2025年中考數(shù)學(xué)難點突破與訓(xùn)練：全等三角形中的截長補短模型（解析版）

專題06全等三角形中的截長補短模型

【模型展示】

4

?，

、??■

、*/■

￡

如圖，在△NBC中，若N3=72,AC=8,求3c邊上的中線4D的取值范圍。

解決此問題可以用如下方法：

延長4D到點E使OE=4D,再連接BE,把N3、AC.24。集中在△4BE中，利用三角形三

邊的關(guān)系即可判斷中線4?的取值

【證明】

延長4D至E,ftDE=AD,連接5E,如圖所示，

特點

,.1。是HC邊上的中線，

：.BD=CD

在叢BDE和△S4中，

BD=CD

ZBDE=ZADC

DE=AE

：.ABDE妾ACDAiSAS)

：.BE=AC=8

在△N5E中，由三角形的三邊關(guān)系得：AB-BE<AE<AB+BE

：.12-8<AE<12+8

：.2<AD<10

截長法和補短法在證明線段的和、差、倍、分等問題中有著廣泛的應(yīng)用.具體的做法是在某

結(jié)論條線段上截取一條線段等于某特定線段，或?qū)⒛硹l線段延長，使之與某特定線段相等，再利用

全等三角形的性質(zhì)等有關(guān)知識來解決數(shù)學(xué)問題.

【模型證明】

如圖，在5c中，。是5c邊上的中點，OE_LnF于點。，交48于點E0F交NC于點

居連接EF,求證：BE+CF>EF.

【證明】

延長FD至點M,使OAf=Z)居連接5M￡M,如圖所示，

同上例得絲△CFD{SAS)

：.BM=CF

,:DE_LDFQM=DF

：.EM=EF

在△5ME1中，由三角形的三邊關(guān)系得：BE+BM>EM

解決方案

如圖，在四邊形/BCD中，ZB+ZD=180°,CB=CD,ZBCD=140°,以C為頂點作一個7儼角，

角的兩邊分別交AB^D于E,F兩點連接M,探索線段BE,DF,EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

【證明】

延長AB至點N,使BN=DF連攜CN,如圖所示

VZABC+ZD=180°,ZNBC+ZABC=180°

：.ZNBC=ZD

在ANBC和△FDC中

BN=DF

ZNBC=ZD

BC=DC

:?△NBCQAFDC(SAS)

JCN=CF,ZNCB=ZFCD

VZBCD=140°,ZECF=70°

：.ZBCE+ZFCD=70°

：.ZECN=70°=ZECF

在叢NCE和AFCE中

CN=CF

ZECN=ZECF

CE=CE

：.4NCEm/\FCE(SAS)

：.EN=EF

：.BE+DF=EF.

【題型演練】

一、解答題

1.閱讀下面文字并填空：

數(shù)學(xué)習(xí)題課上李老師出了這樣一道題:“如圖1,在A/BC中,AD平分N8ZC,NB=2NC.求證：AB+BD=AC.

（圖1）

李老師給出了如下簡要分析：“要證+=就是要證線段的和差問題，所以有兩個方法，方法一：‘截

長法，如圖2,在AC上截取4E=M,連接DE,只要證即可，這就將證明線段和差問題

為證明線段相等問題，只要證出A,得出N3=ZAED及

BD=,再證出N=Z，進(jìn)而得出E0=EC,則結(jié)論成立.此種證法的基

礎(chǔ)是'已知AD平分NB4C,將沿直線AD對折，使點B落在AC邊上的點E處，成為可能.

E

（圖2）

方法二:“補短法”如圖3,延長AB至點F,使BF=BD.只要證/尸=/C即可.此時先證N=/C,

再證出△,則結(jié)論成立.”

“截長補短法”是我們今后證明線段或角的“和差倍分”問題常用的方法.

【答案】方法一：CE；轉(zhuǎn)化；ABD；AED-.DE:EDC；C；方法二：F；AFD■,ACD

【分析】方法一：在AC上截取4E=/B,由SAS可證=可得=BD=DE,根據(jù)等角

對等邊得到CE=DE,即可求證；

方法二：延長AB至點F,使BF=BD,由AAS可證。FD=,可得AC=AF,即可證明.

【詳解】方法一：在AC上截取AE=4B,連接DE,如圖2

VAD平分NB4C,

/.ABAD=ADAC,

在AABD和KAED中

AE=AB

</BAD=ADAC,

AD=AD

：.AABD=NAED,

:.NB=NAED,BD=DE,

,?ZB=2ZC,

NAED=2NC

而ZAED=ZC+NEDC=2ZC,

NEDC=ZC,

，DE=CE,

AB+BD=AE+CE=AC,

故答案為：CE；轉(zhuǎn)化；ABD；AED；DE-,EDC；C；

方法二：如圖3,延長AB至點F,使BF=BD,

：.ZF=ZBDF

：.ZABD=ZF+ZBDF=2ZF

：.ZABD=2ZC

NF=ZC

在A4FD和A4CD中

ZFAD=ACAD

<ZF=AC,

AD=AD

：.\AFD=NACD,

，AC=AF,

AC=AB+BF=AB+BD,

故答案為：F-,AFD-,ACD.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，屬于截長補短類輔助線，核心思想為數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想，

此類題的關(guān)鍵是要找到最長邊和最短邊，然后確定截取輔助線的方式.

2.【閱讀理解】截長補短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線的添加方法.截長就是在長邊上截取一條線

段與某一短邊相等，補短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一短邊相等，從而解決問題.

(1)如圖1,A4BC是等邊三角形，點。是邊3c下方一點，ZBDC=120°,探索線段D4、DB、DC之

間的數(shù)量關(guān)系.

解題思路：延長。C到點E,使CE=8Z),連接4E,根據(jù)/A4C+/BZ)C=180。，可證4=易

證得得出是等邊三角形，所以4D=DE,從而探尋線段7X4、DB、。。之間的數(shù)

量關(guān)系.

根據(jù)上述解題思路，請寫出D4、DB、。。之間的數(shù)量關(guān)系是,并寫出證明過程；

【拓展延伸】

（2）如圖2,在必A48C中，/BAC=90°,AB=AC,若點。是邊8c下方一點，ZBDC=90°,探索線段

DA、DB、0c之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

【知識應(yīng)用】

（3）如圖3,兩塊斜邊長都為的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，則兩塊三角板的直角頂點之間的距

離尸。的平方為多少？

【答案】（1）見解析；（2）2AD2=（DC+BD）2；見解析；（3）2+6

【分析】（1）由等邊三角形知ZBAC=60°,結(jié)合48。。=120。知N/8D+//CZ）=180。，由

N/CE+//CD=180。知證AABD烏A4CE得4D=AE,/BAD=NCAE,再證△4DE是等邊

三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB.

（2）延長。C到點￡,使CE=BD,連接/￡,先證△4BD0A4CE得4D=4E,ZBAD=ZCAE,據(jù)此可得

ZDAE=ZBAC=90°,由勾股定理知。/2+/爐=0爐，繼而可得240?=（DC+BD）2；

（3）由直角三角形的性質(zhì)知。N=gMN=1,MQ=^MN2-QN2=g,利用（2）中的結(jié)論知2PQ2=（QN+MQ）2,

據(jù)此可得答案.

【詳解】解：（1）DA=DC+BD,理由如下：

:AABC是等邊三角形，

：.AB=AC,ZBAC=60°,

"：ZBDC=nO°,

：.ZABD+ZACD=36O0-ZBAC-ZBDC=1SO°,

又：ZACE+ZACD=18Q°,

：.NABD=NACE,

在△48。和△/（?￡■中，

'AB=AC

<AABD=ZACE,

BD=CE

:.LABD咨4ACE（SAS）,

：.AD=AE,NBAD=/CAE,

'：ZABC=60°,即ZBAD+ZDAC=60°,

：.ZDAC+ZCAE=60°,即/D/E=60°,

.?.△4DE是等邊三角形，

DA=DE=DC+CE=DC+DB,即DA=DC+DB,

故答案為：DA=DC+BD；

(2)2AD?=(DC+BD)2,如圖2,延長。。到點E,使CE=BD,連接

圖2

VZBAC=90°fZBDC=90°,

：.AABD+AACD=360°-ABAC-ZBDC=180°,

NACE+/ACD=180。,

：.NABD=NACE,

?；AB=AC,CE=BD,

在△45。和中，

AB=AC

<ZABD=ZACE,

BD=CE

?二△ABD咨LACE(弘S),

：.AD=AE,/BAD=NCAE,

：.ZDAE=ZBAC=90°,

：.DA2+AE2=DE2,

：.2AD2=(DC+BDy；

(3)如圖3,連接尸。，

"：MN=2,ZQMN=3>0°,/MQN=90°,

：.QN=^MN=\,

/.MQ=yjMN2-QN2=V22-l2=73,

由(2)知2尸0=(QN+Mg『.

???喈=(”丁。)、生"=2+5

【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的

性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

3.如圖，在等邊△/BC中，點尸是邊上一點，NBAP=a(30°<?<60°),作點2關(guān)于直線/P的對

稱點。，連接。。并延長交直線/尸于點E,連接2瓦

(1)依題意補全圖形，并直接寫出助的度數(shù)；

(2)用等式表示線段/￡,BE,CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

分析：①涉及的知識要素：圖形軸對稱的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)……

②通過截長補短，利用60。角構(gòu)造等邊三角形，進(jìn)而構(gòu)造出全等三角形，從而達(dá)到轉(zhuǎn)移邊的目的.

請根據(jù)上述分析過程，完成解答過程.

【答案】(1)圖見解析，NAEB=60。；(2)AE=BE+CE,證明見解析

【分析】(1)依題意補全圖形，如圖所示：然后連接先求出NC4P=60。-a,然后根據(jù)軸對稱的性質(zhì)

得至U/尸,AD=AB=AC,/AEC=NAEB,求出NClZ)=2a-60。，即可求出

//CD=N4DC=；(180。-ZG4￡>)=120°-a,再由ZEAC+ZAEC=ZACD=nO0-a進(jìn)行求解即可；

(2)如圖，在4E上截取EG=3￡,連接3G.先證明△BGE是等邊三角形，得至U8G=3￡=EG,ZGBE

=60°.再證明//8G=/C8E,即可證明△N3G四△CBE得到/G=CE,貝I]NE=￡G+NG=3E+CE.

【詳解】解：（1）依題意補全圖形，如圖所示：連接4Q,

?：AABC是等邊三角形，

AZBAC=60°fAB=AC,

???ABAP=a,

???ZCAP=60°-af

,:B、。關(guān)于4P對稱，

ZPAD=ZBAP=a,AD=AB=AC,NAEC=NAEB,

：.ZCAD=ZPAD-ZCAP=a-(60。-a)=%-60c,

??.ZACD=ZADC=^(l^°-ZCAD)=nO0-a9

：.ZEAC+ZAEC=ZACD=120°-a,

???ZAEC=60°

：.ZAEB=60°.

(2)AE=BE+CE.

證明：如圖，在ZE上截取￡G=5￡,連接2G.

ZAEB=60°,

???△5GE是等邊三角形，

:?BG=BE=EG,ZGBE=6Q°.

4ABe是等邊三角形，

:?AB=BC,ZABC=60o,

：./ABG+ZGBC=ZGBC+ZCBE=60°,

JZABG=ZCBE.

在△48G和中,

AB=CB,

<ZABG=NCBE,

BG=BE,

：.^ABG^/XCBE(SAS),

J.AG^CE,

：.AE=EG+AG=BE+CE.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，軸對稱的性質(zhì)，等腰三角形的性

質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)等等，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵

4.閱讀材料:

“截長補短法”是幾何證明題中十分重要的方法，通常用來證明幾條線段的數(shù)量關(guān)系.截長，即在長線段上截

取一條線段等于其中一條短線段，再證明剩下的部分等于另一條短線段；補短，即延長其中一條短線段，

使延長部分等于另一條線段，再證明延長后的線段等于長線段.

依據(jù)上述材料，解答下列問題：

如圖，在等邊A/BC中，點￡是邊NC上一定點，點。是直線3C上一動點，以DE為邊作等邊ADEF,連

接CK

(1)如圖，若點。在邊3C上，試說明廢+。尸=?！ǎ?提示：在線段CD上截取CG=CE,連接EG.)

(2)如圖，若點。在邊8c的延長線上，請?zhí)骄烤€段CE,C戶與CD之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由.

【答案】(1)證明見解析

⑵FC=CD+CE

【分析】(1)在CD上截取CG=CE,易證ACEG是等邊三角形，得出EG=EC=CG,證明△OEG0/XFEC

(SAS),得出。G=CR即可得出結(jié)論；

(2)過。作DG/U3,交NC的延長線于點G,由平行線的性質(zhì)易證NGDC=/DGC=60。，得出△GCD

為等邊三角形，貝i]DG=CD=CG,證明△EG。g△/CD(SAS),得出即可得出尸C=CD+C￡

(1)

證明：在CD上截取CG=C￡,如圖1所示：

圖1

-：AABC是等邊三角形，

NECG=60。,

:.ACEG是等邊三角形，

；.EG=EC=CG,ZCEG=60°,

：△￡)￡尸是等邊三角形，

:.DE=FE,/DEF=60。,

：.ZDEG+ZGEF=ZFEC+ZGEF=60°,

ZDEG=ZFEC,

在ADEG和△莊C中，

DE=FE

<ZDEG=ZFEC,

EG=EC

：.ADEG^AFEC(SAS),

:,DG=CF,

：.CD=CG+DG=CE+CF,

：.CE+CF=CD；

(2)

解：線段比，C/與CD之間的等量關(guān)系是bC=CQ+CE；理由如下:

■:4ABC是等邊三角形，

???ZA=ZB=60°,

過。作。G〃4B,交4C的延長線于點G,如圖2所示：

：.ZGDC=Z5=60°,ZDGC=ZA=60°f

：.ZGDC=NQGC=60。，

???△GCQ為等邊三角形，

：.DG=CD=CG,ZGDC=60°,

???△切正為等邊三角形，

：.ED=DF,NEDF=NGDC=60。,

：.ZEDG=/FDC,

在△￡GD和△尸CD中,

ED=DF

<ZEDG=ZFDC,

DG=CD

:.△EGD^XFCD(SAS),

：.EG=FC,

:.FC=EG=CG+CE=CD+CE.

【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，三角形全等及其性質(zhì)，三角形全等的判定，等邊三角形的性質(zhì)等知識,

作輔助線構(gòu)建等邊三角形是解題的關(guān)鍵.

5.在“教、學(xué)、練、評一體化”學(xué)習(xí)活動手冊中，全等三角形專題復(fù)習(xí)課，學(xué)習(xí)過七種作輔助線的方法，其

中有“截長補短”作輔助線的方法.

截長法：在較長的線段上截取一條線段等于較短線段；

補短法：延長較短線段和較長線段相等.

這兩種方法統(tǒng)稱截長補短法.

請用這兩種方法分別解決下列問題：

已知，如圖，在△N3C中，AB>AC,Zl=Z2,尸為/。上任一點，求證：AB-AC>PB~PC

【分析】截長法：在上截取連結(jié)尸N,可證得△4PN咨△4PC,可得至ABPN中,利

用三角形的三邊關(guān)系，即可求證；補短法：延長NC至初，使/〃連結(jié)尸加；證明AAB尸之可

得PB=PM,在△尸CN中，利用三角形的三邊關(guān)系，即可求證.

【詳解】解：截長法：在上截取/N=/C,連結(jié)尸N,

在△NPN和△/PC中

"：AN=AC,Z1=Z2,AP=AP,

：.AAPN%AAPC,

：.PC=PN,

4BPN中有PB—PNVBN,

即PB—PCCAB—AC；

補短法：延長NC至使連結(jié)PM,

在△AB尸和1中，

?;AB=AM,Z1=Z2,AP=AP,

：.AABP絲LAMP,

：.PB=PM,

又在△尸CM中有CM>PM~PC,

即AB-AOPB-PC.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，理解截長補短法是解題的關(guān)鍵.

6.例：截長補短法，是初中幾何題中一種添加輔助線的方法，也是把幾何題化難為易的一種策略.截長就

是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短就是通過延長或旋轉(zhuǎn)等方式使兩條短邊拼合到一起，從而

解決問題.

(1)如圖1,△48C是等邊三角形，點。是邊下方一點，/BDC=120°,探索線段D/、DB、。。之間

的數(shù)量關(guān)系.

解題思路:將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到可得AE=AD,CE=BD,ZABD=ZACE,ZDAE=60°,

根據(jù)/B/C+/8DC=180。，可知/48O+//CD=180。，貝IZACE+ZACD=1SQ°,易知△/￡)￡是等邊三角形,

所以從而解決問題.

根據(jù)上述解題思路，三條線段94、DB、DC之間的等量關(guān)系是；

(2)如圖2,RtAABC中,/R4c=90。,4B=4C.點D是邊BC下方一點、,ZBDC=90°,探索三條線段D4、

DB、。。之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

B

B

00

Mim2

【答案】(1)DA=DB+DC;(2)應(yīng)DA=DB+DC,證明見解析.

【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)60?？傻?￡=/。，CE=BD,ZABD=ZACE,ZDAE=60°,ZBAC+ZBDC=180°,

可知/48D+N/CD=180。，貝UZACE+ZACD=180°,易知△/〃￡1是等邊三角形，所以從而解決

問題.

(2)延長DC到點E,使CE=BD,連接AE,由已知可得ZABD+ZACD=180°,根據(jù)NACE+ZACD=180°,可得

AABD=N4CE,可證AABD,進(jìn)而可得AD=AE,ABAD=/C4E,可得ADAE=ABAC=90°,由勾股定

理可得：。/2+/爐=。爐,進(jìn)行等量代換可得結(jié)論.

【詳解】⑴結(jié)論：DA=DB+DC.

理由：AABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到AACE,

；.AE=AD,CE=BD,ZABD=ZACE,ZDAE=60°,

VZBAC+ZBDC=180°,

AZABD+ZACD=180°,

.,.ZACE+ZACD=180°,

；.D,C,E三點共線，

VAE=AD,ZDAE=60°,

」.△ADE是等邊三角形，

；.AD=DE,

AD=DC+CE=DB+DC;

(2)結(jié)論：V2DA=DB+DC,

證明如下：

如圖所示，延長DC到點E,使CE=BD,連接AE,

,/Za4c=90°,/3。。=90°,

ZABD+ZACD=i^,

ZACE+ZACD=180°,

：.ZABD=ZACE,

VAB=AC,CE=BD,

"BDmACE（SAS）,

/.AD=AE,NBAD=NCAE,

，ZDAE=ABAC=90°,

DA1+AE2=DE1,

：.2DA?=（DB+DC）2,

：.42DA=DB+DC.

【點睛】本題主要考查了截長補短的方法，通過全等三角形得到線段間的等量關(guān)系，正確作出輔助線找到

全等三角形是解題的關(guān)鍵.

7.閱讀材料并完成習(xí)題：

在數(shù)學(xué)中，我們會用“截長補短”的方法來構(gòu)造全等三角形解決問題.請看這個例題：如圖1,在四邊形ABCD

中，ZBAD=ZBCD=90°,AB=AD,若AC=2cm,求四邊形ABCD的面積.

解：延長線段CB到E,使得BE=CD,連接AE,我們可以證明ABAE之△DAC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得

AE=AC=2,ZEAB=ZCAD,貝UNEAC=/EAB+/BAC=NDAC+/BAC=NBAD=90°,得S四邊彩

=

ABCD=SAABC+SAADCSAABC+SAABE=SAAEC，這樣，四邊形ABCD的面積就轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形EAC面積.

（1）根據(jù)上面的思路，我們可以求得四邊形ABCD的面積為cm2.

（2）請你用上面學(xué)到的方法完成下面的習(xí)題.

H

AG

EN

如圖2,已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm,ZG=ZN=90°,求五邊形FGHMN的面積.

【答案】(1)2；(2)4

【分析】(1)根據(jù)題意可直接求等腰直角三角形EAC的面積即可;

(2)延長MN到K,使NK=GH,連接FK、FH、FM,由(1)易證.AFGHWFNK,則有FK=FH,因為

HM=GH+MN易證AF/必也AFMM,故可求解.

【詳解】(1)由題意矢口S四邊形"8=S^ABC+S^ADC=S"BC+=2,

故答案為2；

(2)延長MN到K,使NK=GH,連接FK、FH、FM,如圖所示:

VFG=FN=HM=GH+MN=2cm,ZG=ZN=90°,

ZFNK=ZFGH=90°,二AFGHWFNK,

?,.FH=FK,

X---FM=FM,HM=KM=MN+GH=MN+NK,

AFMKAFMH,

：.MK=FN=2cm,

*,*S五邊形FGHMN=SAFGH+S&HFM+MFN~2s/MK=2^-MK-FN=4.

【點睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，關(guān)鍵是根據(jù)截長補短法及割補法求面積的運用.

8.【閱讀理解】截長補短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線的添加方法.截長就是在長邊上截取一條線

段與某一短邊相等，補短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一長邊相等，從而解決問題.

(1)如圖①，△4BC是等邊三角形，點。是邊8c下方一點，連結(jié)。4DB、DC,且/助C=120。，探

索線段。4DB、。。之間的數(shù)量關(guān)系.

解題思路：延長。。到點E,使CE=BD,連接NE,根據(jù)/A4C+BZ)C=180。，貝(INABD+N4cD=180°,

因為/幺。。+/4?！?180?？勺C/48。=//?！?易證得g△/(?￡,得出△4DE是等邊三角形，所

以4D=DE,從而探尋線段DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系.根據(jù)上述解題思路，請直接寫出。4DB、DC

之間的數(shù)量關(guān)系是;

【拓展延伸】

(2)如圖②，在RtZ\/3C中，ZBAC=90°,AB=AC.若點。是邊3c下方一點，ZBDC=90°,探索線

段DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

【知識應(yīng)用】

(3)如圖③，兩塊斜邊長都為2cm的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，已知30。所對直角邊等于斜邊一半,

則PQ的長為cm.(結(jié)果無需化簡)

【答案】(1)DA=DB+DC；(2)猜想：42AD=DC+DB證明見解析；(3)匕妥.

V2

【分析】(1)由等邊三角形知ZBAC=6Q°,結(jié)合/8OC=120。知N/8O+/4c0=180。，由

N/CE+N/CD=180。知證絲△NCE得/￡>=/￡NBAD=NCAE,再證△4DE是等邊

三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB.

(2)延長DC到點￡,使CE=BD,連接NE,先證△4BD0A4CE得4D=4E,NB4D=/CAE,據(jù)此可得

ZDAE=ZBAC=90°,由勾股定理知繼而可得2"2=(DB+DC)2；

(3)由直角三角形的性質(zhì)知。N=1■跖V=l,MQ=yjMN2-QN2=43,利用(2)中的結(jié)論知

y/2PQ=QN+QM=\+百，據(jù)此可得答案.

【詳解】解：(1)DA=DC+DB,理由：

,**4ABC是等邊三角形，

：.AB=AC,ZBAC=60°,

???ZBDC=nO0,

：.ZABD+ZACD=\SO0,

又?:ZACE+ZACD=\SO09

：.NABD=NACE,

在△45。和△4CE中，

AB=AC

<ZABD=ZACE,

BD=CE

:?△ABD/LACE(SAS),

：.AD=AE,/BAD=/CAE,

???ZABC=60°,即ZBAD+ZDAC=60°,

：.NDAC+NCAE=6Q。,即ZDAE=60°,

???△/QE是等邊三角形，

：?DA=DE=DC+CE=DC+DB,即DA=DC+DB,

故答案為：DA=DC+DB；

(2)4=ZM+QC如圖2,延長DC到點E,使CE=BD,連接ZE,

圖2

?.?ZBAC=90°fZBDC=90°：.ZABD+ZACD=lSO°f

,/ZACE+ZACD=18O°9

：./ABD=/ACE,

?：AB=AC,CE=BD,

在△45。和△4CE中,

AB=AC

<ZABD=ZACE,

BD=CE

.二△ABD沿AACE(SAS'),

：.AD=AE,ZBAD=ZCAE,

：.ZDAE=ZBAC=90°,

：.DA2+AE2=DE2,

：.2DA2=(DB+DC)2,

：.V2DA=DB+DC；

(3)如圖3,連接尸0,

：.QN=^-MN=1,

：.MQ=^MN2-QN2=J22T2=色,

由(2)知也PQ=QN+QM=1+6，

.pgl+6

故答案為：■

V2

【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形

的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

9.【閱讀理解】截長補短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線的添加方法.截長就是在長邊上截取一條線

段與某一短邊相等，補短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一短邊相等，從而解決問題.

(1)如圖1,△48C是等邊三角形，點D是邊8C下方一點，ZBDC=120°,探索線段DB、OC之間的

數(shù)量關(guān)系.

解題思路：延長。。到點E,使CE=BD,連接/￡,根據(jù)/8/。+/2。。=180。，可證N/CE易證

得△48。之△/(?￡1,得出△4DE是等邊三角形，所以40=?！?從而探尋線段以、DB、。。之間的數(shù)量關(guān)

系.根據(jù)上述解題思路，請直接寫出可、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系是；

【拓展延伸】

(2)如圖2,在放△/BC中，/R4c=90。，AB=AC.若點。是邊3c下方一點，/BDC=90。,探索線段D4、

DB、0c之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

【知識應(yīng)用】

(3)如圖3,兩塊斜邊長都為4cm的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，則兩塊三角板的直角頂點之間的距離

PQ的長為cm.

【答案】(1)04=08+。。

(2)42DA=DB+DC；理由見解析

⑶=+C卜加

【分析】(1)延長。C到點E,使CE=BD,連接4E,由等邊三角形知4S=/C,ZBAC=60°,結(jié)合N2OC=120。，

知N/8D+//O180。，貝l]N/8D=/ZCE,證得△430=AACE得4D=AE,NBAD=/CAE,再證明

是等邊三角形，等量代換可得結(jié)論；

(2)同理可證△A8DWLACE得AD=AE,/BAD=/CAE,由勾股定理得Df+/6？=〃￡?,等量代換即

得結(jié)論；

(3)由直角三角形的性質(zhì)可得。N的長，由勾股定理可得九父的長，由⑵知?PQ=QN+QM,由此可

求得P。長.

(1)

(1)延長。。到點E,使CE=5D,連接NE,

,:AABC是等邊三角形，

：.AB=AC,ZBAC=60°,

Z5DC=120°,

???N5ZC+N5QC=180。，

???ZABD+ZACD=\SO°f

又,.?ZACE+ZACD=180°,

：.ZABD=ZACEf

：.AABD=△ACE(SAS),

：.AD=AE,ZBAD=ZCAE9

丁NR4c=60。,

???ZBAD+ZDAC=60°,

：.ZDAE=ZDAC+ZCAE=60°9

：.△/DE是等邊三角形，

???DA=DE=DC+CE=DC+DB,

(2)

41DA=DB+DC,

理由如下：延長。。到點E,使CE=BD,連接4E,

E

VZBAC=90°f/BDC=90。,

：.ZABD+ZACD=1SO°

又：ZACE+ZACD=1SO°,

：./ABD=/ACE,

"：AB=AC,CE=BD,

：./\ABD色△/CE(SAS),

：.AD=AE,NBAD=NCAE,

：.ZDAE=ZBAC=90°,

DA1+AE~=DE1>

：.2DA2=(DB+DC》,

:.五DA=DB+DC，

(3)

如圖所示：連接尸0,

2

YMN=4cm,ZQMN=30°,

：.QN=；MN=2cm,

根據(jù)勾股定理得QM=S]MN2-QN2=V42-22=,

由（2）知?PQ=QN+QM,

：.PQ=QN「晉”唱皿

【點睛】此題是三角形的綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形和等邊三角形的性質(zhì)，

熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10.現(xiàn)閱讀下面的材料，然后解答問題：

截長補短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種常見輔助線的做法.在證明線段的和、差、倍、分等問題中有著廣

泛的應(yīng)用.截長法：在較長的線段上截一條線段等于較短線段，而后再證明剩余的線段與另一段線段相等.補

短法：就是延長較短線段與較長線段相等，而后證延長的部分等于另一條線段.

請用截長法解決問題（1）

（1）已知：如圖1等腰直角三角形48c中，N3=90。，月。是角平分線，交8C邊于點。.求證：AC=AB+BD.

E

BD

請用補短法解決問題(2)

(2)如圖2,已知，如圖2,在A43C中，NB=2NC,是AA8C的角平分線.求證：AC=AB+BD.

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【分析】(1)根據(jù)截長法，在/C上截取=連接。E,通過題目條件可證A4D5=進(jìn)而

證得AZ)￡C是等腰直角三角形，等量代換即可得；

(2)根據(jù)補短法，延長NB到尸，使/尸=/C,連接。尸，根據(jù)已知條件可證AE4D三AC4D(&4S),進(jìn)而

可證BD=BF,等量代換即可得證.

【詳解】(1)證明：如圖1,在NC上截取=連接DE,

VAD是角平分線，

/.ABAD=NEAD

在\ADB和AADE中

AB=AE

</BAD=ZEAD

AD=AD

：.AADB^AADE(SAS)

：.ZAED=NB=90°,DE=DB

又：ZUBC是等腰直角三角形，

，NC=45。，，AZ)EC是等腰直角三角形，

:.DE=EC,

：.AC=AE+EC^AB+BD.

(2)如圖2,延長Z5到方，使4F=/C,連接。尸,

AD是\ABC的角平分線，

：.ZFAD=ZCAD

在\FAD和ACAD中

AF=AC

</FAD=/CAD

AD=AD

：."ADNACAD(SAS),

：./C=/F

VZABC=2ZCfZABC=/F+/BDF,

：.NF=ZBDF,

/.BD=BF,

：.AC=AF=AB+BD.

【點睛】本題考查了截長法和補短法兩種方法證明線段和的問題，三角形全等的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，角平

分線的性質(zhì)應(yīng)用，等量代換的應(yīng)用，掌握三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

11.數(shù)學(xué)課上，小白遇到這樣一個問題：

如圖1,在等腰及A/1BC中，NBAC=90。,AB=AC,AD=AE,求證=

在此問題的基礎(chǔ)上，老師補充：

過點A作/尸，5E于點G交于點尸，過尸作b交班于點尸，交CQ于點試探究線段5。，F(xiàn)P,

力月之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

小白通過研究發(fā)現(xiàn)，a1EB與/*'C有某種數(shù)量關(guān)系；

小明通過研究發(fā)現(xiàn)，將三條線段中的兩條放到同一條直線上，即“截長補短”，再通過進(jìn)一步推理，可以得出

結(jié)論.

閱讀上面材料，請回答下面問題：

（1）求證=；

（2）猜想44所與尸C的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（3）探究線段8P,FP,/尸之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】（1）見解析；（2）ZHFC=ZBFA,證明見解析；（3）BP=AF+PF,證明見解析

【分析】（1）利用SAS證明三A/CD可得結(jié)論；

（2）設(shè)NABE=NACD=x,推出/3燈=45。+》，ZHFC=450+x,即可證明/77FC=；

（3）過點。作61.4。交2尸延長線于點屈，延長尸尸交/C于點N,證明△ABEgZ\CAM,得出BE=4/

和=從而證明△NFC02XMFC,得到尸N=內(nèi)和=N尸NC,可得PN=PE,從而得出

BP=AF+PF.

【詳解】解：（1）?.,在4ABE和4ACD中，

"AB=AC

<ZA=ZA,

AE=AD

NABE=\ACD（SAS）,

NABE=ZACD；

（2）ZABE=ZACD=x,

AFA.BE,

ZBAF=90°-x,

ABFA=9QP-（450-x）=45°+x,

?;NACD=x,

，/HCF=45°—x,

???FPLCD,

ZHFC=90?！?45?！獂)=45°+x,

ZHFC=ZBFA；

(3)過點。作交/月延長線于點〃，延長尸產(chǎn)交ZC于點N,

ZBAF+ZFAC=90°,ZBAF+NABG=90°,

/.ZFAC=ZABG,

在AABE和ACAM中，

ZBAE=ZACM

<AB=AC,

ZABE=ZCAM

AABE=\CAM(ASA),

/.BE=AM,AM=/BEA,

vABFA=ZMFC=ZNFC,FC=FC,/ACB=/BCM=45。,

\NFC=\MFC(ASA),

,\FM=FN,Z-M=ZFNC,

ZFNC=NBEA,

PN=PE,

：.BP=BE-PE=AM-PE=AF+FM-PE=AF+FN-PN=AF+PF.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及等角對等邊等知識點，解題的

關(guān)鍵是根據(jù)截長補短法添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形證明結(jié)論，有一定難度.

12.【初步探索】

截長補短法，是初中幾何題中一種添加輔助線的方法，也是把幾何題化難為易的一種策略.截長就是在長

邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短就是通過延長或旋轉(zhuǎn)等方式使兩條短邊拼合到一起，從而解決問

題.

（1）如圖1,△48。是等邊三角形，點。是邊8c下方一點，ZBDC=120°,探索線段￡>/、DB、DC之間

的數(shù)量關(guān)系；

A

1）

圖1

【靈活運用】

（2）如圖2,△ABC為等邊三角形，直線D為BC邊上一點、,/4DE交直線a于點E,S.ZADE

=60°.求證：CD+CE=CA；

圖2

【延伸拓展】

（3）如圖3,在四邊形中，ZABC+ZADC=l80°,AB=AD.若點￡在C8的延長線上，點/在

CD的延長線上，滿足EF=BE+FD,請直接寫出/￡/尸與NZX4B的數(shù)量關(guān)系.

圖3

【答案】（1）DA=DC+DB,證明見詳解；（2）見詳解；（3）ZEAF=i80°--ZDAB,證明見詳解.

2

【分析】（1）由等邊三角形知AB=AC,ZBAC=60°,結(jié)合NBDC=120。知NABD+NACD=180。，由

/ACE+NACD=180。知NABD=/ACE,證△ABDgAACE得AD=AE,ZBAD=ZCAE,再證AADE是等

邊三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB；

(2)首先在AC上截取CM=CD,由△ABC為等邊三角形，易得aCDM是等邊三角形，繼而可證得

△ADM^AEDC,即可得AM=EC,則可證得CD+CE=CA；

(3)在DC延長線上取一點G,使得DG=BE,連接AG,先判定△ADGgZiABE,再判定△AEFgAAGF,

得出NFAE=/FAG,最后根據(jù)/FAE+NFAG+NGAE=360。，進(jìn)而推導(dǎo)得到2/FAE+NDAB=360。，即可得

出結(jié)論.

【詳解】(1)如圖1,延長DC到點E,使CE=BD,連接AE,

「△ABC是等邊三角形，

；.AB=AC,ZBAC=60°,

VZBDC=120°,

AZABD+ZACD=180°,

又：ZACE+ZACD=180°,

ZABD=ZACE,

A△ABDACE(SAS),

，AD=AE,ZBAD=ZCAE,

ZBAC=60°,即NBAD+/DAC=60°,

ZDAC+ZCAE=60°,即ZDAE=60°,

.,.△ADE是等邊三角形，

DA=DE=DC+CE=DC+DB,

即DA=DC+DB；

(2)證明：在AC上截取CM=CD,

A

E

M

VAABC是等邊三角形，

ZACB=60°,

AACDM是等邊三角形，

???MD=CD=CM,ZCMD=ZCDM=60°,

.\ZAMD=120o,

,/ZADE=60°,

AZADE=ZMDC,

AZADM=ZEDC,

???直線a〃AB,

???ZACE=ZBAC=60°,

???ZDCE=120°=ZAMD,

在AADM和AEDC中，

ZADM=/EDC

<MD=CD

ZAMD=ZECD

：.△ADMAEDC(ASA),

AAM=EC,

???CA=CM+AM=CD+CE；

即CD+CE=CA.

(3)ZEAF=180°--Z^S；

2

證明：如圖3,在DC延長線上取一點G,使得DG=BE,連接AG,

G

圖3

ZABC+ZADC=180°,ZABC+ZABE=180°,

ZADC=ZABE,

又：AB=AD,

.,.△ADG^AABE(SAS),

；.AG=AE,ZDAG=ZBAE,

EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF,

.".△AEF^AAGF(SSS),

ZFAE=ZFAG,

ZFAE+ZFAG+ZGAE=360°,

A2ZFAE+(ZGAB+ZBAE)=360°,

.?.2/FAE+(ZGAB+ZDAG)=360°,

即2ZFAE+ZDAB=360°,

.,.ZEAF=180°--ZD^5.

2

【點睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，以及等邊三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)

用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等進(jìn)行推導(dǎo)變形.

13.截長補短法，是初中幾何題中一種添加輔助線的方法，也是把幾何題化難為易的一種策略.截長就是

在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短就是通過延長或旋轉(zhuǎn)等方式使兩條短邊拼合到一起，從而解

決問題.

(1)如圖1,Z\ABC是等邊三角形，點D是邊BC下方一點，ZBDC=120°,探索線段DA、DB、DC之

間的數(shù)量關(guān)系.

解題思路：延長DC到點E,使CE=BD,根據(jù)/BAC+NBDC=180。，可證/ABD=/ACE,易證

△ABD^AACE,得出4ADE是等邊三角形，所以AD=DE,從而解決問題.

根據(jù)上述解題思路，三條線段DA、DB、DC之間的等量關(guān)系是；(直接寫出結(jié)果)

(2)如圖2,RL^ABC中，ZBAC=90°,AB=AC.點D是邊BC下方一點，ZBDC=90°,探索三條線

段DA、DB、DC之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【答案】(1)DA=DB+DC；(2)42DA=DB+DC(或?qū)懗?。生二。？〉。。?)，證明詳見解析.

【分析】(1)由等邊三角形知AB=AC,ZBAC=60°,結(jié)合NBDC=120。知NABD+NACD=180。，由

NACE+NACD=180。知NABD=NACE,證△ABDgAACE得AD=AE,ZBAD=ZCAE,再證4ADE是等

邊三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB.

(2)延長DC到點E,使CE=BD,連接AE,先證4ABD且4ACE得AD=AE,ZBAD=ZCAE,據(jù)此可

得NDAE=/BAC=90。，由勾股定理知DA2+AE?=DE2,繼而可得2DA?=(DB+DC)2.

【詳解】解：(1)如圖1,延長DC到點E,使CE=BD,連接AE,

圖1

「△ABC是等邊三角形，

；.AB=AC,ZBAC=60°,

VZBDC=120°,

.".ZABD+ZACD=180°,

又；ZACE+ZACD=180°,

ZABD=ZACE,

A△ABDACE(SAS),

；.AD=AE,ZBAD=ZCAE,

ZABC=60°,即/BAD+ZDAC=60°,

ZDAC+ZCAE=60°,即ZDAE