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2025屆江西省南昌十九中學(xué)高三第六次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.定義在上的函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示,設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),、、、四點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為、、、,則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A. B. C. D.2.計(jì)算等于()A. B. C. D.3.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、,拋物線與雙曲線有相同的焦點(diǎn).設(shè)為拋物線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn),且,則雙曲線的離心率為()A.或 B.或 C.或 D.或4.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則數(shù)列的公差為()A.-2 B.2 C.4 D.75.已知函數(shù)的值域?yàn)椋瘮?shù),則的圖象的對(duì)稱中心為()A. B.C. D.6.已知函數(shù),則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.函數(shù)的最小正周期為πB.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.函數(shù)在上單調(diào)遞增D.函數(shù)的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到7.已知平行于軸的直線分別交曲線于兩點(diǎn),則的最小值為()A. B. C. D.8.函數(shù)的圖象大致是()A. B.C. D.9.已知雙曲線的漸近線方程為,且其右焦點(diǎn)為,則雙曲線的方程為()A. B. C. D.10.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的,則①處應(yīng)填寫()A. B. C. D.11.使得的展開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng)的最小的n為()A. B. C. D.12.已知復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù),則為A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,則__________.14.如圖,某市一學(xué)校位于該市火車站北偏東方向,且,已知是經(jīng)過(guò)火車站的兩條互相垂直的筆直公路,CE,DF及圓弧都是學(xué)校道路,其中,,以學(xué)校為圓心,半徑為的四分之一圓弧分別與相切于點(diǎn).當(dāng)?shù)卣顿Y開(kāi)發(fā)區(qū)域發(fā)展經(jīng)濟(jì),其中分別在公路上,且與圓弧相切,設(shè),的面積為.(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式;(2)當(dāng)為何值時(shí),面積為最小,政府投資最低?15.一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為1、2、2的長(zhǎng)方體可以在一個(gè)圓柱形容器內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng),則容器體積的最小值為_(kāi)________.16.已知函數(shù),在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù),則使得≥0的概率為.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)(為常數(shù))(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)若為增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的短軸長(zhǎng)為,直線與橢圓相交于兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為.當(dāng)與連線的斜率為時(shí),直線的傾斜角為(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若是以為直徑的圓上的任意一點(diǎn),求證:19.(12分)如圖,在四棱錐中,底面為矩形,側(cè)面底面,為棱的中點(diǎn),為棱上任意一點(diǎn),且不與點(diǎn)、點(diǎn)重合..(1)求證:平面平面;(2)是否存在點(diǎn)使得平面與平面所成的角的余弦值為?若存在,求出點(diǎn)的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)若,求曲線與的交點(diǎn)坐標(biāo);(2)過(guò)曲線上任意一點(diǎn)作與夾角為45°的直線,交于點(diǎn),且的最大值為,求的值.21.(12分)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足,各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若,求數(shù)列的前項(xiàng)和22.(10分)已知函數(shù),(Ⅰ)當(dāng)時(shí),證明;(Ⅱ)已知點(diǎn),點(diǎn),設(shè)函數(shù),當(dāng)時(shí),試判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
先辨別出圖象中實(shí)線部分為函數(shù)的圖象,虛線部分為其導(dǎo)函數(shù)的圖象,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為,由,得出,只需在圖中找出滿足不等式對(duì)應(yīng)的的取值范圍即可.【詳解】若虛線部分為函數(shù)的圖象,則該函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn),但其導(dǎo)函數(shù)圖象(實(shí)線)與軸有三個(gè)交點(diǎn),不合乎題意;若實(shí)線部分為函數(shù)的圖象,則該函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),則其導(dǎo)函數(shù)圖象(虛線)與軸恰好也只有兩個(gè)交點(diǎn),合乎題意.對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得,由得,由圖象可知,滿足不等式的的取值范圍是,因此,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,同時(shí)也考查了利用圖象辨別函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的圖象,考查推理能力,屬于中等題.2、A【解析】
利用誘導(dǎo)公式、特殊角的三角函數(shù)值,結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算,求得所求表達(dá)式的值.【詳解】原式.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查誘導(dǎo)公式,考查對(duì)數(shù)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】
設(shè),,根據(jù)和拋物線性質(zhì)得出,再根據(jù)雙曲線性質(zhì)得出,,最后根據(jù)余弦定理列方程得出、間的關(guān)系,從而可得出離心率.【詳解】過(guò)分別向軸和拋物線的準(zhǔn)線作垂線,垂足分別為、,不妨設(shè),,則,為雙曲線上的點(diǎn),則,即,得,,又,在中,由余弦定理可得,整理得,即,,解得或.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線離心率的求解,涉及雙曲線和拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì),考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.4、B【解析】
在等差數(shù)列中由等差數(shù)列公式與下標(biāo)和的性質(zhì)求得,再由等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得公差.【詳解】在等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,則則故選:B【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列中求由已知關(guān)系求公差,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】
由值域?yàn)榇_定的值,得,利用對(duì)稱中心列方程求解即可【詳解】因?yàn)?,又依題意知的值域?yàn)?,所以得,,所以,令,得,則的圖象的對(duì)稱中心為.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖像及性質(zhì),考查函數(shù)的對(duì)稱中心,重點(diǎn)考查值域的求解,易錯(cuò)點(diǎn)是對(duì)稱中心縱坐標(biāo)錯(cuò)寫為06、D【解析】
由可判斷選項(xiàng)A;當(dāng)時(shí),可判斷選項(xiàng)B;利用整體換元法可判斷選項(xiàng)C;可判斷選項(xiàng)D.【詳解】由題知,最小正周期,所以A正確;當(dāng)時(shí),,所以B正確;當(dāng)時(shí),,所以C正確;由的圖象向左平移個(gè)單位,得,所以D錯(cuò)誤.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查余弦型函數(shù)的性質(zhì),涉及到周期性、對(duì)稱性、單調(diào)性以及圖象變換后的解析式等知識(shí),是一道中檔題.7、A【解析】
設(shè)直線為,用表示出,,求出,令,利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間和極小值、最小值,即可求出的最小值.【詳解】解:設(shè)直線為,則,,而滿足,那么設(shè),則,函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以故選:.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用:求單調(diào)區(qū)間和極值、最值,考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力,正確求導(dǎo)確定函數(shù)的最小值是關(guān)鍵,屬于中檔題.8、C【解析】
根據(jù)函數(shù)奇偶性可排除AB選項(xiàng);結(jié)合特殊值,即可排除D選項(xiàng).【詳解】∵,,∴函數(shù)為奇函數(shù),∴排除選項(xiàng)A,B;又∵當(dāng)時(shí),,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了依據(jù)函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象,注意奇偶性及特殊值的用法,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】試題分析:由題意得,,所以,,所求雙曲線方程為.考點(diǎn):雙曲線方程.10、B【解析】
模擬程序框圖運(yùn)行分析即得解.【詳解】;;.所以①處應(yīng)填寫“”故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.11、B【解析】二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為,若展開(kāi)式中有常數(shù)項(xiàng),則,解得,當(dāng)r取2時(shí),n的最小值為5,故選B【考點(diǎn)定位】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用.12、C【解析】
利用復(fù)數(shù)的三角形式的乘法運(yùn)算法則即可得出.【詳解】z1z2=(cos23°+isin23°)?(cos37°+isin37°)=cos60°+isin60°=.故答案為C.【點(diǎn)睛】熟練掌握復(fù)數(shù)的三角形式的乘法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵,復(fù)數(shù)問(wèn)題高考必考,常見(jiàn)考點(diǎn)有:點(diǎn)坐標(biāo)和復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,點(diǎn)的象限和復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,復(fù)數(shù)的加減乘除運(yùn)算,復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)的計(jì)算.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】解:由題意可知:.14、(1);(2).【解析】
(1)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則,在中,設(shè),又,故,,進(jìn)而表示直線的方程,由直線與圓相切構(gòu)建關(guān)系化簡(jiǎn)整理得,即可表示OA,OB,最后由三角形面積公式表示面積即可;(2)令,則,由輔助角公式和三角函數(shù)值域可求得t的取值范圍,進(jìn)而對(duì)原面積的函數(shù)用含t的表達(dá)式換元,再令進(jìn)行換元,并構(gòu)建新的函數(shù),由二次函數(shù)性質(zhì)即可求得最小值.【詳解】解:(1)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則,在中,設(shè),又,故,.所以直線的方程為,即.因?yàn)橹本€與圓相切,所以.因?yàn)辄c(diǎn)在直線的上方,所以,所以式可化為,解得.所以,.所以面積為.(2)令,則,且,所以,.令,,所以在上單調(diào)遞減.所以,當(dāng),即時(shí),取得最大值,取最小值.答:當(dāng)時(shí),面積為最小,政府投資最低.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用,應(yīng)優(yōu)先結(jié)合實(shí)際建立合適的數(shù)學(xué)模型,再按模型求最值,屬于難題.15、【解析】
一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為1、2、2的長(zhǎng)方體可以在一個(gè)圓柱形容器內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng),則圓柱形容器的底面直徑及高的最小值均等于長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng),長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)為,所以容器體積的最小值為.16、【解析】試題分析:可以得出,所以在區(qū)間上使的范圍為,所以使得≥0的概率為考點(diǎn):本小題主要考查與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型的概率計(jì)算.點(diǎn)評(píng):幾何概型適用于解決一切均勻分布的問(wèn)題,包括“長(zhǎng)度”、“角度”、“面積”、“體積”等,但要注意求概率時(shí)做比的上下“測(cè)度”要一致.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(Ⅰ)單調(diào)遞增區(qū)間為,;單調(diào)遞減區(qū)間為;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可;(Ⅱ)對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),由題意知,為增函數(shù)等價(jià)于在區(qū)間恒成立,利用分離參數(shù)法和基本不等式求最值即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】(Ⅰ)由題意知,函數(shù)的定義域?yàn)?,?dāng)時(shí),,令,得,或,所以,隨的變化情況如下表:遞增遞減遞增的單調(diào)遞增區(qū)間為,,單調(diào)遞減區(qū)間為.(Ⅱ)由題意得在區(qū)間恒成立,即在區(qū)間恒成立.,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立.所以,所以的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、利用分離參數(shù)法和基本不等式求最值求參數(shù)的取值范圍;考查運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力;利用導(dǎo)數(shù)把函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、??碱}型.18、(1);(2)詳見(jiàn)解析.【解析】
(1)由短軸長(zhǎng)可知,設(shè),,由設(shè)而不求法作差即可求得,將相應(yīng)值代入即求得,橢圓方程可求;(2)考慮特殊位置,即直線與軸垂直時(shí)候,成立,當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)出直線方程,與橢圓聯(lián)立,結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式,弦長(zhǎng)公式,得到與的關(guān)系,將表示出來(lái),結(jié)合基本不等式求最值,證明最后的結(jié)果【詳解】解:(1)由已知,得由,兩式相減,得根據(jù)已知條件有,當(dāng)時(shí),∴,即∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)當(dāng)直線斜率不存在時(shí),,不等式成立.當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)由得∴,∴由化簡(jiǎn),得∴令,則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)∴∵∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)綜上,【點(diǎn)睛】本題為直線與橢圓的綜合應(yīng)用,考查了橢圓方程的求法,點(diǎn)差法處理多未知量問(wèn)題,能夠利用一元二次方程的知識(shí)轉(zhuǎn)化處理復(fù)雜的計(jì)算形式,要求學(xué)生計(jì)算能力過(guò)關(guān),為較難題19、(1)證明見(jiàn)解析(2)存在,為中點(diǎn)【解析】
(1)證明面,即證明平面平面;(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),為軸正方向,為軸正方向,為軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系.利用向量方法得,解得,所以為中點(diǎn).【詳解】(1)由于為中點(diǎn),.又,故,所以為直角三角形且,即.又因?yàn)槊?,面面,面面,故面,又面,所以面面.?)由(1)知面,又四邊形為矩形,則兩兩垂直.以為坐標(biāo)原點(diǎn),為軸正方向,為軸正方向,為軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系.則,設(shè),則,設(shè)平面的法向量為,則有,令,則,則平面的一個(gè)法向量為,同理可得平面的一個(gè)法向量為,設(shè)平面與平面所成角為,則由題意可得,解得,所以點(diǎn)為中點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題主要考查空間幾何位置關(guān)系的證明,考查空間二面角的應(yīng)用,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.20、(1),;(2)或【解析】
(1)將曲線的極坐標(biāo)方程和直線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程,聯(lián)立方程,即可求得曲線與的交點(diǎn)坐標(biāo);(2)由直線的普通方程為,故上任意一點(diǎn),根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求得到直線的距離,根據(jù)三角函數(shù)的有界性,即可求得答案.【詳解】(1),.由,得,曲線的直角坐標(biāo)方程為.當(dāng)時(shí),直線的普通方程為由解得或.從而與的交點(diǎn)坐標(biāo)為,.(2)由題意知直線的普通方程為,的參數(shù)方程為(為參數(shù))故上任意一點(diǎn)到的距離為則.當(dāng)時(shí),的最大值為所以;當(dāng)時(shí),的最大值為,所以.綜上所述,或【點(diǎn)睛】解題關(guān)鍵是掌握極坐標(biāo)和參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法,和點(diǎn)到直線距離公式,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.21、(1);(2)【解析】
(1)由化為,利用數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的關(guān)系,得到是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列求解.(2)由(1)得到,再利用錯(cuò)位相減法求解.【詳解】(1)可以化為,,,,又時(shí),數(shù)列從開(kāi)始成等差數(shù)列,,代入得是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,,.(2)由(1)得,,,兩式相減得,,.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的關(guān)系和錯(cuò)位相
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