2025年中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)題型專項(xiàng)訓(xùn)練：三角形壓軸題綜合（解析版）

專題10三角形壓軸題綜合

目錄

熱點(diǎn)題型歸納.........................................................................................1

題型01三角形與旋轉(zhuǎn)變換.............................................................................1

題型02三角形與平移變換............................................................................14

題型03三角形與翻折變換............................................................................18

題型04三角形類比探究問(wèn)題..........................................................................36

中考練場(chǎng)............................................................................................50

熱點(diǎn)題型歸納

題型01三角形與旋轉(zhuǎn)變換

【解題策略】

三角形全等和三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)

鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形相似的判定方法。

【典例分析】

例.(2023?四川?中考真題)如圖1,已知線段48,AC,線段AC繞點(diǎn)A在直線42上方旋轉(zhuǎn)，連接BC,以3c為邊在

2c上方作RtBDC,且/DBC=30。.

(1)若/&)C=90。，以42為邊在AB上方作且NAEB=90。，NEBA=30。，連接DE,用等式表示線段AC與

DE的數(shù)量關(guān)系是；

(2)如圖2,在(1)的條件下，若DEJ.AB,AB=4,AC=2,求BC的長(zhǎng);

(3)如圖3,若NBCD=9。。,AB=4,AC=2,當(dāng)AO的值最大時(shí)，求此時(shí)tan/CBA的值.

【答案】(l)AC=g同E

(2)BC=2A/7

⑶*

【分析】(1)在RtBDC中,ZDBC^30°,RtABAE,且NA￡B=90。，ZEBA=30°,可得VABEsvCRD,根據(jù)相

似三角形的性質(zhì)得出要=黑，ZDBE^ZCBA,進(jìn)而證明△ABCS4￡B￡),根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；

BCBD

(2)延長(zhǎng)DE交于點(diǎn)F,如圖所示，在RtAEF中,求得EF,AF,進(jìn)而求得BF的長(zhǎng)，根據(jù)(1)的結(jié)論，得出DE=石，

在RtBFD中,勾股定理求得進(jìn)而根據(jù)△ABCsa￡BD,即可求解.

(3)如圖所示，以AB為邊在上方作Rt"L4E,且NE4B=90。，ZEBA=30°,連接BE,EA,ED,EC,同(1)

可得BDEsBCA,進(jìn)而得出。在以E為圓心，遞為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，AD的值最大，進(jìn)

3

而求得cos/BD4=m,sinZBDA=—,根據(jù)△ABCSAE&J得出/BDE=NBC4,過(guò)點(diǎn)A作AP13C,于點(diǎn)產(chǎn)，

77

分別求得ARC尸，然后求得跳最后根據(jù)正切的定義即可求解.

【詳解】(1)解：在Rt3DC中，ZDBC=30°,RtABAE,且NAEB=90。，ZEBA=30°,

：.NABE<^NCBD,ADBE+ZEBC=ZABC+ZEBC,BE=ABxcosZABE=—AB

2

.AB

—,ZDBE=NCBA,

"BCBD

：.AABCsAEBD

ACABAB2y/3

-,■~DE~~BE~73

—AB

2

AC=^6DE,

3

故答案為：AC=^DE.

(2),?RtABAE,且ZAEB=90。，ZEBA=30°,AB=4

AAE=AB-sinZEBA=-AB=2,ZBAE=60°,

2

延長(zhǎng)OE交A3于點(diǎn)尸，如圖所示，

,/DELAB,

：.ZBFD=/DFA=90。,

.?.在RtAE尸中，EF=AExsinZBAE=—x2=y/3,AF=^-AE=1,

22

：.BF=AB-AF=4-1=3,

由(1)可得AC=g?E,

/.DE=—AC=^3,

2

DF=DE+EF=7,y[3,

在RtBED中，BD=《BF?+DF。=爐+(2@?=0T,

"：八ABCs八EBD,

?BCAC2A/3

?,詬一而一亍’

/.BC=^^x厲=25,

3

/.BC=2幣；

(3)解：如圖所示，以為邊在A3上方作且NE4B=90。，ZEBA=30°,連接BE,EA,ED,EC,

則匹=些=也，

ACBC3

VAC=2,則。￡=迪，

3

在RtAE3中，AB=4,AE=ABxtanZEBA=4x^=,

33

二。在以E為圓心，逑為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

3

當(dāng)點(diǎn)4ED三點(diǎn)共線時(shí)，AQ的值最大，此時(shí)如圖所示，則AO=AE+OE=更,

3

D

BA

在RtAABD中，BD=^AB2+AD2=J42+j4V21

8^3

4_V21

..AD3247sinZBDA=一

..cosZ/BDDnA=——=—7==-----,BD~4721~7，

BD4后7

3

3

△AB8△石go,

???ZBDE=/BCA,

過(guò)點(diǎn)A作A尸于點(diǎn)產(chǎn)，

CF=ACxcosZACB=2x^-=^~,AF=ACxsinZACB=

777

ZDBC=30°,

?百RC64A/^TE

??BC=——BD=——x-------=2,7,

223

?RQurrroR4幣］（）近

??BF=BC-CF=2?7------=--------,

77

2721

AF7g

Rt.AFB^,tanZCBA^—=^=T

7

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，解直角三角形，正切的定義，求圓外一點(diǎn)到圓的距離的最

值問(wèn)題，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

【變式演練】

1.（2023?貴州貴陽(yáng)?二模）在ABC中，ZC4B=90°,在VADE中，ZEAD=90°,已知RtAABC和Rt^ADE有公共

頂點(diǎn)4連接和CE.

備用圖

⑴如圖①，若AB=AC,AD=AE,當(dāng)11ABe繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)i（0°</<360。），8D和CE的數(shù)量關(guān)系是,位置關(guān)系

是.

⑵如圖②，若A。:AE=4;=1:有，當(dāng)Rt^ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)a（0°<￡<360。），（1）中80和CE的數(shù)量關(guān)系與位

置關(guān)系是否依然成立，判斷并說(shuō)明理由；

(3)在(2)的條件下，若AD=2百，AB<,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)C,B,。三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫出CE的長(zhǎng)度.

【答案】⑴BD=CE,BDLCE

⑵CE=6BD,CELBD,理由見(jiàn)解析

【分析】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)：

(1)根據(jù)SAS證明BAD2_CAE得BD=CE,再證明NtMD=NEHO=90。，可得3D_1.CE；

(2)延長(zhǎng)交CE于"，與AE交于。，證明BADsC4E可得結(jié)論；

(3)分兩種情況討論：運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)求出AC,AE,由勾股定理求出DE,在Rt^ECD中，運(yùn)用勾股定理

求出80,從而可求出CE.

【詳解】(1)證明：如圖，延長(zhǎng)DB交CE于H,與AE■交于O

；VAZ）E和ABC是等腰直角三角形，

AB^AC,AD=AE,

又ZCAE+NEAB=ZDAB+NEAB=90°,

ZBAD=ZCAE,

：.^BAD^CAE（SAS）,

:.BD=CE,ZBDA=ZCEA,

'：ZDOA=ZHOE,

/.ZOAD=ZEHO=90°,

/.CE±BD,

故答案為：BD=CE,BD1CE；

(2)解：CE=履口,CEA.BD,理由如下:

延長(zhǎng)OB交CE于H,與AE交于。,

E

D

ADAB1

AE-AC_73?ZBAD=ZCAE,

；.BADsCAE,

BD1

耳，ZADB=ZAEC,

CE

：.CE=6BD,

NBOA=NEOH,

：.ZOAD=ZEHO=90°,

：.BD±CE

綜上CE=y[3BD

(3)解：①如圖:

E

BDABAD

由（2）知,A4Z）sCAE,的7,且BDJ_CE,

C￡-AC-A￡

AB=5/3,

AC=3,

在Rt^ABC中，由勾股定理得5C=JAB?+3=25

AD=26

：.AE=6

在RtAAED中，由勾股定理得DE=^AEr+AD1=4G，

VC,B,。三點(diǎn)共線，且NECD=90°

，在RtAECD中，由勾股定理得DE2=CE2+CD2

即(可=(何+(

46BD+2國(guó)

?"叵衿

.3（V13-1）

??CE=.---------L

2

②如圖:

E

,BDAB1「

由（2）知C4E,~^=~T^=~rf且BD_LCE，

CEAC73

?/AB=6

：.AC=3,

由勾股定理得3C=JAB2+AC2=26,

*.*AD=2百，

AE=6,

在RtzXAED中，DE=dAE?+ALP=4#），

,：C,B,。三點(diǎn)共線，且NEC?=90°,

二在RtAECD中，由勾股定理得DE1=CE2+CD2,

即（4可=（6町2+（BD-2扃，

.3叵捶，

2

.3V13+1

CE=A---u

2

綜上，當(dāng)C,B,。三點(diǎn)共線時(shí)，CE的長(zhǎng)度為3（而T）或3（而+1）.

22

2.（2023?廣西桂林?一模）在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小麗將兩副相同的三角板中的兩個(gè)等腰直角三角形按如圖1方式放置,

使,。所的頂點(diǎn)。與，ABC的頂點(diǎn)C重合，。所在繞點(diǎn)C的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，邊DE、￡＞尸始終與jAfiC的邊A8分別交

于M、N兩點(diǎn).

小麗開(kāi)動(dòng)腦筋，作了如下思考：考慮到C4=CB且NACB=90。，可將△￡可繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至-ACN'位置，連

結(jié)W,若能證明3N、分別等于的另兩邊則可以解決問(wèn)題.

請(qǐng)幫小麗繼續(xù)完成證明過(guò)程.

證明：將饃四繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至aACM位置，連結(jié)MM；

(2)如圖2,小昆另取一塊與；ABC相同的三角板，放在，ABG位置，邊CE與邊AG相交于點(diǎn)X,連NH、NG.

①小昆猜想：NCNH=90。,請(qǐng)幫他給出證明；

②圖2中始終與CN相等的線段有_；

③請(qǐng)?zhí)剿鰽N、BN、AH之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出結(jié)論：

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)①見(jiàn)解析；②NG,NH；③AN-BN=&H

【分析】(1)①由“SAS”可證..CV加絲CM0,可得ACV'=M?V,根據(jù)直角三角形中運(yùn)用勾股定理,2+4U=跖㈠，

即可得結(jié)論；

(2)①證明A,C,N,H四點(diǎn)共圓即可解題；

②證明，NBC四A?G,得到QV=NG,然后根據(jù)等角對(duì)等邊得到C7V=NH即可得到結(jié)論

③連接CG,推導(dǎo)，HGCs’NBC,則可得到GH=V?BN，然后根據(jù)A3=0AG即可證明結(jié)論.

【詳解】（1）由旋轉(zhuǎn)可知：AN'=BN,CN'=CN,/CAN'=/B,/BCN=ZACN',

?；NECF=45。,NACB=90。，

/.ZACM+ZBCN=45°,

???ZACM+ZAOVr=45°,

即ZN'CM=ZNCM,

又?：CM=CM,

:,.CNMMCNM(^網(wǎng),

???MN'=MN,

?.*ZCAM=ZB=45°,

：.ZNfAM=ZCANr+ZCAM=90°,

AM2+ANf2=MN,2,

又?：AN'=BN,MN'=MN,

AM2+BN2=MN2;

(2)①證明：°；/GAB=/MCN=45。,ZAMH=ZCMN,

：.ZAHC=ZANC,

???A,C,N,"四點(diǎn)共圓，

???ZCAH+ZCNH=180°,

ZC4H=90°,

JZCNH=90°；

②解：???四邊形AC5G是正方形，

：?BC=BG,ZNBC=ZNBG=45°,

,:BN=BN,

??..NBC咨qNBG(SAS),

:.CN=NG,

由①可知/CVH=90。，

又：NHCN=45°,

：.ZHCN=ZCHN=45°,

：.CN=NH.

故答案為：NH、NG；

③連接CG,

C(D)

'：ZHCF=ZBCG=45°,

：.ZBCN=NGCH,

又：/CBN=ZCGH=45°,

??JHGCs,NBC，：.——=——=A/2,/.GH=y/2BN，

BNnC

AB=s[2AG=yl2（AH+GH）=>/2AH+>/2GH,

AN+BN=y/2AH+2BN，AN-BN=>/2AH.

故答案為：AN-BN=^/2AH.

【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性

質(zhì)等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵.

3.（2023?吉林?一模）如圖，ABC和VADE是有公共頂點(diǎn)的直角三角形，N54C=NZME=9O。，點(diǎn)尸為射線80,CE

的交點(diǎn).

D

A

D

BCB

ffll圖2備用圖

(1)如圖1,若ABC和VADE是等腰三角形，求證：ZABD=ZACE；

(2)如圖2,若/4。片=/45。=30。，問(wèn)：(1)中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)在(1)的條件下，A8=6,AD=4,若把VADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)㈤C=90。時(shí)，請(qǐng)直接寫出尸8的長(zhǎng)度.

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)成立，見(jiàn)解析⑶小叵或迎叵

1313

【分析】(1)依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AB=AC,AD=AE,依據(jù)同角的余角相等得到=,然后依據(jù)

SAS可證明"1)3之△AEC,最后，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到NABD=NACE；

(2)先判斷出△ADBS2XAEC,即可得出結(jié)論;

(3)分為點(diǎn)E在上和點(diǎn)E在43的延長(zhǎng)線上兩種情況畫出圖形，然后再證明△尸石方^4/歐，最后依據(jù)相似三角形

的性質(zhì)進(jìn)行證明即可.

【詳解】(1)解：ABC和VADE是等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°,

,-.AB=AC=3,AD=AE=2,ZDAB^ZCAE.

ADBWAEC.:.ZABD^ZACE.

(2)(1)中結(jié)論成立，理由:

在RtZXABC中，ZABC=30°,AB=^>AC,

在RtAADE中，ZADE=30°,

lADAE

:WAE'??花=就

ABAC=ZDAE=90°,:.ZBAD=ZCAE,.NADB^NAEC.:.ZABD=ZACE■,

(3)①當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)，BE=AB-AE=AB-AD=2.

D

NEAC=90°，,-.CE=JAE、AC2=V42+62=2713.

同（1）可證△ADB絲△AEC.:"DBA=NECA.

ZPEB=ZAEC,:ZEBsAAEC.

ACCE62V1313

②當(dāng)點(diǎn)E在以延長(zhǎng)線上時(shí)，BE=10.

NE4c=90°,屈.同（1）可證△ADB絲△AEC..?./D54=/EC4.

PBBEPB10???叫呼

ZBEP=ZCEA,.-.APEB^AAEC.

~AC~~CE'"6"2^/13,

綜上所述，網(wǎng)的長(zhǎng)為小叵或辿1.

1313

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、相似三角形的性質(zhì)和判定，分類討

論，屬于壓軸題.

題型02三角形與平移變換

【解題策略】

考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平移的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，勾股定理，解

題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形相似的判定方法，畫出相應(yīng)的圖形，注意分類討論.

【典例分析】

例.(2023?四川攀枝花?中考真題)如圖1,在ABC中，AB=3C=2AC=8,ABC沿方向向左平移得到△DCE,

A、C對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是￡＞、E.點(diǎn)廠是線段郎上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接"，將線段"繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至線段AG,使得

ZBAD^ZFAG,連接FG.

⑴當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合時(shí)，求FG的長(zhǎng);

(2)如圖2,連接3G、DF.在點(diǎn)產(chǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中：

①BG和DF是否總是相等？若是，請(qǐng)你證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由;

②當(dāng)BF的長(zhǎng)為多少時(shí)，ABG能構(gòu)成等腰三角形?

【答案】(1)2厲

(2)①止=BG；②8尸的長(zhǎng)為14或11或8或0

【分析】(1)根據(jù)平移的性質(zhì)可得四邊形ABC。、四邊形ACED是平行四邊形，再由已知推導(dǎo)出A3是NC4G的平分

—JLrr

線，由等腰三角形的性質(zhì)可得MLCG,過(guò)B點(diǎn)作交于H點(diǎn)，求出BH=2厲，再由疝4AC-2岳5，

84

所以CG=9G=2后;

(2)①證明AABG學(xué)△ADF(SAS),則DR=3G；

②過(guò)點(diǎn)A作AN，3c交于N,由等積法可得gx4x2岳=gx84V,求出AN=&?,分三種情況討論：當(dāng)AG=AB時(shí),

AG=AF=8;當(dāng)尸點(diǎn)與8點(diǎn)重合時(shí)，AF=8,此時(shí)族=0,當(dāng)班'=23N時(shí)，AF=8,在RtaABN中，BN=1,可

得BF=14；當(dāng)AG=BG時(shí)，DF=AF,過(guò)點(diǎn)尸作WW_LAD交于M,所以A〃=/W=4,能求出CN=1,CF=3,則

BF=11；當(dāng)3A=3G時(shí)，DC=DF,當(dāng)尸點(diǎn)在跖上時(shí)，CD=DF,此時(shí)C點(diǎn)與廠點(diǎn)重合，此時(shí)所=BC=8.

【詳解】⑴解：當(dāng)尸點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，AF^AC,

由平移可知，CD=ABfCD//AB,

，四邊形ABC。、四邊形AC￡D是平行四邊形,

：.AD=BC,AD〃BC,

ZBAD=ZFAG,

:"DAF=NBAG,

AB=BC,

.\ZBAC=ZACB,

ZDAC=ZACB,

/.ZDAC=ZBAC=ZBAG,

.?.AB是NC4G的平分線，

AC=AG,

/.AB±CG,

如圖1,過(guò)3點(diǎn)作交于H點(diǎn)，

AB=BC=2AC=S,

:.AH=2,

BH=2A/15,

...sinABAC='

84

.\CG=FG=2y/15;

(2)解：①DF=BG,理由如下:

如圖2,AG=AF,NDAF=NBAG,AB=AD,

...△ABG2AAD尸(SAS),

:.DF=BG-,

②如圖2,過(guò)點(diǎn)A作AN,8c交于N,

圖2

由①可知(x4x2A/T?=gx87W,

:.AN=y[15,

當(dāng)AG=AB時(shí)，

AB=6C=8,

:.AG=8,

.AG=AF,

:.AF=8,

當(dāng)尸點(diǎn)與3點(diǎn)重合時(shí)，AF=8,此時(shí)跖=0,

當(dāng)8尸=23N時(shí)，A尸=8,在Rt^ABN中，新=病=15=7,

.\BF=14；

當(dāng)AG=5G時(shí)，AF=BG,

.DF=BG,

:.DF=AF,

過(guò)點(diǎn)尸作成_LAD交于M,

.\AM=DM=4,

FM1.AD,ANIBC,

.\AM=FN=4,

BN=7,

:.CN=\,

:.CF=3,

當(dāng)B4=5G時(shí)，

DF=BG,

:.AB=DF,

AB=CD=BC=ADf

:.DC=DF,

當(dāng)尸點(diǎn)在班上時(shí)，CD=DF,此時(shí)。點(diǎn)與廠點(diǎn)重合，

：.BF=BC=8；

綜上所述：M的長(zhǎng)為14或n或8或0.

【點(diǎn)睛】本題考查幾何變換的綜合應(yīng)用，熟練掌握三角形平移的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，等腰

三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵.

【變式演練】

1.（2023?遼寧大連?模擬預(yù)測(cè)）如圖，/1BC中，=AC=夜,NBAC=90。,OE經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,且DE_L3C,垂足為E,

ZDCE=60°.

D

（1）以點(diǎn)E為中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)-CDE,使旋轉(zhuǎn)后的C力Z'的邊C'D'恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)4求此時(shí)旋轉(zhuǎn)角的大小;

⑵在（1）的情況下，將..C力Z‘沿BC向右平移設(shè)平移后的圖形與二ABC重疊部分的面積為S,求S與f

的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出f的取值范圍.

【答案】（1）旋轉(zhuǎn)角為30度或90度；

0</<

9A/3+I2

（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為30。時(shí)，S=＜

f-2/+1-<(<1

當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90。時(shí)，S=〈

【分析】（1）如圖，先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)推知-AEC'是等邊三角形，則NAEC'=60。，易求

AC'EC=30°-即旋轉(zhuǎn)角為30。；或C點(diǎn)與A重合;

（2）需要分類討論：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角不是為90。時(shí)，分0＜三立和@＜仁1兩種情況進(jìn)行解答.①當(dāng)0＜/立時(shí).如圖2,作

333

NN'工BC，垂足為M.設(shè)NN'=X，則N'C=X.由相似三角形..AMPS.CNE'的面積之比等于相似比的平方得到，

沁，則S=SMC+S研一SpE?-5^=；?-黑.+：?②當(dāng)與々＜1時(shí)，如圖3,作W3C，

垂足為「設(shè)M“=y，貝"浮.由―到-當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為9。。時(shí),分兩種情形求

解即可.

【詳解】（1）解：如圖1,

D'

B

圖1

AB=AC=-Ji,ABAC=90°,AE1BC,

:.AE=EC=1,ZB=ZC=45°.

由旋轉(zhuǎn)過(guò)程知Ed=EC=AE,ND'c'E=60°，

AEC'是等邊三角形，

ZAEC'=60°=90°-AC'EC-

:.ZC'EC=30°>即旋轉(zhuǎn)角為30°；

。點(diǎn)與A重合，即旋轉(zhuǎn)角為90度；

綜上，旋轉(zhuǎn)角為30。或90。；

(2)解：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角是為30。時(shí)：

①當(dāng)時(shí).如圖2,設(shè)￡)‘E'、C'E'與AB、AC分別相交于點(diǎn)“、N,與AE相

交于點(diǎn)P.作MV'J_3C，垂足為N’.

圖2

設(shè)NN'=x，則N'C=x，

由平移過(guò)程知NNE,C=30°，

:工N'=MNN'=?.

L1-f

由E'N'+N'C=E'C知，yJ3x+x=\-t,即工=石+].

ZAPM=ZEPE=90。-NPE'E=N7VEW,ZPAM=ZE'CN=45°，

AMPs.、CNE'，

：.s=sS-S-S=^M-^^t+^^-1X；(1T)XW=-?2-舒

AEc+AMPpEeCNEit"g.

②當(dāng)且4<1時(shí)，如圖3,設(shè)C'*與AC分別相交于點(diǎn)M、N,作垂

3

足為M'.

圖3

設(shè)A/M'=y，貝1J"E'=gy.

MEr+E，C=M，C=M，M，

即/y+(i—)=y，則>=黑?

「?S=SME'C~SNE'C=:(1T)X^^一；(1T)X2^=(1="2Z+1-

當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90。時(shí)，如圖4中，當(dāng)0V/K石-1時(shí)，重疊部分是五邊形，

\/6+A/2A/6—A/21/、22

S=SABC-SAMN—S，-------------1---------------1__(1-N=_/+/+

CKE222V7

如圖5中，當(dāng)6-14V1時(shí),重疊部分是四邊形MA的。,

圖5

-r2+z+1(0<r<V3-l)

「-與4回）-如小與產(chǎn)+東所以,

s=s-s

MCD'.CNE"

綜上所述，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角不是為90。時(shí),當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90。時(shí)

-z2+r+1（0<z<V3-l）

S=<

【點(diǎn)睛】本題考查了幾何變換綜合題.需要學(xué)生熟練掌握旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的

判定與性質(zhì)，函數(shù)關(guān)系式是求法.解答（2）題時(shí)，一定要分類討論，以防漏解或錯(cuò)解.

2.（2023?四川成都?一模）如圖1,在.ASC中，AC=4,以43為底邊作等腰.9，連接PC,作，尸CD,使得PC=PD,

^.ZCPD=ZAPB.

（1）如圖2,若NAP3=60。，請(qǐng)按題意補(bǔ)全圖形，并寫出畫圖步驟;

⑵將線段CA沿CD的方向平移得到線段DE,連接BE,

①如圖3,若NCPD=ZAPB=90°,求BE的長(zhǎng)；

②若ZAPB=36。，直接寫出BE的長(zhǎng).

【答案】（1）見(jiàn)解析

⑵①4點(diǎn)；②20-2

【分析】（1）根據(jù)題意，作等邊△CPD即可；

（2）①連接8。，證明，CE4絲DPB（SAS）,得3D=AC=4,ZBDP=ZACP,由AC〃上，知NEDC+NACD=18O。,

可推得/ED8=90。，在RtZkBE。中，BE=ylBD2+DE2,即可得答案；

②連接3。，作/EfiD角平分線交切于凡證明,CR4四一DPB(SAS),得BD=AC=4,NBDP=ZACP,ffi]AC//DE,

BEEFx4-x

可推得ZEDB=36。，，EBFS'EDB，得——=——，設(shè)BE=x，則所=。"—。尸=DE-BE=4—x,歹!J出方程一=——,

DEBE4x

即得2E=2有-2.

【詳解】(1)解：如圖所示：

畫圖步驟：①連接PC,

②分別以尸、C為圓心，尸C長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)

③連接FD、CD-

(2)①連接3￡),如圖：

,?ZCPD=ZAPB=90°,

：.NCPA=NDPB,

又；PA=PB,PC=PD,

；.；.CPA空DPB(SAS)),

：.BD=AC=4,NBDP=ZACP,

AC//DE,

NEDC+ZACD=180°,

即ZEDB+ZBDP+ZPDC+ZACD=180°,

ZEDB+ZACP+ZPDC+ZACD=180°,即ZEDB+ZPDC+ZPCD=180°,

而ZPDC+ZPCD=90°,

NEDB=90。,

V將線段CA沿CD的方向平移得到線段DE,

DE=AC=4,

在RtZ\2E￡>中，BE=NBD。+DE。=4立；

②連接BD，作NEBD角平分線交EO于凡如圖：

,/ZCPD=ZAPB=36°,

：./CPA=NDPB,

XVPA=PB,PC=PD,

.?…CB4"DPB(SAS),

BD=AC=4,NBDP=ZACP,

,?AC//DE,

ZEDB+ABDC+APCD+ZACP=l80°,

ZEDB+ZBDC+ZPCD+ZBDP=180°,即ZEDB+ZPDC+Z.PCD=180°,

而ZPDC+NPCD=180°-NCPD=144°,

：.ZEDB=36°,

??,將線段CA沿CD的方向平移得到線段DE,

DE=AC=BD=4,

Z.EBD=ABED=72°,

?：BF平分/EBD，

：.ZEBF=ZFBD=ZEDB=36°f

:,BF=DF,ZBFE=ZBED=M,

BE=BF=DF,

?：ZEBF=NEDB,NE=NE,

:.^EBFS_EDB,

,BE_EF

''~DE~~BE'

設(shè)=貝lj跖=。石一。9=O七-5￡=4—%，

.x_4-x

??一=----，

4x

解得x=2百一2或x=—2逐一2（舍去），

：.BE=2y/5-2.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形綜合應(yīng)用，涉及旋轉(zhuǎn)變換、三角形全等判定及性質(zhì)、三角形相似判定及性質(zhì)、等腰三角形性

質(zhì)及應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形和相似三角形解決問(wèn)題.

題型03三角形與翻折變換

【解題策略】

考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，折疊幾何性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，勾股定理，

解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形相似的判定方法，畫出相應(yīng)的圖形，注意分類討論.

【典例分析】

例.（2023?湖北武漢?中考真題）問(wèn)題提出：如圖（1）,E是菱形ABCD邊2C上一點(diǎn)，是等腰三角形，AE=EF,

/AEP=/ABC=（z（a290。）,AF交8于點(diǎn)G,探究/GC/與a的數(shù)量關(guān)系.

⑴(2)(3)

問(wèn)題探究：

⑴先將問(wèn)題特殊化，如圖(2),當(dāng)《=90。時(shí)，直接寫出/GCR的大小；

(2)再探究一般情形，如圖(1),求/GCP與a的數(shù)量關(guān)系.

問(wèn)題拓展：

⑶將圖(1)特殊化，如圖(3),當(dāng)夕=120。時(shí)，若嘗==，求券的值.

CG2CE

【答案】(1)45。

3

(2)ZGCF=-a-90°

c、BE2

(3)=一

CE3

【分析】(1)延長(zhǎng)5c過(guò)點(diǎn)尸作證明,.ABE1馬即可得出結(jié)論.

(2)在上截取4V,使AN=EC,連接2VE,證明ZWE/ZXEB,通過(guò)邊和角的關(guān)系即可證明.

3

(3)過(guò)點(diǎn)A作。的垂線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為3加，由(2)知，ZGCF=-a-90°=90°f通過(guò)相

似求出。方=述相，即可解出.

5

【詳解】⑴延長(zhǎng)3C過(guò)點(diǎn)尸作

ZBAE+ZAEB=90°,

NFEH+ZAEB=900,

???ZBAE=ZFEH,

在△￡&!和一加E中

NABE=NEHF

<NBAE=NFEH

AE=EF

:,&ABE冬-EHF，

AB=EH,

BE=FH,

：.BC=EH,

：.BE=CH=FH,

：.?GCFIFCH45?.

故答案為：45°.

(2)解：在AB上截取⑷V,使AN=EC,連接2VE.

ZABC+ZBAE+ZAEB=ZAEF-bZFEC+ZAEB=180°,

ZABC=ZAEFf

:.ZEAN=ZFEC.

AE=EF,

:.LANEqAECF.

.\ZANE=ZECF.

AB=BC,

:.BN=BE

/EBN=a,

/.ZBNE=90°--a.

2

:.ZGCF=ZECF-ZBCD=ZANE-ZBCD

=|90o+1<z|-(180o-6r)=16Z-90o.

(3)解：過(guò)點(diǎn)A作8的垂線交8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為3根,

DG_1

~CG~29

\DG=m,CG=2m.

在RtADP中，

?ADC1ABC120?,

.\ZADP=6O°,

/.PD=—m,AP=—V3m.

22

3

a=120°,由(2)知，ZGCF=-a-90°=90°.

2

?AGP?FGC,

\APGsFCG.

APPG

,~CF~'CG，

CF2m

.f6K

..CF=-----m,

5

在AB上截取AN,使AN=EC,連接NE,作BOLNE于點(diǎn)O.

由（2）知，AAAE^AECF,

:?NE=CF,

?:AB=BC,

:?BN=BE,OE=EF=-EN=—m.

25

,?ZABC=120°,

：.ZBNE=ZBEN=30°f

OF

Vcos30?—,

BE

BE=—m,.

5

9

\CE=-m

5

.BE_2

'^CE~3,

P

【點(diǎn)睛】此題考查菱形性質(zhì)、三角形全等、三角形相似，解題的關(guān)鍵是熟悉菱形性質(zhì)、三角形全等、三角形相似.

【變式演練】

1.（2024.安徽阜陽(yáng).一模）（1）如圖1,在矩形ABCD中，AB=5,3c=4,點(diǎn)E為邊BC上一點(diǎn),沿直線將矩

形折疊，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)C'處.求AC的長(zhǎng)；

(2)如圖2,展開(kāi)后，將eDC'E沿線段向右平移，使點(diǎn)C'的對(duì)應(yīng)點(diǎn)與點(diǎn)B重合，得到aDTJE，，DE與3c交于點(diǎn)

F,求線段所的長(zhǎng)；

(3)在圖1中，將DC'E繞點(diǎn)C'旋轉(zhuǎn)至A,C,E三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫出CD的長(zhǎng).

【答案】(1)3；(2)1；(3)病或石

【分析】(1)本題利用折疊和矩形的性質(zhì)得出CD=CZ?=AB=5,AD=BC=4,再利用勾股定理即可解題;

(2)本題利用平移的性質(zhì)證得，CDEs.ez/F,設(shè)EB長(zhǎng)為無(wú)，利用勾股定理算出心推出CE,再利用相似三角形的

性質(zhì)得到男=要，算出C/，從而求得石尸的長(zhǎng)；

CD

(3)本題根據(jù)A,C',E三點(diǎn)共線，分以下兩種情況討論，①當(dāng)E旋轉(zhuǎn)到C'左側(cè)時(shí)，②當(dāng)E旋轉(zhuǎn)到C'右側(cè)時(shí)，根據(jù)

以上兩種情況作輔助線構(gòu)造直角三角形，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)和判定、以及勾股定理進(jìn)行分析求解，即可解

題.

【詳解】(1)解：ABCD為矩形，AB=5,BC=4,

:.CD=C'D=AB=5,AD=BC=4,

AC=^C'D2-AD2=3；

(2)解：07晅為cOC'E平移后的圖形，AC=3,AB=5,

C'B=DD'=AB-AC'=2,EfE,//DE,

:...CDEscCD'F，

設(shè)長(zhǎng)為x,

CB2^EB2=CE2,CE=CE=BC-EB,

x2+22=（4—x）2

3

解得：％=j

35

,CE=4——

22

CDCF

~CD~~CECD'=CD—DD'=5—2=3,

3CF

55,

2

e|

:.EF=CE-CF=1-,

(3)解：將，。C'E繞點(diǎn)C'旋轉(zhuǎn)至A,C',E三點(diǎn)共線,

分以下兩種情況：

①當(dāng)E旋轉(zhuǎn)到C左側(cè)時(shí)，如圖所示：

作。WJ_C3,交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

C

B

由（2）可知3C'=2,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，ZDCE=90°,

ZDC'B=90°,

ZCBC=90°,

：.Z.CBM=ZM=NDC'B=90°,

二四邊形為矩形，

:.BM=DC'=5,DM=BC=2,

DC=^DM2+（BM+BC^=^22+92=屈,

②當(dāng)E旋轉(zhuǎn)到C'右側(cè)時(shí)，如圖所示：

作DN_L3C,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,

由（2）可知3c'=2,由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，ZDC'E=9Q°,

ZCBC=90°,ZCBC=ZN=ZDC'E=90°,

四邊形BNDC'為矩形，:.BN=DC=5,DN=BC'=2,

:.CN=BN-BC=5-4=l,

DC=^DN2+CN2=722+12=75?

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)和判定、勾股定理、平移的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的性質(zhì)和判定、

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理并靈活運(yùn)用，即可解題.

2.（2023?陜西榆林?一模）【問(wèn)題背景】

(1)如圖1,在矩形ABCD中，BC=6,點(diǎn)E是BC上一點(diǎn),連接4E,DE,若NA￡B+NCED=90。，貝UAE?+DE?=

(2)如圖2,在正方形ABQ)中，AB=8,點(diǎn)E在邊C。上，將VADE沿AE翻折至△AFE,連接CP,求△CEF周長(zhǎng)

的最小值；

圖2

【問(wèn)題解決】

(3)如圖3,某植物園在一個(gè)足夠大的空地上擬修建一塊四邊形花圃ABCD,點(diǎn)/是該花圃的一個(gè)入口，沿DM和CM

分別鋪兩條小路，且NDMC=135。，AD+BC=am,AM=60m,BM=80m.管理員計(jì)劃沿CD邊上種植一條綠化帶

(寬度不計(jì))，為使美觀，要求綠化帶的長(zhǎng)度盡可能的長(zhǎng)，那么管理員是否可以種植一條滿足要求的長(zhǎng)度最大的綠化

帶8?若可以，求出滿足要求的綠化帶8的最大長(zhǎng)度(用含。的式子表示)；若不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖3

【答案】(1)36；(2)80;(3)管理員可以種植一條滿足要求的長(zhǎng)度最大的綠化帶8,綠化帶8的最大長(zhǎng)度為

(?+100)m

【分析】(1)利用矩形的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行求解即可；

(2)連接AC,根據(jù)翻折，得到。E=￡F,AD=AF=CD,得到△聲的周長(zhǎng)

=CE+EF+CF=CE+DE+CF=CD+CF=AF+CF,進(jìn)而得到當(dāng)AF+CF的值最小時(shí)，△€￡產(chǎn)的周長(zhǎng)最小，進(jìn)行求

解即可；

(3)將AADM沿著DM翻折得到AEDM,將.BCM沿著CM翻折得到LFCM,連接EF,推出當(dāng)DE、EF、FC三

條線段共線時(shí)，CD有最大值，進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：(1)解：；在矩形ABCD中，BC=6,

：.AD=BC=6,

'：ZAEB+ZCED=90°,

AZAED=90°,

/.AE2+DE2=AD2=36；

故答案為：36.

(2)連接AC,如圖1

YADE沿AE翻折至AAFE,

/./^ADE^AAFE,

:.AF=AD=CD,DE=EF，

?.飛斯的周長(zhǎng)nCE+EF+CdCE+DE+CdCD+BnAF+B,

,?AF+CF^AC,

當(dāng)點(diǎn)A、F、C三點(diǎn)共線時(shí)，AF+CF最小，即△€￡廠的周長(zhǎng)最小，止匕時(shí)AF+CF=AC,

AB=8C=8,

AC=^AB2+BC2=8叵，

/?△CEF的周長(zhǎng)最小為80;

(3)管理員可以種植一條滿足要求的長(zhǎng)度最大的綠化帶8.

如圖2,將△ADAf沿著DM翻折得到將沿著CM翻折得到△/CM,連接EF

:.DE=AD，CF=BC,AM=EM=60,FM=BM=80,/AMD=NDME,/CMB=/CMF,

：.DE+CF=AD+BC=a,

=135°,

NDME+NCMF=NAMD+NCMB=45°,

：.ZEMF=NDMC-1/DME+NCMF)=135°-45°=90°,

EF=y/EM2+FM2=100；

DE+EF+CF>CD,

.?.當(dāng)DE、EF、FC三條線段共線時(shí)，8有最大值，it^CD=DE+FC+EF=a+100,

故管理員可以種植一條滿足要求的長(zhǎng)度最大的綠化帶CO,綠化帶8的最大長(zhǎng)度為(a+100)m.

【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理.本題的綜合性強(qiáng)，屬于常見(jiàn)的中考?jí)狠S題.熟

練掌握折疊的性質(zhì)，勾股定理，是解題的關(guān)鍵.

題型04三角形類比探究問(wèn)題

【解題策略】

考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，勾股定