新教材2024-2025學年高中數(shù)學第六章概率3離散型隨機變量的均值與方差3.2離散型隨機變量的方差分層作業(yè)北師大版選擇性必修第一冊

第六章3.2離散型隨機變量的方差A級必備學問基礎練1.有甲、乙兩種水稻,測得每種水稻各10株的分蘗數(shù)據(jù),計算出樣本方差分別為DX甲=11,DX乙=3.4.由此可以估計()A.甲種水稻比乙種水稻分蘗整齊B.乙種水稻比甲種水稻分蘗整齊C.甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度相同D.甲、乙兩種水稻分蘗整齊不能比較2.已知隨機變量X的分布列為P(X=k)=13,k=3,6,9,則DX等于(A.6 B.9 C.3 D.43.隨機變量X的分布列如下:X-101Pa1b若EX=13,則DX的值是(A.19 B.29 C.44.設0<m<1,隨機變量的分布列為ξ0m1Pa12a則當m在(0,1)上增大時,()A.Dξ單調(diào)遞增,最大值為1B.Dξ先增后減,最大值為1C.Dξ單調(diào)遞減,最小值為2D.Dξ先減后增,最小值為15.設隨機變量X,Y滿意Y=2X+b(b為非零常數(shù)),若EY=4+b,DY=32,則EX=,DX=.

6.已知隨機變量X的分布列為X01xP11p若EX=23(1)求DX的值;(2)若Y=3X-2,求DY的值.7.不透亮袋中裝有質地、大小相同的4個紅球,m個白球,若從中不放回地取出2個球,在第一個取出的球是紅球的前提下,其次個取出的球是白球的概率為58(1)求白球的個數(shù)m;(2)若有放回的取出兩個球,記取出的紅球個數(shù)為X,求EX,DX.8.甲、乙兩人輪番射擊,每人每次射擊一次,先射中者獲勝,射擊進行到有人獲勝或每人都已射擊3次時結束.設甲每次射擊命中的概率為23,乙每次射擊命中的概率為25(1)求甲獲勝的概率;(2)求射擊結束時甲的射擊次數(shù)X的分布列和數(shù)學期望及方差.B級關鍵實力提升練9.[2024河南洛陽校聯(lián)考模擬預料]隨機變量ξ的概率分布列為P(ξ=k)=ck2+k,k=1,2,3,其中c是常數(shù),則D(9A.10 B.117 C.38 D.3510.已知隨機變量ξ的分布列如表:ξ-101Pp1p2p3其中1p1+1p3A.23 B.1425 C.2511.(多選題)設離散型隨機變量X的分布列為X01234Pq0.40.10.20.2若離散型隨機變量Y滿意Y=2X+1,則下列結果正確的有()A.q=0.1 B.EX=2,DX=1.4C.EX=2,DX=1.8 D.EY=5,DY=7.212.(多選題)若隨機變量X聽從兩點分布,其中P(X=0)=13,EX,DX分別為隨機變量X的均值與方差,則下列結論正確的是(A.P(X=1)=EX B.E(3X+2)=4C.D(3X+2)=4 D.DX=413.[2024浙江寧波鎮(zhèn)海中學模擬預料]隨機變量X的取值為-1,0,1,若P(X=-1)=16,EX=13,則P(X=0)=,D(2X+1)=14.變量ξ的分布列如下:ξ-101Pabc其中2b=a+c,若Eξ=13,則Dξ的值是15.[2024重慶萬州高二?？计谥衇甲、乙兩名同學與一臺智能機器人進行象棋競賽,記分規(guī)則如下:在一輪競賽中,假如甲贏而乙輸,甲得1分;假如甲輸而乙贏,甲得-1分;假如甲和乙同時贏或同時輸,甲得0分.設甲贏機器人的概率為0.6,乙贏機器人的概率為0.5.求:(1)在一輪競賽中,甲的得分X的分布列;(2)在兩輪競賽中,甲的得分Y的分布列;(3)Y的均值和方差.C級學科素養(yǎng)創(chuàng)新練16.依據(jù)以往的閱歷,某工程施工期間的降水量X(單位:mm)對工期的影響如下表:降水量XX<300300≤X<700700≤X<900X≥900工期延誤天數(shù)Y02610歷年氣象資料表明,該工程施工期間降水量X小于300,700,900的概率分別為0.3,0.7,0.9,求:(1)工期延誤天數(shù)Y的均值與方差;(2)在降水量至少是300mm的條件下,工期延誤不超過6天的概率.

參考答案3.2離散型隨機變量的方差1.B2.A3.D4.D由題知a3+13+2a-13=1,解得a=1,所以Eξ=0+m3+13=m+13,所以Dξ=m+132×13+m-m+132×13+1-m+132×13=29(m2-m+1)=29m-1225.28隨機變量X,Y滿意Y=2X+b(b為非零常數(shù)),若EY=4+b,DY=32,則EY=2EX+b=4+b,所以EX=2;又因為DY=4DX=32,所以DX=8.6.解由12+13+p=又因為EX=0×12+1×13+1(1)DX=0-232×12+1-232×13+2-232(2)因為Y=3X-2,所以DY=D(3X-2)=9DX=5.7.解(1)由題意知,袋中裝有質地、大小相同的4個紅球,m個白球,因為第一個取出的球是紅球,其次個取出的球是白球的概率為58,可得mm+3=(2)由題意,隨機變量X可能為0,1,2,則P(X=0)=59P(X=1)=49×59P(X=2)=49所以隨機變量X的分布列為X012P254016則數(shù)學期望EX=0×2581+1×4081方差DX=0-892×2581+1-892×4081+2-8928.解(1)記甲第i次射中獲勝為Ai(i=1,2,3),則A1,A2,A3彼此互斥,甲獲勝的事務為A1+A2+A3,因為P(A1)=23,P(A2)=1P(A3)=132×352×23=所以P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=23+(2)X全部可能的取值為1,2,3,則P(X=1)=23P(X=2)=13P(X=3)=132×352×1=125.所以X的分布列為X123P441所以X的數(shù)學期望EX=1×45+2×425X的方差DX=1-31252×45+2-31252×425+3-312529.C∵P(ξ=k)=ck2+k,k=1,2,3,∴c2+c6+c12=1,解得c=43,∴Eξ=1×23+2×29+3×19=139,∴Dξ=1-1392×23+2-1392×2910.CEξ=(-1)·p1+0·p2+1·p3=p3-p1,又因為Eξ2=p1+p3,所以Dξ=Eξ2-(Eξ)2=p1+p3-(p3-p1)2=(p1+p3)-(p1+p3)2+4p1p3,因為1p1+1p3=p1所以Dξ=53(p1+p3)-(p1+p3)2=-(p1+p3)-562+2536因為0<p1+p3<1,所以當p1+p3=56時,Dξ的最大值是253611.ACD12.AB隨機變量X聽從兩點分布,其中P(X=0)=13,所以P(X=1)=23,EX=0×13+1×23=23,DX=0-232×13+1-232×23=29,在A中,P(X=1)=EX,故A正確;在B中,E(3X+2)=3EX+2=3×23+2=13.13209設P(X=0)=a,則P(X=X-101P1a56所以EX=-16+56-a=1DX=16×-1-132+13×0-132+12×1-132所以D(2X+1)=4DX=2014.15.解(1)由題設,X的可能取值為-1,0,1,P(X=-1)=0.4×0.5=0.2,P(X=0)=0.6×0.5+(1-0.6)×(1-0.5)=0.5,P(X=1)=0.6×(1-0.5)=0.3.X的概率分布列為X-101P0.20.50.3(2)由題設,Y的可能取值為-2,-1,0,1,2,P(Y=-2)=0.2×0.2=0.04,P(Y=-1)=0.2×0.5+0.5×0.2=0.2,P(Y=0)=0.2×0.3+0.3×0.2+0.5×0.5=0.37,P(Y=1)=0.5×0.3+0.3×0.5=0.3,P(Y=2)=0.3×0.3=0.09.Y的概率分布列為Y-2-1012P0.040.20.370.30.09(3)由(2)得EY=-2×0.04+(-1)×0.2+0×0.37+1×0.3+2×0.09=0.2.DY=(-2-0.2)2×0.04+(-1-0.2)2×0.2+(0-0.2)2×0.37+(1-0.2)2×0.3+(2-0.2)2×0.09=4.84×0.04+1.44×0.2+0.04×0.37+0.64×0.3+3.24×0.09=0.98.16.解(1)由已知條件有P(X<300)=0.3,P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4,P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2,P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1.所以Y的分布列為Y02610P0.30.40.20.1于是,EY=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3,DY=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0