2025年中考數(shù)學思想方法復習【整體思想】解方程中的整體思想（原卷版）

解方程中的整體思想

知識方法精講

1.整體思想

從問題的整體性質出發(fā)，突出對問題的整體結構的分析和改造，發(fā)現(xiàn)問題的整體結構特征,

善于用“集成”的眼光，把某些式子或圖形看成一個整體，把握它們之間的關聯(lián)，進行有目

的的、有意識的整體處理。整體思想方法在代數(shù)式的化簡與求值、解方程（組）、幾何解證

等方面都有廣泛的應用，整體代入、疊加疊乘處理、整體運算、整體設元、整體處理、幾何

中的補形等都是整體思想方法在解數(shù)學問題中的具體運用。

用整體思想解方程，就是先考慮方程中的某一個代數(shù)式整體去代入，然后再解出方程中的未

知數(shù)的值就可以。

2.解一元一次方程

（1）解一元一次方程的一般步驟：

去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1,這僅是解一元一次方程的一般步驟，針

對方程的特點，靈活應用，各種步驟都是為使方程逐漸向形式轉化.

（2）解一元一次方程時先觀察方程的形式和特點，若有分母一般先去分母；若既有分母又

有括號，且括號外的項在乘括號內各項后能消去分母，就先去括號.

（3）在解類似于“ax+6x=c”的方程時，將方程左邊，按合并同類項的方法并為一項即（a+b）

x=c.使方程逐漸轉化為G=6的最簡形式體現(xiàn)化歸思想.將G=6系數(shù)化為1時，要準確

計算，一弄清求x時，方程兩邊除以的是。還是從尤其。為分數(shù)時；二要準確判斷符號，

。、6同號x為正，a、6異號x為負.

3.二元一次方程的解

（1）定義：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程

的解.

（2）在二元一次方程中，任意給出一個未知數(shù)的值，總能求出另一個未知數(shù)的一個唯一確

定的值，所以二元一次方程有無數(shù)解.

（3）在求一個二元一次方程的整數(shù)解時，往往采用“給一個，求一個”的方法，即先給出

其中一個未知數(shù)（一般是系數(shù)絕對值較大的）的值，再依次求出另一個的對應值.

4.二元一次方程組的解

（1）定義：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.

（2）一般情況下二元一次方程組的解是唯一的.數(shù)學概念是數(shù)學的基礎與出發(fā)點，當遇到

有關二元一次方程組的解的問題時，要回到定義中去，通常采用代入法，即將解代入原方程

組，這種方法主要用在求方程中的字母系數(shù).

5.解二元一次方程組

（1）用代入法解二元一次方程組的一般步驟：①從方程組中選一個系數(shù)比較簡單的方程，

將這個方程組中的一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來.②將變形后的關系式

代入另一個方程，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程.③解這個一元一次方程，求

出M或y）的值.④將求得的未知數(shù)的值代入變形后的關系式中，求出另一個未知數(shù)的值.⑤

把求得的X、》的值用“{”聯(lián)立起來，就是方程組的解.

（2）用加減法解二元一次方程組的一般步驟：①方程組的兩個方程中，如果同一個未知數(shù)

的系數(shù)既不相等又不互為相反數(shù)，就用適當?shù)臄?shù)去乘方程的兩邊，使某一個未知數(shù)的系數(shù)相

等或互為相反數(shù).②把兩個方程的兩邊分別相減或相加，消去一個未知數(shù)，得到一個一元

一次方程.③解這個一元一次方程，求得未知數(shù)的值.④將求出的未知數(shù)的值代入原方程

組的任意一個方程中，求出另一個未知數(shù)的值.⑤把所求得的兩個未知數(shù)的值寫在一起，

就得到原方程組的解，用［x=a的形式表示.

ly=b

6.二元一次方程組的應用

（一）列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟：

（1）審題：找出問題中的已知條件和未知量及它們之間的關系.

（2）設元：找出題中的兩個關鍵的未知量，并用字母表示出來.

（3）列方程組：挖掘題目中的關系，找出兩個等量關系，列出方程組.

（4）求解.

（5）檢驗作答：檢驗所求解是否符合實際意義，并作答.

（二）設元的方法：直接設元與間接設元.

當問題較復雜時，有時設與要求的未知量相關的另一些量為未知數(shù)，即為間接設元.無論怎

樣設元，設幾個未知數(shù)，就要列幾個方程.

7.一元二次方程的解

（1）一元二次方程的解（根）的意義：

能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.又因為只含有一個未知

數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根.

(2)一元二次方程一定有兩個解，但不一定有兩個實數(shù)解.這XI,X2是一元二次方程a^+bx+c

=030)的兩實數(shù)根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個等式求解未知量.

axi2+bxi+c=0(aWO),ax22+bx2+c=0(aWO).

8.換元法解一元二次方程

1、解數(shù)學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，

這叫換元法.

換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將

問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得

容易處理.

2、我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個字母

來代替它從而簡化問題，當然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn).把一些形式復雜的方程通過換元

的方法變成一元二次方程，從而達到降次的目的.

9.分式方程的解

求出使分式方程中令等號左右兩邊相等且分母不等于0的未知數(shù)的值，這個值叫方程的解.

注意：在解方程的過程中因為在把分式方程化為整式方程的過程中，擴大了未知數(shù)的取值范

圍，可能產(chǎn)生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解.

10.解分式方程

(1)解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗；④得出結論.

(2)解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0,所以應如

下檢驗：

①將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0,則整式方程的解是原分

式方程的解.

②將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值為0,則整式方程的解不是原分

式方程的解.

所以解分式方程時，一定要檢驗.

選擇題(共3小題)

1.(2021秋?沙坪壩區(qū)校級期中)關于x、y的二元一次方程組的解一外=《滿足

[2x-y=2k+3

x-3y=10+左，貝！U的值是（）

A.2B.-2C.-3D.3

2.（2020秋?岳西縣期末）若方程組產(chǎn)一3尸7的解為尸=6.5,則方程組

\7x-5y=3[y=8.5

5(13)_3(y+l)=7

的解為（)

7(x-13)-5(j+l)=3

=19.5x=19.5

B.

=9.5b=7.5

C-\x=5-6.5\x=-6.5

D.

[y=7.5

2ax+3y=18

3.（2021?越秀區(qū)校級一模）關于x,y的方程組（其中a,6是常數(shù)）的解

-x+5by=17

為工,則方程組的解為（

）

二.填空題（共5小題）

4.（2021秋?黃驊市期末）已知x,y滿足Cx-y）2-2Cx-y）+1=0.

（1）x-y的值為；

（2）若/+/=6,則刈的值為.

5.（2021秋?蕪湖期末）觀察下列方程：①X+2=3；②X+$=5；③X+U=7,可以發(fā)

XXX

現(xiàn)它們的解分別是①x=l或2；②x=2或3；③x=3或4.利用上述材料所反映出來的規(guī)

2

律，可知關于X的方程X+上三=2〃+4（〃為正整數(shù)）的解x=____.

x—3

6.（2021春?常熟市期中）在解決以下問題：“已知關于x,y的方程組/x+=J的

[a2x+b2y=c2

解是尸=上求關于aV的方程組產(chǎn)N+3y=4q的解”的過程中，甲、乙兩位同學

r

[y=9\2a2x+3b2y'=4c2

分別提出了各自的想法.甲說：“兩個方程組外表很相似，且它們的系數(shù)有一定的規(guī)律，可

以試試.“乙說：”能不能把第二個方程組中的兩個方程利用等式性質加以變形，再利用整

體思想通過換元的方法來解決.”參考他們倆的討論內容，你認為該方程組的解是￡=—,

y'=-

7.（2021秋?花都區(qū)期末）已知x=2是一元二次方程/+加x+"=0的一個解，貝！|4加+2九

的值是—.

1117?

8.（2020秋?自貢期末）關于％的方程x+—=〃+—的兩個角牟為石=〃，/=—；x+—=a+—

xaaxa

的兩個解為%=a,x2=-,則關于x的方程x+-=a+」一的兩個解為—.

ax-2a-2

三.解答題（共11小題）

9.（2021春?婁底期中）已知關于x、y的二元一次方程組「X一叼=5,的解是卜=1,求

[2x+ny=6[?=2

乂十,,一、二、wr13(〃+6)一冽(〃-6)=5,"g

關于。、6的二兀一次萬程組''''的解.

[2(a+/?)+n(a-b)=6

10.（2021秋?昌江區(qū)校級期中）解方程組:

43

-----------1-----------=10

3x-2>2x-5y

(1)

52

=1

3x-2y2x-5y

3x+my=5

(2)

x+2y=n

2%+x2+x3+x4+x5=6

再+2X2+X3+X4+X5=12

(3)Xj+x2+2X3+x4+x5=24,求2匕+3%的值.

項+%++2%4+x5=48

Xj+x2+x3+x4+2X5=96

11.（2021春?濟源期末）題目：滿足方程組[力+5y="+1，上的x與的值的和是2,求

[2x+3y=3-2冗②

」的值.

按照常規(guī)方法，順著題目思路解關于x、y的二元一次方程組，分別求出x、y的值（含有

字母k）,再由x+y=2,構造關于左的方程求解，從而得出左值.

（1）某數(shù)學興趣小組對本題的解法又進行了探究，利用整體思想，對于方程組中每個方程

變形得到“x+y”這個整體，或者對方程組的兩個方程進行加減變形，得到“x+y”整體

值，從而求出左值.

請你運用這種整體思想的方法，完成題目的解答過程.

（2）小勇同學的解答是：觀察方程①，令3x=左，5y=1.

解得：了=（，又x+y=2,

9

..X=-?

5

7c927

?.4=3又———?

55

才巴工=2,■代入方程②，得左二一3

555

所以左的值為名或-3.

55

請診斷分析并評價“小勇同學的解答”.

—春?福州期末）閱讀材料：善于思考的小軍在解方程組上:;此時，采用

了一種“整體代換”的解法：

解：將方程②變形：4x+10y+y=5即2（2x+5y）+y=5③,

把方程①代入③得：2x3+y=5,

y=-1f

把>=一1代入①得x=4,

方程組的解為F=4.

[y=T

請你解決以下問題：

（1）模仿小軍的“整體代換”法解方程組I--2）=5?；

[9x-4y=19@

（2）已知x,y滿足方程組尸X/2X/+172=4XD,求小4/與的值；

12/+砂+8/=36②-

（3）在（2）的條件下，寫出這個方程組的所有整數(shù)解.

13.（2019秋?吉州區(qū)期末）閱讀材料：善于思考的小軍在解方程組產(chǎn)+"=3<^時，采

用了一種“整體代換”的解法：

解：將方程②變形：4x+10y+y=5,即2（2x+5y）+y=5③

把方程①代入③得：2x3+y=5,，y=-l,

所以y=T代入①得x=4,.?.方程組的解為"，

b=-i

請你解決以下問題：

（1）模仿小軍的“整體代換”法解方程組2y=5?,

[9x-4y=19@

（2）已知無，y滿足方程組+求才2十42的值和土Z的值.

14.善于思考的小軍在解方程組「x+5y=3舊時，采用了一種“整體代換”的解法：

[4x+lly=5②

解：將方程②變形：4x+10y+y=5,

即2（2x+5y）+y=5,③

把方程①代入③，得2x3+y=5..?.y=-l.

把》=一1代入①，得x=4.

.?.原方程組的解為F=4.

U=T

請你解決以下問題：

（1）模仿小軍的“整體代換法”解方程組：（3x_2y=5?

（2）已知x,y滿足方程組卜了孫+?2=及①，求f+4/的值.

[2x2+盯+8/=36（2）

15.（2021春?饒平縣校級期末）已知方程組【◎一"=由于甲看錯了方程①中的。得

14尤-勿=-2②

到方程組的解為尸=-3；乙看錯了方程②中的6得到方程組的解為尸=5,若按正確的

3=-1[y=4

6計算，請你求原方程組的解.

:W；=27②’下列給出的兩種方法

16.（2020春?南關區(qū)月考）感知：解方程組

中，方法簡單的是.

（A）由①，得x=Z券，代入②，先消去x,求出y,再代入求解.

（B）將①代入②，得4x7-尸27,解得y=l,再代入求解.

x+y=2018

探究：解方程組％+y.

=1094

3x—2y=l+2a

應用：若關于x,y的二元一次方程組3x-2y的解中的x是正數(shù)，則a的取值范圍

------------2x=3

13

為—.

17.（2021春?江都區(qū)校級期中）閱讀感悟：

有些關于方程組的問題,欲求的結果不是每一個未知數(shù)的值，而是關于未知數(shù)的代數(shù)式的值.

如以下問題：

已知實數(shù)x、y滿足3x-y=5①，2x+3y=7②，求x-4y和7x+5y的值.

本題常規(guī)思路是將①②兩式聯(lián)立組成方程組，解得x、y的值再代入欲求值的代數(shù)式得到答

案，常規(guī)思路運算量比較大.其實，仔細觀察兩個方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關系，本題還可

以通過