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PAGE1專題4.5圖形的位似【十大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1辨別位似圖形】 2【題型2確定位似中心】 4【題型3由位似圖形的性質(zhì)判斷結(jié)論正誤】 6【題型4求位似圖形的相似比】 9【題型5畫位似圖形】 12【題型6求位似圖形的線段長度】 17【題型7求位似圖形的周長】 20【題型8求位似圖形的面積】 23【題型9求位似圖形的坐標(biāo)】 28【題型10與位似圖形相關(guān)的規(guī)律】 31知識(shí)點(diǎn):圖形的位似變換1.位似圖形:如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形,而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn),對(duì)應(yīng)邊互相平行,那么這兩個(gè)圖形叫做位似圖形,這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心,這時(shí)的相似比又稱為位似比。2.性質(zhì):在平面直角體系中,如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心,相似比為k,那么位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k。注意:a.位似是一種具有位置關(guān)系的相似,所以兩個(gè)圖形是位似圖形,必定是相似圖形,而相似圖形不一定是位似圖形;b.兩個(gè)位似圖形的位似中心只有一個(gè);c.兩個(gè)位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè),也可能位于位似中心的一側(cè);d.位似比就是相似比.利用位似圖形的定義可判斷兩個(gè)圖形是否位似;e.位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一直線上,它們到位似中心的距離之比等于相似比。位似多邊形的對(duì)應(yīng)邊平行或共線。位似可以將一個(gè)圖形放大或縮小。位似圖形的中心可以在任意的一點(diǎn),不過位似圖形也會(huì)隨著位似中心的位變而位變。f.根據(jù)一個(gè)位似中心可以作兩個(gè)關(guān)于已知圖形一定位似比的位似圖形,這兩個(gè)圖形分布在位似中心的兩側(cè),并且關(guān)于位似中心對(duì)稱?!绢}型1辨別位似圖形】【例1】(2024·河北廊坊·三模)在研究相似問題時(shí),嘉嘉和淇淇兩同學(xué)的觀點(diǎn)如下:嘉嘉:將邊長為1的正方形按圖1的方式向外擴(kuò)張,得到新正方形,它們的對(duì)應(yīng)邊間距為1,則新正方形與原正方形相似,同時(shí)也位似;淇淇:將邊長為1的正方形按圖2的方式向外擴(kuò)張,得到新正方形,每條對(duì)角線向其延長線兩個(gè)方向各延伸1,則新正方形與原正方形相似,同時(shí)也位似.對(duì)于兩人的觀點(diǎn),下列說法正確的是(
)
A.兩人都對(duì) B.兩人都不對(duì) C.嘉嘉對(duì),淇淇不對(duì) D.嘉嘉不對(duì),淇淇對(duì)【答案】A【分析】根據(jù)相似與位似的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】解:由題意知,嘉嘉向外擴(kuò)張得到的新的正方形的邊長為3,且仍為正方形,故新正方形與原正方形相似,同時(shí)也位似,位似中心為正方形對(duì)角線的交點(diǎn).淇淇向外擴(kuò)張得到的新的正方形的邊長為2+1故新正方形與原正方形相似,同時(shí)也位似,位似中心為正方形對(duì)角線的交點(diǎn).故兩人說法正確,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了相似與位似.解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用.【變式1-1】(2024·寧夏·中考真題)如圖,將三角尺直立舉起靠近墻面,打開手機(jī)手電筒照射三角尺,在墻面上形成影子.則三角尺與影子之間屬于以下哪種圖形變換(
)
A.平移 B.軸對(duì)稱 C.旋轉(zhuǎn) D.位似【答案】D【分析】根據(jù)位似的定義,即可解決問題.【詳解】根據(jù)位似的定義可知:三角尺與影子之間屬于位似.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了生活中位似的現(xiàn)象,解決本題的關(guān)鍵是熟記位似的定義.【變式1-2】(23-24九年級(jí)·山東煙臺(tái)·期末)視力表用來測(cè)試一個(gè)人的視力,如圖是視力表的一部分,圖中的“
”均是相似圖形,其中不是位似圖形的是(
)
A.①和② B.②和③ C.①和④ D.②和④【答案】B【分析】位似圖形必須同時(shí)滿足兩個(gè)條件:(1)兩個(gè)圖形是相似圖形;(2)兩個(gè)相似圖形每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線所在的直線都經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn),對(duì)應(yīng)邊互相平行(或共線),據(jù)此逐項(xiàng)判斷即可得.【詳解】解:A、①和②是位似圖形,則此項(xiàng)不符合題意;B、②和③對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線不在同一個(gè)點(diǎn),不是位似圖形,則此項(xiàng)符合題意;C、①和④是位似圖形,則此項(xiàng)不符合題意;D、②和④是位似圖形,則此項(xiàng)不符合題意;故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了位似圖形,熟記定義是解題關(guān)鍵.【變式1-3】(23-24九年級(jí)·全國·課后作業(yè))已知:△ABC∽△A′B′CA. B. C. D.【答案】D【分析】根據(jù)位似圖形的定義,如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形,而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn),對(duì)應(yīng)邊互相平行,那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形,進(jìn)而判斷得出答案.【詳解】解:A、△ABC與△A'B、△ABC與△A'C、△ABC與△A'D、△ABC與△A'B'C'故選:D.【點(diǎn)睛】此題主要考查了位似變換,正確把握位似圖形的定義是解題關(guān)鍵.【題型2確定位似中心】【例2】(23-24九年級(jí)·遼寧葫蘆島·期末)如圖,正方形網(wǎng)格圖中的△ABC與△A′BA.點(diǎn)D B.點(diǎn)E C.點(diǎn)F D.點(diǎn)G【答案】A【分析】本題考查了位似中心的確定,位似對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的交點(diǎn)即為位似中心即可.【詳解】根據(jù)題意,得位似中心為點(diǎn)D,故選A.【變式2-1】(23-24九年級(jí)·全國·課后作業(yè))用作位似圖形的辦法,可以將一個(gè)圖形放大或縮小,位似中心位置可選在(
)A.原圖形的外部 B.原圖形的內(nèi)部 C.原圖形的邊上 D.任意位置【答案】D【分析】畫一個(gè)圖形的位似圖形時(shí),位似中心的選取是任意的,這個(gè)點(diǎn)可以在圖形的內(nèi)部或外部或在圖形上,對(duì)于具體問題要考慮畫圖方便且符合要求.【詳解】畫一個(gè)圖形的位似圖形時(shí),位似中心的選取是任意的.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查圖形的位似,解題的關(guān)鍵是掌握位似圖形的性質(zhì)和畫法.【變式2-2】(2024·四川樂山·二模)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,陰影所示的兩個(gè)正方形是位似圖形,若位似中心在兩個(gè)正方形之間,則位似中心的坐標(biāo)為.
【答案】2【分析】連接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn),它們?cè)趦蓚€(gè)正方形之間相交于點(diǎn)P,則P點(diǎn)為位似中心,然后寫出P點(diǎn)坐標(biāo)即可.【詳解】解:如圖,點(diǎn)P為位似中心,P2
故答案為:2,【點(diǎn)睛】本題考查位似變換:位似的兩個(gè)圖形不僅是相似圖形,而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn),對(duì)應(yīng)邊互相平行(或共線),掌握位似變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【變式2-3】(2024九年級(jí)·浙江·專題練習(xí))下列圖形中位似中心在圖形上的是()A.B. C. D.【答案】B【分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)分別得出位似中心位置即可.【詳解】A、,位似中點(diǎn)在圖形內(nèi)部,不合題意;B、,位似中點(diǎn)在圖形上,符合題意;C、,位似中點(diǎn)在圖形外部,不合題意;D、,位似中點(diǎn)在圖形外部,不合題意;故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了位似變換,正確掌握位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.【題型3由位似圖形的性質(zhì)判斷結(jié)論正誤】【例3】(2024·浙江金華·一模)如圖,已知△ABC,任取一點(diǎn)O,連結(jié)AO、BO、CO,并取它們的中點(diǎn)D、E、F,得△DEF,則下列說法錯(cuò)誤的是()A.△ABC與△DEF是位似圖形 B.△ABC與△DEF是相似圖形C.△ABC與△DEF的面積之比為4:1 D.△ABC與△DEF的周長之比為4:1【答案】D【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì),得出△ABC與△DEF是位似圖形進(jìn)而根據(jù)位似圖形一定是相似圖形得出△ABC與△DEF是相似圖形,再根據(jù)周長比等于位似比,以及根據(jù)面積比等于相似比的平方,即可得出答案.【詳解】解:根據(jù)位似性質(zhì)可得:A、△ABC與△DEF是位似圖形,故本選項(xiàng)正確,不符合題意;△ABC與△DEF是相似圖形,故B選項(xiàng)正確,不符合題意;∵將△ABC的三邊縮小到原來的12∴△ABC與△DEF的周長之比為2:1,故D選項(xiàng)不正確,符合題意;∵面積比等于相似比的平方,∴△ABC與△DEF的面積之比為4:1,故C選項(xiàng)正確,不符合題意;故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了位似圖形的性質(zhì),正確的記憶位似圖形性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.【變式3-1】(23-24九年級(jí)·河南洛陽·期中)下列關(guān)于位似圖形的表述:①相似圖形一定是位似圖形,位似圖形一定是相似圖形;②位似圖形一定有位似中心;③如果兩個(gè)圖形是相似圖形,且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線所在的直線都經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn),這兩個(gè)圖形是位似圖形;④位似圖形上任意兩點(diǎn)與位似中心的距離之比等于相似比;⑤位似多邊形的對(duì)應(yīng)邊平行.其中正確命題的序號(hào)是(
)A.②③ B.③④ C.②③⑤ D.②③④【答案】A【分析】本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì),位似圖形的定義:如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形,而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn),對(duì)應(yīng)邊互相平行,那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形,這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心.注意:①兩個(gè)圖形必須是相似形;②對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過同一點(diǎn);③對(duì)應(yīng)邊平行.根據(jù)位似變換的概念和性質(zhì)對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】解:相似圖形不一定是位似圖形,位似圖形一定是相似圖形,①錯(cuò)誤,不符合題意;位似圖形一定有位似中心,②正確,符合題意;如果兩個(gè)圖形是相似圖形,且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線所在的直線都經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn),這兩個(gè)圖形是位似圖形,③正確,符合題意;位似圖形上對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)與位似中心的距離之比等于位似比,④錯(cuò)誤,不符合題意.位似多邊形的對(duì)應(yīng)邊平行,⑤錯(cuò)誤,不符合題意.故選:A.【變式3-2】(23-24九年級(jí)·全國·課后作業(yè))如圖,已知BC∥DE,則下列說法中不正確的是()A.兩個(gè)三角形是位似圖形B.點(diǎn)A是兩個(gè)三角形的位似中心C.AE︰AD是位似比D.點(diǎn)B與點(diǎn)E、點(diǎn)C與點(diǎn)D是對(duì)應(yīng)位似點(diǎn)【答案】C【詳解】∵BC∥DE,且CD與BE相交于點(diǎn)A,∴A、兩個(gè)三角形是位似圖形,正確,不合題意;B、點(diǎn)A是兩個(gè)三角形的位似中心,正確,不合題意;C、AE:AC是位似比,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤,符合題意;D、點(diǎn)B與點(diǎn)E,點(diǎn)C與點(diǎn)D是對(duì)應(yīng)位似點(diǎn),正確,不合題意,故選C.【變式3-3】(23-24九年級(jí)·安徽·期中)如圖,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A(1,2)、B(2,2)、C(2,1).以原點(diǎn)O為位似中心,將△ABC擴(kuò)大得到△A1B1C1,且△ABC與△A1B1C1的位似比為1:3.則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(
)A.△ABC∽△A1B1C1 B.△A1B1C1的周長為6+3C.△A1B1C1的面積為3 D.點(diǎn)B1的坐標(biāo)可能是(6,6)【答案】C【分析】根據(jù)位似圖的性質(zhì)可知,位似圖形也是相似圖形,周長比等于位似比,面積比等于位似比的平方,對(duì)應(yīng)邊之比等于位似比,據(jù)此判斷即可.【詳解】A.△ABC∽△A1B1C1,故A正確;B.由圖可知,AB=2-1=1,BC=2-1=1,AC=2,所以△ABC的周長為2+2,由周長比等于位似比可得△A1B1C1的周長為△ABC周長的3倍,即6+32C.S△ABC=12×1×1=12,由面積比等于位似比的平方,可得△A1B1D.在第一象限內(nèi)作△A1B1C1時(shí),B1點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)均為B的3倍,此時(shí)B1的坐標(biāo)為(6,6),故D正確;故選C.【點(diǎn)睛】本題考查位似三角形的性質(zhì),熟練掌握位似的定義,以及位似三角形與相似三角形的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.【題型4求位似圖形的相似比】【例4】(23-24九年級(jí)·全國·課后作業(yè))如圖,正方形ABCD的兩邊BC,AB分別在平面直角坐標(biāo)系的x、y軸的正半軸上,正方形A′B′C′D′與正方形ABCD是以AC的中點(diǎn)O′為中心的位似圖形,已知AC=32,若點(diǎn)AA.16 B.13 C.12【答案】B【分析】延長A′B′交BC于點(diǎn)E,根據(jù)大正方形的對(duì)角線長求得其邊長,然后求得小正方形的邊長后即可求兩個(gè)正方形的相似比.【詳解】解:延長A′B′交BC于點(diǎn)E,如圖.∵在正方形ABCD中,AC=32,∴BC=AB=3,∵點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(1,2),∴OE=1,EC=A′E=3﹣1=2,∴CE:BC=2:3,∵A′E∥AB,∴△A′CE∽△ACB,∴CA′:AC=2:3,∵正方形A′B′C′D′∴AA′=CC′,∴AA′=CC′=A′C′,∴A′C′:AC=1:3,∴正方形A′B′C′D′與正方形ABCD的相似比是13故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了位似變換和坐標(biāo)與圖形的變化的知識(shí),解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件求得兩個(gè)正方形的邊長.【變式4-1】(2024九年級(jí)·全國·專題練習(xí))如圖,在正方形網(wǎng)格中,以點(diǎn)O為位似中心,△ABC的位似圖形是(用圖中字母表示),△ABC與該三角形的位似比為.?【答案】△GEH12/【分析】利用兩個(gè)位似圖形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)可判斷△ABC的位似圖形是△GEH,然后計(jì)算OB與OE的比得到位似比.【詳解】解:以點(diǎn)O為位似中心,△ABC的位似圖形是△GEH,△ABC與△GEH的位似比為OBOE故答案為:△GEH,12【點(diǎn)睛】本題考查了位似變換:兩個(gè)位似圖形不僅是相似圖形,而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn),對(duì)應(yīng)邊互相平行或共線.【變式4-2】(23-24九年級(jí)·山西臨汾·期中)△ABC三個(gè)頂點(diǎn)A(3,6)、B(6,2)、C(2,?1),以原點(diǎn)為位似中心,得到的位似圖形△A′B′C′三個(gè)頂點(diǎn)分別為A′(1,2),B′【答案】1:3【分析】本題考查了位似圖形的性質(zhì).由△ABC三個(gè)頂點(diǎn)A(3,6)、B(6,2)、C(2,?1),以原點(diǎn)為位似中心,得到的位似圖形△A′B′C′三個(gè)頂點(diǎn)分別為A′(1,2),【詳解】解:∵△ABC三個(gè)頂點(diǎn)A(3,6)、B(6,2)、C(2,?1),以原點(diǎn)為位似中心,得到的位似圖形△A′B′C′三個(gè)頂點(diǎn)分別為∴AB=3?62+6?22A′B′=1?2∴A′∴△A∴△A′B′C故答案為:1:【變式4-3】(23-24九年級(jí)·湖南長沙·期末)如圖,點(diǎn)O是等邊三角形PQR的中心,P′,Q′,R′分別是OP,OQ,OR的中點(diǎn),則△P′【答案】1:2/1【分析】本題考查了三角形的中位線定理、相似三角形的判定、位似圖形與位似中心,熟記位似圖形與位似中心的定義是解題關(guān)鍵.先根據(jù)三角形中位線定理可得P′Q′∥PQ,P′R′【詳解】解:∵P′,Q′,R′∴P′Q′∥PQ,P′∴△P又∵P′,Q′,R′∴點(diǎn)P′與點(diǎn)P,點(diǎn)Q′與點(diǎn)Q,點(diǎn)R′與點(diǎn)R∴△P′Q′R∵P′∴△P′Q′R故答案為:1:2.【題型5畫位似圖形】【例5】(23-24九年級(jí)·江蘇鹽城·期末)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,ΔABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(?2,2),B(?4,0),C(?4,?4),在y軸右側(cè),以原點(diǎn)O為位似中心畫一個(gè)△A′B′(1)請(qǐng)畫出△A(2)請(qǐng)直接寫出△A(3)若△ABC內(nèi)部一點(diǎn)M的坐標(biāo)為(a,b),則點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)【答案】(1)見解析(2)A′(1,?1),B(3)(?【分析】本題考查作圖?位似變換,熟練掌握位似的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.(1)根據(jù)位似的性質(zhì)作圖即可.(2)由圖可得答案.(3)由位似變換可得,點(diǎn)M的橫縱坐標(biāo)分別除以?2,即可得點(diǎn)M′【詳解】(1)解:如圖,△A(2)解:由圖可得,A′(1,?1),B′(3)解:由題意可得,點(diǎn)M′的坐標(biāo)為(?故答案為:(?a【變式5-1】(23-24九年級(jí)·廣東深圳·期末)如圖,在正方形網(wǎng)格中,點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)上,(要求僅用無刻度的直尺,不要求寫畫法,保留必要的作圖痕跡)(1)在圖1中,以C為位似中心,位似比為1:2;請(qǐng)畫出放大后的△A(2)在圖2中,線段AB上作點(diǎn)M,利用格點(diǎn)作圖使得AMBM(3)在圖3中,利用格點(diǎn)在AC邊上作-個(gè)點(diǎn)D,使得△ABD∽ACB.【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析(3)答案見解析【分析】本題考查了作位似圖形,平行線分線段成比例定理在作圖中的應(yīng)用,相似三角形在作圖中的應(yīng)用,熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵.(1)根據(jù)位似圖形的定義,延長CA到點(diǎn)A1,使得CA1=2CA,延長CB到點(diǎn)B1,使得CB1=2CB,連結(jié)A1(2)在點(diǎn)C的左側(cè)作水平線段BC=5個(gè)單位長度,連結(jié)AC,在BC上取點(diǎn)N,使BN=2個(gè)單位長度,過點(diǎn)N沿格點(diǎn)線作NM∥AC,交AB于點(diǎn)M,根據(jù)平行線分線段成比例定理,可得(3)過點(diǎn)A作AE⊥AC,使得AE=AC,點(diǎn)E恰為格點(diǎn),過點(diǎn)B作BF∥AE,使得BF=AE,點(diǎn)F恰為格點(diǎn),BF與AC交于點(diǎn)D,則AC⊥BF,同時(shí)可證得∠ABC=90°,由此即可證明△ABD∽△ACB,所以點(diǎn)【詳解】(1)如圖,△A(2)如圖,點(diǎn)M就是所求的點(diǎn);(3)如圖,點(diǎn)D就是所求的點(diǎn).【變式5-2】(23-24九年級(jí)·陜西渭南·期末)如圖,在10×10的正方形網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的邊長均為1,點(diǎn)O和點(diǎn)A1在格點(diǎn)上,△ABC(1)畫出△ABC以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形△A1B1C1,點(diǎn)A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)(2)△A1B【答案】(1)作圖見解析;(2)3∶1【分析】(1)由點(diǎn)A、A1可得△ABC與△A(2)根據(jù)位似圖形的性質(zhì)即可求解;本題考查了作位似圖形,位似圖形的性質(zhì),掌握位似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【詳解】(1)解:如圖,△A(2)解:∵OA∴△A1B1C∴△A1B1C故答案為:3∶1.【變式5-3】(2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè))如圖是由小正方形組成的8×8網(wǎng)格,每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn).A,B,C都是格點(diǎn),點(diǎn)P在BC上,僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖,畫圖過程用虛線表示.(1)在圖1中,將線段AB沿BC的方向平移,使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合,畫出平移后的線段CD,再將PC繞AC的中點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°,得到GA,畫出線段GA;(2)在圖2中,將△APC以點(diǎn)C為位似中心縮小為原來的12得到△EFC,畫出△EFC(3)在圖3中,在AC上畫一點(diǎn)M,在AB上畫一點(diǎn)N,使得PM+MN最?。敬鸢浮?1)見詳解(2)見詳解(3)見詳解【分析】(1)利用平移性質(zhì)可畫出CD,利用平行四邊形的性質(zhì),連接P和AC的中點(diǎn)并延長交AD于點(diǎn)G,即可得到答案;(2)根據(jù)位似圖形的性質(zhì)得到CE=12AC,CF=12CP,取AC中點(diǎn)E和AP上一點(diǎn)G,連接EG并確定其中點(diǎn)Q,取AP上一點(diǎn)H,連接HQ并延長,根據(jù)“對(duì)角線相互平分的四邊形為平行四邊形”可作平行四邊形EHGM,連接EM并延長交BC于點(diǎn)F,根據(jù)平行線分線段成比例得到點(diǎn)(3)首先確定點(diǎn)P關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)P′:取格點(diǎn)B′,連接CB′,B′P,B′P交AC于點(diǎn)K,連接BK并延長交CB′于點(diǎn)P′,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及垂直平分線的判定,可知點(diǎn)P、P′關(guān)于AC對(duì)稱;過點(diǎn)P′作AB的垂線,確定點(diǎn)M、N:取格點(diǎn)C′,使得△B′CC′為等腰三角形,連接【詳解】(1)(2)(3)【點(diǎn)睛】本題考查基本作圖,涉及平移性質(zhì)、位似圖形性質(zhì)、中心對(duì)稱圖形性質(zhì)、軸對(duì)稱圖形性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、平行線分線段成比例性質(zhì)、垂線段最短等知識(shí),熟知網(wǎng)格特點(diǎn),熟練掌握基本作圖所涉及到的知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用是解答的關(guān)鍵.【題型6求位似圖形的線段長度】【例6】(2024·浙江溫州·三模)如圖,矩形ABCD與矩形EFGH位似,點(diǎn)O是位似中心,已知OH:HD=1:2,EH=2,則AD的值為(
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A.2 B.4 C.6 D.8【答案】C【分析】先由OH:HD=1:2可得OH:HD=1:2,再由矩形ABCD與矩形EFGH位似可得EHAD【詳解】解:∵OH:HD=1:2,∴OHOD∵矩形ABCD與矩形EFGH位似,∴EH∵EH=2,∴AD=6.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了位似的性質(zhì),根據(jù)題意得到EHAD【變式6-1】(23-24九年級(jí)·河北唐山·期末)如圖,以點(diǎn)O為位似中心,把△ABC放大為原圖形的2倍得到△A′B′CA.1:2 B.1:3 C.2:3 D.3:2【答案】B【分析】此題考查了位似變換,根據(jù)位似圖形的性質(zhì),即可判斷,正確掌握位似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【詳解】解:以點(diǎn)O為位似中心,把放大為原圖形的2倍得到,∴△ABC∽△A′B′C′,點(diǎn)C、點(diǎn)∴AO:AA故選:B.【變式6-2】(23-24九年級(jí)·福建泉州·期末)如圖,DE是△ABC的中位線,D′E′是△A′B′C′的中位線,連結(jié)AA′、BB′A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【分析】本題主要考查了中位線的性質(zhì)和位似圖形的判定與性質(zhì),通過中位線的性質(zhì)得出DE=12BC=2,再證明△ABC∽△A′【詳解】∵DE是△ABC的中位線,D′E′∴DE=12BC=2∵2OA=OA′,2OB=OB∴△ABC∽△A∴相似比為12∴BC=1∴DE=1∴D′故選:B.【變式6-3】(23-24九年級(jí)·吉林長春·階段練習(xí))如圖,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4.若矩形AEFG與矩形ABCD位似,點(diǎn)F在矩形ABCD的內(nèi)部,且相似比為3:4,則點(diǎn)C、F之間的距離為.【答案】5【分析】連接AC,先由勾股定理求得AC=4,再根據(jù)矩形AEFG與矩形ABCD位似,點(diǎn)F在矩形ABCD的內(nèi)部,且相似比為3:4,得AFAC=34,即可求出AF長,然后由CF=【詳解】解:如圖,連接AC,∵矩形ABCD,∴∠B=90°∴AC=AB∵矩形AEFG與矩形ABCD位似,點(diǎn)F在矩形ABCD的內(nèi)部,且相似比為3:4,∴點(diǎn)F在AC上,∴AFAC=3∴AF=35,∴CF=AC-AF=45-35=5,故答案為:5.【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì),勾股定理,位似圖形的性質(zhì),熟練掌握位似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【題型7求位似圖形的周長】【例7】(23-24九年級(jí)·陜西咸陽·期末)如圖,以點(diǎn)O為位似中心,將△ABC放大得到△DEF.若AD=OA,則△ABC與△DEF的周長之比為(
)
A.1:6 B.1:5 C.1:4 D.1:2【答案】D【分析】根據(jù)題意求出△ABC與△DEF的位似比,得到相似比,周長之比等于相似比.【詳解】解:以點(diǎn)O為位似中心,將△ABC放大得到△DEF,∴AB∥∵AD=OA,∴AB:∴△ABC與△DEF的位似比為1:∴△ABC與的周長之比為1:故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查的是位似變換,位似是相似的特殊形式,位似比等于相似比,其對(duì)應(yīng)的周長之比等于相似比.【變式7-1】(2024·重慶·三模)如圖,△ABC與△DEF位似,點(diǎn)O為位似中心,若OCOF=2,△ABC的周長為8,則△DEF的周長為(A.1.5 B.2 C.3 D.4【答案】D【分析】本題考查了位似變換,利用位似的性質(zhì)得△ABC∽△DEF,ACDF【詳解】解:∵△ABC與△DEF位似,點(diǎn)O為位似中心.∴△ABC∽△DEF,∴AC∴△ABC的周長:△DEF的周長=2:1,∵△ABC的周長為8∴△DEF的周長為4.故選:D.【變式7-2】(23-24九年級(jí)·重慶南岸·期末)如圖,已知△ABC與△DEF位似,位似中心為點(diǎn)O,OA:OD=1:3,且△ABC的周長為2,則△DEF的周長為()A.4 B.6 C.8 D.18【答案】B【分析】由△ABC與△DEF是位似圖形,且OA:OD=1:3知△ABC與△DEF的位似比是1:3,從而得出△ABC周長:△DEF周長=1:3,由此即可解答.【詳解】解:∵△ABC與△DEF是位似圖形,且OA:OD=1:3,∴△ABC與△DEF的位似比是1:3.則△ABC周長:△DEF周長=1:3,∵△ABC的周長為2,∴△DEF周長=2×3=6故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了位似變換:位似圖形的任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與位似中心在同一直線上,它們到位似中心的距離之比等于相似比,位似是相似的特殊形式,位似比等于相似比,其對(duì)應(yīng)的周長比等于相似比.【變式7-3】(2024·四川成都·二模)如圖,以點(diǎn)O為位似中心,作四邊形ABCD的位似圖形A′B′C′D′,已知OA【答案】28【分析】根據(jù)位似的性質(zhì),得到AB∥A′B′,推出△OAB∽△OA【詳解】∵OAA∴OAO∵四邊形ABCD與四邊形A′∴四邊形ABCD∽四邊形A′B′∴△OAB∽△OA∴ABA∴四邊形ABCD的周長∶四邊形A′B′∵四邊形ABCD的周長是8,∴四邊形A′故答案為:28.【點(diǎn)睛】本題考查位似圖形,相似三角形的判定和性質(zhì).熟練掌握位似圖形的性質(zhì),證明三角形相似,是解題的關(guān)鍵.【題型8求位似圖形的面積】【例8】(23-24九年級(jí)·浙江·期末)如圖,四邊形ABCD與四邊形EFGH是位似圖形,點(diǎn)O是位似中心.若OEEA=23,四邊形A.4 B.10 C.1009 D.【答案】A【分析】本題考查了位似圖形的性質(zhì),比例的性質(zhì),相似多邊形的性質(zhì);先根據(jù)位似的性質(zhì)得到EFAB=OEOA,四邊形ABCD與四邊形【詳解】解:∵四邊形ABCD與四邊形EFGH是位似圖形,點(diǎn)O是位似中心,∴EF四邊形ABCD與四邊形EFGH相似,∵OE∴OE∴EF∴S∴解得:S四邊形故選:A.【變式8-1】(23-24九年級(jí)·陜西西安·期末)如圖,在平行四邊形ABCD中,以C為位似中心,作平行四邊形ABCD的位似平行四邊形PECF,且與原圖形的位似比為2:3,連接BP,DP,若平行四邊形ABCD的面積為20,則△PBE與△PDF的面積之和為【答案】8027/【分析】此題考查了位似的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì).連接AC,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)先求出S△ACD,由PF∥AD證得△CPF∽△CAD【詳解】解:連接AC,∵四邊形ABCD是平行四邊形,面積為20,∴S△ACD∵?ABCD和?ECFP是以B為位似中心的位似圖形,∴點(diǎn)A、P、C在同一條直線上,PF∥∴△CPF∽△CAD,∴CFCD∴S△CPF∴S△DPF同理S△BPE∴△PBE與△PDF的面積之和為8027故答案為:8027【變式8-2】(2024·重慶九龍坡·一模)如圖,△ABC與△DEF位似,點(diǎn)O為位似中心,已知OA:AD=1:2,則△ABC與△DEF的面積比為()A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.1:9【答案】D【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到AB∥DE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算,得到答案.【詳解】解:∵OA:AD=1:2,∴OA:OD=1:3,∵△ABC與△DEF位似,∴AB∥DE,∴△OBA∽△OED,∴ABDE=OAOD=13∴△ABC與△DEF的面積比=(13)故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查的是位似圖形的概念和性質(zhì),掌握位似圖形的概念、相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵.【變式8-3】(23-24九年級(jí)·浙江溫州·階段練習(xí))如圖1,正方形ABCD繞中心O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到正方形A′B′C′D′A.2+2 B.4+22 C.6+32【答案】C【分析】由正方形的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得DF=DG=D′F=C′G=1,且△DFG為等腰直角三角形,可以推出【詳解】如圖,∵正方形ABCD繞中心O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到正方形A′∴DF=DG=D′F=∴FG=2∴圖2中整個(gè)圖形面積:S∵將整個(gè)圖形的外圍以O(shè)為位似中心得到位似圖形如圖2所示,位似比為12∴圖2中間空白部分面積為:1圖2中陰影部分面積為:8+4故選:C【點(diǎn)睛】該題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、位似圖形等幾何知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用;應(yīng)牢固掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn),這是靈活運(yùn)用、解題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵.【題型9求位似圖形的坐標(biāo)】【例9】(23-24九年級(jí)·四川成都·期末)如圖,Rt△ABC與Rt△EFG是關(guān)于y軸上一點(diǎn)的位似圖形,若B?4,4,F(xiàn)A.0,1 B.0,2 C.0,3 D.0,【答案】B【分析】本題考查了位似變換,正確掌握位似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,直接利用位似圖形的性質(zhì)得出PCPG【詳解】解:如圖所示,連接BF,交CG于點(diǎn)P,∵對(duì)應(yīng)點(diǎn)B和F的坐標(biāo)分別為?4,4,2,1,∴C0,4,G0,1,CB=4,F(xiàn)G=2,由題意可得:△BCP∽∴CBGF∴2GP=3?GP,解得:GP=1,∴位似中心到點(diǎn)G的距離是1,∴位似中心的坐標(biāo)為0,2,故選:B.【變式9-1】(23-24九年級(jí)·湖南長沙·階段練習(xí))如圖,在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)E4,2,F2,2,以O(shè)為位似中心,按2:1的相似比把EFO縮小為EFO,則點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為.【答案】(2,-1)或(-2,1).【分析】由在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)E(-4,2),F(xiàn)(-2,-2),以O(shè)為位似中心,按2:1的相似比把△EFO縮小為△E′F′O,利用位似圖形的性質(zhì),即可求得點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E′的坐標(biāo).【詳解】解:∵點(diǎn)E(-4,2),以O(shè)為位似中心,按2:1的相似比把△EFO縮小為△E′F′O,∴點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E′的坐標(biāo)為:(2,-1)或(-2,1).故答案為(2,-1)或(-2,1).【點(diǎn)睛】此題考查了位似圖形的性質(zhì).此題比較簡(jiǎn)單,注意熟記位似圖形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵.【變式9-2】(23-24九年級(jí)·山東煙臺(tái)·期末)如圖,矩形OABC與矩形ODEF是位似圖形,點(diǎn)P是位似中心.若點(diǎn)B的坐標(biāo)為2,3,點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為?1,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為
【答案】?2,0【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到DEBC=ODAB,求出OD=32,再證明【詳解】∵四邊形OABC為矩形,點(diǎn)B的坐標(biāo)為2,∴AB=OC=3,∵點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為?1,∴DE=OF=1∵矩形OABC與矩形ODEF是位似圖形,∴DEBC∴12∴OD=3∵∠COP=∠CDE=90°∴DE∥∴△CDE~△COP,∴CDCO∴3?3解得:OP=2,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為?2,故答案為:?2,0.【點(diǎn)睛】本題考查的是位似圖形的概念、相似三角形的性質(zhì),根據(jù)位似圖形的概念得出DEBC【變式9-3】(2024·山東青島·二模)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,等邊三角形OAB的頂點(diǎn)O0,0,B2,0,已知△OA′B′與△OAB位似,位似中心是原點(diǎn)O,且△OA′B
A.12,32 C.4,43 D.2,23【答案】D【分析】根據(jù)題意可得OA=OB=2,如圖:過A作AC⊥x軸于C,再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得OC=12OB=1,AC=32OA=3【詳解】解:∵等邊三角形OAB的頂點(diǎn)O(0,0),B(2,0),∴OA=OB=2,過A作AC⊥x軸于C,
∵△AOB是等邊三角形,∴OC=∴A(1,∵△OA′B′與△OAB位似,位似中心是原點(diǎn)O,且∴△OA′B∴點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)是(2,23)或故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查主要考查了位似變換的性質(zhì),在平面直角坐標(biāo)系中,如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心,相似比為k,那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或?k.【題型10與位似圖形相關(guān)的規(guī)律】【例10】(23-24九年級(jí)·全國·單元測(cè)試)如圖,在平面直角標(biāo)系xOy中,以O(shè)為位似中心,將邊長為8的等邊三角形OAB作
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