2024學年黔西南州金成實驗高二數學上學期第二次質檢試卷及答案解析

學年黔西南州金成實驗高二數學上學期第二次質檢試卷答卷注意事項：學生必須用黑色（或藍色）鋼筆、圓珠筆或簽字筆在試卷上答題。填涂答題卡必須使用2B鉛筆填涂。答題時字跡要清楚、工整本卷共19小題，總分為150分。一、單選題（共40分）1．（本題5分）已知空間向量，，且，則（

）A． B．16 C．4 D．2．（本題5分）已知圓：，圓：，則兩圓的公共弦所在直線的方程為（

）A． B．C． D．3．（本題5分）已知圓與圓關于直線對稱，則的方程為（

）A． B．C． D．4．（本題5分）已知圓，直線經過點，且與圓相切，則的方程為（

）A． B． C． D．5．（本題5分）一動圓與圓外切，同時與圓內切，則動圓圓心的軌跡方程為（

）A． B．C． D．6．（本題5分）經過橢圓的右焦點的直線交橢圓于，兩點，是橢圓的左焦點，則的周長是（

）A．8 B．9 C．10 D．207．（本題5分）已知是橢圓的兩個焦點，點在上，且，則的面積為（

）A．3 B．4 C．6 D．108．（本題5分）已知雙曲線的左焦點為，為坐標原點，若在的右支上存在關于軸對稱的兩點，使得為正三角形，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題（共18分）9．（本題6分）已知雙曲線，下列選項正確的是（

）A．雙曲線的漸近線方程為B．雙曲線的實軸長為8C．雙曲線的焦距為D．雙曲線的離心率為10．（本題6分）已知圓，點是圓上的點，直線，則（

）A．直線與圓相交弦長B．的最大值是C．圓上恰有3個點到直線的距離等于1D．過點向圓引切線，為切點，則最小值為11．（本題6分）下列說法正確的是（

）A．已知，則在上的投影向量為B．若是四面體的底面的重心，則C．若，則四點共面D．若向量（都是不共線的非零向量），則稱在基底下的坐標為，若在單位正交基底下的坐標為，則在基底下的坐標為三、填空題（共15分）12．（本題5分）已知橢圓的左、右焦點分別為，，橢圓上一點滿足，則線段．13．（本題5分）雙曲線C:x2a14．（本題5分）已知橢圓的左?右焦點分別為，，為橢圓上任意一點，為圓上任意一點，則的最小值為.四、解答題（共77分）15．（本題13分）已知方程.(1)若此方程表示圓，求實數m的取值范圍；(2)若m的值為（1）中能取到的最大整數，則得到的圓設為圓E，若圓E與圓F關于y軸對稱，設為圓F上任意一點，求到直線的距離的最大值和最小值.16．（本題15分）已知橢圓，(1)已知橢圓的一個焦點坐標為，且長軸長是短軸長的倍.求橢圓的方程；(2)已知橢圓的離心率為，直線與圓相切，求橢圓的方程；17．（本題15分）如圖，在多面體中，四邊形是邊長為3的正方形，，，且，，面，，為中點．

(1)若是中點，求證：面；(2)求平面與平面夾角的正弦值．18．（本題17分）已知橢圓長軸長為4，且橢圓的離心率，其左右焦點分別為．(1)求橢圓的方程；(2)設斜率為且過的直線與橢圓交于兩點，求的面積．19．（本題17分）已知雙曲線的虛軸長為2，且離心率為．(1)求的方程和焦點坐標；(2)設的右焦點為，過的直線交于兩點，若中點的橫坐標為3，求．高二數學期中考試答案一、單選題（共40分）1．（本題5分）已知空間向量，，且，則（

）A． B．16 C．4 D．【答案】A【分析】利用向量平行的關系計算未知數，然后求解即可.【詳解】由題可知，解得，所以.故選：A.2．（本題5分）已知圓：，圓：，則兩圓的公共弦所在直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據兩圓的公共弦所在直線的特點，兩圓方程相減即可得解.【詳解】圓：，圓：兩圓方程相減得公共弦所在直線的方程為：.故選：B3．（本題5分）已知圓與圓關于直線對稱，則的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據對稱的性質，得到直線過的中點且與垂直，結合垂直的斜率結論可解.【詳解】圓的圓心為，圓的圓心為，所以線段的中點坐標為，又，則，所以直線的方程為，即.故選：D.4．（本題5分）已知圓，直線經過點，且與圓相切，則的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】點斜式設出方程，利用相切可求答案.【詳解】顯然斜率不存在時，不合題意；斜率存在時，設方程為，圓心到直線的距離為，因為與圓相切，所以，即，解得，即的方程為.故選：A5．（本題5分）一動圓與圓外切，同時與圓內切，則動圓圓心的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】計算兩個已知圓的圓心和半徑，根據圓的位置關系得到動圓圓心到兩已知圓圓心距離和為定值，結合橢圓的定義即可得到結果.【詳解】圓可化為，圓心，半徑為.圓可化為，圓心，半徑為.設動圓圓心為點，半徑為，圓與圓外切于點，圓與圓內切于點，如圖所示：由題意得，三點共線，三點共線，，，∴，∴點的軌跡為以為焦點的橢圓，且，，∴，∴點的軌跡方程為.故選：C.6．（本題5分）經過橢圓的右焦點的直線交橢圓于，兩點，是橢圓的左焦點，則的周長是（

）A．8 B．9 C．10 D．20【答案】D【分析】為焦點三角形，周長等于兩個長軸長，再根據橢圓方程，即可求出的周長．【詳解】為橢圓的兩個焦點，，的周長為．故選：D．7．（本題5分）已知是橢圓的兩個焦點，點在上，且，則的面積為（

）A．3 B．4 C．6 D．10【答案】C【分析】由橢圓定義和得到，結合，由余弦定理得，進而得到正弦值，利用三角形面積公式求出答案.【詳解】由橢圓定義可得，故，又，則由余弦定理得，故，故.故選：C8．（本題5分）已知雙曲線的左焦點為，為坐標原點，若在的右支上存在關于軸對稱的兩點，使得為正三角形，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據條件，利用幾何關系得到，又，得到，再結合雙曲線的定義得到，即可求解.【詳解】設雙曲線的焦距為，右焦點為，直線交于點，連接，因為為正三角形，，所以為的中點，所以，故，易知，所以，由雙曲線的定義知，即，得.故選：D．二、多選題（共18分）9．（本題6分）已知雙曲線，下列選項正確的是（

）A．雙曲線的漸近線方程為B．雙曲線的實軸長為8C．雙曲線的焦距為D．雙曲線的離心率為【答案】BD【分析】由雙曲線方程可得、，即可得，即可得雙曲線的漸近線方程、實軸長、焦距與離心率.【詳解】因為，，焦點在軸上，所以雙曲線的漸近線方程為，實軸長為8，故A錯誤，B正確；因為，所以雙曲線的焦距為，離心率為，故C錯誤，D正確．故選：BD.10．（本題6分）已知圓，點是圓上的點，直線，則（

）A．直線與圓相交弦長B．的最大值是C．圓上恰有3個點到直線的距離等于1D．過點向圓引切線，為切點，則最小值為【答案】ACD【分析】根據點到直線的距離判斷弦長及圓上的點到直線的距離，根據的幾何意義可得最值，再根據切線長的計算公式可得最值.【詳解】如圖所示，由已知圓，則圓心，半徑，A選項：圓心到直線的距離，則弦長為，A選項正確；B選項：可表示點與點連線的斜率，易知當直線與圓相切時，斜率取得最值，設斜率，則直線，即，則，解得，所以，其最大值為，錯誤；C選項：，，所以圓上恰有個點到直線的距離等于，正確；D選項：由圓可知圓心，半徑，由切線長可知，所以當取得最小值時，取最小值，又，即的最小值為，所以的最小值為，D選項正確；故選：ACD.11．（本題6分）下列說法正確的是（

）A．已知，則在上的投影向量為B．若是四面體的底面的重心，則C．若，則四點共面D．若向量（都是不共線的非零向量），則稱在基底下的坐標為，若在單位正交基底下的坐標為，則在基底下的坐標為【答案】BCD【分析】根據投影向量的定義結合空間向量的坐標運算求解即可判斷A，根據空間向量基本定理可判斷B，根據四點共面的結論可判斷C，根據空間向量基本定理分析可判斷D.【詳解】對于A：由于，則在的投影向量為，故A錯誤；對于B：由于點為的底面的重心，設點為的中點，故，整理得，故，故，故B正確；對于C：對于，由于，故四點共面，故C正確；對于D：在單位正交基底下的坐標為，即，所以在基底下滿足，，整理得，解得，則在基底下的坐標為，故D正確；故選：BCD.三、填空題（共15分）12．（本題5分）已知橢圓的左、右焦點分別為，，橢圓上一點滿足，則線段．【答案】32/【分析】由已知可得點的橫坐標為，代入橢圓方程即可求得點坐標，得出結果.【詳解】因為橢圓，則，所以，，因為,所以點的橫坐標為，代入求得縱坐標為，即．故答案為：13．（本題5分）雙曲線C:x2a【答案】【分析】根據離心率求出的值，即可求出漸近線方程.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，又離心率，所以，則或（舍去），所以雙曲線的漸近線方程為.故答案為：14．（本題5分）已知橢圓的左?右焦點分別為，，為橢圓上任意一點，為圓上任意一點，則的最小值為.【答案】/【分析】根據橢圓定義可將轉化為，再根據可得的最小值為，結合兩點間距離公式即得答案.【詳解】由為橢圓上任意一點，則MF1又為圓上任意一點，則（當且僅當M、N、E共線時取等號），∴，當且僅當M、N、E、共線時等號成立.∵，，則，∴的最小值為．故答案為：．四、解答題（共77分）15．（本題13分）已知方程.(1)若此方程表示圓，求實數m的取值范圍；(2)若m的值為（1）中能取到的最大整數，則得到的圓設為圓E，若圓E與圓F關于y軸對稱，設為圓F上任意一點，求到直線的距離的最大值和最小值.【答案】(1)(2)最大值為，最小值【分析】（1）根據表示圓的限制條件可得實數m的取值范圍；（2）先確定圓E的方程，再利用對稱性得到圓F的方程，根據圓心到直線的距離可得答案.【詳解】（1）若此方程表示圓，則，解得，即實數m的取值范圍是；（2）由（1）可知，此時圓E：，圓心坐標為，半徑為1，因為圓F和圓E關于y軸對稱，所以圓F圓心坐標是，半徑是1，故圓F方程為，則圓心到直線的距離，故到直線的距離的最大值為，最小值.16．（本題15分）已知橢圓，(1)已知橢圓的一個焦點坐標為，且長軸長是短軸長的倍.求橢圓的方程；(2)已知橢圓的離心率為，直線與圓相切，求橢圓的方程；【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意結合橢圓中的關系即可求解；（2）由題意利用點到直線的距離可得，根據離心率公式可得，繼而即可求解.【詳解】（1）由題意得，解得，所以橢圓的方程為.（2）直線與圓相切，則圓心到直線的距離為，解得，由題意得，解得，所以橢圓的方程為.17．（本題15分）如圖，在多面體中，四邊形是邊長為3的正方形，，，且，，面，，為中點．

(1)若是中點，求證：面；(2)求平面與平面夾角的正弦值．【答案】(1)證明過程見解析(2)【分析】（1）作出輔助線，得到線面平行，進而證明出面面平行，即平面平面，證明出平面；（2）建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，求出兩平面的法向量，從而求出面面角的余弦值，進而得到正弦值.【詳解】（1）取的中點，連接，因為是中點，為中中點，，所以，，因為平面，平面，所以平面，同理可得平面，又，平面，故平面平面，又平面，所以平面；（2）因為面，平面，所以，又四邊形是邊長為3的正方形，⊥，故，，兩兩垂直，以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，因為，，所以四邊形為矩形，其中，，則，設平面的一個法向量為，則，解得，令，則，故，設平面的一個法向量為，則，解得，令，則，故，設平面與平面夾角為，則，所以，故平面與平面夾角的正弦值為.18．（本題17分）已知橢圓長軸長為4，且橢圓的離心率，其左右焦點分別為．(1)求橢圓的方程；(2)設斜率為且過的直線與橢圓交于兩點，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）由橢圓的基本性質得到橢圓的值，寫出橢圓方程.（2）寫出直線方程，聯立方程組，由韋達定理得到和，用交點弦長公式得到線段長，由點到直線距離得到三角形高，從而算出三角形面積.【詳解】（1）由題意可知：，則，∵，∴，∴，∴橢圓（2），∴直線：，聯立方程組得,設，則，點到直線的距離∴

19．（本題17分）已知雙曲線的虛軸