寧夏石嘴山市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中理含解析

Page9寧夏石嘴山市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中（理）選擇題（每小題5分，共60分）1．集合，，則（）A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)的實(shí)部為（）A． B．1 C． D．23．已知,條件甲：；條件乙：,則甲是乙的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知向量，且，則（）A． B． C． D．55．已知點(diǎn)是角的終邊與單位圓的交點(diǎn)，則（）A． B． C． D．6．在△中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則（）A．B．C． D．7．在中，若，則（）A． B． C．或 D．或8．我國古代的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣晷（guǐ）長損益相同（晷是依據(jù)日影測定時刻的儀器，晷長即為所測量影子的長度）．二十四節(jié)氣及晷長改變?nèi)鐖D所示，相鄰兩個節(jié)氣晷長的改變量相同，周而復(fù)始．若冬至晷長一丈三尺五寸，夏至晷長一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），則夏至之后第三個節(jié)氣（立秋）晷長是（）A．三尺B．三尺五寸C．四尺D．四尺五寸9．已知，則（）A． B． C． D．10．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到圖像，則下列推斷錯誤的是A．函數(shù)的最小正周期是 B．圖像關(guān)于直線對稱C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．圖像關(guān)于點(diǎn)對稱11．已知等比數(shù)列中，，若恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（）A．-16 B．16 C．-20 D．2012．已知函數(shù)（且）．若函數(shù)的圖象上有且只有兩個點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，則的取值范圍是（）A． B．C． D．二、填空題（每小題分，共20分）13．已知實(shí)數(shù)，滿意約束條件，則的最小值為_________.14．已知數(shù)列滿意，則__________.15．求直線與曲線所圍成的平面圖形的面積為___________.16．已知函數(shù)，有下列命題：①函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線為；②函數(shù)有3個零點(diǎn)；③函數(shù)在處取得極大值；④函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱上述命題中，正確命題的序號是__________．三、解答題（共70分）17．(本題12分)已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，其中r為常數(shù).（1）求r的值；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.18．(本題12分)已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）設(shè)銳角內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，求b的取值范圍．19．(本題12分)在中，，，分別是角，，的對邊，已知向量，，且．（1）求的值；（2）若，的面積為，求的周長．20．(本題12分)已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若對隨意，不等式恒成立，求正整數(shù)的最小值.21．(本題12分)已知函數(shù)（1）求不等式的解集；（2）若，，，且，證明：.22．(本題10分)在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和曲線的一般方程；（2）已知點(diǎn)，曲線與曲線相交于，兩點(diǎn)，求.參考答案選擇題CAABAAADDCAC1．C【分析】先求出，再求交集即可.【詳解】據(jù)題意，所以故選：C2．A【分析】將化簡即可求解.【詳解】的實(shí)部為，故選：A.3．A【分析】先通過解分式不等式化簡條件乙，再推斷甲成立是否推出乙成立；條件乙成立是否推出甲成立，利用充要條件的定義推斷出甲是乙成立的什么條件．【詳解】條件乙：，即為?若條件甲：a＞b＞0成立則條件乙肯定成立；反之，當(dāng)條件乙成立，則也可以，但是此時不滿意條件甲：a＞b＞0，所以甲是乙成立的充分非必要條件故選A．【點(diǎn)睛】推斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件．⑤推斷命題p與命題q所表示的范圍，再依據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，推斷命題p與命題q的關(guān)系．4．B【分析】依據(jù)向量共線求出參數(shù)，從而求出的坐標(biāo)，再依據(jù)向量模的坐標(biāo)表示，計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，且，所以，所以所以所以故選：B【點(diǎn)睛】本題考查平面對量共線的坐標(biāo)表示，以及向量模的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.5．A【分析】先用三角函數(shù)的定義得，再用二倍角公式求出.【詳解】由三角函數(shù)的定義得，所以．故選：A【點(diǎn)睛】(1)三角函數(shù)值的大小與點(diǎn)P（x,y）在終邊上的位置無關(guān)，嚴(yán)格代入定義式子就可以求出對應(yīng)三角函數(shù)值；(2)當(dāng)角的終邊在直線上時，或終邊上的點(diǎn)帶參數(shù)必要時，要對參數(shù)進(jìn)行探討．6．A【分析】分析：首先將圖畫出來，接著應(yīng)用三角形中線向量的特征，求得，之后應(yīng)用向量的加法運(yùn)算法則三角形法則，得到，之后將其合并，得到，下一步應(yīng)用相反向量，求得，從而求得結(jié)果.【詳解】依據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得，所以，故選A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)平面對量基本定理的有關(guān)問題，涉及到的學(xué)問點(diǎn)有三角形的中線向量、向量加法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題，在解題的過程中，須要仔細(xì)對待每一步運(yùn)算.7．A【分析】由正弦定理化邊為角，再由誘導(dǎo)公式，兩角和的正弦公式變形可得．【詳解】因?yàn)?，由正弦定理得，，因?yàn)?，所以，所以，而B為三角形內(nèi)角，故．故選：A．8．D【分析】依據(jù)題意，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】依據(jù)題意從冬至到夏至可知：晷長為等差數(shù)列，公差為，由題意可知：，，所以有，因?yàn)橄噜弮蓚€節(jié)氣晷長的改變量相同，所以當(dāng)夏至之后第三個節(jié)氣（立秋）晷長是，故選：D9．D【分析】干脆利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性推斷.【詳解】因?yàn)?，所以故選：D10．C【分析】依據(jù)三角函數(shù)的圖象平移關(guān)系求出的解析式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，對稱性分別進(jìn)行推斷即可．【詳解】由題意，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，可得，對于,函數(shù)的最小正周期為，所以該選項(xiàng)是正確的；對于，令，則為最大值，函數(shù)圖象關(guān)于直線，對稱是正確的；對于中，，則，，則函數(shù)在區(qū)間上先減后增，不正確；對于中，令，則，圖象關(guān)于點(diǎn)對稱是正確的，故選．【點(diǎn)睛】本題主要考查命題的真假推斷，涉及三角函數(shù)的單調(diào)性，對稱性，求出解析式是解決本題的關(guān)鍵．11．A【分析】由條件求得等比數(shù)列通項(xiàng)，將恒成立不等式移項(xiàng)，利用單調(diào)性來推斷最值狀況，從而求得參數(shù)最大值.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，解得，所以，所以恒成立等價于恒成立，令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以，所以，所以，即實(shí)數(shù)的最大值為，故選：A．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求得等比數(shù)列通項(xiàng)公式，作差法求得bn=2n-8n的單調(diào)性，從而求解參數(shù)最值.12．C【分析】依據(jù)原點(diǎn)對稱的性質(zhì)，求出當(dāng)時函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)，條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)與只有一個交點(diǎn)，作出兩個函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法，再結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可【詳解】當(dāng)時，函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)為，即，若函數(shù)的圖象上有且只有兩個點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，則等價于函數(shù)與只有一個交點(diǎn)，作出兩個函數(shù)的圖象如圖：若時，與函數(shù)有唯一的交點(diǎn)，滿意條件；當(dāng)時，若時，要使與函數(shù)有唯一的交點(diǎn)，則要滿意，即，解得故；綜上的取值范圍是故選：C13．【分析】依據(jù)約束條件，畫出可行域，將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為，平移直線，由直線在y軸上截距最小時求解.【詳解】由約束條件，畫出可行域如圖所示陰影部分：將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為，平移直線，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A時，直線在y軸上截距最小，此時，目標(biāo)函數(shù)取得最小值，由，解得，所以，所以目標(biāo)函數(shù)的最小值為，故答案為：614．【分析】利用遞推關(guān)系式推出數(shù)列為等比數(shù)列，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】，，即又，是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，，故故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查等比數(shù)列的定義和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求數(shù)列通項(xiàng)公式常用的方法：（1）由與的關(guān)系求通項(xiàng)公式；（2）累加法；（3）累乘法；（4）構(gòu)造新數(shù)列法.考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化與數(shù)學(xué)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.15．【分析】依據(jù)題意得，計(jì)算定積分，即可得到答案；【詳解】或，，故答案為：16．①②④【分析】①求出導(dǎo)數(shù)，即為所求切線的斜率，再求出即可寫出切線的方程；②推斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用零點(diǎn)存在定理進(jìn)行推斷；③由②所求單調(diào)性可推斷函數(shù)的極值點(diǎn)；④令，證明函數(shù)為奇函數(shù)可知函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，再通過平移證明函數(shù)的對稱性.【詳解】①，，且，函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線為，①正確；②令解得或，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，在上各有一點(diǎn)使，即函數(shù)有3個零點(diǎn)，②正確；③由②知函數(shù)在處取得微小值，③錯誤；④令，因?yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù)，則的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，將函數(shù)的圖像向右平移一個單位再向上平移一個單位可得函數(shù)，所以函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，④正確.17．（1）；（2）.【分析】（1）求出前三項(xiàng)為，利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)即可得解；（2）由（1）可得，，利用裂項(xiàng)相消法即可得解.【詳解】（1）先求前三項(xiàng)，，，，由為等差數(shù)列，所以，所以，即；（2）由（1）知，，也滿意，所以，所以，所以，所以.18．（1）；（2）．【分析】（1）化簡函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解；（2）由，得到，解得，再由正弦定理，進(jìn)而求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由題意，函數(shù)，令，可得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由，可得，因?yàn)?，可得，解得，由正弦定理得，即，因?yàn)闉殇J角三角形，可得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.19．（1）；（2）．【分析】（1）利用向量的數(shù)量積以及正弦定理可得，再由兩角和的正弦公式以及三角形內(nèi)角和性質(zhì)即可求解.（2）利用余弦定理可得，再由三角形的面積公式即可求解.【詳解】解：（1）由，所以，由正弦定理可得，即，又，所以，又，所以，所以，又，所以．（2）依據(jù)余弦定理可知，所以，即，又的面積為，所以，解得，所以，解得，所以的周長為．20．（1）；（2）最小值是.【分析】（1）當(dāng)時，，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可求得切斜斜率k，代入點(diǎn)斜式方程，即可得答案.（2）由題意可得在上恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)，求得的單調(diào)性和最值，綜合分析，即可得答案.【詳解】解：（1）當(dāng)時，，則，切線的斜率為，又，所求切線的方程為，即為.（2）當(dāng)時，，整理可得，令，則令，則，由，解得，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，，在區(qū)間上存在一個零點(diǎn)，此時，即，當(dāng)時，，則，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即，函數(shù)單調(diào)遞減，有極大值，即最大值為，則，，正整數(shù)的最小值是.【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是嫻熟駕馭導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間、極最值的方法，并敏捷應(yīng)用，難點(diǎn)在于，需將，轉(zhuǎn)化為在上恒成立問題，再合理構(gòu)造函數(shù)求解，屬中檔題.21．（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）先分段探討去肯定值，解不等式，再求并集即可；（2）先利用肯定值不等式求得，再妙用“1”進(jìn)行代換，利用基本不等式求得即可.【詳解】解：（1）當(dāng)時，，則，所以，當(dāng)時，，則，所以，當(dāng)時，，則，所以，綜上：不等式的解集為；（2）由肯定值不等式的性質(zhì)可得，，因?yàn)?，，，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)，時，等號成立.故.22．（1）：，：；（2）.【分析】（1