線y=/（x）在點尸處的切線與直線y=4x-u互相垂直，求點p的坐標.

⑵過點Q（T,3）作曲線＞=/（元）的切線，求此切線的方程.

5.（23-24高二下?江西南昌?階段練習(xí)）已知函數(shù)〃同=*3+環(huán)點A（0,0）在曲線y=/（x）

上.

⑴求曲線y=/（可在點（1,1）處的切線方程；

⑵求曲線y=〃尤）過點（1,0）的切線方程.

題型二：公切線問題

1.（23-24高二下,湖北武漢?階段練習(xí)）若直線/既和曲線G相切，又和曲線C?相切，則稱

/為曲線G和C?的公切線.曲線G：y=/和曲線C?：y=4e-的公切線方程為（）

A.4x-y-4=0B.x-2y-4=0

C.%-y+l=0D.2x—y—2=0

2.（多選”23-24高二上?山西運城,期末）若直線y=r+7〃是曲線、=2/+3了+4與y=-e"+"

曲線的公切線，則（）

A.m=-lB.m=2

C.n=3D.n=—3

3.（23-24高二下?重慶?開學(xué)考試）已知函數(shù)/⑴=ln%,g（x）=xa（x>0,〃。0）,若存

在直線/,使得/是曲線y=與曲線y=g。）的公切線,則實數(shù)。的取值范圍是.

4.（23-24高二上?重慶?期末）若函數(shù)/（x）=rlnx與函數(shù)g（x）=f的圖象存在公切線，則

實數(shù)f的取值范圍為.

5.（2024高二下■全國,專題練習(xí)）已知曲線G：y，曲線C?:y=g（x）=1—,

X

求證：G與c,相切，并求其公切線的方程.

題型三：已知切線條數(shù)求參數(shù)

1.（23-24高二下?浙江?階段練習(xí)）若過點（。力）可以作曲線y=ln尤的兩條切線，則（）

A.e4>0>aB.Ino>0>Z?C.eb>a>0D.ina>b>0

2.（23-24高二上,廣東深圳?期末）過點（1,a）可以做三條直線與曲線>=北相切，則實數(shù)。

的取值范圍是（）

A.CC.T，TD.卜川

3.（23-24高二下?遼寧?期末）已知過點入（0力）作的曲線>=平的切線有且僅有兩條，則6

的取值范圍為（）

/\

A.（°，—[B.C.（0,e）D.0,—

4.（2023?陜西寶雞?二模）若過點（0,2）可作曲線y=V+3/+辦+。一2的三條切線，則。的

取值范圍是（）

A.（-3,-1）B.（-2,2）C.（4,5）D.（4,6）

題型四：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性（小題）

1.（23-24高二下?河北張家口?階段練習(xí)）若函數(shù)〃x）=尤-在（1,3）上單調(diào)遞減，則

X

實數(shù)a的取值范圍是（）

A.[「20,司10]B.門[丁0+叼）C.5[2,+oo）\D.[「1石0，+刃）

2.（23-24高三下?河南?階段練習(xí)）已知函數(shù)〃元）=ae'-gx2在區(qū)間（1,2）上單調(diào)遞增，則a

的最小值為（）

A.eB.1C.e-2D.J

3.（23-24高二上?福建福州?期末）已知函數(shù)〃x）=ae「Inx在區(qū)間（1,3）上單調(diào)遞減，則實

數(shù)。的最大值為（）

1111

A.B.—C.—rD.—r

e3e3e3e3

4.（23-24高三上?福建泉州?階段練習(xí)）若函數(shù)〃（%）=1皿-；辦2-2%在［1,4］上存在單調(diào)遞

增區(qū)間，則實數(shù)。的取值范圍為（）

A.B.（-1,+co）C.（D.f

5.（2023高三?全國?專題練習(xí)）若函數(shù)“力=加-3/+彳+1恰有三個單調(diào)區(qū)間，則實數(shù)。

的取值范圍為（）

A.［3,+co）B.（-<x>,3）C.（-oo,0）u（0,3）D.（-8,0）

6.（22-23高二下?湖北?階段練習(xí)）若函數(shù)/（元）=2X2-1M在其定義域的一個子區(qū)間

（2左-1,2%+1）內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)人的取值范圍是（）

-13>「3）「1Q（13、

L24；L4）L2）（24；

7.（21-22高三上?河南?階段練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=d+（x-1），在區(qū)間［1,3］上不是單調(diào)函

數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍是（）

題型五：借助單調(diào)性構(gòu)造函數(shù)解不等式

1.（23-24高二下?河北保定?階段練習(xí)）若函數(shù)/（X）的定義域為R,且/'（力>1,則不等式

“力―〃2）>x—2的解集為

A.(1,+℃)B.(fl)C.(2,+co)D.(-oo,2)

2.(23-24高二下?河南?階段練習(xí))設(shè)。=6,8=3eln2,c=2eln3,則()

A.b<a<cB.c<a<bC.c<b<aD.b<c<a

3.（23-24高二下?河北張家口?階段練習(xí)）若。=華,6=上。=華，則以下不等式正確的是

2e3

(

A.c>b>aB.a>b>cC.b>a>cD.b>c>a

4.(23-24高二下?重慶?階段練習(xí))已知函數(shù)的定義域為(-8,0),=其導(dǎo)

函數(shù)((x)滿足礦⑺―2/(力>0,則不等式/(元+2025)+(x+2025y<0的解集為()

A.(-2026,0)B.(-2026,-2025)

C.(-oo,-2026)D.(-oo,-2025)

5.(2024?陜西?模擬預(yù)測)設(shè)a=0.9,b=sinIc=e?,9,則()

4

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.b<c<a

6.(23-24高三上?浙江杭州?期末)已知定義在R上的函數(shù)〃x)滿足sin4*(x)+cosxfr(x)>0,

貝IJ()

題型六：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性(含參討論)

1.(2024高二?上海?專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=lnx+ox+l.

⑴當。=—1時,求的最大值.

(2)討論函數(shù)“X)的單調(diào)性.

2.(23-24高二下?四川南充?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=lnx+加+(2a+l)x.

⑴當a=-l時，求/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若〃尤)在［3,5］上是增函數(shù)，求。的取值范圍；

⑶討論/(x)的單調(diào)性.

3.(23-24高二下?四川廣元■階段練習(xí))己知函數(shù)/(x)=-gox2+a+。)尤-1n尤(”eR).

(1)當。=0時，求函數(shù)一⑺的最小值；

(2)當。=1時,XG[1,3],證明不等式〃%)>-41nx；

⑶當aeR時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

4.(23-24高二下?河北石家莊?階段練習(xí))已知函數(shù)〃尤)=(l-a)lnx+依+J,aeR.

(1)當a=2時，求函數(shù)y=/(x)在1,e上的值域(皿2.718)；

(2)討論函數(shù)y(無)的單調(diào)性.

5.(2024高三?全國?專題練習(xí))已知〃%)=(無2+如+2,*(;〃€11),討論/'(x)的單調(diào)性.

題型七：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

1.(2024,遼寧?一模)已知函數(shù)/(x)=21nx-2(a-l)x-ox2(a>0).

(1)當。=1時，求曲線y=/(尤)在點(2,，(無))處的切線/的方程；

⑵討論Ax)的極值.

2.(23-24高二下?湖北武漢?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=lnx+l-2a-x+@有兩個不同的極

X

值點占,工2,且X]>0,工2>。.

(1)求。的取值范圍；

⑵求/(x)的極大值與極小值之和的取值范圍.

3.(2024?山東濟南?一模)已知函數(shù)〃x)=e2*+e*-口.

(1)當。=3時，求〃尤)的單調(diào)區(qū)間；

(2)討論極值點的個數(shù).

4.(2024,廣東深圳,模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(幻=2廠”+」,其中qeR.

ex

(1)當a=l時，求曲線y=/(x)在(。,〃0))處的切線方程；

⑵求證：“X)的極大值恒為正數(shù).

5.(23-24高二下?上海?階段練習(xí))設(shè)函數(shù)/'(x)=xlnx—or2+(2a—l)x,aeR.

⑴若。=0,求曲線y=/(x)在點處的切線方程；

(2)令g(x)=/'(x),求g(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑶已知/(x)在x=1處取得極大值，求實數(shù)。的取值范圍.

題型八：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值

1.(23-24高二下?河北保定?階段練習(xí))已知函數(shù)+b在x=5處取得極

小值，且極小值為-33.

⑴求〃涉的值；

⑵求〃尤)在［-2,0］上的值域

2.(2024?海南?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x)=x2-alnx+l,aeR.

⑴當4=1時，求曲線y=/(x)在點(L〃1))處的切線方程；

(2)當。＞0時，若函數(shù)/(X)有最小值2,求。的值.

3.(23-24高二下?河南?階段練習(xí))已知函數(shù)/(尤)=/+不一f一依.

(1)若x=-2是〃x)的極值點，求實數(shù)。的值；

(2)若。＞0,求/(%)在區(qū)間［0,2］上的最大值.

4.(23-24高二下?江蘇無錫?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=ln尤+四,qeR,

X

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)八尤)在［l,e］上的最小值為3,求實數(shù)a的值.

5.(23-24高二下?北京?階段練習(xí))設(shè)函數(shù)“力二"-力爐，aeR.

⑴當a=l時，試求〃x)的單調(diào)增區(qū)間；

(2)試求〃x)在［，2］上的最大值.

題型九：利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題

1.(23-24高二下?北京豐臺?階段練習(xí))已知函數(shù)/(彳卜％3—6加+9/x+l(aeR).

(1)當4=1時，求函數(shù)“X)的零點個數(shù)；

(2)當ail時，若對任意無目0,3］都有〃龍)428,求實數(shù)。的取值范圍.

2.(23-24高二下?河北張家口?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=xe*,g(x)=x+lnx+M.

⑴求函數(shù)〃x)的極值；

(2)若g(x)W"x)恒成立，求實數(shù)機的取值范圍.

3.(2024?貴州黔東南?二模)已知函數(shù)/(x)=G?—lnx-ln(3a).

(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間；

⑵若/(力＞0恒成立，求。的取值范圍.

4.（2024?北京?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（無）=。1+：-2yV-hu]

⑴求〃x）的圖象在點（1,〃1））處的切線方程；

⑵討論的單調(diào)區(qū)間；

⑶若對任意都有〃力。112-1,求。的最大值.（參考數(shù)據(jù)：ln2yQ7）

題型十：利用導(dǎo)數(shù)解決有解問題

1.（23-24高三上?青海西寧?期末）已知函數(shù)〃x）=e，r-l.

（1）證明:/㈤20.

（2）若關(guān)于x的不等式6+21nx+12尤2/有解，求。的取值范圍.

2.（23-24高三上?福建莆田?期中）已知函數(shù)=

⑴當時，求函數(shù)仆）的最小值；

⑵若g（x）=W-/+3x-a,且對％e（0,外，都3x,e[0,2],使得/&）"&）成立，求實

eI2_

數(shù)〃的取值范圍.

3.(2023高三?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)="^+alnx,其中參數(shù)a<0.

x

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵設(shè)函數(shù)g(x)=2//(X)-對'(x)-3a(a<0),存在實數(shù)3e[l,e],使得不等式

2g(占)<g(%2)成立，求。的取值范圍.

4.(2023高三?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)/'(x)=Mnx,(x>0).

⑴求函數(shù)/(X)的極值；

⑵若存在尤e(0,+8),使得+23成立,求實數(shù)機的最小值.

題型十一：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(方程根)問題

1.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)g(x)=fe*—xe'—e)若方程g(x)=%有三個不同的實

根，則實數(shù)上的取值范圍是.

2.(23-24高二下?山東棗莊?階段練習(xí))己知函數(shù)/(耳=。+笈-丁，在尤=2處取得極值為20.

⑴求:口、值;

⑵若/(x)=f有三個零點，求r的取值范圍.

3.(23-24高二下?貴州黔西.開學(xué)考試)已知/(x)=一法+4,/(x)在x=2處取得極小值-1.

⑴求〃尤)的解析式；

(2)求“X)在尤=3處的切線方程；

⑶若方程/(x)+左=0有且只有一個實數(shù)根，求上的取值范圍.

4.(2024?江蘇南通,二模)設(shè)函數(shù)/3=5皿5：+9)(0＞0,0＜。＜兀).已知的圖象的兩

IT7TI

條相鄰對稱軸間的距離為1,且/(一a=-耳.

⑴若/(X)在區(qū)間(0,加)上有最大值無最小值，求實數(shù)m的取值范圍；

(2)設(shè)/為曲線y=/(x)在彳=-2處的切線，證明：/與曲線＞=/(x)有唯一的公共點.

5.(2024,陜西西安?二模)設(shè)函數(shù)/。)=：加+(1-x)e\

(1)當。＜1時，討論了3的單調(diào)性；

⑵若xe[-2,2]時，函數(shù)〃尤)的圖像與尸^的圖像僅只有一個公共點，求。的取值范圍.

6.(23-24高三下?山東荷澤?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=(x-1戶-依2,aeR.

(1)當時,求〃x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若方程/(%)+。=0有三個不同的實根，求。的取值范圍.

題型十二：利用導(dǎo)數(shù)解決雙變量問題

1.(23-24高三上?廣東廣州?階段練習(xí))設(shè)函數(shù)f(x)=xlnx-x-；依2的兩個極值點分別為4,

%(%<x2).

(1)求實數(shù)。的取值范圍；

⑵若不等式J〈區(qū)恒成立，求正數(shù)力的取值范圍(其中e=2.71828為自然對數(shù)的底數(shù)).

尤！e

2.(2023高三?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)/。)=生1+。山》，其中參數(shù)a<0.

x

(1)求函數(shù)“X)的單調(diào)區(qū)間；

⑵設(shè)函數(shù)g(x)=2x2/(x)-￥(x)-3a(a<o),存在實數(shù)占,馬€口1],使得不等式

2g(占)<g(%)成立，求a的取值范圍.

3.(23-24高二下?廣東揭陽?階段練習(xí))設(shè)函數(shù)/(x)=lnx+x2-ax(aeR).

⑴當。=3時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若函數(shù)〃x)有兩個極值點為，三，且々?0』，求/(花)-〃/)的最小直

4.(23-24高三上?福建龍巖?階段練習(xí))設(shè)函數(shù)/(x)=lnx+3(aeR).

⑴討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)若了⑺有兩個零點4三，

①求。的取值范圍；

②證明：2a<%；+x2<1.

第二部分：新定義題

1.(23-24高三上?上海?階段練習(xí))已知函數(shù)"x)=e'-x,g(x)=eA+x,其中e為自然對

數(shù)的底數(shù)，設(shè)函數(shù)尸(xb4c^-ga),

⑴若。=e,求函數(shù)y=F(x)的單調(diào)區(qū)間，并寫出函數(shù)y=b(x)r”有三個零點時實數(shù)加的

取值范圍；

(2)當0<“<1時，09分別為函數(shù)y="x)的極大值點和極小值點，且不等式

“石)+方(9)>0對任意a?0,1)恒成立，求實數(shù)r的取值范圍.

⑶對于函數(shù)y=/(x),若實數(shù)與滿足//)=。，其中尸、。為非零實數(shù)，則無稱

為函數(shù)/(X)的"尸-O-篤志點

ex,x>0

①已知函數(shù)〃尤)=1,且函數(shù)“X)有且只有3個“1-1-篤志點”，求實數(shù)a的取

----,x<0

、X+Q

值范圍；

②定義在R上的函數(shù)“X)滿足:存在唯一實數(shù)山，對任意的實數(shù)無，使得〃m+X)=/(〃LX)

恒成立或〃7〃+X)=-恒成立.對于有序?qū)崝?shù)對(￡0,討論函數(shù)“X)"尸—。―篤志

點"個數(shù)的奇偶性，并說明理由

2.(2023,上海嘉定,一模)對于函數(shù)y=