重慶市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

1PAGE第1頁(yè)重慶一中高2026屆高二上期期中考試數(shù)學(xué)試題卷注意事項(xiàng)：1．答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡規(guī)定的位置上．2．答選擇題時(shí)、必須使用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂需，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．3．答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上．4．所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無(wú)效．一、單選題（本大題共8個(gè)小題，每題只有一個(gè)選項(xiàng)正確，每小題5分，共40分）1.過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線與交于、兩點(diǎn)，則的最小值是（）A. B. C. D.2.若直線與直線平行，則的值為（）A B.或 C. D.3.將正奇數(shù)按照如圖排列，我們將……，都稱為“拐角數(shù)”，則下面是拐角數(shù)的為（）A.55 B.75 C.111 D.1354.數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則當(dāng)該數(shù)列的前n項(xiàng)和取得最小值時(shí)n的值為（）A.9 B.8 C.8或9 D.7或85.在四棱錐中，底面，底面是正方形，,，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.6.已知數(shù)列滿足：，對(duì)任意的、恒成立，若，則（）A. B. C. D.7.已知橢圓的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為A，在以點(diǎn)F為圓心，c為半徑的圓上存在點(diǎn)M，使得直線的斜率為，則橢圓C的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.8.已知數(shù)列滿足：對(duì)任意成立，令是數(shù)列的前n項(xiàng)和，若對(duì)任意的恒成立，則整數(shù)t的最小值為（）A.5 B.6 C.7 D.8二、多選題（本大題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知曲線，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上 B.若，則C是橢圓，其離心率為C.若，則C是雙曲線，其焦點(diǎn)在y軸上 D.若，則C是雙曲線，其離心率為10.已知數(shù)列滿足：，對(duì)任意的成立，，其前n項(xiàng)和記為，則（）A.是等比數(shù)列 B.是等差數(shù)列C. D.存在實(shí)數(shù)，使得為等比數(shù)列11.雙曲線具有以下光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)．由此可得：過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)的切線平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)C右支上一點(diǎn)作雙曲線的切線交x軸于點(diǎn)，則（）A.B.平面上點(diǎn)最小值為C.若經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)的入射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，且，則入射光線與反射光線的夾角為D.過(guò)點(diǎn)作，垂足為H，則三、填空題（本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分）12.已知實(shí)數(shù)，若圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，則的值為_(kāi)______．13.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則_______14.已知拋物線，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，若為定值，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)______．四、解答題（本大題共5個(gè)小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）15.已知為等差數(shù)列，其公差為，前項(xiàng)和為，為等比數(shù)列，其公比為，前項(xiàng)和為，若，，，．（1）求公差和；（2）記，證明：．16.如圖，點(diǎn)D在平面內(nèi)的射影點(diǎn)H在線段上，E為中點(diǎn)，F(xiàn)為中點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：,．（1）求；（2）若，求的前項(xiàng)和．18.已知的周長(zhǎng)為定值，、、，的最大值為．（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）為的左頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線與交于、兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，記直線的斜率為，的外心為，求的最大值．19.雙曲線離心率為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，斜率為的直線與雙曲線的右支交于、兩點(diǎn)，過(guò)作直線垂直于軸，交曲線的另外一個(gè)點(diǎn)為，過(guò)作平行于的直線交曲線的另外一個(gè)點(diǎn)為，以此類推，直線垂直于軸，直線平行于，得到點(diǎn)列；記點(diǎn)的坐標(biāo)為．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)，證明直線過(guò)定點(diǎn)；（3）若且為雙曲線右頂點(diǎn)，，記，求的值．重慶一中高2026屆高二上期期中考試數(shù)學(xué)試題卷一、單選題（本大題共8個(gè)小題，每題只有一個(gè)選項(xiàng)正確，每小題5分，共40分）1.【答案】D2.【答案】A3.【答案】C4.【答案】B5.【答案】A6.【答案】C7.【答案】C8.【答案】D二、多選題（本大題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.【答案】AD10.【答案】AC11.【答案】ABD三、填空題（本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分）12.【答案】13.【答案】14.【答案】四、解答題（本大題共5個(gè)小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）15.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，其公差為，前項(xiàng)和為，則，又因?yàn)?，，則，因?yàn)?，即，可得，解得，故，所以，，則，可得.綜上所述，.【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，所以，，因此，.16.【小問(wèn)1詳解】在中，由，得，則，由點(diǎn)D在平面內(nèi)的射影點(diǎn)H在線段上，得平面，平面，則，而平面，，于是平面，又平面，則，由E為中點(diǎn)，得，而平面，因此平面，又平面，所以平面平面.【小問(wèn)2詳解】在平面內(nèi)過(guò)作，由（1）知，平面，則直線兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由，得，，，則，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)平面與平面所成銳二面角大小為，則，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值是.17.【分析】（1）令，求出的值，當(dāng)時(shí)，由可得，作差可得，推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）對(duì)任意的，計(jì)算出，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的前項(xiàng)和，利用錯(cuò)位相減法結(jié)合分組求和可求得.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和滿足：，則，則，可得，當(dāng)時(shí)，由可得，上述兩個(gè)等式作差可得，可得，令，可得，則，解得，所以，，且，所以，數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為，所以，，故.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，?duì)任意的，，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的前項(xiàng)和，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則，上式下式得，化簡(jiǎn)得，因此，.18.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，，設(shè)，即，且，由三角形的三邊關(guān)系可得，則，由余弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)橛嘞液瘮?shù)在上為減函數(shù)，且，故當(dāng)取最大值時(shí)，取最小值，所以，，解得，所以，，因此，曲線是除去長(zhǎng)軸端點(diǎn)的橢圓，且其長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，焦距為，所以，，因此，動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為.【小問(wèn)2詳解】易知點(diǎn)，根據(jù)題意，設(shè)直線的方程為，其中，設(shè)點(diǎn)Mx1,聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，則，故點(diǎn)，所以，，線段的中點(diǎn)為，，所以，線段的中垂線方程為，同理可得，線段的中垂線方程為，其中，，聯(lián)立，可得，所以，，要求的最大值，只需考慮即可，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為.19.【解析】【分析】（1）利用雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離求出的值，結(jié)合離心率可得出的值，由此可得出該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線的方程為，由題意可知，，將直線的方程與雙曲線方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由對(duì)稱性知，直線過(guò)軸上的定點(diǎn)，求出直線的方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程，求出的值，即可證得結(jié)論成立；（3）將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理可得出，再結(jié)合，可得，推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該舒蕾的首項(xiàng)和公比，即可求得的值.【小問(wèn)1詳解】雙曲線的漸近線方程為，即，則該雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為，又因?yàn)?，可得，因此，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，則，若直線與軸重合，則與雙曲線的右支只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，由題意可知，，聯(lián)立可得，由題意可