2025年中考數(shù)學專項復習：函數(shù)問題過程性學習探究型（解析版）

突破03函數(shù)問題過程性學習探究型

H中考解密

函數(shù)過程性學習是一種以學生為中心設計執(zhí)行函數(shù)過程性學習方法.函數(shù)過程性學習要求學生從真實世界

的基本問題出發(fā)，圍繞復雜的、來自真實情境的主題，在精心設計任務、活動的基礎上，以小組方式進行

開放性探究，并將學習結果以作品的形式表現(xiàn)出來，最終達到知識建構與自身能力提高.這個也是落實課

程標準中的活動建議，函數(shù)過程性學習更能有效提高學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力，此類題

可以是純函數(shù)性質探究，也可以結合幾何動點探究函數(shù)性質，屬于創(chuàng)新題.

重點考向

=一.選擇題

1.(2023?青海)生物興趣小組探究酒精對某種魚類的心率是否有影響，實驗得出心率與酒精濃度的關系如

圖所示，下列說法正確的是()

B.酒精對這種魚類的心率沒有影響

C.當酒精濃度是10%時，心率是168次/分

D.心率與酒精濃度是反比例函數(shù)關系

解：由圖象可知，酒精濃度越大，心率越低，故/錯誤；

酒精濃度越大，心率越低，酒精對這種魚類的心率有影響，故8錯誤；

由圖象可知，當酒精濃度是10%時，心率是168次/分，故C正確；

任意取兩個點坐標(5%,192),(10%,168),因為192x5%，168xl0%,所以心率與酒精濃度不是反

比例函數(shù)關系，故D錯誤.

故選：C.

2.（2021?蘭州）如圖，小明探究課本“綜合與實踐”板塊“制作視力表”的相關內容：當測試距離為5%時,

標準視力表中最大的“E”字高度為72.7加機，當測試距離為3根時，最大的“E”字高度為（）

-------5-------?

A.121.17mmB.43.62mmC.29.08mmD.4.36mm

解：由題意得：CBHDE,

DFAD

而前

"."AD—3m,AB=5m,BC—12.1mm,

DF=3

72.77,

.'.DF=43.62(mm),

故選：B.

3.（2023?晉城模擬）觀察式子：V4X9=V36=6>JIX對=2x3=6；==^.,

聆七■嗡；Vo.25X0.04=V0.01=0.1?Vo.25xVo?O4=0.5xo.2=0.1，由

此猜想J而=亡-Vb（a>0,b>0）.上述探究過程蘊含的思想方法是（）

A.特殊與一般B.整體

C.轉化D.分類討論

解：探究過程蘊含的思想方法是特殊與一般，

故選：A.

4.（2023?遷安市二模）如圖1和圖2是在數(shù)學課上甲組和乙組在探究用不同方法：過直線外一點尸作直

線/的平行線，用尺規(guī)作圖保留痕跡，關于兩組的作法下列說法正確的是（）

B.甲組作法不正確，乙組作法正確

C.甲組和乙組作法都不正確

D.甲組和乙組作法都正確

解：圖1中，48是NB4c的平分線,

NR4B=/BAC,

,:PA=PB,

：.NPAB=NPBA,

：.NPBA=/BAC,

...甲組作法正確；

圖2中，A.C分別為尸8、的中點,

:.AC是APBQ的中位線，

J.AC//PQ,

：.PQ//l,

.?.乙組作法正確；

故選：D.

5.（2022?百色）活動探究：我們知道，已知兩邊和其中一邊的對角對應相等的兩個三角形不一定全等.如

已知△NBC中，ZA=30°,AC=3,//所對的邊為滿足已知條件的三角形有兩個（我們發(fā)現(xiàn)其中

如圖的ZU8C是一個直角三角形），則滿足已知條件的三角形的第三邊長為（）

C.2a或網(wǎng)D.2日或2日-3

解：如圖，CD=CB,作于

A

DHB

：.DH=BH,

'：ZA=30°,

CH=^AC=^-,AH=MCH=^\[^,

在RtACS77中，由勾股定理得^=VBC2-CH

AB=AH+BH=2V3-AD=AH-

2222

故選：C.

6.（2023?山西模擬）數(shù)學中，常對同一個量（圖形的面積、點的個數(shù)等）用兩種不同的方法計算，從而建

立相等關系.我們把這種思想叫“算兩次”“算兩次"也稱作富比尼原理，是一種重要的數(shù)學思想.由它可

以推導出很多重要的公式.如圖，兩個直角邊分別為a,6的直角三角形和一個兩條直角邊都是c的直角

三角形拼成一個梯形，用“算兩次”的方法，探究。，6,c之間的數(shù)量關系，可以驗證的是（）

B.平方差公式

C.完全平方公式D.比例的性質

2

解：第一次利用梯形的面積公式，圖形面積為：-1（a+b）,

第二次利用圖形的面積和計算為：2xlab4J-c2,

?'-y（a+b）2=2><yab+yc2,

整理得：a2+2ab+c2—2ab+c2,

a2+b2=c2.

故選：A.

7.（2023?金昌）如圖1,漢代初期的《淮南萬畢術》是中國古代有關物理、化學的重要文獻，書中記載了

我國古代學者在科學領域做過的一些探索及成就.其中所記載的“取大鏡高懸，置水盆于其下，則見四鄰

矣”，是古人利用光的反射定律改變光路的方法，即“反射光線與入射光線、法線在同一平面上；反射光

線和入射光線位于法線的兩側；反射角等于入射角”.為了探清一口深井的底部情況，運用此原理，如圖

在井口放置一面平面鏡可改變光路，當太陽光線48與地面CD所成夾角/4BC=50。時，要使太陽光線

經(jīng)反射后剛好垂直于地面射入深井底部，則需要調整平面鏡跖與地面的夾角NMC=（)

淮

*工

南*

4

苒

旱

W

圖1圖2

A.60°B.70°C.80°D.85°

圖2

?：BM_LCD,

：.ZCBM=9Q0,

「ZABC=5Q°,

???NABE+/FBM=l80。-90°-50°=40°,

ZABE=/FBM,

：.ZABE=NFBM=20。,

：.Z￡5C=20°+50°=70°.

故選：B.

8.（2022?無錫）雪花、風車……展示著中心對稱的美，利用中心對稱，可以探索并證明圖形的性質.請思

考在下列圖形中，是中心對稱圖形但不一定是軸對稱圖形的為（）

A.扇形B.平行四邊形

C.等邊三角形D.矩形

解：A.扇形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意;

B.平行四邊形不一定是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項符合題意；

C.等邊三角形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

D.矩形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

故選：B.

9.（2023?德陽）在“點燃我的夢想，數(shù)學皆有可能”數(shù)學創(chuàng)新設計活動中，“智多星”小強設計了一個數(shù)學探

究活動；對依次排列的兩個整式加，〃按如下規(guī)律進行操作：

第1次操作后得到整式中m,n,n-m；

第2次操作后得到整式中加，"-m；

第3次操作后……

其操作規(guī)則為：每次操作增加的項，都是用上一次操作得到的最末項減去其前一項的差，小強將這個活

動命名為“回頭差”游戲.

則該“回頭差”游戲第2023次操作后得到的整式串各項之和是（）

A.m+nB.mC.n-mD.2n

解：第1次操作后得到的整式串加，n,n-m；

第2次操作后得到的整式串冽，n,n-m,-m；

第3次操作后得到的整式串冽，n,n-m,-m,-n；

第4次操作后得到的整式串冽，n,n-m,-m,-n,-n+m；

第5次操作后得到的整式串m,n,n-m,-m,-n,-n+m,

第6次操作后得到的整式串冽，n,n-m,-m,-n,-n+m,m,n\

第7次操作后得到的整式串冽，n,n-m,-m,-n,-n+m,m,n,n-m；

第2023次操作后得到的整式串機，n,n-m,-m,-n,-n+m,m,n,n-共2025個整式；

歸納可得，以上整式串每六次一循環(huán).每6個整式的整式之和為：m+n+（n-w）+（-m）+（-?）+

（-n+m）—0,

:2025+6=337…3,

...第2023次操作后得到的整式中，求最后三項之和即可.

.?.這個和為m+〃+（n-m）=2n.

故選：D.

10.（2023?東湖區(qū)校級二模）數(shù)學小組將兩塊全等的含30。角的三角尺按較長的直角邊重合的方式擺放，

并通過平移對特殊四邊形進行探究.如圖1,其中//O3=/C3Z）=30。，/ABD=/BDC=90。,AB=

CD=3,將RtASCD沿射線方向平移，得到RtABO.分別連接（如圖2所示），下列

有關四邊形的說法正確的是（）

B.先是平行四邊形，平移?個單位長度后是矩形，再平移2近個單位長度后是菱形

C.先是平行四邊形，平移正個單位長度后是矩形，再平移3?個單位長度后是正方形

D.在RtA5C￡＞平移的過程中，依次出現(xiàn)平行四邊形、矩形、菱形、正方形

解：A.在R3/89中，AB=3,BB'=?,

AB'=VAB2+BB/2=Vs2+（V3）2='

在Rt^ABD中，NADB=30°,

.9.AD=2AB=2x3=6f

BD=7AD2-AB2=3?,

△48。絲△CDS,

:.CD=AB=3,BC=AD=6,

：.B'C'=6,

：.AB'+B'C,

四邊形/周。。是平行四邊形，但不是菱形，故4選項不符合題意；

B.當59=正時，

VtanZAB'B=義=M，

V3

ZAB'B^60°,

：NCBZ）=30。，BC//B'C,

；.NCED=30。,

：.ZAB'C'=90°,四邊形AB'CD是平行四邊形，

，四邊形/夕。。是矩形，

當AB'=3百時，/+B12r呼+（aM）2=6=BC,

...四邊形/玄。￡＞是菱形，故3選項符合題意；

C.由8可知先是平行四邊形，平移百個單位長度后是矩形，

當38'=4正時，N8，=〃B2+BB，2=?2+（4u）2=倔步。，

四邊形不是正方形，故C選項不符合題意；

D.由3知，R3BCD平移愿個單位長度后是矩形，移動的其它位置不是矩形，故一定不是正方形，故

D選項不符合題意.

故選：B.

二.填空題

11.(2023?福山區(qū)一模)3月28日電28日，我國首單以人民幣結算的進口液化天然氣(LNG)采購交易

達成，標志著我國在油氣貿(mào)易領域的跨境人民幣結算交易探索邁出實質性一步，數(shù)據(jù)顯示，2022年上海

石油天然氣交易中心天然氣雙邊交易量達到928.58億立方米.928.58億用科學記數(shù)法表示為

9.2858x101°.

解：928.58億=92858000000=9.2858x101°.

故答案為：9.2858x109

12.(2023?杭州)在“探索一次函數(shù)〉=依+6的系數(shù)左，b與圖象的關系”活動中，老師給出了直角坐標系中

的三個點：A(0,2),3(2,3),C(3,1).同學們畫出了經(jīng)過這三個點中每兩個點的一次函數(shù)的

圖象，并得到對應的函數(shù)表達式y(tǒng)i=Aw+bi,y2—kix+b2>yi—kix+bi.分別計算上i+b”左2+62,43+63的值,

其中最大的值等于5

>

Ox

解：解法一：設直線48的解析式為力=hx+bi,

bi=2

將點/(0,2),B(2,3)代入得，<

,

2k1+b1=3

ki4,

解得：，

b[=2

.'.ki+bi——,

2

設直線/C的解析式為V2=fex+歷，

%=2

將點/(0,2),C(3,1)代入得，12

3k之+b2=1

解得：23,

42=2

5

3

設直線BC的解析式為竺=棧+左,

2kg+bg=3

將點5(2,3),C(3,1)代入得，,

3k3+b3=1

卜3=-2

解得：＜

?3=7

???k3+63=5,

.?.俗+6=5，k2+b2~，43+63=5,其中最大的值為5.

23

解法二：如圖，作直線AB、AC.BC,作直線x=l,

設直線N3的解析式為yi=Hv+6i,直線NC的解析式為夕2=后加+62,直線8C的解析式為g=左#+63,

由圖象可知，直線x=l與直線3c的交點最高，

即當X=1時，ki+bi,k2+b2,依+63其中最大的值為左3+63,

2k3+b3=3

將點8(2,3),C(3,1)代入得，，

3k3+b3=1

k=-2

解得：!3

。=7

；.依+63=5,

k\+b\,發(fā)2+62,左3+63其中最大的值為左3+加=5.

故答案為：5.

13.(2023?杏花嶺區(qū)校級模擬)我省積極探索保障糧食安全，做強精品糧油，始終堅持“藏糧于地、藏糧于

技”戰(zhàn)略，穩(wěn)定糧食面積，提升基礎保障能力，增強科技支撐能力，牢牢把飯碗端在自己手中，某農(nóng)科所

在相同條件下做某種作物種子發(fā)芽率的試驗，結果如表所示：

種子個數(shù)n10001500250040008000150002000030000

發(fā)芽種子個數(shù)加8991365224536447272136801816027300

發(fā)芽種子頻率巨0.8990.9100.8980.9110.9090.9120.9080.910

n

則該作物種子發(fā)芽的概率約為0.91.(結果保留兩位小數(shù))

解：觀察表格發(fā)現(xiàn)，隨著實驗次數(shù)的增多，種子發(fā)芽的頻率逐漸穩(wěn)定在0.91附近,

所以估計該作物種子發(fā)芽的概率約為0.91,

故答案為：0.91.

14.(2023?榆樹市校級模擬)在“探索函數(shù)y=ax2+6x+c的系數(shù)a,b,c與圖象的關系“活動中，師給出了直

角坐標系中的四個點4(0,2),5(1,0),C(3,1),D(2,3).同學們探索了經(jīng)過這四個點中

的三個點的二次函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)運些圖象對應的函數(shù)表達式各不相同，其中。的最大值為

~2~

解：由圖象知，/、B、。組成的二次函數(shù)圖象開口向上，。＞0；

A、B、C組成的二次函數(shù)開口向上，。＞0；

B、C、。三點組成的二次函數(shù)開口向下，a＜0；

/、D、C三點組成的二次函數(shù)開口向下，a＜0；

即只需比較/、B、。組成的二次函數(shù)和/、B、C組成的二次函數(shù)即可.

設/、B、C組成的二次函數(shù)為力=aix2+6ix+ci,

4=2

把N(0,2),5(1,0),C(3,1)代入上式得＜ai+b]+C[=0,

9a]+3b]+C[=l

解得a\=—；

5

設Z、B、。組成的二次函數(shù)為y=aN+bx+c,

"c=2

把4(0,2),5(1,0),。(2,3)代入上式得｛a+b+c=0，

4a+2b+c=3

解得。=2，

2

即a最大的值為

2

故答案為：1.

2

15.(2020?安徽)在數(shù)學探究活動中，敏敏進行了如下操作：如圖，將四邊形紙片/3CD沿過點/的直線

折疊，使得點B落在CD上的點。處.折痕為4P；再將MCQ,AADQ分別沿PQ,AQ折疊，此時點C,

。落在/尸上的同一點R處.請完成下列探究：

(1)/E4。的大小為30。:

(2)當四邊形/尸CD是平行四邊形時，姻■的值為

QR

解：(1)由折疊的性質可得：/B=/AQP,ZDAQ=ZQAP=ZPAB,NDQA=/AQR,ZCQP=Z

PQR,ZD=ZARQ,/C=NQRP,

u：ZQRA+ZQRP=1SO°,

：.ZZ)+ZC=180°,

：.AD//BC,

：.N5+N￡%5=180。，

ZDQR+ZCQR=1S0°f

：.ZDQA+ZCQP=90°,

：.ZAQP=90°f

：.ZB=ZAQP=90°,

：.ZDAB=90°,

：.ZDAQ=ZQAP=/PAB=30。,

故答案為：30；

(2)由折疊的性質可得：AD=AR,CP=PR,

???四邊形APCD是平行四邊形，

：?AD=PC,

：?AR=PR,

又丁/AQP=90。,

：.QR=1.AP,

VZB45=30°,Z5=90°,

：.AP=2PB,AB=y/3PB,

：.PB=QR,

，此=M，

QR

故答案為：Vs-

16.（2023?臨淄區(qū)一模）華羅庚說過：“復雜的問題要善于，退’，足夠地，退二’退，到最原始而不失重要性的

地方，是學好數(shù)學的一個訣竅.”可見，復雜的問題有時要“退”到本質上去研究.如圖，已知拋物線y=

-X2+2X-1的圖象與/的圖象關于直線y=x對稱，我們把探索線的變化規(guī)律“退”到探索點的變化規(guī)律上

去研究，可以得到圖象/所對應的關于x與〉的關系式為x=-儼+2/-1.若拋物線y=-N+2x-1與g

.'?x=jV2+2y+l,

故答案為：x=y2+2y+l.

17.（2022?鋼城區(qū)）利用圖形的分、和、移、補探索圖形關系，是我國傳統(tǒng)數(shù)學的一種重要方法.如圖1,

5。是矩形45C。的對角線，將△5C。分割成兩對全等的直角三角形和一個正方形，然后按圖2重新擺

放，觀察兩圖，若〃=4,6=2,則矩形/5CZ）的面積是16

圖1圖2

解：設小正方形的邊長為X,

b=2,

：?BD=2+4=6,

在Rt^BCD中，DO+B—DB?,

即(4+x)2+(x+2)2—62,

整理得，N+6X-8=0,

而長方形面積為=(x+4)(x+2)—x2+6x+8—8+8=16

...該矩形的面積為16,

解法二：由題意得第一個矩形的左上角的三角形面積=第二個矩形左上角的長方形的面積=4x2=8,所

以原矩形面積為16

故答案為：16.

圖I圖2

18.（2023?十堰）在某次數(shù)學探究活動中，小明將一張斜邊為4的等腰直角三角形NBC（ZA=90°）硬紙

片剪切成如圖所示的四塊（其中。，E,尸分別AC,8C的中點，G,〃分別為?！?AF的中點），

小明將這四塊紙片重新組合拼成四邊形（相互不重疊，不留空隙），則所能拼成的四邊形中周長的最小

值為8,最大值為8+2后.

二四邊形BCID周長=4+4+2企=8+2A/2；

如圖，

???四邊形周長為2x4=8；

故答案為：8,8+2J，.

19.（2021?大慶）已知，如圖①，若/。是A/BC中的內角平分線，通過證明可得娼=迎，同理,

ACCD

若/E是A/BC中的外角平分線，通過探究也有類似的性質.請你根據(jù)上述信息，求解如下問題:

如圖②，在A/BC中，BD=2,CD=3,ND是A/BC的內角平分線，則A/BC的8c邊上的中線長/的取

值范圍是工＜/＜型.

—22―

圖①圖②

解：是的內角平分線，

AB=BD

而CD,

*：BD=2,CD=3,

.AB_2

??一—9

AC3

作NA4c的外角平分線4E,與C8的延長線交于點E,

.AB=BE

,,而CE'

.BE2

?.------,

5+BE3

???5E=10,

:,DE=12,

,.,40是NA4C的角平分線，是NA4C外角平分線

???ZEAD=90°f

???點/在以。￡為直徑的圓上運動，

取3c的中點為凡

：.DF<AF<EF,

.?」</<生，

22

故答案為：1</<25,

22

解法2：是△48C的內角平分線，

.AB=BD

,,而CD"

,;BD=2,CB=3,

?.?-A-B-_-2-,

AC3

可設45=2匕AC=3k,

在△ZBC中，BC=5,

：.5k>5,k<5,

???1〈左<5,

E是5c邊的中點，延長ZE至4,使得連結4C,

：.AC=AB,

：.k<2K5k,

22

.△</<生，

22

故答案為：工</<生.

22

圖②

20.（2023?廣西）【探究與證明】折紙，操作簡單，富有數(shù)學趣味，我們可以通過折紙開展數(shù)學探究，探

索數(shù)學奧秘.

【動手操作】如圖1，將矩形紙片42。對折，使4D與3C重合，展平紙片，得到折痕ER折疊紙片,

使點2落在斯上，并使折痕經(jīng)過點/,得到折痕點、B,￡的對應點分別為夕，E展平紙片，連接

AB',BB',BE'.請完成：

（1）觀察圖1中/I,/2和N3,試猜想這三個角的大小關系；

（2）證明（1）中的猜想；

【類比操作】如圖2,N為矩形紙片N8CD的邊上的一點，連接BN,在上取一點P,折疊紙片,

使3,P兩點重合，展平紙片，得到折痕即；折疊紙片，使點8,尸分別落在斯，BN上,得到折痕/,

點、B,P的對應點分別為9，P',展平紙片，連接8夕，P0.請完成：

（3）證明89是/NSC的一條三等分線.

（2）證明：如圖1,

設/加，￡廠交于點O,

由題意得：斯是的垂直平分線，41/是8夕的垂直平分線，AB=AB',

：.AB'=BB',OA=OB=OB;

：.AB'=BB'=AB,。為外心，

/ABB'=60°,

.?.Zl=Z2=30°,

?.?四邊形是矩形,

ZABC=90°,

.,.N3=90°-60°=30°,

；.Nl=N2=/3；

(3)證明：如圖2,

（圖2）

同理（2）得：OB=OB'=OP=OP,BP'=PB'=BB',

：.AP'BO=ZB'BO,NOBB'=NBB'O,

'：EF//BC,

：.ZOB'B=ZB'BC,

：.ZP'BO=ZB'BO=ZB'BC,

：.BB，是NNBC的一條三等分線.

21.(2023?綿陽)如圖，拋物線經(jīng)過A/OD的三個頂點，其中。為原點，A(2,4),D(6,0),點尸

在線段上運動，點G在直線上方的拋物線上，GF//AO,GELDO于點、E,交/。于點/,/〃平

分NO4D,C(-2,-4),AHLCH于點、H,連接FH.

(1)求拋物線的解析式及A/。。的面積；

(2)當點尸運動至拋物線的對稱軸上時，求△/F〃的面積；

(3)試探究a的值是否為定值？如果為定值，求出該定值；不為定值，請說明理由.

解：(1)設拋物線的解析式為y="2+6x(存0).

將/(2,4),。(6,0)代入，得[4a+2b=4,

[36a+6b=0

f1

解得：2,

,b=3

??y---^-x~+3x.

2

設點。到AD的距離為d,點A的縱坐標為〃，

S^AOD~—~AD*d~--OD*yA~—-X6X4—12.

222

(2)y=--x2+3x-——(x-3)2+—,

222

...拋物線的對稱軸為直線x=3.

當點廠運動至對稱軸上時，點尸的橫坐標為3,

則的一=]

'AD6-24

即AF^—AD.

4

如圖，連接。C、OH,

...點4、。、C三點共線，且。為/C的中點.

"JAHLCH,

：.OH=—AC^OA,

2

：.ZOAH=AAHO.

:AH平分/CAD,

：.NOAH=ADAH,

：.ZAHO=ZDAH,

：.HO//AD,

.'.HO與AD間的距離為d,

二點〃到40的距離為d.

?SMFH=^~xAFxd,S^AOD==12?

22

S^FH=—xAFxd=—^—AD><d=（工x/￡）xd）=Axl2=3.

224424

...當點廠運動至拋物線的對稱軸上時，的面積為3；

(3)如圖，過點/作NCOD于點L過點/作FKJ_GE于點K.

:'OA=VAL2OL2=Vl2+22=2追

：.DL=OD-OL=6-2=4,

在RtMDL中，AL=DL,

：.N4D￡=45。,

VG￡±DO,

???N77K=45。，即△/7K為等腰直角三角形.

設FK=m,則K/=加,

在Rt^AOL和RtAGFK中,

■:GF〃AO,

：./AOL=/GFK,

tanN/?！?tanNGFK,

.AL=GK

"OL而'

即里=郃

2m

：.GK=2m,

GI=GK+KI=2m+m=3m.

又VsinN4OL=sinZGFK,

.AL=GK

’,而FG

即—^=生,

275FG

:.FG=\[^ni,

?FG_V5m_V5

??瓦一-3m

??.她的值是定值，定值為近?.

GI3

22.(2023?甘孜州)如圖，在RtA/8C中，AC=BC=3V2＞點。在N3邊上，連接CD,將C〃繞點。逆時

針旋轉90。得到CE,連接BE,DE.

(1)求證：△CAD2CBE；

(2)若4D=2時，求CE的長；

(3)點。在N2上運動時，試探究/。2+瓦＞的值是否存在最小值，如果存在，求出這個最小值；如果

不存在，請說明理由.

ADB

(1)證明：由題意，可知//C3=NZ)C￡=90。，CA=CB,CD=CE.

：.ZACB-2DCB=ZDCE-ZDCB.

即N/CD=N2CE.

在ACAD和ACBE中，

'CA=CB

,ZACD=ZCBE

CD=CE

.".ACAD^ACBE(SAS)；

(2)解：?..在RtzUBC中，AC=BC=3近，

：.ZCAB=ZCBA=45°,AB=V2AC=6-

：.BD=AB-4D=6-2=4.

:ACAD咨/\CBE(SAS),

；?BE=AD=2,/CBE=NCAD=45。,

：.ZABE=ZABC+ZCBE=90°.

DE=VBD2+BE2=2V5;

...在RtACDE中，CE=CD='^'=V10；

（3）解：存在，理由：

由（2）可知，AD2+BD?=BE^+BD2=DE2=2CD?,

二當CD最小時，有AD2+BD2的值最小，此時CDLAB.

,:4ABC為等腰直角三角形，

CD-|AB-1X6=3-

2222

.?.^Z）+JBZ?=2CD>2X3=18.

即AD2+BD2的最小值為18.

23.（2023?淄博）在數(shù)學綜合與實踐活動課上，小紅以“矩形的旋轉”為主題開展探究活動.

（1）操作判斷

小紅將兩個完全相同的矩形紙片/BCD和CEFG拼成乜”形圖案，如圖①.試判斷：A/CF的形狀為等

腰直角三角形.

（2）深入探究

小紅在保持矩形48co不動的條件下，將矩形CE尸G繞點C旋轉，若/3=2,AD=4.

探究一：當點尸恰好落在4D的延長線上時，設CG與。尸相交于點如圖②.求△CMF的面積.

探究二r連接取4E的中點〃，連接如圖③.求線段?！ㄩL度的最大值和最小

解：（1）在RtzUBC中，^C=iyBC2+Ag2,

在RtACFG中，CF=7CG2-K；F2，

'：AB=GF,BC=CG,

：.AC=CF,

...△NC尸是等腰三角形，

:AB=GF,ZFGC=ZABC=90°.BC=CG,

:AABC^^FGC⑸S),

ZACG=ZGFC,

:NGCF+NGFC=9Q0,

：.ZACG+ZGCF=90°,

：.ZACF=90°,

...△/CF是等腰直角三角形，

故答案為：等腰直角三角形；

(2)探究一：,:CD=GF,NFMG=/DMC,/G=/CZ?尸=90°,

/\CDM^/\FGM(AAS),

/.CM=MF,

;AC=CF,CDYAF,

：.AD=DF,

,:AB=CD=2,AD=DF=4,

：.DM=4-CM,

在RtACDM中，CA/2=C￡>2+Z)A/2,

：.CAf=22+(4-CM)2,

解得CM=^~,

2

2

.?.△CMF的面積=LX2X9=?；

222

探究二：連接。E,取DE的中點P,連接必，取N。、8C的中點為M、N,連接MN,MH,NH,

是/￡的中點，

C.MH//DE,S.MH=—DE,

2

;CD=CE,

：.CP±DE,DP=PE,

"."MH//DP,MMH=DP,

四邊形AffiPD是平行四邊形，

:.MD=HP,MD//HP,

'.,AD//BC,MD=CN,

C.HP//CN,HP=CN,

四邊形HNCP是平行四邊形，

J.NH//CP,

???ZMHN=90°,

J〃點在以〃N為直徑的圓上，

設的中點為T,

：.DT=4F+22=遙,

的最大值為Jg+1,最小值為赤-1.

方法二：設/C的中點為T,連接XT,

:HT是4ACE的中位線，

：.HT=—CE^1,

2

在以T為圓心，1為半徑的圓上，

\'DT=V12+22

:.DH的最大值為遙+1,最小值為點-1.

圖③

24.(2023?青海)如圖，二次函數(shù)y=-N+6x+c的圖象與x軸相交于點N和點C(1,0),交y軸于點3

(0,3).

(1)求此二次函數(shù)的解析式；

(2)設二次函數(shù)圖象的頂點為尸，對稱軸與x軸交于點。，求四邊形N02P的面積(請在圖1中探索)；

(3)二次函數(shù)圖象的對稱軸上是否存在點使得是以N3為底邊的等腰三角形？若存在，請求

出滿足條件的點河的坐標；若不存在，請說明理由(請在圖2中探索).

|-l+b+c=O

lc=3，

.?.，b=-2,

lc=3

??y=~x21~2x+3；

(2)如圖，

連接。尸，

'?y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,

：.P(-1,4),

???尸0=4,OQ=\,

由-N-2x+3=0得，

Xl=l,X2=~3,

：.OA=3f

???5四邊形/。砂=5“。戶5"。尸=加女叩12+^08-005=￡><3X4VX3Xl=-y-

乙乙乙乙乙

(3)設M(-1,冽)，

由AM^BM2得,

2

[(-3)-(-1)?+加2=(-1)+(加-3)2,

??rn=\9

圖1

25.（2023?鹽城）綜合與實踐

【問題情境】

如圖1,小華將矩形紙片/BCD先沿對角線折疊，展開后再折疊，使點8落在對角線8。上，點3

的對應點記為9，折痕與邊N。，8c分別交于點E,F.

【活動猜想】

(1)如圖2,當點夕與點。重合時，四邊形8￡￡甲是哪種特殊的四邊形？答：菱形.

【問題解決】

(2)如圖3,當48=4,40=8,3尸=3時，求證：點H,B',C在同一條直線上.

【深入探究】

(3)如圖4,當AB與滿足什么關系時，始終有與對角線/C平行？請說明理由.

(4)在(3)的情形下，設NC與3D,M分別交于點。，尸，試探究三條線段/尸，B'D,￡尸之間滿足

的等量關系，并說明理由.

(1)解：當點夕與點。重合時，四邊形BED尸是菱形.

理由：設EF與BD交于點、O,如圖，

NB0F=NDOE=90°,

:四邊形/2CO是矩形，

：.AD//BC,

：.ZOBF=ZODE,

:.△BFO空MDEO(ASA),

：.OE=OF,

...四邊形BEDF是菱形.

故答案為：菱形.

(2)證明：：四邊形48CD是矩形，AB=4,AD=8,BF=3,

：.BC=AD=8fCD=AB=4,ZBCD=90°,

:?CF=BC-BF=8-3=5,

BD=VBC24CD2=VS2+42=4心

如圖，設EF與BD交于點M,過點Q作"K,8c于K,

由折疊得：ZA'B'F=ZABF=ZBMF=ZB'MF=90°,B'F=BF=3,BB'=2BM,

,：/FBM=ZDBC,

A=即BM—3

"BCBD'8475'

5

:.BB=、2立,

5

VZBKB'^ZBCD,NB'BK=NDBC,

:.△BB'KS/\BDC,

.ByK_BK_BBy即B，K_BK_5

CDBCBD4T4V5：

BK=生,

55

：.CK=BC-BK=S-處=獨，

55

'：B'F2+B'C2=32+41=25,^=52=25,

：.B'F+B'C=CF,

：.ZCB'F^90°,

：.N/'B'尸+/C2'P=90°+90°=180°,

...點B',C在同一條直線上.

(3)解：當8C=J§48時，始終有40與對角線/C平行.

理由：如圖，設NC、BD交于點O,

...四邊形/BCO是矩形，

：.OA=OB,N/8C=90°,

'：BC=y/3AB,

.,.tan/A4C=^^=J^,

AB

/8/C=60°,

△OAB是等邊三角形，

JZABO=ZAOB=60°f

由折疊得：NABB=/ABO=60。,

：./ABB=NAOB,

：?AB〃AC,

故當2。=正/2時，始終有/方與對角線/C平行.

(4)解：MEF=2CAP+B'D^,理由如下：

如圖，過點￡作EG_LBC于G,設EF交BD于H,

A

B

由折疊得：EFLBD,B'F=BF,ABFE=ZB'FE,

設/七=加，EF=n,

由(3)得：NBAC=600=NABD,

：.NBB'F=ZDBC=30°,

；?NBFE=/B，F(xiàn)E=60。,

：.EG=EQsin60°=?"，F(xiàn)G=EF-cos60°=工〃，

22

??/EAB=ZABG=NBGE=90。,

，四邊形/8GE是矩形，

：.AB=EG=^-n,BG=AE=m,AD//BC,

2

BF—B'F=m+—n,

2

：.BH=BF?cos3Q°=^~Qm+—n),

22

;BD=2AB=MH,

：.B'D=BD-BB'=y/3n-炳()=?一Mm,

,:AD〃BC,

：.ZDEF=NEFG=60。,

：.ZAPE=ZDEF-ZDAC=60°-30。=30。=NZUC,

.?.4尸=2/E?cos300=

：.AP+B'D=Mm+(當"-強加)=喙"'

：.AP+B'D=^-EF,

2

即?￡F=2(AP+B'D).

26.（2023?呼和浩特）探究函數(shù)y=-2網(wǎng)2+綱的圖象和性質，探究過程如下:

（1）自變量x的取值范圍是全體實數(shù)，x與y的幾組對應值列表如下：

X_5-2.3.-1_20113.25.

2-22~222

y_50m3.0323.0_5

2~222~22

其中，m=2.根據(jù)如表數(shù)據(jù),在圖1所示的平面直角坐標系中，通過描點畫出了函數(shù)圖象的一部分，

請畫出該函數(shù)圖象的另一部分.觀察圖象，寫出該函數(shù)的一條性質；

（2）點尸是函數(shù)＞=-2肝+4慟圖象上的一動點，點/（2,0）,點、B（-2,0）,當SA應B=3時，請直

接寫出所有滿足條件的點F的坐標；

（3）在圖2中，當x在一切實數(shù)范圍內時，拋物線y=-2N+4x交x軸于。，/兩點（點。在點/的左

邊），點P是點0（1,0）關于拋物線頂點的對稱點，不平行y軸的直線/分別交線段OP,AP（不含端

點)于〃，N兩點.當直線/與拋物線只有一個公共點時，9與PN的和是否為定值？若是，求出此定

值；若不是，請說明理由.

解：(1)當x=-1時，y=-2x(-1)2+4x|-1|=2,

由圖象可得該函數(shù)的性質：該函數(shù)關于歹軸對稱；當xV-1或0。<1時，歹隨x的增大而增大；當

V0或眾1時，歹隨x的增大而減??；

故答案為：2；

(2)當xVO時，y=-2x2-4x,

當x>0時，y=-2x2+4x,

9：A(2,0),5(-2,0),

：.AB=4,

9?S^FAB~^y

.?」X4M=3,

：.yF=±l.,

2

當外=3時，若x<0,貝！J-2/-4X=3,

22

解得：x=-3或-—,

22

若企0,則-2X2+4X=3,

2

解得：或上,

22

：.F（-3,3）或（-工3）或（旦,3）或（工,A

2222222

當yp—-旦時，若x<0,則-2%2-4x=--,

22

解得：X=-1-互或X=-1+近（舍去），

22

若x>0,貝1J-2x2+4x=-—

2

解得：》=1-近（舍去）或x=i+YZ,

22

：.F（-1+近，-3）或（-I-近_,-3.）或（1-近，-3）或（i+5：

---,

2222222

綜上所述，所有滿足條件的點尸的坐標為（-3,3）或「工，3）或或（工，3）或（-

222222

一與，節(jié)或（哼，年

（3）PM與PN的和是定值;

圖2

,/拋物線y=-2x2+4x交x軸于O,A