2025年中考數(shù)學(xué)思想方法復(fù)習(xí)【猜想歸納】圖案規(guī)律中的猜想歸納思想（原卷版）

圖案規(guī)律中的猜想歸納思想

知識(shí)方法精講

1.規(guī)律型：圖形的變化類

圖形的變化類的規(guī)律題

首先應(yīng)找出圖形哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過(guò)分析找到各部分的變化

規(guī)律后直接利用規(guī)律求解.探尋規(guī)律要認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想來(lái)解決這類問(wèn)題.

2.認(rèn)識(shí)圖形

(1)幾何圖形：從實(shí)物中抽象出的各種圖形叫幾何圖形.幾何圖形分為立體圖形和平面圖

形.

(2)立體圖形：有些幾何圖形(如長(zhǎng)方體、正方體、圓柱、圓錐、球等)的各部分不都在

同一個(gè)平面內(nèi)，這就是立體圖形.

(3)重點(diǎn)和難點(diǎn)突破：

結(jié)合實(shí)物，認(rèn)識(shí)常見的立體圖形，如：長(zhǎng)方體、正方體、圓柱、圓錐、球、棱柱、棱錐等.能

區(qū)分立體圖形與平面圖形，立體圖形占有一定空間，各部分不都在同一平面內(nèi).

3.猜想歸納思想

歸納猜想類問(wèn)題也是探索規(guī)律型問(wèn)題，這類問(wèn)題一般給出一組具有某種有規(guī)律的數(shù)、式、

圖形，或是給出與圖形有關(guān)的操作變化過(guò)程，或某一具體的問(wèn)題情境，通過(guò)認(rèn)真觀察、分析

推理，探究其中蘊(yùn)含的規(guī)律，進(jìn)而歸納或猜想出一般性的結(jié)論?？疾閷W(xué)生的歸納、概括、類

比能力。有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和創(chuàng)造性。

解決歸納猜想類問(wèn)題的基本思路是“觀察一歸納一猜想一證明(驗(yàn)證)”，具體做法：

(1)認(rèn)真觀察所給的一組數(shù)、式、圖等，發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系；

(2)根據(jù)它們之間的關(guān)系分析、概括，歸納它們的共性和蘊(yùn)含的變化規(guī)律，猜想得出一個(gè)

一般性的結(jié)論；

(3)結(jié)合題目所給的材料情景證明或驗(yàn)證結(jié)論的正確性。

4.歸納猜想類問(wèn)題可以分成四大類：

(1)數(shù)式歸納猜想題

這類題通常是先給出一組數(shù)或式子，通過(guò)觀察、歸納這組數(shù)或式子的共性規(guī)律，寫出一個(gè)一

般性的結(jié)論。找出題目中規(guī)律，即不變的和變化的，變化的部分與序號(hào)的關(guān)系是解這類題的

關(guān)鍵。

（2）圖形歸納猜想題

此類題通常給出一組圖形的排列（或操作得到一系列的圖形）探求圖形的變化規(guī)律，以圖形為

載體考查圖形所蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系。其解題關(guān)鍵是找出相鄰兩個(gè)圖形之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)

系。

（3）結(jié)論歸納猜想題

結(jié)論歸納猜想題常考數(shù)值結(jié)果、數(shù)量關(guān)系及變化情況。發(fā)現(xiàn)或歸納出周期性或規(guī)律性變化,

是解題的關(guān)鍵。

（4）類比歸納猜想題

類比歸納猜想題通常是指由兩類對(duì)象的具有某些相同或相似的性質(zhì)，和其中■類對(duì)象的某些

已知的性質(zhì)，推斷出另一類對(duì)象也具有這些性質(zhì)的一種題型，有時(shí)也指兩個(gè)對(duì)象在研究方法、

學(xué)習(xí)過(guò)程上類比，考查類比歸納推理能力。

選擇題（共19小題）

1.（2021?巴南區(qū)自主招生）把四邊形和三角形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中圖案①中共

有4個(gè)三角形，圖案②中共有7個(gè)三角形，圖案③中共有10個(gè)三角形，…，若按此規(guī)律拼

圖案，則圖案⑧中共有（）

秘WX…

①②③

A.13個(gè)三角形B.19個(gè)三角形C.25個(gè)三角形D.31個(gè)三角形

2.（2019?渝北區(qū)自主招生）下列圖形都是由相同的☆按一定規(guī)律組成的，其中，第①個(gè)圖

形中一共有3個(gè)☆,第②個(gè)圖形中一共有7個(gè)☆，第③個(gè)圖形中一共有13個(gè)☆，…，則第

7個(gè)圖形中☆的個(gè)數(shù)為（）

☆

☆☆

☆☆☆☆

☆☆☆☆☆☆

☆☆☆☆☆☆☆☆

☆☆☆☆☆

r*☆

①②③④

A.51B.57C.73D.74

3.（2021?康巴什校級(jí)三模）將一些相同的病毒“?”按如圖所示的規(guī)律依次擺放成類似“蝙

蝠俠”的圖案，觀察下列“蝙蝠俠”圖案中病毒的排列規(guī)律，則第21個(gè)圖形中”?

的個(gè)數(shù)為（）

A.347B.385C.425D.467

4.（2021?淄川區(qū)一模）如圖所示，根據(jù)你的觀察,下面四個(gè)選項(xiàng)中的圖片，適合填補(bǔ)圖中

空白處的是（）

5.（2021?泗水縣一模）將一列有理數(shù)-1,2,-3,4,-5,6,....如圖所示有序排列.根

據(jù)圖中的排列規(guī)律可知，有理數(shù)4在“峰1”中C的處.則有理數(shù)-2021在（）

峰1峰2……峰n

A.峰403￡處B.峰403。處C.峰404。處D.峰404￡處

6.（2021?渝中區(qū)校級(jí)三模）用大小相同的圓點(diǎn)擺成如圖所示的圖案，按照這樣的規(guī)律擺放,

則第8個(gè)圖案中共有圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）

n=ln=2n=3n=4

A.34B.40C.49D.59

7.（2021?江北區(qū)校級(jí)模擬）下列圖形是用棋子按照一定規(guī)律擺成的，第①個(gè)圖中有2枚棋

子，第②個(gè)圖中有6枚棋子，第③個(gè)圖中有12枚棋子，…，按照這種擺法，第8個(gè)圖形中

共有棋子（）

①②③④

A.42B.56C.64D.72

8.（2021?九龍坡區(qū)模擬）下列圖形都是由同樣大小的實(shí)心圓點(diǎn)按一定規(guī)律組成的，其中第

①個(gè)圖形一共有5個(gè)實(shí)心圓點(diǎn)，第②個(gè)圖形一共有8個(gè)實(shí)心圓點(diǎn)，第③個(gè)圖形一共有11個(gè)

實(shí)心圓點(diǎn)，…，按此規(guī)律排列下去，第⑦個(gè)圖形中實(shí)心圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）

①②③…

A.19B.20C.22D.23

9.（2021秋?平陰縣期末）將全體自然數(shù)按下面的方式進(jìn)行排列，按照這樣的排列規(guī)律，2022

應(yīng)位于（）

1-25f6

tI

03-47―*■???—(§)—a

A.?位B.?位C.?位D.?位

10.（2021秋?中原區(qū)校級(jí)期末）找出以下圖形變化的規(guī)律，則第2022個(gè)圖形中黑色正方形

的數(shù)量是（）

A.3030B.3031C.3032D.3033

11.（2021秋?泉州期末）如圖所示的數(shù)陣叫“萊布尼茨調(diào)和三角形”，它們是由整數(shù)的倒數(shù)

組成的，第”行有力個(gè)數(shù)，且兩端的數(shù)均為工，每個(gè)數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和，若用

n

伍乃）表示第0行從左到右第6個(gè)數(shù)，如（2,2）表示的數(shù)是《，（3,2）表示的數(shù)是（4,3）表

示的數(shù)是工，則（7,5）表示的數(shù)是（）

12

2

T

1

2

11

I63

1J_1

41212

111

105210420

12.（2021秋?秦淮區(qū)期末）在某多媒體電子雜志的某一期上刊登了“正方形雪花圖案的形

成”的演示案例：作一個(gè)正方形，設(shè)每邊長(zhǎng)為4a,將每邊四等分，作一凸一凹的兩個(gè)邊長(zhǎng)

為a的小正方形，得到圖形如圖（2）所示，稱為第一次變化，再對(duì)圖（2）的每個(gè)邊做相同

的變化，得到圖形如圖（3）,稱為第二次變化，如此連續(xù)作幾次，便可得到一個(gè)絢麗多彩的

雪花圖案.如不斷發(fā)展下去到第〃次變化時(shí)，圖形的面積和周長(zhǎng)分別為（

（2）

第一次變化第二次變化

A.16/和2-3aB.16/和2"%C.32/和2-3aD.32/和4"a

13.（2021秋?順德區(qū)期末）用木棒按如圖所示的規(guī)律擺放圖形，第100個(gè)圖形需要木棒根

數(shù)是（）

第1個(gè)圖形第2個(gè)圖形第3個(gè)圖形

A.501B.502C.503D.504

14.（2021秋?豐臺(tái)區(qū)期末）如圖是用棋子擺成的圖案，按照這樣的規(guī)律擺下去，第⑨個(gè)圖

案需要的棋子個(gè)數(shù)為

15.（2021秋?新都區(qū)期末）用火柴棒按如圖所示的方式擺大小不同的“3”，按此規(guī)律擺下

去，第2021個(gè)“3”需要火柴棒的根數(shù)為（）

D.8085

16.（2021秋?錦江區(qū)校級(jí)期末）如圖,用菱形紙片按照如下規(guī)律拼成下列圖案，若第〃個(gè)

圖案中有2021張紙片，則〃的值為（）

17.（2021秋?西山區(qū)期末）將正方形做如下操作，第1次分別連接各邊中點(diǎn)如圖2,得到5

個(gè)正方形；第2次將圖2左上角正方形按上述方法再分割如圖3,得到9個(gè)正方形...，以此

類推，根據(jù)以上操作，若要得到2025個(gè)正方形，則需要操作的次數(shù)為（）

18.（2021秋?嵩縣期末）有一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，以它的一條邊為斜邊，向外作一個(gè)直

角三角形，再分別以直角三角形的兩條直角邊為邊，向外各作一個(gè)正方形，稱為第一次“生

長(zhǎng)”（如圖1）;再分別以這兩個(gè)正方形的邊為斜邊，向外各自作一個(gè)直角三角形，然后分別

以這兩個(gè)直角三角形的直角邊為邊，向外各作一個(gè)正方形，稱為第二次“生長(zhǎng)”（如圖2）…

如果繼續(xù)“生長(zhǎng)”下去，它將變得“枝繁葉茂”，請(qǐng)你算出“生長(zhǎng)”了2021次后形成的圖形

中所有的正方形的面積和是（）

A.IB.2020C.2021D.2022

19.（2021秋?大埔縣期末）如圖所示，直線/B,CD相交于點(diǎn)。，“阿基米德曲線”從點(diǎn)。

開始生成，如果將該曲線與每條射線的交點(diǎn)依次標(biāo)記為1,-2,3,-4,5,-6....那么標(biāo)

記為“2021”的點(diǎn)在（）

A.射線ON上B.射線上C.射線0c上D.射線8上

二.填空題（共6小題）

20.（2020?通遼）如圖，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1個(gè)正方形需要4個(gè)小正

方形，拼第2個(gè)正方形需要9個(gè)小正方形...，按這樣的方法拼成的第（〃+1）個(gè)正方形比第”

21.（2021?安溪縣模擬）北京天壇的國(guó)丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，如圖所示分上、中、下三層,

上層中心有一塊圓形石板（稱為天心石），環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外

每環(huán)依次增加9塊，下層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊,

已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板（不含天心石）一環(huán).

22.（2021?五華區(qū)一模）如圖所示，下列各圖形是由大小相同的黑點(diǎn)組成，圖1中有2個(gè)點(diǎn),

圖2中有7個(gè)點(diǎn)，圖3中有14個(gè)點(diǎn)，…，按此規(guī)律，那么圖8中黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)是—.

圖1圖2圖3圖4

23.（2021?大慶模擬）把黑色三角形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第1個(gè)圖案中有1個(gè)黑

色三角形，第2個(gè)圖案中有3個(gè)黑色三角形，第3個(gè)圖案中有6個(gè)黑色三角形…按此規(guī)律

排列下去則第5個(gè)圖案中黑色三角形的個(gè)數(shù)為

△

△△△

△△△△△△

第一個(gè)圖案第二個(gè)圖案第三個(gè)圖案

24.（2021?黔東南州模擬）如圖是由同樣大小的圓按一定規(guī)律排列所組成的，其中第1個(gè)圖

形中一共有4個(gè)圓，第2個(gè)圖形中一共有8個(gè)圓，第3個(gè)圖形中一共有14個(gè)圓，第4個(gè)圖

形中一共有22個(gè)圓...按此規(guī)律排列下去，第10個(gè)圖形中圓的個(gè)數(shù)是一個(gè).

88

第1個(gè)圖形第:個(gè)圖形第3個(gè)圖形第4個(gè)圖形

25.（2021秋?大同期末）觀察下列圖形，它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第〃個(gè)

圖形中★的個(gè)數(shù)為

★

*★

★★★

★★★★

★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★???

★★★★

第1個(gè)圖形第2個(gè)圖形第3個(gè)圖形第4個(gè)圖形

三.解答題（共3小題）

26.（2021?膠州市一模）問(wèn)題提出:

如果在一個(gè)平面內(nèi)畫出〃條直線，最多可以把這個(gè)平面分成幾部分?

問(wèn)題探究：

為解決問(wèn)題，我們經(jīng)常采用一般問(wèn)題特殊化的策略，先從最簡(jiǎn)單的情形入手，再逐次遞進(jìn)到

復(fù)雜的情形，在探究的過(guò)程中，通過(guò)歸納得出一般性的結(jié)論，進(jìn)而拓展應(yīng)用.

探究一：

如圖1,當(dāng)在平面內(nèi)不畫（0條）直線時(shí)，顯然該平面只有1部分，可記為〃0）=1.

探究二：

如圖2,當(dāng)在平面內(nèi)畫1條直線時(shí)，該平面最多被分成了2部分，比前一次多了1部分，可

記為f（1）=1+1=2.

探究三：

當(dāng)在平面內(nèi)畫2條直線，若兩條直線平行（如圖3）,該平面被分成3部分；若兩條直線相

交（如圖4）,交點(diǎn)將第2條直線分成2段，每一段將平面多分出1部分，因此比前一次多2

部分，該平面被分成4部分，因此當(dāng)在平面內(nèi)畫2條直線時(shí)，該平面最多被分成4部分，可

記為/（2）=1+1+2=4,我們獲得的直接經(jīng)驗(yàn)是：直線相交時(shí)，平面被分成的部分多.

探究四：

當(dāng)在平面內(nèi)畫3條直線，若3條直線相交于一點(diǎn)（如圖5）,該平面被分成6部分；若3條

直線的交點(diǎn)都不相同時(shí)（如圖6）,第3條直線與前兩條直線有2個(gè)交點(diǎn)，該直線被2個(gè)交

點(diǎn)分成了3段，每段將平面多分出1部分，所以比前一次多出3部分,該平面被分成7部分.因

此當(dāng)在平面內(nèi)畫3條直線時(shí)，該平面最多被分成7部分，可記為f（3）=l+l+2+3=7.我

們獲得的經(jīng)驗(yàn)是：直線相交的交點(diǎn)個(gè)數(shù)越多，平面被分成的部分就越多.所以直接探索直線

交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多的情況即可.

探究五：

當(dāng)在平面內(nèi)畫4條直線（如圖7）,第4條直線與前3條直線有3個(gè)交點(diǎn)，該直線被3個(gè)交

點(diǎn)分成了4段，每段將平面多分出1部分，所以比前一次多出4部分，該平面被分成11部

分.因此當(dāng)在平面內(nèi)畫4條直線時(shí)，該平面最多被分成11部分，可記為/（4）

=1+1+2+3+4=11.

探究六：

在平面內(nèi)畫5條直線，最多可以把這個(gè)平面分成幾部分？（仿照前面的探究方法，寫出解答

過(guò)程，不需回圖）

問(wèn)題解決：

如果在一個(gè)平面內(nèi)畫出“條直線，最多可以把這個(gè)平面分成一部分.

應(yīng)用與拓展：

（1）