2022-2023學(xué)年上海市靜安區(qū)市西中學(xué)八年級(jí)上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷-帶講解

2022-2023學(xué)年上海市靜安區(qū)市西中學(xué)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷第I卷（選擇題）一、選擇題（本大題共6小題，共18.0分．在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.下列二次根式中，最簡(jiǎn)二次根式是（）A. B. C. D.B【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的概念判斷即可．【詳解】解：A、|a|，不是最簡(jiǎn)二次根式；B、，是最簡(jiǎn)二次根式；C、，不是最簡(jiǎn)二次根式；D、|a|，不是最簡(jiǎn)二次根式；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是最簡(jiǎn)二次根式的概念，被開方數(shù)不含分母，被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式．2.下列二次根式中，不能與合并的是（）A. B. C. D.D分析】先把二次根式依次化簡(jiǎn)，根據(jù)同類二次根式的定義作判斷．【詳解】∵，∴不能與合并．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了同類二次根式，熟練掌握同類二次根式定義是解答本題的關(guān)鍵．一般地，把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式．3.下列方程是關(guān)于x的一元二次方程的是（）．A. B.C. D.B【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，逐項(xiàng)判斷即可求解．【詳解】解：A、不是整式方程，所以不是關(guān)于x的一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；B、是關(guān)于x的一元二次方程，故本選項(xiàng)符合題意；C、整理得一元一次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；D、當(dāng)時(shí)，是一元一次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的定義，熟練掌握含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程是一元二次方程是解題的關(guān)鍵．4.若一元二次方程，滿足，則方程必有一根為（）A. B. C. D.C【分析】由ax2+bx+c=0，可得：當(dāng)x=1時(shí)，有a+b+c=0；當(dāng)x=-1時(shí)，有a-b+c=0，故問題可求．【詳解】解：由題意，一元二次方程ax2+bx+c=0，滿足a-b+c=0，∴當(dāng)x=-1時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c=0即為：a×（-1）2+b×（-1）+c=0；∴a-b+c=0，∴當(dāng)x=1時(shí)，代入方程ax2+bx+c=0，有a+b+c=0；綜上可知，方程必有一根為-1．故選C．【點(diǎn)睛】此類題目的解法是常常將1或-1或0代入方程，來(lái)推理判斷方程系數(shù)的關(guān)系．5.下列命題中，假命題是(

)A.假命題的逆命題不一定是假命題B.所有定理都有逆命題C.對(duì)頂角相等的逆命題是真命題D.兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角的平分線互相平行C【分析】根據(jù)命題，定理的定義，逆命題的定義一一判斷即可．【詳解】解：、假命題的逆命題不一定是假命題．正確，是真命題，本選項(xiàng)不符合題意；B、所有定理都有逆命題，正確，是真命題，本選項(xiàng)不符合題意；C、對(duì)頂角相等的逆命題是真命題．錯(cuò)誤，是假命題，本選項(xiàng)符合題意；D、兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角的平分線互相平行，正確，是真命題，本選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查命題與定理，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．6.已知，化簡(jiǎn)二次根式的值是（）．A. B. C. D.C【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件求出，求出、的范圍，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：由二次根式有意義的條件求出，∵，∴，，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)和二次根式有意義的條件，能熟記二次根式的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．第II卷（非選擇題）二、填空題（本大題共12小題，共36.0分）7.使有意義的x的取值范圍是____________．【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0列式計(jì)算即可得解．【詳解】解：要使二次根式有意義，需要，解得：．故答案是：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件：二次根式中的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，否則二次根式無(wú)意義．8.寫出的一個(gè)有理化因式是____．【分析】充分利用平方差公式，得出有理化因子即可．【詳解】解：的一個(gè)有理化因式是，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了分子有理化，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方差公式進(jìn)行求解．9.不等式的解集是____________．##【分析】先判斷與0的大小的關(guān)系，然后根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求出x的解集【詳解】解：∵0，∴∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的運(yùn)算法則以及不等式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是判斷與0的大小關(guān)系，本題屬于基礎(chǔ)題型．10.比較大?。篲_____．＞【分析】先求出與的倒數(shù)，然后進(jìn)行大小比較．【詳解】∵而，∴．故答案為：＞．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)大小比較：利用平方法或倒數(shù)法進(jìn)行比較大?。?1.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式____________．【分析】先提公因式，再配方，最后根據(jù)平方差公式分解因式即可．【詳解】解：原式＝＝＝．=故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式，掌握是解題的關(guān)鍵．12.某工程隊(duì)承包了一項(xiàng)污水處理工程，原計(jì)劃每天鋪設(shè)污水管道1250米，因準(zhǔn)備工作不充分，第一天鋪設(shè)了原計(jì)劃的80%，從第二天開始，該工程隊(duì)加快了鋪設(shè)速度，第三天鋪設(shè)了1440米．若該工程隊(duì)第二天、第三天每天的鋪設(shè)長(zhǎng)度比前一天增長(zhǎng)的百分?jǐn)?shù)相同，設(shè)這個(gè)百分?jǐn)?shù)為x，列出方程____________．【分析】先設(shè)該工程隊(duì)第二天、第三天每天的拆遷面積比前一天增長(zhǎng)的百分?jǐn)?shù)是x，根據(jù)增長(zhǎng)后的量＝增長(zhǎng)前的量×（1+增長(zhǎng)率），列出方程即可．【詳解】解：設(shè)該工程隊(duì)第二天、第三天每天的拆遷面積比前一天增長(zhǎng)的百分?jǐn)?shù)是x，根據(jù)題意得：故答案為:【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是讀懂題意，找出關(guān)鍵描述語(yǔ)，列出方程．13.命題“等腰三角形的兩個(gè)底角相等”的逆命題是_________．有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形；【分析】先找到原命題的題設(shè)和結(jié)論，在將題設(shè)和結(jié)論互換，即可得到答案．【詳解】解：原命題的題設(shè)是：“一個(gè)三角形是等腰三角形”，結(jié)論是：“這個(gè)三角形兩底角相等”，所以命題“等腰三角形的兩個(gè)底角相等”的逆命題是“有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形”．【點(diǎn)睛】本題考查命題的轉(zhuǎn)化，準(zhǔn)確找到命題的題設(shè)和結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．14.等腰三角形一腰上的高與另一邊的夾角為80°，則頂角的度數(shù)為_______．160°或10°或170°【分析】等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角為80°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出底角的度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等列式進(jìn)行計(jì)算即可得解；

等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為80°，首先根據(jù)題意畫出圖形，一種情況等腰三角形為銳角三角形，即可推出頂角的度數(shù)為10°；另一種情況等腰三角形為鈍角三角形，由題意，即可推出頂角的度數(shù)為170°．【詳解】解：如圖，AB=AC，

∵一腰上的高與底邊的夾角為∠DBC=80°，

∴底角∠C=90°-80°=10°，

∴頂角∠BAC=180°-2×10°=180°-20°=160°．

故答案為160°；如圖，等腰三角形為銳角三角形，

∵BD⊥AC，∠ABD=80°，

∴∠A=10°，

即頂角的度數(shù)為10°；

如圖，等腰三角形為鈍角三角形，

∵BD⊥AC，∠DBA=80°，

∴∠BAD=10°，

∴∠BAC=170°．

故答案為160°或10°或170°．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于正確的畫出圖形，結(jié)合圖形，利用數(shù)形結(jié)合思想求解．15.若中，，則中線的取值范圍是____________．【分析】延長(zhǎng)到E，使，連接，證，推出，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求出即可．詳解】解：延長(zhǎng)到E，使，連接∵的中線，∴，在中，，∴，∴，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得：，∴，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的三邊關(guān)系定理等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能推出是解此題的關(guān)鍵．16.如圖，把紙片沿折疊，當(dāng)點(diǎn)落在四邊形內(nèi)部時(shí)，則、、之間的數(shù)量關(guān)系是__________．【分析】此題主要考查的是三角形的外角性質(zhì)和圖形的翻折變換，理清圖中角與角的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．可連接，分別在、中，利用三角形的外角性質(zhì)表示出、；兩者相加聯(lián)立折疊的性質(zhì)即可得到所求的結(jié)論．【詳解】解：連接，則即為折疊前的三角形，由折疊的性質(zhì)知：．由三角形的外角性質(zhì)知：，；則，即．故答案為:．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．17.對(duì)于兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a，b，我們規(guī)定符號(hào)Max{a，b}表示a，b中的較大值，如：Max{2，4}=4，按照這個(gè)規(guī)定，方程Max{x，-x}=x2-2的解為______．2或-2．【分析】分類討論x與?x的范圍，利用題中的新定義方程的解即可．【詳解】當(dāng)x＞?x，即x＞0時(shí)，方程為x＝x2-2，解得：x1＝-1,x2＝2,∴x=2，當(dāng)x＜?x，即x＜0時(shí)，方程為?x＝x2-2，解得：x1＝1,x2＝-2，∴x=-2，故答案為2或-2．【點(diǎn)睛】此題考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出方程求解．18.如果一元二次方程的兩根相差1，那么該方程成為“差1方程”．例如是“差1方程”．若關(guān)于x的方程(a，b是常數(shù)，)是“差1方程”設(shè)，t的最大值為__________．【分析】根據(jù)新定義得方程的大根與小根的差為1，列出與的關(guān)系式，再由，得與的關(guān)系，從而得出最后結(jié)果．【詳解】解：由題可得：∴解方程得，關(guān)于的方程、是常數(shù)，是“差1方程”，，，，，，時(shí)，的最大值為9．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程的解法以及正確理解“差1方程”的定義．三、解答題（本大題共8小題，共66.0分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）19.計(jì)算：．【分析】根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則以及零指數(shù)冪的意義即可求出答案．【詳解】解：原式＝．【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生的運(yùn)算能力，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．20.已知，求的值．5【分析】化簡(jiǎn)原式，分母有理化后再代入求值．【詳解】解：原式，將代入得：原式．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式化簡(jiǎn)求值及分母有理化，熟練掌握分母有理化的方法是解題的關(guān)鍵．21.（1）．（2）．（3）（4）．（1），（2），（3）（4）【分析】（1）用因式分解法即可解得答案（2）用因式分解法即可解得答案（3）先化簡(jiǎn)再用配方法可得答案；（4）用配方法可得答案．【詳解】解：（1），∴或，∴，．（2），∴，（3）即∴；（4），，，即，∴，∴；【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握解一元二次方程的一般方法：直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法，并掌握選用較簡(jiǎn)便的方法解一元二次方程．22.已知關(guān)于x的一元二次方程（m為實(shí)數(shù)）．（1）如果該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍．（2）如果該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍．（3）如果該方程沒有實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍．（1）且（2）（3）【分析】（1）先根據(jù)一元二次方程的定義可得，再根據(jù)一元二次方程的根的判別式即可得；（2）先根據(jù)一元二次方程的定義可得，再根據(jù)一元二次方程的根的判別式即可得；（3）先根據(jù)一元二次方程的定義可得，再根據(jù)一元二次方程的根的判別式即可得．【小問1詳解】∵方程是關(guān)于x的一元二次方程，∴，解得，如果該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則其根判別式，解得，故此時(shí)的取值范圍為且；【小問2詳解】如果該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則其根的判別式，解得；【小問3詳解】如果該方程沒有實(shí)數(shù)根，則其根的判別式，解得．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義和根的判別式，熟練掌握根的判別式是解題關(guān)鍵．23.已知：如圖，，平分．求證：平分．見解析【分析】延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，要證明平分，只需證明即可．【詳解】證明：如圖，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，∵平分，∴，∵，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴平分（等腰三角形，三線合一）【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，全等三角形的判定與性質(zhì)，添加合適的輔助線構(gòu)造等腰三角形是解題的關(guān)鍵．24.已知如圖，，相較于點(diǎn)F，求證：證明見詳解【分析】連接，由已知條件證得，從而證得．要證，可利用等式性質(zhì)來(lái)證得．【詳解】證明：連接．∵，∴，即．在中，∴．∴．∵，∴．∵，∴，即．∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)，證得而得到是解題的關(guān)鍵．25.如圖，小明家要建一個(gè)面積為平方米的養(yǎng)雞場(chǎng)，養(yǎng)雞場(chǎng)的一邊靠墻，另三邊（門除外）用竹籬笆圍成．這堵墻長(zhǎng)米，在與墻平行的一邊，要開一扇米寬的門．已知圍建養(yǎng)雞場(chǎng)的竹籬笆總長(zhǎng)為米（沒有剩余材料，接頭忽略不計(jì)），那么小明家養(yǎng)雞場(chǎng)的長(zhǎng)和寬應(yīng)分別為多少米？小明家養(yǎng)雞場(chǎng)長(zhǎng)和寬應(yīng)分別為米，10米【分析】設(shè)垂直于墻的一邊長(zhǎng)為米，結(jié)合題意可得到平行于墻的一邊長(zhǎng)為米，再通過(guò)面積平方米列出方程，從而計(jì)算得到答案．【詳解】設(shè)垂直于墻的一邊長(zhǎng)為米，則平行于墻的一邊長(zhǎng)為米，由題意得∴∴，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，（不符合題意，舍去）∴這個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)與墻垂直的一邊應(yīng)長(zhǎng)10米．則米∴小明家養(yǎng)雞場(chǎng)的長(zhǎng)和寬應(yīng)分別為米，10米．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用；求解的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的解法并運(yùn)用到實(shí)際問題的求解過(guò)程中，即可得到答案．26.如圖①，點(diǎn)為銳角三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，連接、、以為一邊向外作等邊三角形，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．（1）求證：≌；（2）若的值最小，則稱點(diǎn)為的費(fèi)爾馬點(diǎn)，若點(diǎn)為的費(fèi)爾馬點(diǎn)，試求此時(shí)、、的度數(shù)；（3）小翔受以上啟發(fā)，得到一個(gè)作銳角三角形費(fèi)爾馬點(diǎn)的簡(jiǎn)便方法：如圖，分別以的、為一邊向外作等邊和等邊，連接、，設(shè)交點(diǎn)為，則點(diǎn)即為的費(fèi)爾馬點(diǎn)，試說(shuō)明這種作法的依據(jù)．（1）見解析；（2），，；（3