現(xiàn)代控制理論課后習題答案

精心整理精心整理精心整理精心整理精心整理精心整理緒論為了幫助大家在期末復習中能更全面地掌握書中知識點，并且在以后參加考研考博考試直到工作中，為大家提供一個理論參考依據(jù)，我們11級自動化二班的同學們在王整風教授的帶領(lǐng)下合力編寫了這本《現(xiàn)代控制理論習題集》（劉豹第三版），希望大家好好利用這本輔助工具。根據(jù)老師要求，本次任務分組化，責任到個人。我們班整體分為五大組，每組負責整理一章習題，每個人的任務由組長具體分配，一個人大概分1~2道題，每個人任務雖然不算多，但也給同學們提出了要求：1.寫清題號，抄題，畫圖（用CAD或word畫）。2.題解詳略得當，老師要求的步驟必須寫上。3.遇到一題多解，要盡量寫出多種方法。本習題集貫穿全書，為大家展示了控制理論的基礎(chǔ)、性質(zhì)和控制一個動態(tài)系統(tǒng)的四個基本步驟，即建模、系統(tǒng)辨識、信號處理、綜合控制輸入。我們緊貼原課本，強調(diào)運用統(tǒng)一、聯(lián)系的方法分析處理每一道題，將各章節(jié)的知識點都有機地整合在一起，力爭做到了對控制理論概念闡述明確，給每道題的解析賦予了較強的物理概念及工程背景。在課后題中出現(xiàn)的本章節(jié)重難點部分，我們加上了必要的文字和圖例說明，讓讀者感覺每一題都思路清晰，簡單明了，由于我們給習題配以多種解法，更有助于發(fā)散大家的思維，做到舉一反三！這本書是由11級自動化二班《現(xiàn)代控制理論》授課老師王整風教授全程監(jiān)管，魏琳琳同學負責分組和發(fā)布任務書，由五個小組組組長李卓鈺、程俊輝、林玉松、王亞楠、張寶峰負責自己章節(jié)的初步審核，然后匯總到胡玉皓同學那里，并由他做最后的總審核工作，緒論是段培龍同學和付博同學共同編寫的。本書耗時兩周，在同學的共同努力下完成，是二班大家庭里又一份智慧和努力的結(jié)晶，望大家能夠合理使用，如發(fā)現(xiàn)錯誤請及時通知，歡迎大家的批評指正！2014年6月2日第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式1-1試求圖1-27系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖，并建立其狀態(tài)空間表達式解：系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖如下：系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下：令，則所以，系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式及輸出方程表達式為1-2有電路如圖1-28所示。以電壓為輸入量，求以電感中的電流和電容上的電壓作為狀態(tài)變量的狀態(tài)方程，和以電阻上的電壓作為輸出量的輸出方程。解：由圖，令，輸出量有電路原理可知：既得寫成矢量矩陣形式為：1-3有機械系統(tǒng)如圖1.29所示,M1和M2分別受外力f1和f2的作用.求以M1和M2的運動速度為輸出的狀態(tài)空間表達式.K1K2B2f1(t)K1K2B2f1(t)M1M2B1\y2c2y1c1f2(t)解:以彈簧的伸長度y1，y2質(zhì)量塊M1，M2的速率c1，c2作為狀態(tài)變量即x1=y1，x2=y2，x3=c1，x4=c2根據(jù)牛頓定律，對M1有：M1=f1-k1(y1-y2)-B1(c1-c2)對M2有：M2=f2+k1(y1-y2)+B1(c1-c2)-k2y2-B2c2將x1,x2,x3,x4代入上面兩個式子，得M1=f1-k1(x1-x2)-B1(x3-x4)M2=f2+k1(x1-x2)+B1(x3-x4)-k2x2-B2x4整理得=x3=x4=f1-x1+x2-x3+x4=f2+x1-x2+x3-x4輸出狀態(tài)空間表達式為y1=c1=x3y2=c2=x41-4兩輸入，，兩輸出，的系統(tǒng)，其模擬結(jié)構(gòu)圖如圖1-30所示，試求其狀態(tài)空間表達式和傳遞函數(shù)陣。解：系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式如下所示：1-5系統(tǒng)的動態(tài)特性由下列微分方程描述列寫其相應的狀態(tài)空間表達式，并畫出相應的的模擬結(jié)構(gòu)圖。解:由微分方程得：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為W（s）=則狀態(tài)空間表達式為：相應的模擬結(jié)構(gòu)圖如下：x1X2U 7251x1X2U 72513y3y解：由微分方程得：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為W（s）=則狀態(tài)空間表達式為：相應的模擬結(jié)構(gòu)圖如下：1-6已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)(1)(2),試求出系統(tǒng)的約旦標準型的實現(xiàn)，并畫出相應的模擬結(jié)構(gòu)圖解：(1)由可得到系統(tǒng)表達式為X1X2X3X1X2X3(2)yX1X2X3X4uyX1X2X3X4u1-7給定下列狀態(tài)空間表達式畫出其模擬結(jié)構(gòu)圖求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)解：求下列矩陣的特征矢量：A=解：A的特征方程：===0解之得：=-2+j，=-2-j;當=-2+j時，=（-2+j)解得：=-j,令=1，得=；當=-2-j時，=（-2-j)解得：=-j,令=1，得=（2）A=解：A的特征方程：===0解之得：=-2，=-3;當=-2時，=-2解得：=-2,令=1，得=；當=-3時，=-3解得：=-3,令=1，得= （3）解：A的特征方程解之得：當時，解得：令得（或令，得）當時，解得：令得（或令，得）當時，解得：令得（4）解：A的特征方程解之得：當時，解得：令得當時，解得：令得當時，解得：令得1-9.試將下列狀態(tài)空間表達式化成約旦標準型。=+uy=x解：A的特征方程==0解得=-1或=-3當=-1時，=-解之得P11=P21,令P11=1，得P1=當=-3時=-3解之得P21=-P22，令P21=1，得P2=故T=,=,則=,=,CT=,故約旦標準型為=Z，y=Z=+u=解：A的特征方程===0解得=3，=1當=3時特征向量：=3解之得P12=P21=P31，令P11=1，得P1=當2=3時的廣義特征向量，=3+解之得P12=P22+1，P22=P32，令P12=1，得P2=當=1時=解之得P13=0，P23=2P33，令P33=1，的P3=故T=，=AT=B=CT=故約旦標準型為=X+uY=X1—10.已知兩子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣和分別為：==試求兩子系統(tǒng)串聯(lián)連接時系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，并討論所得結(jié)果。解：兩子系統(tǒng)串聯(lián)聯(lián)接時，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣W(s)=,得W(s)==兩子系統(tǒng)并聯(lián)聯(lián)接時，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣W(s)=+,得W(s)=+=串聯(lián)聯(lián)接時，由于前一環(huán)節(jié)的輸出為后一環(huán)節(jié)的輸入，串聯(lián)后等效非線性環(huán)節(jié)特性與兩環(huán)節(jié)的先后次序有關(guān)，故改變向后次序等效特性會發(fā)生改變。并聯(lián)聯(lián)接時，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣為兩系統(tǒng)單獨作用后的疊加。1-11已知如圖1-22（見教材47頁）所示的系統(tǒng)，其中子系統(tǒng)1、2的傳遞函數(shù)陣分別為求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)陣。解：1-12已知差分方程為：試將其用離散狀態(tài)空間表達式表示，并使驅(qū)動函數(shù)u的系數(shù)b(即控制列陣)為解：由差分方程得傳遞函數(shù)化為并聯(lián)型：化為能控標準型：第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解試證明同維方陣A和B，當AB=BA時，=，而當ABBA時，。證明：由矩陣指數(shù)函數(shù)=可得：====將以上兩個式子相減，得：-=顯然，只有當時，才有-=0，即=；否則。試證本章2.2節(jié)中幾個特殊矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)式（2.17），式（2.18），式（2.19）和式（2.20）成立。證明：（1）式（2.17）由矩陣指數(shù)函數(shù)=可得：===即得證。（2）式（2.18）由矩陣指數(shù)函數(shù)=可知，若存在非奇異變換陣，使得，則，且是特征根可知==即得證。（3）式（2.19）若為約旦矩陣，==由矩陣指數(shù)函數(shù)==，則=，=，，將以上所求得的、、、代入式，令=，則第塊的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣：===，即得證。（4）式（2.20）拉式反變換法證明：由，得：，=則狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為：=由歐拉公式得：=即得證。2-3已知矩陣A=試用拉氏反變換法求。（與例2-3、例2-7的結(jié)果驗證）解：由=轉(zhuǎn)化成部分分式為：=又由拉氏反變換得：=用三種方法計算以下矩陣指數(shù)函數(shù)。（1）A=（2）A=解：（1）方法一：約旦標準型由A=，令=0，即，得，解得=，由可得=1\*GB3①當時，設(shè)=由，得，解得即=2\*GB3②當時，設(shè)=由，得，解得即變換矩陣,則，矩陣指數(shù)函數(shù)===方法二定義法由已知得方法三：凱萊-哈密頓定理由A=，令=0，即，得，解得：特征根=，則===則，矩陣指數(shù)函數(shù)=+=（2）方法一：約旦標準型由A=，令=0，即，得，解得=，由可得=1\*GB3①當時，設(shè)=由，得，解得即=2\*GB3②當時，設(shè)=由，得，解得即變換矩陣,則，矩陣指數(shù)函數(shù)===方法二：拉式反變換法由=，得：==則，矩陣指數(shù)函數(shù)=方法三：凱萊-哈密頓定理由A=，令=0，即，得，解得=，則===則，矩陣指數(shù)函數(shù)=+=2-5下列矩陣是否滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件，如果滿足，試求與之對應的A陣。（1）=（2）=（3）=（4）解：(1)因為，所以該矩陣不滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件（2）因為，所以該矩陣滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件則（3）因為，所以該矩陣滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件則（4）因為，所以該矩陣滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件則2-6求下列狀態(tài)空間表達式的解：=初始狀態(tài)，輸出是單位階躍函數(shù)。解：系統(tǒng)矩陣:特征多項式為:因為，所以2-7試證明本章2.3節(jié)，在特定控制作用下，狀態(tài)方程式（2.25）的解、式（2.30）、式（2.31）和式（2.32）成立。證明：（1）采用類似標量微分方程求解的方法，則有：等式兩邊同乘，得：即對上式在[,t]上積分，有：整理后可得式：（2）脈沖響應：=K，時，由狀態(tài)方程解為：把帶入，有帶入，有（考慮到函數(shù)的特點）（3）階躍響應：由狀態(tài)方程解為：把帶入，有，積分，由上式得:===（4）斜坡響應：由狀態(tài)方程解為：把，代入，有====2-8計算下列線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和。==解：由題意知：=====即：和是可以交換的由：得：==+++=由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的基本性質(zhì)：=，得：==而=====即：和是可以交換的由：得：===+++=由題意知：=====即：和是可以交換的由：得：==+++=由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的基本性質(zhì)：=，得：==而=====即：和是可以交換的由：得：===+++=2-9有系統(tǒng)如圖2.2所示，試求離散化的狀態(tài)空間表達式。設(shè)采樣周期分別為=0.1s和1s,而和為分段常數(shù)。解：圖2.2系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解：將此圖化成模擬結(jié)構(gòu)圖列寫狀態(tài)方程為：可表示為：則離散化的時間狀態(tài)空間表達式為：由和得：系統(tǒng)的個矩陣為：當T=0.1s時，有當T=1s時，有2-10有離散時間系統(tǒng)如下，求=，輸入是斜坡函數(shù)采樣而來，是從同步采樣而來。解：由題易得將G變換為對角型令：可得：即：特征方程解得分別令可得特征矢量即轉(zhuǎn)移矩陣為則則設(shè)則可得則運用遞推法某離散時間系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖2.3所示。1(s+1)(s+2)r(t)+-圖2.3離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖寫出系統(tǒng)的離散狀態(tài)方程。當采樣周期=0.1s時的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。輸入為單位階躍函數(shù)，初始條件為零的離散輸出。=0.25s時刻的輸出值。解：(1)系統(tǒng)中連續(xù)時間被控對象的時間函數(shù)為：==連續(xù)時間被控對象的狀態(tài)空間表達式為：即：=+輸出方程為：========則，被控對象的離散化狀態(tài)方程為：=+(2)由(1)得當T=0.1s時===(3)由題意知=1，T=0.1s=+初始條件為零，即：，當k=0時，=當k=1時，=+=當k=2時，=+=系統(tǒng)的離散化輸出為：======當t=0.25s時，==第三章線性控制系統(tǒng)的能控性與能觀性3-1判別下列系統(tǒng)的能控性與能觀性。系統(tǒng)中a,b,c,d的取值與能控性能觀性是否有關(guān)，若有關(guān)其取值條件如何?（1）由解：由圖可得：狀態(tài)空間表達式為：由于、、與無關(guān)，因而狀態(tài)不能完全能控，為不能控系統(tǒng)。由于只與有關(guān)，因而系統(tǒng)為不完全能觀的，為不能觀系統(tǒng)。此可知系統(tǒng)中的a,b,c,d的取值對系統(tǒng)的能控性和能觀性沒有影響（2）由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖可以知道其狀態(tài)空間表達式為則由此可知若系統(tǒng)可控則同理可知若系統(tǒng)能觀則（3）系統(tǒng)如下式:解：如狀態(tài)方程與輸出方程所示，A為約旦標準型，要使系統(tǒng)能控，控制系統(tǒng)b中相對于約旦塊的最后一行元素不能為0,故有,。要使系統(tǒng)能觀，則C中對應于約旦塊的第一列元素不全為0，故有，。3-2時不變系統(tǒng)：=x+y=試用兩種方法判別其能控性與能觀性。解：一、(1)變換為約旦型==-1=+8=0當時由得令則得當時由得令則得則其逆矩陣則因為有一行元素為零所以系統(tǒng)不能控。(2)由已知轉(zhuǎn)換矩陣則因為CT沒有全為0的列所以系統(tǒng)是能觀的。二、(1)能控性判別由能控判別陣M=（b,Ab）因為，所以所以M所有二階式全為0且rankM<2則系統(tǒng)不能控（2）能觀性判別由能觀判別陣因為所以因為N的所有二階式全不為0且rankN=2則滿秩所以系統(tǒng)是能觀的。3-3確定是下列系統(tǒng)為狀態(tài)完全能控和狀態(tài)完全能觀的系統(tǒng)。解：構(gòu)造能控陣：要使系統(tǒng)完全能控，則，即構(gòu)造能觀陣：要使觀，則，即，，解：由題知得：構(gòu)建能控判別陣：構(gòu)建能觀判別陣：由于該系統(tǒng)狀態(tài)完全能控和狀態(tài)完全能觀。所以：所以滿足題意的取值為：，，解：由題知得：構(gòu)建能控判別陣：構(gòu)建能觀判別陣：由于該系統(tǒng)狀態(tài)完全能控和狀態(tài)完全能觀。所以：所以滿足題意的取值為：3-4線性系統(tǒng)傳遞函為：試確定的值，是系統(tǒng)為不能控不能觀的。在上述的取值下，求使系統(tǒng)為能控能狀態(tài)空間表達式。在上述的取值下，求使系統(tǒng)為能觀的狀態(tài)空間表達式。解.（1）系統(tǒng)能控且能觀的條件為W(s)沒有零極點對消。因此當a=1,或a=3或a=6時，系統(tǒng)為不能控或不能觀。（2）當a=1或a=3或a=6時，將系統(tǒng)化為能控標準=1\*ROMANI型：（3）根據(jù)對偶原理，當a=1或a=3或a=6時，系統(tǒng)的能觀標準=2\*ROMANII型為：3-5試證明對于單輸入的離散時間定常系統(tǒng)r=（G，h），只要它是完全能控的，那么對于任意給定的非零初始狀態(tài)x0，都可以在不超過n個采樣周期的時間內(nèi)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間原點。證明：離散時間定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程：初始狀態(tài)為x0，則方程的解：當k=0時當k=2時…當k=n時因為系統(tǒng)能控所以能控判別陣M滿秩則有解即因為所以x(n)=0則該系統(tǒng)在不超過n個采樣周期內(nèi)，由任意給定的非零初始狀態(tài)x0轉(zhuǎn)移到了狀態(tài)空間原點。3-6已知系統(tǒng)的微分方程為：試寫出其對偶系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式及其傳遞函數(shù)。解：有微分方程可寫出系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程，可求得其對偶系統(tǒng)，，所以其對偶系統(tǒng)的狀態(tài)方程為，及其傳遞函數(shù)，3-7已知能控系統(tǒng)的狀態(tài)方程A，b陣為：，試將該狀態(tài)方程變換為能控標準型。解：易得，即系統(tǒng)是能控的再由，求得，,所以，變換矩陣為：，可求得，所以能控標準型為：3-8已知能觀系統(tǒng)的A，b,c陣為：，，試將該狀態(tài)空間表達式變換為能觀標準型。解：易得,即系統(tǒng)能觀。再由可求得，，所以，變換陣為可求得，所以，能觀標準型為：3-9已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為試求其能控標準型和能觀標準型。解：可得系統(tǒng)的能控標準I型為又因為系統(tǒng)能控標準I型與能觀標準II型對偶得能觀標準II型為3-10給定下列狀態(tài)空間方程，試判別其是否變換為能控和能觀標準型。解：3—11試將下列系統(tǒng)按能控性進行結(jié)構(gòu)分解（1）A＝，b＝，c＝（2）A＝，b＝，c＝解：（1）構(gòu)造能控判別矩陣M＝[b，Ab，A2b]＝，易知rank（M）＝2＜3，故系統(tǒng)不完全能控。構(gòu)造奇異變換陣Rc，R1＝b＝R2＝Ab＝R3＝其中R3任意的，只需滿足Rc滿秩即Rc＝，則有RＣ－１＝，可得＝RＣ－１ARc＝＝＝RＣ－１b＝，故系統(tǒng)分解為兩部分二維能控子系統(tǒng)一維不能控子系統(tǒng)（2）構(gòu)造能控判別矩陣M＝[b，Ab，A2b]＝，易知rank（M）＝2＜3，故系統(tǒng)不完全能控。構(gòu)造奇異變換陣Rc，R1＝，R2＝，R3＝，則Rc＝，RＣ－１＝，可得＝＝＝RＣ－１b＝＝＝cRc＝故系統(tǒng)分解為兩部分二維能控子系統(tǒng)一維不能控子系統(tǒng)3-12試將下列系統(tǒng)按能觀性進行結(jié)構(gòu)分解。（1）解：（1）由已知得則有能能觀性判別陣rankN=2<3，該系統(tǒng)不能觀構(gòu)造非奇異變換矩陣，有則（2），，解：系統(tǒng)的能觀性判別矩陣，rankN=2<3，系統(tǒng)不完全能觀存在非奇異變換陣：，所以，存在二維能觀子系統(tǒng)：一維不能觀子系統(tǒng)：3-13試將下列系統(tǒng)按能控性和能觀性進行結(jié)構(gòu)分解。（1）解：由已知得rankM=3，則系統(tǒng)能控rankN=3，則系統(tǒng)能觀所以此系統(tǒng)為能控并且能觀系統(tǒng)取，則則，，（2），，解：系統(tǒng)的能控性判別陣M:rankM=2<4，系統(tǒng)不完全能控存在非奇異變換陣：，所以，按能控性可分解為，能控子系統(tǒng)：不能控子系統(tǒng)：對能控子系統(tǒng)進行能觀分解，，，能觀判別陣：rank=1<2,系統(tǒng)不完全能觀，存在非奇異變換陣：，所以，=1\*GB3①能控能觀子系統(tǒng)：=2\*GB3②能控不能觀子系統(tǒng)：對不能控子系統(tǒng)進行能觀分解：，能觀判別陣：rank=1<2，系統(tǒng)不完全能觀，存在非奇異變換陣:，所以，=3\*GB3③不能控能觀子系統(tǒng)：=4\*GB3④不能控不能觀子系統(tǒng)：3--14、求下列傳遞函數(shù)陣的最小實現(xiàn)：解：（1）.W（s）的各元Wik(s)為嚴格真有理分式，其實現(xiàn)Σ具有（A,B,C）的形式，則有：C（sI-A）-1B=W(s)將C（sI-A）-1B寫成按s降冪排列的格式：可得：a0=1，可得到能控標準型的各系數(shù)陣：，，該能控標準型的能觀性判別矩陣N為：，rankN=1則該能控標準型不完全能觀，即該能控標準型不是最小系統(tǒng)。構(gòu)造變換陣R0-1，將系統(tǒng)按能觀性分解：取，則有，則，W（s)的最小實現(xiàn)為：，，（2).W（s）的各元Wik(s)為嚴格真有理分式，其實現(xiàn)Σ具有（A,B,C）的形式，則有：C（sI-A）-1B=W(s)將C（sI-A）-1B寫成按s降冪排列的格式：可得：a0=a1=a2=0，,,可得到能控標準型的各系數(shù)陣：，，該能控標準型的能觀性判別矩陣N為：，rankN=3<6,則該能控標準型不完全能觀，即該能控標準型不是最小系統(tǒng)。構(gòu)造變換陣R0-1，將系統(tǒng)按能觀性分解：取，則有，則，W（s)的最小實現(xiàn)為：，，3-15設(shè)和是兩個能控且能觀的系統(tǒng)（1）試分析由和所組成的串聯(lián)系統(tǒng)的能控性和能觀性，并寫出其傳遞函數(shù)；（2）試分析由和所組成的并聯(lián)系統(tǒng)的能控性和能觀性，并寫出其傳遞函數(shù)。解：（1）和串聯(lián)當?shù)妮敵鍪堑妮斎霑r，，則rankM=2<3，所以系統(tǒng)不完全能控。當?shù)幂敵鍪堑妮斎霑r，因為rankM=3則系統(tǒng)能控因為rankN=2<3則系統(tǒng)不能觀（2）和并聯(lián)，因為rankM=3，所以系統(tǒng)完全能控3-16從傳遞函數(shù)是否出現(xiàn)零極點對消現(xiàn)象出發(fā)，說明圖3.18中閉環(huán)系統(tǒng)的能控性與能觀性和開環(huán)系統(tǒng)的能控性和能觀性是一致的。圖3.18系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解：設(shè)W0(s)=(mn)若系統(tǒng)不能控或（和）不能觀，則W0(s)有零極點相消，即與有公因子。若系統(tǒng)能控且能觀，而無零極點對消，閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為Wf(s)=顯然Wf(s)和W0(s)能相消的零極點是相同的。所以圖中開環(huán)及閉環(huán)系統(tǒng)為能控、能觀性一致。第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法4-1判斷下列二次型函數(shù)的符號性質(zhì)：（1）Q（x）=-x12-3x22-11x32+2x1x2-x2x3-2x1x3（2）Q（x）=x12+4x22+x32-2x1x2-6x2x3-2x1x3解：（1）Q（x）=xTQ（x）=xTx=xTPx，由于P的2階主子行列式都大于零，而1、3階主子行列式小于零，故為負定函數(shù)。（2）Q（x）=xTx=xTPx，由于P的1、2階主子行列式都大于零，而3階主子行列式小于零，故為非定號性函數(shù)。4-2已知二階系統(tǒng)的狀態(tài)方程：試確定系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處大范圍漸進穩(wěn)定的條件。解：方法（1）：要使系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處大范圍漸進穩(wěn)定，則要求滿足A的特征值均具有負實部。即：有解，且解具有負實部。即：方法（2）：系統(tǒng)的原點平衡狀態(tài)為大范圍漸近穩(wěn)定，等價于。取，令，則帶入，得到若，則此方程組有唯一解。即其中要求正定，則要求因此，且4-3以李雅普諾夫第二法確定下列系統(tǒng)原點的穩(wěn)定性。（1）（2）解：（1）系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)是。選取標準二次型函數(shù)為李雅普諾夫函數(shù)，即，則=<0是負定的，且，有。故系統(tǒng)在原點處為大范圍漸近穩(wěn)定。（2）系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)是。選取標準二次型函數(shù)為李雅普諾夫函數(shù)，即，則是負定的，且，有。故系統(tǒng)在原點處為大范圍漸近穩(wěn)定。4-4下列是描述兩種生物個數(shù)的瓦爾特拉方程：試中，，分別表示兩種生物的個數(shù)；，，為非0的實數(shù)：確定系統(tǒng)的平衡點。在平衡點附近進行線性化，并討論平衡點的穩(wěn)定性。解：令當當在出線性化得A=其特征值當時。系統(tǒng)在平衡點。當時，系統(tǒng)在平衡點在，其特征值若同號，實部位一正一負。系統(tǒng)不穩(wěn)定。若異號，實部為0.系統(tǒng)不穩(wěn)定。4-5試求下列非線性微分方程：的平衡點，然后對各平衡點進行線性化，并討論平衡點的穩(wěn)定性。解：令則或即系統(tǒng)有兩個平衡點(k=0,1,2…n)(k=0,1,2…n)對進行線性化有:即A=特征方程det=()+1=0則==全部有負實部則系統(tǒng)在處穩(wěn)定（2）對進行線性化有：得A=特征方程det=-1=0則有==有正實部，因此系統(tǒng)在處不穩(wěn)定。4-6設(shè)非線性系統(tǒng)狀態(tài)方程為：試確定平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解：若采用克拉索夫斯基法，則依題意有：取很明顯，的符號無法確定，故改用李雅普諾夫第二法。選取Lyapunov函數(shù)為，則是負定的。，有。即系統(tǒng)在原點處大范圍漸近穩(wěn)定。4－7設(shè)線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為:x1(k+1)=x1(k)+3x2(k)x2(k+1)=－3x1(k)－2x2(k)－3x3(k)x3(k+1)=x1(k)試確定平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解: 由題可知，G＝,系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為坐標原點。對于任意給定的正定實對稱矩陣Q，取Q＝I，由公式GTPG－P＝－I，解出實對稱矩陣P，判斷其是否正定，從而得出穩(wěn)定性的結(jié)論。GＴ＝，P＝，則－＝－解得P＝由希爾維斯特判據(jù)：＝P11＝－19/78＜0，＝531/6084＞0，－0.90308＜0?？芍狿不滿足條件，故系統(tǒng)在平衡狀態(tài)不穩(wěn)定。4-8設(shè)線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：試求在平衡點=0處，系統(tǒng)漸進穩(wěn)定時k的取值范圍。解：已知,則設(shè)代入，得：展開化簡整理后得：可解出：要使P為正定的是對稱矩陣，必須滿足：系統(tǒng)在平衡點出才是大范圍漸近穩(wěn)定的。4-9設(shè)非線性狀態(tài)方程為:試用克拉索夫斯基法確定系統(tǒng)原點的穩(wěn)定性。解：（1）采用克拉索夫斯基法，依題意有：，有。取則，根據(jù)希爾維斯特判據(jù)，有：，的符號無法判斷。（2）李雅普諾夫方法：選取李雅普諾夫函數(shù)為，則是負定的，且，有。故系統(tǒng)在原點處為大范圍漸近穩(wěn)定。4-10已知非線性系統(tǒng)狀態(tài)方程試證明在時系統(tǒng)是最大范圍漸近穩(wěn)定的。 證明：系統(tǒng)的平衡狀態(tài)在坐標原點，由于，可取李雅普諾夫函數(shù)為由于，非正定，并且時，；時，，即對于或不恒為零，所以坐標原點是漸近穩(wěn)定的；由于，是大范圍漸近穩(wěn)定的，所以系統(tǒng)是最大范圍漸近穩(wěn)定的。4-11:設(shè)非線性系統(tǒng)：試用克拉索夫斯基法確定原點為大范圍漸進穩(wěn)定時，參數(shù)a和b的取值范圍。解：用克拉索夫斯基法，取P=I.4-12試用變量梯度法構(gòu)造下列系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)：解：（1）假設(shè)V(x)的梯度為：計算V(x)的導數(shù)為：選擇參數(shù)，試選于是得：顯然滿足旋度方程V(x)是正定的，因此在1-2x1x2>0即x1x2<的范圍內(nèi)，xe=0是漸進穩(wěn)定的。解題步驟a：假設(shè)V(x)的梯度.b:計算V(x)的導數(shù).c:選擇參數(shù),得：.d:根據(jù)選擇參數(shù)，重新寫出.e:根據(jù)公式得出.f:判斷是否正定，進而判斷穩(wěn)定性.第五章線性定常系統(tǒng)的綜合5-1已知系統(tǒng)狀態(tài)方程為：試設(shè)計一狀態(tài)反饋陣使閉環(huán)系統(tǒng)極點配置為-1，-2，-3。解：依題意有：，系統(tǒng)能控。加狀態(tài)反饋陣，，則閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式為：=給定的閉環(huán)極點為-1，-2，-3期望的特征多項式為：對應系數(shù)相等得：23，-50，-9即狀態(tài)反饋陣為：K=[23-50-9]5-2已知系統(tǒng)狀態(tài)方程為：試設(shè)計一狀態(tài)反饋陣使閉環(huán)系統(tǒng)極點配置為：-10，。解：依題意有：,=，rankM=3，系統(tǒng)能控。加狀態(tài)反饋陣，閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式為：=給定的閉環(huán)極點為：-10，期望的特征多項式為：對應系數(shù)相等得：-4，-1.2，-0.1即狀態(tài)反饋陣為：K=[-4-1.2-0.1]5-3有系統(tǒng)：畫出模擬結(jié)構(gòu)圖。若動態(tài)性能不滿足要求，可否任意配置極點？若指定極點為-3，-3，求狀態(tài)反饋陣。解（1）系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖如下：（2）系統(tǒng)采用狀態(tài)反饋任意配置極點的充要條件是系統(tǒng)完全能控。對于系統(tǒng)有：，系統(tǒng)能控，故若系統(tǒng)動態(tài)性能不滿足要求，可通過狀態(tài)反饋任意配置極點。故系統(tǒng)完全能觀，故若系統(tǒng)動態(tài)性能不滿足要求，可通過輸出反饋任意配置極點。加狀態(tài)反饋陣，則閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：=給定的閉環(huán)極點為：-3，-3期望的特征多項式為：對應系數(shù)相等得：-1,-3即狀態(tài)反饋陣為：K=[-1-3]5-4設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為試問能否利用狀態(tài)反饋將傳遞函數(shù)變成若有可能，試求出狀態(tài)反饋，并畫出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。解：由于傳遞函數(shù)無零極點對消，因此系統(tǒng)為能控且能觀。能控標準I型為令為狀態(tài)反饋陣，則閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式為=由于狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的零點，根據(jù)題意，配置極點應為-2，-2，-3，得期望特征多項式為:比