2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)模擬預(yù)測(cè)卷（新高考卷）（解析版）

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2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)模擬預(yù)測(cè)卷01

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將

準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.

寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的

四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位

置上.

1.設(shè)集合4={x|x<3},3={x|—2<x<4},則4UB=()

A.{x\x<4}B.3x<3}c.{x|x>-2}D.{x\-2<x<3}

【答案】A

【分析】直接由并集的概念即可求解.

【詳解】由/={x|x<3},5={x|-2<x<4},得/U3={x|x<4}.

故選：A.

1—z

2.若復(fù)數(shù)z滿足一r=l+i,i為虛數(shù)單位，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

Z-1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【分析】先求出復(fù)數(shù)z,可得出復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，從而可得答案

【詳解】因?yàn)樨?T+i,所以l-z=(z-i)-(l+i),即(2+i)z=i,

z—1

ii(2-i)12.

所以z=^}二,一^=a+不，

2+i(2+i)(2-i)55

所以Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為I)位于第一象限.

故選：A

3.已知函數(shù)/(x)=2cos2Gx-(sins-cosox)?(g>0)的圖象關(guān)于直線》=展軸對(duì)稱，且/(%)

在，3上沒(méi)有最小值，則。的值為()

3_

B.1c.D.2

2

【答案】C

【分析】先由三角恒等變換化簡(jiǎn)解析式，再由對(duì)稱軸方程解得外=6左+,#wZ,再由/（x）

在上沒(méi)有最小值得。范圍，建立不等式求解可得.

［詳角星］f(x)=2cos2Gx-(sin2cox-2sincoxcoscox+cos2Gx

=2cos2Gx+sin2Gx-1=cos2。％+sin269x

=V^sin12Gx+；],

因?yàn)?（%）的圖象關(guān)于直線X=聯(lián)軸對(duì)稱，

所以/圖=缶於+3=±五，

,,am,71,兀[?刖3,

故---1—=kitH—，左eZ,即。=6kH—,k￡Z,

6422

r_7t7C_

當(dāng)2cox+—=----F2加兀,mGZ,。>0,

42

即當(dāng)X=-1^+處，加ez時(shí)，函數(shù)/（X）取得最小值，

QCDG）

571

當(dāng)刃=1時(shí)，工=二為夕軸右側(cè)第1條對(duì)稱軸.

因?yàn)椤癤）在（0馬上沒(méi)有最小值,所以會(huì)士1,即。麥,

I"8。38

故由0<6后+[<=，解得一!<左43，kwZ

28416

3

故左=0,得。=2.

故選：C.

4.已知Q=303,GO],c=bgo33,則a,b,。的大小關(guān)系是（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【答案】A

【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得答案.

【詳解】4=3°3>3°=1,0<6=0.33<1=0.3°,

c=log033<log031=0,：.a>b>c.

故選：A.

5.如圖，圓M為△ABC的外接圓，48=4,AC=6,N為邊5C的中點(diǎn)，則行.而=

A

B

M

A.10B.13C.18D.26

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形外接圓的性質(zhì)，結(jié)合數(shù)量積的幾何意義求解可得可得而?存與

AM-AC^再根據(jù)平面向量的運(yùn)算可得出結(jié)論.

【詳解】〔十是3c邊的中點(diǎn)，可得而=g（標(biāo)+就），

M是△ABC的外接圓的圓心，

AM-AB=\AM\\AB\cosZBAM=^\AB^=^x42=?,,

同理可得五乙就=，就「=18,

AN-AM=-（AB+AC）-AM=-AM-AB+-AM-AC=-x8+-xl8=13.

22222

故選：B.

6.如圖，一塊邊長(zhǎng)為10cm的正方形鐵片上有四塊陰影部分，將這些陰影部分裁下去，然

后用余下的四個(gè)全等的等腰三角形加工成一個(gè)正四棱錐形容器，則這個(gè)正四棱錐的內(nèi)切球

（球與正四棱錐各面均有且只有一個(gè)公共點(diǎn)）的體積為（）

32

C.9兀D.——71

3

【答案】B

【分析】根據(jù)題意可得正四棱錐的斜高為5,底面正方形的邊長(zhǎng)為6,從而可得正四棱錐的

3

高，設(shè)這個(gè)正四棱錐的內(nèi)切球的半徑為「，高線與斜高的夾角為8,則易得sin6=5,

4=r+^-=1r,從而可得廠，再代入球的體積公式，即可求解.

sing3

【詳解】作出四棱錐如圖：

根據(jù)題意可得正四棱錐的斜高為尸M=5,底面正方形/BCD的邊長(zhǎng)為6,

正四棱錐的高為。尸=752-32=4，

設(shè)這個(gè)正四棱錐的內(nèi)切球的球心為。，半徑為『，與側(cè)面相切于N,

則高線與斜高的夾角為6,則sin9=^=1,

PM5

則OP=OQ+總，

sm"

,r83

4=r+---=-r,/.r=—,

sin夕32

這個(gè)正四棱錐的內(nèi)切球的體積為］，=gx兀xg)3=|3r.

故選：B.

7.設(shè)橢圓「1+'=1e>6>0）的弦43與工軸

，了軸分別交于c,。兩點(diǎn),

邳=1:2:2,若直線2B的斜率左,則左的取值范圍是（）

A.

【答案】C

【分析】設(shè)/區(qū),必）,8（程%）。%,0）,。（0,3），由|/C|-.\CD\:|網(wǎng)=1:2:2得

4手,得）,3（-%,2%）,根據(jù)48在橢圓上，代入相減得g=工，則直線他的斜率為

%=一%，然后由。>6>0即可求解.

%

【詳解】如圖所示，設(shè)/（西,弘）,8（工2，%）,。（％,0）,。（0,%）,

y/

直線48:y=履+6,

因?yàn)閨/。|:|。必:|。同=1:2:2,所以2就=①，麗=麗,

所以2(玉一巧,一%)=%(-x0,y0)=(x2,y2-y0),

%=—

即’2,<°,所以/(當(dāng)■,-9,2(-Xo,2%).

一了。1%=2%22

P=-T

因?yàn)?8在橢圓上，所以緝+耳=1,區(qū)■+萼>=1,

4/4/a2b2

兩式相減得當(dāng)=粵，即4=2.

4。24/石3a-

所以0＜與＜1,即0〈與＜1,

a13a23

所以0＜配＜~■

AB3

故選：C.

8.已知函數(shù)/(x),g(x)的定義域均為R,若/(》-1)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，且

g(x)=/(x-1),則()

A./(1)=1B.〃x)=/(x+l)C./(x+；)為奇函數(shù)D.g(x+；)為奇函數(shù)

【答案】C

【分析】方法一：利用抽象函數(shù)的奇偶性和相關(guān)條件推導(dǎo)出函數(shù)的周期性、對(duì)稱性等基本性

質(zhì)，逐一對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析判斷；方法二：依題意構(gòu)造函數(shù)法.依題意，可設(shè)/(x)=cos方，則

g(x)=sinjrx,-----對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算、驗(yàn)證即得.

【詳解】方法一：(函數(shù)性質(zhì)判斷法)由f(x—1)為偶函數(shù)，得〃x-l)=/(-x-1)①.

由g(x)為奇函數(shù)，得g(x)=-g(-x).

又g(X)=/(X-；)，貝f(x-1)=g(x)=-g(-x)=-f(-X-1)@.

則由①，/(x-2)=/(x-l-l)=/[-(x-l)-l]=/(-%)(*),

由②，/(x=-，=_/[_(x_；)_；]=_/(一%),

故得了。-2)=-/。-1).把X取成X+1,得/(x-l)=-/(x)③,

于是，/(x-2)=-/(x-l)=/(x),即函數(shù)〃x)的周期為2,故B錯(cuò)誤；

又因g(x)為R上的奇函數(shù)，貝Ug(O)=O,/(x)的周期為2,則/[X￡|=g(O)=O,

故A錯(cuò)誤；

由③得，/(%+1-1)=-/(^+1).即/(x-g)=-/(x+g),

故/(x+g)=-〃x-g)=-g(x).因g(x)為奇函數(shù)，故/(x+；)為奇函數(shù)，故C正確；

由(*),/(x-2)=/(-x)J(r-2)=f(x),得/(x)=/(-x),即/(x)為偶函數(shù)，

又g[x+￡|=〃x),所以g1+g]為偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.

方法二：(構(gòu)造函數(shù)法)依題意，可設(shè)/(X)=COS7CV,貝(!/(x-l)=C0S7t(x-l)=-COS"為偶

函數(shù)，

由g(x)=/(X-；)=cos7T(x-；)=sinJUC為奇函數(shù)，且函數(shù)f(x),g(x)的定義域均為R,

對(duì)于A,/(1)=cos|^=0^1,排除A；

對(duì)于B,顯然〃x)=cosa的最小正周期是2,排除B；

對(duì)于C,/(x+g)=C0S7t(尤+；)=-sinxr是奇函數(shù)，故C正確；

對(duì)于D,gCx+；)=sin7r(x+；)=cos7tx,顯然是偶函數(shù)，排除D.

故選：C.

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的

四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全的得部分分,

有選錯(cuò)的得0分.

9.某人在〃次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)為X,X~8(〃,p),其中〃eN*,0<p<l,設(shè)擊中偶數(shù)

次為事件A,則（）

A.當(dāng)p=g時(shí)，。（丫）取得最大值B.當(dāng)P=；時(shí)，O（X）取得最小值

C.當(dāng)J<p<l,P（/）隨"的增大而減小D.當(dāng)0<p<g,尸（⑷隨"的增大而減小

【答案】AD

【分析】對(duì)于AB,直接由二項(xiàng)分布的方差公式即可求解；對(duì)于CD,可以根據(jù)二項(xiàng)式定理

得出（⑷=1+（12”,進(jìn)一步通過(guò)。的范圍即可判斷尸（⑷的單調(diào)性.

［詳角軍】對(duì)于AB：D（X）=np（l-p）=n+；eN*,0<p<1）,

當(dāng)p=g時(shí)，D（X）取得最大值，故A正確，B錯(cuò)誤；

k

對(duì)于CD：尸（X=左）=C：x/x（1—Py-（k=0,1,2,--?,?）,

：.P（A）=C［xp°x（l-。廣。+C"/+籃x/x（l-p廣4+…，

1-尸（2）=C：x/x（l一p）a+C：x/x（l一獷+C；xp5x（l-p）T+…，

.p（Ax=［（10+切"+［（1）川”=l+（「2p）',

當(dāng)g<p<l時(shí)，一1<1一20<0,｛（l-2。）"｝為正負(fù)交替的擺動(dòng)數(shù)例j,

所以尸（⑷不會(huì)隨著〃的增大而減小，故C錯(cuò)誤；

當(dāng)0<p<；時(shí)，0<1-2/7<為正項(xiàng)且單調(diào)遞減的數(shù)列,

所以「（/）隨著〃的增大而減小，故D正確.

故選：AD.

10.已知數(shù)列｛0｝,下列結(jié)論正確的有（）

A.若為=2,Q〃+i=an+n+1,則出。=211

B.若〃1=1,。7=2%+1,則4=2〃—1

C.若s“=3"+g,則數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列

D.若S,為等差數(shù)列｛氏｝的前〃項(xiàng)和，則數(shù)列1?1為等差數(shù)列

【答案】ABD

【分析】A.利用累加法求和，即可判斷；B.利用構(gòu)造法，構(gòu)造口+4為等比數(shù)列，求通項(xiàng)公

[S,,n=l

式，即可判斷;C.利用公式%=二c、°,即可求解通項(xiàng)公式，判斷選項(xiàng)；D.根據(jù)等差

數(shù)列前〃項(xiàng)和公式，結(jié)合等差數(shù)列的定義，即可判斷選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,由a“+i=?！?〃+1,得a0"-%="+1,

則a20=(。20-69)+(%9-)+(。18-47)+...+(&-%)+%

=20+19+18+…+2+2=19x(20+2)+2=211,故A項(xiàng)正確；

2

對(duì)于選項(xiàng)B,由an+l=2%+1,得(an+1+1)=2(。*+1),

所以｛%+1｝為等比數(shù)列，首項(xiàng)為q+1=2,公比為2,

所以《+1=2x2"—=2",所以a“=2”一1,故B項(xiàng)正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,因?yàn)镾“=3〃+g,

17

當(dāng)”=1時(shí)，?1=3+—=—,

22

當(dāng)〃22時(shí)，an=Sn-Sn_.=3"-3-=2x3"、

7

將〃=1代入%=2x3"、得q=2W],

工〃=1

所以4=2'，所以數(shù)列｛%｝不是等比數(shù)列，故C項(xiàng)錯(cuò)誤.

2x3-22

對(duì)于選項(xiàng)D,設(shè)等差數(shù)列的公差為d,

n(n-l)

由等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式可得S“"4+不一a(〃-1)dd,

—二--------------------------------二qH------a=—n+a,--

nn222

所以,一&=g(〃+l)_g〃=:與n無(wú)關(guān)，

所以數(shù)列｛號(hào)4為等差數(shù)列，故D項(xiàng)正確.

n

故選：ABD

11.已知定義在R上的函數(shù)〃x)的圖象連續(xù)不間斷，當(dāng)xNO,/(e+x)-ef(e-x)=0,且當(dāng)

乂>0時(shí)，/'(e+x)+/'(e-x)>0,則下列說(shuō)法正確的是()

A./(e)=0

B.〃x)在上單調(diào)遞增，在(e,+⑹上單調(diào)遞減

C.若再<%,/(再)>/(工2),則X[+X2<2e

D.若X],Z是g(x)=/(x)+(x-e]-2在(O,2e)內(nèi)的兩個(gè)零點(diǎn)，且再<馬，則

1<—7―6<e

〃玉)

【答案】ACD

【分析】A選項(xiàng)，令x=0,可求/(e)；B選項(xiàng)，對(duì)/(e+x)-^(e-x)=O兩邊求導(dǎo)，結(jié)合

//(e+x)+//(e-x)>0^r(e-x)<0,〃e+x)>0,可判斷了(x)單調(diào)性；C選項(xiàng)，西，Z，e

的大小關(guān)系進(jìn)行分類討論，利用函數(shù)單調(diào)性，證明不等式；D選項(xiàng)，證明%+馬<2e,利用

函數(shù)單調(diào)性，證明〃再)</?)且/(馬)〈歹(不)，可得結(jié)論.

【詳解】A選項(xiàng),令x=0,則有/(e)-蟲(chóng)e)=(l-e)/(e)=O,所以〃e)=0,故A正確.

B選項(xiàng),對(duì)/(e+x)-V(e-x)=O兩邊求導(dǎo)，得八e+x)+二(e-x)=O,

所以尸(e+x)=-歹(e-x),代入/'(e+x)+/'(e-x)>0,

得當(dāng)x>0時(shí),(l-e)/-(e-x)>0,所以尸(e-x)<0.

又因?yàn)?'(e+x)+/'(e-x)>0,所以，r(e+x)>0.

因此，當(dāng)x<e時(shí)，r(x)<0,/(力在(-*6)上單調(diào)遞減；

當(dāng)X>e時(shí)，r(x)>0,/(x)在(e,+8)上單調(diào)遞增.

故B錯(cuò)誤.

C選項(xiàng)，對(duì)占,々，e的大小關(guān)系進(jìn)行分類討論：

①當(dāng)再<X24e時(shí)，/(x)在(-8,e)上單調(diào)遞減，所以/(占)>〃工2),顯然有X]+X2<2e；

②當(dāng)eV%。?時(shí)，/(x)在(e,+co)上單調(diào)遞增，不符合題意；

③當(dāng)再<6<%時(shí)，當(dāng)x鬢0時(shí),/(e+x)=e/"(e-x).

令，=e+xe(e,+e),/?)=貝2e-f),/(xj>/(x2)=ef(2e-x2),

又因?yàn)椤▁)2〃e)=0,所以〃2e-X2)>0,

因此/(石)>/(Z)=叭2e-X2)>/(2e-X2).

因?yàn)閄i<e,2e-Xz<e,由/(x)的單調(diào)性得，xi+x2<2e.

故C正確.

D選項(xiàng),因?yàn)間(0)=/(0)+e2-2>0,g(2e)=/(2e)+e2-2>0,g(e)=/(e)-2=-2<0,

所以0<再<e<%2<2e.

先證Xi+%2<2e,即證2?-玉>%2，即g(2e-xJ>0,

只需證/(20_再)+(20_再_?)2—2>0,即證歹(芭)+(e_玉)2—2〉0.

22

事實(shí)上，ef(x1)+(e-xl)-2>/(xl)+(e-x1)-2=g(xl)=0,因此再+x?<2e得證.

此時(shí)有0<巧<e<x2<2e-xi<2e.

因?yàn)?(Xi)=-(Xi-e)2+2=-(2e-Xi-e『+2<-(X2-e)2+2=/(X2),又/'(西)*。，所以

1<〃々)

f(x)

因?yàn)?優(yōu))</(26-不)=歹(為)，又〃XJHO,所以分\<e.

綜上，以<e,故D正確.

“xj

故選：ACD.

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知方=(T,3),b=(t,2),若R—?jiǎng)tt的值為.

【答案】-2或1

【分析】由卜不)丁可得(d-B)Z=O,展開(kāi)代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可.

【詳解】由題意可得=

因?yàn)槭笏圆?孫3=0,

所以(一1一8+2=0,

解得，=-2或，=1.

故答案為：-2或1

13.已知函數(shù)〃x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且/（x+1）為奇函數(shù)，寫出函數(shù)/（x）的一個(gè)解

析式為了（可=.

【答案】COSy（答案不唯一）

【分析】由/（X+1）為奇函數(shù)可得/（X）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1,0）中心對(duì)稱，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可

構(gòu)造/'（x）=cos,符合題意.

【詳解】由/（X）為偶函數(shù)，知/（X）的圖象關(guān)于了軸對(duì)稱；

由/（X+1）為奇函數(shù)，知/（X）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1,0）中心對(duì)稱,

據(jù)此構(gòu)造函數(shù)〃x）=cos：,則/（X）是偶函數(shù)；

/（x+l）=cosC+|"j=-si吟為奇函數(shù)，符合題意.

故答案為：COSy（答案不唯一）.

bc

14.在ZUBC中，角/,B,C的對(duì)邊分別為。，"c,cosC=—+丁,NA4c的平分線/。交2C

a2a

于點(diǎn)。.若4D=1,則△48。周長(zhǎng)的最小值為.

【答案】4+273/273+4

【分析】根據(jù)正弦定理邊角化可得2sin/cosC=2sin2+sinC,即可利用正弦和差角公式求

解4=半，利用等面積法可得b+c=6c,進(jìn)而根據(jù)基本不等式即可求解.

bc

【詳解】vcosC=—+——2acosC=26+。,

a2a

2sinAcosC=2sinB+sinC,

即2sin4cosc=2sin(Z+C)+sinC,

2sincosC=2sin74cosC+2cossinC+sinC,

2cosZsinC=-sinC,***sinCw0,

/1//\.A2兀

cosA———A.G(0,兀),A—3.

,/S“BD+S“CD=SAABC，：,lxsin60°+xsin60°=；6csinl20°,得b+c=6。，

由6c=6+cN2版，得儀?24,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)，等號(hào)成立.

2兀_________

22222

又〃2="+c-2bccos—=b+c+bc,:.a=y/b+c+bc,:.^ABC的周長(zhǎng)

a+b+c=-\lb2+c2+be+bc>\/3bc+6c>4+2^/3?當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)，等號(hào)成乂.

故答案為：4+2A/3

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算

步驟.

415

15.（13分）記S〃為正項(xiàng)等比數(shù)列｛aj的前〃項(xiàng)和，已知$2==，54=—,〃cN*.

416

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)3=2"-1,1為數(shù)列｛2｝的前"項(xiàng)和，證明：^<7；,<3.

【答案】（1）%=（；］（2）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為式4>0），結(jié)合等比數(shù)列求和公式可得外,4,即可得

結(jié)果；

（2）由⑴得，"=?，利用錯(cuò)位相減法可得7；=3-（2〃+3）｛gj,進(jìn)而分析證明.

【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為式4>0）,由邑=4=，邑=315可知，#1，

416

451

，得1+/=：,解得0=彳（負(fù)值舍去），

1542

16

將/代入也出=3,解得％=1，

2\-q42

所以數(shù)列應(yīng)｝的通項(xiàng)公式為?！?%廣'（￡|.

（2）由（1）得，2=召2/7-1，

13277-1132?-1

，

貝K=2+2T+'"+^~可信=/+尹+…+^-，

兩式相減可得=g+g+g+…+白一^^

12

=—+

1—

2

可得(=3-(2〃+3)-

因?yàn)椤?箏>0,可知數(shù)列口,｝為遞增數(shù)列，則7；27]=；；

綜上可得;<3.

16.（15分）如圖，在四棱錐P-/8CZ）中，平面/BCD,ADLCD,ADIIBC,

PF1

PA=AD=CD=2,8c=3.E為尸。的中點(diǎn)，點(diǎn)廠在PC上，且拓="

G/-一一…/比

1一N

（1）求證：4E_L平面尸CD；

⑵求平面AEF與平面PAD夾角的余弦值.

（3）設(shè)點(diǎn)G在網(wǎng)上，且黑=與判斷直線NG是否在平面/￡/內(nèi)，說(shuō)明理由.

PB4

【答案】⑴證明見(jiàn)解析⑵"（3）不在，理由見(jiàn)解析

3

【分析】（1）應(yīng)用線面垂直判定定理證明即可；

（2）結(jié)合線面垂直建系，空間向量法求出二面角余弦值；

（3）先判斷關(guān)系，再求出向量坐標(biāo)，最后空間向量法證明結(jié)論.

【詳解】（1）因?yàn)榇?，平?8。，又CDu平面Z8CD,則尸N1CD,

又4D_LCD,且尸Nc4D=/,PA,4Du平面尸故CD_L平面尸

又NEu面P/D,

CDLAE,

■：PA=AD,E為PD中點(diǎn),

AE1PD,

■：CD^PD=D,CD,PDu面PCD,

AEL^PCD-,

（2）過(guò)點(diǎn)A作AD的垂線交8C于點(diǎn)

因?yàn)镻/_L平面48cD,且4W,4Du平面48cD,所以PALAD,

故以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則A（0,0,0）,5（2,-1,0）,C（2,2,0）,￡＞（0,2,0）,P（0,0,2）,

因?yàn)镋為尸￡＞的中點(diǎn),則￡（0,1,1）,所以近=（0』,1）,斤=（2,2,-2）,萬(wàn)=（0,0,2）,

224

,故萬(wàn)=AP+PF=

\n-AE=Q＞+z=i

設(shè)平面/跖的法向量為ii=（x,y,z）,則〈一，即〈224

n-AF=Q++w

i〔333

令z=l,則y=—1,x=—1,故萬(wàn)=

又因?yàn)槠矫媸?。的法向量為萬(wàn)=。,0,0）,

所以cos。=|cos（H,力|=匕f,

所以平面4E尸與平面P4D的夾角余弦值為"

3

3

G/一」

/

ry

（3）直線/G不在平面4既內(nèi)，

PG3-、——?3—?

因?yàn)辄c(diǎn)G在形上，且詬="又PB=（2,T-2）,故PG=z尸5=

貝|」就=方+同（）3_3_33_3￡

=0,0,2+，，

2-4-2242

由（2）可知，平面/Eb的法向量為k=（-LT/）,

—?331

所以/G?亢=--+-+-#0,

242

所以直線NG不在平面AEF內(nèi).

17.（15分）某記憶力測(cè)試軟件的規(guī)則如下：在標(biāo)號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)位置上分別放置

四張相似的圖片，觀看15秒，收起圖片并打亂，1分鐘后，測(cè)試者根據(jù)記憶還原四張卡片

的位置，把四張卡片分別放到四個(gè)位置上之后完成一次測(cè)試，四張卡片中與原來(lái)位置相同1

張加2分，不同1張則扣1分.

(1)規(guī)定：連續(xù)三次測(cè)試全部得8分為優(yōu)秀，三次測(cè)試恰有兩次得8分為良好，若某測(cè)試者

在每次測(cè)試得8分的概率均為&(0<?<1),求他連續(xù)三次測(cè)試結(jié)果為良好的概率的最大

值；

(2)假設(shè)某測(cè)試者把四張卡片隨機(jī)地放入四個(gè)位置上，他測(cè)試1次的得分為X,求隨機(jī)變量X

的分布列及數(shù)學(xué)期望.

4

【答案】(1)§(2)分布列見(jiàn)解析，-1

【分析】(1)將/(a)表示出來(lái)，利用導(dǎo)數(shù)求最值；

(2)卡片與原來(lái)位置相同的張數(shù)可能為4張、2張、1張0張，對(duì)應(yīng)的X的所有可能取值

為8,2,-1,-4,由此可得分布列及數(shù)學(xué)期望.

【詳解】(1)設(shè)連續(xù)三次測(cè)試結(jié)果為良好的概率為/(a),

依題意得/(a)=C^a2(l-a)=3a2-3a3,(0<a<1),

2

f\a)=6a-9a2=3a(2-3a),令f\cc)=0得a=§,

22

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，廣(1)<0；

所以/⑷在(0,21)上單調(diào)遞增,在(2右1)上單調(diào)遞減，

224

所以當(dāng)a時(shí)，/(戊)取最大值為

。Jy

(2)某測(cè)試者把四張卡片隨機(jī)地放入四個(gè)位置上，

卡片與原來(lái)位置相同的張數(shù)可能為4張、2張、1張0張，

對(duì)應(yīng)的X的所有可能取值為8,2,-1,-4.

則尸(X=8)T4,尸

尸(…人管j"7=答=|,

……八1I6893、

(或P(X=-4)=I----------=—=—),

242424248

所以X的分布列為:

X82-I-4

Ij_j_3

P

24438

1113

數(shù)學(xué)期望為E(X)=8-+2X1+(T)XW+(-4)XL1.

2443o

18.(17分)已知函數(shù)/(x)=.

(1)若曲線y=y(x)在點(diǎn)(2,/(2))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為2,求。的值;

(2)若4=一1,證明：/(x)<x+l；

⑶若/(X)在(2,+8)上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】(D-；或|"(2)證明見(jiàn)詳解(3)[o,；J

【分析】(1)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，進(jìn)而結(jié)合面積列式求解即可;

(2)分析可知原不等式等價(jià)于x-ln(x-l)>0,構(gòu)建g(x)=x-ln(xT)，x>l，利用導(dǎo)數(shù)分

析證明；

(3)構(gòu)建尸(X)=)+("T)1；(XT),X>2,分析可知原題意等價(jià)于了=尸(力與歹=。在

XX

(2,+8)內(nèi)有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析求解.

【詳解】(1)由題意可知:y=f(x)的定義域?yàn)?1,+8),且/'(x)=-：In(尤-1)+

則42)=0,r(2)=1-a,

即切點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),切線斜率后=；-a，則切線方程為了=]；-4(x-2),

令X=0,可得y=2q_l,

113

可知切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為]義2*|2"1|=|2°-1|=2,解得°=-5或4=5,

所以a的值為-]1或3

(2)若0=-1,則/3=11+1