《二次函數(shù)與冪函數(shù)》教案

二次函數(shù)與冪函數(shù)適用學(xué)科數(shù)學(xué)適用年級高三適用區(qū)域新課標(biāo)課時時長（分鐘）60知識點二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)；二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值；二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式的關(guān)系；冪函數(shù)的概念；冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)；指、對、冪、二次函數(shù)的綜合問題教學(xué)目標(biāo)1.了解冪函數(shù)的概念．2.結(jié)合函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝eq\f(1,x)，y＝x的圖象，了解它們的變化情況．3.掌握二次函數(shù)的概念、圖象特征．4.掌握二次函數(shù)的對稱性和單調(diào)性，會求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值．5.掌握二次函數(shù)、二次方程、二次不等式之間的密切關(guān)系，提高解綜合問題的能力.教學(xué)重點二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)；冪函數(shù)的概念、圖像與性質(zhì)．教學(xué)難點函數(shù)性質(zhì)、二次函數(shù)、方程、二次方程、不等式的綜合應(yīng)用

教學(xué)過程一、課堂導(dǎo)入以提問的形式復(fù)習(xí)一元二次方程的一般形式，一次函數(shù)，反比例函數(shù)的定義，然后讓學(xué)生欣賞一組優(yōu)美的有關(guān)拋物線的圖案，創(chuàng)設(shè)情境：（1）你們喜歡打籃球嗎？（2）你們知道：投籃時，籃球運動的路線是什么曲線？怎樣計算籃球達(dá)到最高點時的高度？從而引出課題〈〈二次函數(shù)〉〉，導(dǎo)入新課

二、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)復(fù)習(xí)一次函數(shù)的相關(guān)概念預(yù)習(xí)二次函數(shù)的概念預(yù)習(xí)二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)預(yù)習(xí)二次函數(shù)的圖像

三、知識講解考點1二次函數(shù)的解析式(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)頂點式：若二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)為(h，k)，則其解析式為f(x)＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)；(3)兩根式：若相應(yīng)一元二次方程的兩根為x1，x2，則其解析式為f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．

考點2二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)a>0a<0圖象定義域X∈R值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))單調(diào)性在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上遞減，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上遞增在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上遞增，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上遞減奇偶性b＝0時為偶函數(shù)，b≠0既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)圖象特點①對稱軸：x＝－eq\f(b,2a)；②頂點：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))

考點3冪函數(shù)的定義形如y＝xα(α∈R)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α為常數(shù)．

考點4五種冪函數(shù)的圖象

考點5五種冪函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)特征性質(zhì)y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1定義域RRR[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)值域R[0，＋∞)R[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增x∈[0，＋∞)時，增x∈(－∞，0]時，減增增x∈(0，＋∞)時，減x∈(－∞，0)時，減

四、例題精析【例題1】【題干】已知二次函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(4,3)，它在x軸上截得的線段長為2，并且對任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．

【解析】∵f(2－x)＝f(2＋x)對x∈R恒成立，∴f(x)的對稱軸為x＝2.又∵f(x)圖象被x軸截得的線段長為2，∴f(x)＝0的兩根為1和3.設(shè)f(x)的解析式為f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．又∵f(x)的圖象過點(4,3)，∴3a＝3，a＝1.∴所求f(x)的解析式為f(x)＝(x－1)·(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.

【例題2】【題干】已知函數(shù)f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)，若f(x)在區(qū)間[2,3]上有最大值5，最小值2.(1)求a，b的值；(2)若b<1，g(x)＝f(x)－m·x在[2,4]上單調(diào)，求m的取值范圍．

【解析】(1)f(x)＝a(x－1)2＋2＋b－a.當(dāng)a>0時，f(x)在[2,3]上為增函數(shù)，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f3＝5，,f2＝2，))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9a－6a＋2＋b＝5，,4a－4a＋2＋b＝2，))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝0.))當(dāng)a<0時，f(x)在[2,3]上為減函數(shù)，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f3＝2，,f2＝5，))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9a－6a＋2＋b＝2，,4a－4a＋2＋b＝5，))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝3.))(2)∵b<1，∴a＝1，b＝0，即f(x)＝x2－2x＋2.g(x)＝x2－2x＋2－mx＝x2－(2＋m)x＋2，∵g(x)在[2,4]上單調(diào)，∴eq\f(2＋m,2)≤2或eq\f(m＋2,2)≥4.∴m≤2或m≥6.

【例題3】【題干】冪函數(shù)y＝xm2－2m－3(m∈Z)的圖象如圖所示，則m的值為()A．－1<m<3 B．0C．1 D．2

【答案】D【解析】從圖象上看，由于圖象不過原點，且在第一象限下降，故m2－2m－3<0，即－1<m<3；又從圖象看，函數(shù)是偶函數(shù)，故m2－2m－3為負(fù)偶數(shù)，將m＝0,1,2分別代入，可知當(dāng)m＝1時，m2－2m－3＝－4，滿足要求．

【例題4】【題干】當(dāng)0<x<1時，f(x)＝x1.1，g(x)＝x0.9，h(x)＝x－2的大小關(guān)系是________．

【解析】如圖所示為函數(shù)f(x)，g(x)，h(x)在(0,1)上的圖象，由此可知h(x)>g(x)>f(x)．

五、課堂運用【基礎(chǔ)】1．已知點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\r(3)))在冪函數(shù)f(x)的圖象上，則f(x)是()A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)C．定義域內(nèi)的減函數(shù) D．定義域內(nèi)的增函數(shù)

解析：選A設(shè)f(x)＝xα，由已知得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))α＝eq\r(3)，解得α＝－1，因此f(x)＝x－1，易知該函數(shù)為奇函數(shù)．

2．已知函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c且f(1＋x)＝f(－x)，則下列不等式中成立的是()A．f(－2)<f(0)<f(2)B．f(0)<f(－2)<f(2)C．f(0)<f(2)<f(－2)D．f(2)<f(0)<f(－2)

解析：選C∵f(1＋x)＝f(－x)，∴(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＝x2－bx＋c.∴x2＋(2＋b)x＋1＋b＋c＝x2－bx＋c.∴2＋b＝－b，即b＝－1.∴f(x)＝x2－x＋c，其圖象的對稱軸為x＝eq\f(1,2).∴f(0)<f(2)<f(－2)．

3．已知函數(shù)f(x)＝x2＋x＋c，若f(0)＞0，f(p)＜0，則必有()A．f(p＋1)＞0 B．f(p＋1)＜0C．f(p＋1)＝0 D．f(p＋1)的符號不能確定

解析：選A函數(shù)f(x)＝x2＋x＋c的對稱軸為x＝－eq\f(1,2)，又因為f(0)＞0，f(p)＜0，故－1＜p＜0，p＋1＞0，所以f(p＋1)＞0.

【鞏固】4．已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域為[0，＋∞)，若關(guān)于x的不等式f(x)＜c的解集為(m，m＋6)，則實數(shù)c的值為________．

解析：因為f(x)的值域為[0，＋∞)，所以Δ＝0，即a2＝4b，所以x2＋ax＋eq\f(a2,4)－c＜0的解集為(m，m＋6)，易得m，m＋6是方程x2＋ax＋eq\f(a2,4)－c＝0的兩根，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＋6＝－a，,mm＋6＝\f(a2,4)－c，))解得c＝9.答案：9

5．已知函數(shù)y＝eq\r(mx2＋m－3x＋1)的值域是[0，＋∞)，則實數(shù)m的取值范圍是________．

解析：當(dāng)m＝0時，y＝eq\r(－3x＋1)，顯然成立．當(dāng)m≠0時，要使y∈[0，＋∞)，只要eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,Δ＝m－32－4×m×1≥0，))解得0＜m≤1或m≥9.綜上m的取值范圍是[0,1]∪[9，＋∞)．答案：[0,1]∪[9，＋∞)

【拔高】6．已知f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在區(qū)間[0,1]內(nèi)有最大值－5，求a的值及函數(shù)表達(dá)式f(x)．

解：∵f(x)＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))2－4a，∴拋物線頂點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，－4a)).①當(dāng)eq\f(a,2)≥1，即a≥2時，f(x)取最大值－4－a2.令－4－a2＝－5，得a2＝1，a＝±1<2(舍去)；②當(dāng)0<eq\f(a,2)<1，即0<a<2時，x＝eq\f(a,2)時，f(x)取最大值為－4a.令－4a＝－5，得a＝eq\f(5,4)∈(0,2)；③當(dāng)eq\f(a,2)≤0，即a≤0時，f(x)在[0,1]內(nèi)遞減，∴x＝0時，f(x)取最大值為－4a－a2，令－4a－a2＝－5，得a2＋4a－5＝0，解得a＝－5，或a＝1，其中－5∈(－∞，0]．綜上所述，a＝eq\f(5,4)或a＝－5時，f(x)在[0,1]內(nèi)有最大值－5.∴f(x)＝－4x2＋5x－eq\f(105,16)或f(x)＝－4x2－20x－5.

7．已知f(x)＝x2＋3x－5，x∈[t，t＋1]，若f(x)的最小值為h(t)，寫出h(t)的表達(dá)式．

解：如圖所示，函數(shù)圖象的對稱軸為x＝－eq\f(3,2)，(1)當(dāng)t＋1≤－eq\f(3,2)，即t≤－eq\f(5,2)時，h(t)＝f(t＋1)＝(t＋1)2＋3(t＋1)－5，即h(t)＝t2＋5t－1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t≤－\f(5,2))).(2)當(dāng)t≤－eq\f(3,2)<t＋1，即－eq\f(5,2)＜t≤－eq\f(3,2)時，h(t)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝－eq\f(29,4).(3)當(dāng)t>－eq\f(3,2)時，h(t)＝f(t)＝t2＋3t－5.綜上可得，h(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t2＋5t－1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t≤－\f(5,2)))，,－\f(29,4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)<t≤－\f(3,2)))，,t2＋3t－5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t>－\f(3,2))).))

課程小結(jié)1.冪函數(shù)圖象的特點(1)冪函數(shù)的圖象一定會經(jīng)過第一象限，一定不會經(jīng)過第四象限，是否經(jīng)過第二、三象限，要看函數(shù)的奇