專題2.7 配方法的應(yīng)用【八大題型】-2024-2025學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊舉一反三系列（北師大版）

PAGE1專題2.7配方法的應(yīng)用【八大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用配方法求字母的值】 1【題型2利用配方法求代數(shù)式的值】 4【題型3利用配方法比較大小】 7【題型4利用配方法進行證明】 10【題型5利用配方法求最值】 14【題型6利用配方法在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式】 17【題型7利用配方法確定三角形形狀】 18【題型8利用配方法求幾何圖形面積最值】 21知識點：配方法等號兩邊都就是整式，只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)得最高次數(shù)就是2（二次）的方程，叫做一元二次方程?！绢}型1利用配方法求字母的值】【例1】（23-24九年級·福建莆田·階段練習(xí)）小明在學(xué)習(xí)配方法時，將關(guān)于x的多項式x2?2x+3配方成x?12+2，發(fā)現(xiàn)當(dāng)x?1取任意一對互為相反數(shù)的數(shù)時，多項式x2?2x+3的值是相等的．例如：當(dāng)x?1=±2時，即x=3或?1時，x2?2x+3的值均為6；當(dāng)x?1=±3時，即于是小明給出一個定義：對于關(guān)于x的多項式，若當(dāng)x?t取任意一對互為相反數(shù)的數(shù)時，該多項式的值相等，就稱該多項式關(guān)于x=t對偶，例如x2?2x+3關(guān)于請你結(jié)合小明的思考過程，運用此定義解決下列問題：(1)多項式x2?8x+10關(guān)于(2)當(dāng)x=m或9?m時，關(guān)于x的多項式x2+2bx+c的值相等，求(3)若整式x2+8x+16x2?4x+4【答案】(1)x=4(2)b=?4.5(3)n=?1【分析】本題考查了配方法的應(yīng)用，完全平方公式，整式乘法，正確理解新定理，判斷出對稱軸是解題關(guān)鍵．（1）將多項式配方得x?42（2）將多項式配方得x+b2?b2+c（3）結(jié)合完全平方公式對多項式進行配方，再根據(jù)新定義判定即可．【詳解】（1）解：∵x2∴當(dāng)x?4取任意一對互為相反數(shù)的數(shù)時，該多項式的值相等，∴多項式x2?8x+10關(guān)于故答案為：x=4（2）解：∵x∴當(dāng)x+b取任意一對互為相反數(shù)的數(shù)時，該多項式的值相等，∵當(dāng)x=m或9?m時，關(guān)于x的多項x2∴m+b解得：b=?4.5；（3）解：x====∵整式x2+8x+16x∴n=?1．【變式1-1】（23-24九年級·湖北武漢·期末）已知關(guān)于x的多項式?x2+mx+4A．1 B．2 C．4 D．5【答案】B【分析】利用配方法將?x【詳解】解：?故m2解得：m=±2.故選B.【點睛】本題考查了配方法的運用，掌握配方法是解題的關(guān)鍵.【變式1-2】（23-24九年級·山西呂梁·期中）若關(guān)于x的一元二次方程x2?10x+m=0可以通過配方寫成(x?n)2=A．m=25,n=5 B．m=20,n=5 C．m=100【答案】A【分析】根據(jù)完全平方公式展開即可得解；【詳解】∵(x?n)2∴x2又∵一元二次方程x2∴2n=10，m=n∴n=5，m=25；故選A．【點睛】本題主要考查了一元二次方程配方法的應(yīng)用，準確分析計算是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（23-24九年級·湖北武漢·階段練習(xí)）無論x為何值，關(guān)于x的多項式﹣12x2+3x+m的值都為負數(shù)，則常數(shù)mA．m＜﹣9 B．m＜﹣92 C．m＜9 D．m＜【答案】B【分析】首先判斷出：﹣12x2+3x+m＝﹣12（x﹣3）2+m+92，然后根據(jù)偶次方的非負性質(zhì)，可得-12（x﹣3）2+m+92≤m+92，再根據(jù)無論x為何值，﹣12x2+3x+m【詳解】解：∵﹣12x2+3x+m＝﹣12（x2﹣6x+9）+m+92＝﹣12（x﹣3）2∵﹣12（x﹣3）2∴﹣12（x﹣3）2+m+92≤m+∵無論x為何值，﹣12x2+3x+m∴m+92解得m＜﹣92故選：B．【點睛】本題考查的知識點是配方法的應(yīng)用，將多項式進行配方是解此題的關(guān)鍵．【題型2利用配方法求代數(shù)式的值】【例2】（23-24九年級·浙江嘉興·期末）已知關(guān)于x的多項式ax2?2bx+ca≠0，當(dāng)x=a時，該多項式的值為c?a，則多項式A．3.5 B．3.25 C．3 D．2.75【答案】A【分析】本題考查了代數(shù)式及配方法，不等式及偶次方的非負性，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．先將x=a代入原式，可整理得a2=2b?1>0，再代入到a2【詳解】∵當(dāng)x=a時，該多項式的值為c?a，∴a3整理得a3?2ab+a=0∵a≠0，∴a2?2b+1=0，即∴b>1∴a2四個選項中，只有A符合，故選：A．【變式2-1】（23-24九年級·遼寧鞍山·期中）若a，b滿足2a2+b2【答案】?4【分析】已知等式利用完全平方公式配方后，利用非負數(shù)的性質(zhì)求出a，b的值，代入原式計算即可得到結(jié)果．【詳解】解：已知等式變形得：a2即a+b2∵a+b2≥0，∴a+b=0，a?2=0，解得：a=2，b=?2，則a+3b=2?6=?4．故答案為：?4．【點睛】此題考查了配方法的應(yīng)用，以及非負數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．【變式2-2】（23-24九年級·四川眉山·階段練習(xí)）“a2x2∵x?4∴x?4∴x試利用“配方法”解決下列問題：(1)如果4a2+6a+1=b+c4b2(2)已知x2+8x+y【答案】(1)?(2)?5【分析】（1）將方程組的三個方程相加，變形后再根據(jù)完全平方式的特征求解；（2）先配方，再根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求值即可；【詳解】（1）4①+②+③，得：4∴4∴2a+1∴2a+1∴2a+1=0,2b+1=0,2c+1=0,∴a=?∴a+b+c=?1故答案為：?3【點睛】本題考查配方法的應(yīng)用，正確配方，充分利用平方的非負性是求解本題的關(guān)鍵．【變式2-3】（23-24九年級·重慶忠縣·期末）閱讀下面材料，解決后面的問題：我們知道，如果實數(shù)a，b滿足a2+b2=0，那么a=b=0．利用這種思路，對于m解法是：∵m2?2mn+2n即m?n2+n?32=0，∴m?n=0根據(jù)這樣的解法，完成：(1)若x2+y(2)若等腰△ABC的兩邊長a，b滿足a2+b(3)若正整數(shù)a，b，c滿足不等式a2+b【答案】(1)x+3y=?1；(2)△ABC的周長為10或11；(3)a+b+c=6．【分析】本題考查的是配方法的應(yīng)用、等腰三角形的概念、三角形的三邊關(guān)系，靈活運用配方法是解題的關(guān)鍵．（1）利用配方法把原式變形，根據(jù)偶次方的非負性分別求出x、y，進而求出x+3y；（2）利用配方法把原式變形，根據(jù)偶次方的非負性分別求出a、b，根據(jù)等腰三角形的概念解答即可；（3）利用配方法把原式變形，根據(jù)偶次方的非負性以及有理數(shù)的平方、分情況討論求出a、b、c，計算即可．【詳解】（1）解：∵x2∴x+42∴x=?4，y=1，∴x+3y=?1；（2）解：∵a2∴a?32∴a=3，b=4．∵a，b是等腰△ABC的兩邊長，∴當(dāng)a是腰，b是底時，△ABC的周長為3+3+4=10；當(dāng)b是腰，a是底時，△ABC的周長為4+4+3=11．綜上所述：△ABC的周長為10或11；（3）解：∵a2∴4a∴3a?2∵a，b，c為正整數(shù)，∴c?3=0，即c=3，而a?2=0或±1，即a=2或1或3，當(dāng)a=1時，必有a?2b=0，則b=0.5，與題意不符，舍去，當(dāng)a=3時，必有a?2b=0，則b=1.5，與題意不符，舍去，∴a=2，b=1，c=3，∴a+b+c=6．【題型3利用配方法比較大小】【例3】（23-24·河北石家莊·一模）（1）發(fā)現(xiàn)，比較4m與m2①當(dāng)m=3時，4m②當(dāng)m=2時，4mm③當(dāng)m=?3時，4mm（2）論證，無論m取什么值，判斷4m與m2（3）拓展，試通過計算比較．x2+2與【答案】（1）<，=，<；（2）總有4m≤m2【分析】此題考查了配方法的應(yīng)用，不等式的性質(zhì)，用到的知識點是不等式的性質(zhì)、完全平方公式、非負數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)兩個式子的差比較出數(shù)的大小．（1）當(dāng)m=3時，當(dāng)m=2時，當(dāng)m=?3時，分別代入計算，再進行比較得出結(jié)論填空即可；（2）根據(jù)(m2+4)?4m=(m?2)2≥0，即可得出無論m取什么值，判斷（3）拓展：先求出x2+2?2x【詳解】解：（1）①當(dāng)m=3時，4m=12，m2+4=13，則②當(dāng)m=2時，4m=8，m2+4=8，則③當(dāng)m=?3時，4m=?12，m2+4=13，則故答案為：<；=；<；（2）無論m取什么值，判斷4m與m2+4有理由如下：∵(m∴無論取什么值，總有4m≤m（3）拓展：x=?=?(=?(x+2)故x2【變式3-1】（23-24九年級·福建泉州·期中）已知P＝1113m?2，Q＝m2?1513mA．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．無法判斷【答案】C【分析】用做差法，寫出P-Q的形式，利用配方法把原式變形，根據(jù)偶次方的非負性解答即可．【詳解】解：∵P＝1113m?2，Q＝∴Q﹣P＝(m2?1513m)?(1113m?2)＝m2則P＜Q，故選：C．【點睛】本題考查的是用做差發(fā)比較大小以及配方法的應(yīng)用，掌握完全平方公式、靈活運用配方法是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（23-24·安徽馬鞍山·二模）已知a,b,c為實數(shù)，且b+c=5?4a+3a2,c?b=1?2a+a2A．a(chǎn)<b≤c B．b<a≤c C．b≤c<a D．c<a≤b【答案】A【分析】先根據(jù)已知等式求出b=a2?a+2,c=2【詳解】∵b+c=5?4a+3a∴b=a∴b?a=a=a=(a?1)∴a<b，又∵c?b=1?2a+a∴b≤c，∴a<b≤c，故選：A．【點睛】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解題關(guān)鍵．【變式3-3】（23-24九年級·全國·專題練習(xí)）閱讀以下材料：利用我們學(xué)過的完全平方公式及不等式知識能解決代數(shù)式一些問題，如a∵a+12∴a2因此，代數(shù)式a2+2a?4根據(jù)以上材料，解決下列問題：(1)代數(shù)式a2?2a+2的最小值為(2)試比較a2+b(3)已知：a?b=2，ab+c【答案】(1)1(2)a2(3)2【分析】（1）將代數(shù)式a2（2）作差并配方，可進行大小比較；（3）變形后得：a=b+2，【詳解】（1）解：a2∵a?12∴a?12即代數(shù)式a2?2a+2的最小值為故答案為：1；（2）a2a==a∵a?32∴a2（3）∵a?b=2，∴a=b+2，∵ab+c∴bb+2∴b+12∴b+1=0，∴b=?1，∴a=?1+2=1，∴a+b+c=1?1+2=2．【點睛】本題考查非負數(shù)的性質(zhì)、配方法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握配方法，利用配方法可以確定最值問題，屬于中考?？碱}型．【題型4利用配方法進行證明】【例4】（23-24九年級·四川宜賓·期中）我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了利用配方法解一元二次方程，其實配方法還有其他重要應(yīng)用．例如：已知x可取任何實數(shù)，試求二次三項式x2解：x2∵無論x取何實數(shù)，都有（x+1)2≥0，∴（x+1請利用上述知識解決以下問題：(1)求代數(shù)式2x(2)證明：無論x取何實數(shù)，二次根式x2【答案】(1)代數(shù)式2x(2)見解析【分析】（1）先把2x2+4x+10（2）先把被開方數(shù)x2+x+2通過配方化為【詳解】（1）解：2x2+4x+10=∵無論x取何實數(shù)，都有（x+1)2≥0∴代數(shù)式2x（2）證明：x2+x+2∵無論x取何實數(shù)，都有（x+12∴無論x取何實數(shù)，二次根式x2【點睛】本題考查的是配方法的應(yīng)用，代數(shù)式的最值，偶次方的非負性的應(yīng)用，二次根式有意義的條件，掌握以上基礎(chǔ)知識是解本題的關(guān)鍵．【變式4-1】（23-24九年級·浙江·專題練習(xí)）用配方法說明，無論x取何值，代數(shù)式?2x【答案】見解析【分析】本題主要考查配方的應(yīng)用，將?2x2+8x?12【詳解】證明：?2x∵(x?2)∴?2(x?2)∴?2(x?2)∴無論x為何實數(shù)，代數(shù)式?2x【變式4-2】（23-24·湖南·模擬預(yù)測）已知整式A=4x(1)將整式A分解因式；(2)求證：若x取整數(shù)，則A能被4整除．【答案】(1)4(x+3)(x?2)；(2)證明見解析．【分析】（1）利用配方法把4x（2）利用（1）的結(jié)果即可求證；本題考查了因式分解及其應(yīng)用，掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：A=4=(2x+1)=[(2x+1)+5][(2x+1)?5]，=4(x+3)(x?2)；（2）證明：∵x取整數(shù)，∴x+3和x?2均為整數(shù)，又由（1）可知，A=4(x+3)(x?2)，∴A能被4整除．【變式4-3】（23-24九年級·湖南長沙·階段練習(xí)）[項目學(xué)習(xí)]配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法.它是指將一個式子的某部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和的方法，這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負數(shù)的意義來解決一些問題．例如，把二次三項式x2解：x2我們定義：一個整數(shù)能表示成a2+b2（a，b是整數(shù)）的形式，即兩個數(shù)的平方和形式，則稱這個數(shù)為“雅美數(shù)”例如，5是“雅美數(shù)”．理由：因為5=22+12(1)[問題解決]4，6，7，8四個數(shù)中的“雅美數(shù)”是______．(2)若二次三項式x2?6x+13（x是整數(shù)）是“雅美數(shù)”，可配方成x?m2+n（m，(3)[問題探究]已知S=x2+4y2+8x?12y+k（x，y是整數(shù)，k是常數(shù)且x≠?4，(4)[問題拓展]已知實數(shù)M，N是“雅美數(shù)”，求證：M?N是“雅美數(shù)”．【答案】(1)4，8(2)12(3)k=25(4)見解析【分析】（1）根據(jù)“雅美數(shù)”的定義判斷即可；（2）利用配方法進行轉(zhuǎn)化，然后求得對應(yīng)系數(shù)的值；（3）配方后根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)可得x、y的值，進行計算即可；（4）利用完全平方公式把原式變形，根據(jù)“雅美數(shù)”的定義證明結(jié)論．【詳解】（1）4是“雅美數(shù)”，理由：因為4=28是“雅美數(shù)”，理由：因為8=2故答案為：4，8；（2）∵x2∴m=3，n=4，∴mn=12，故答案為：12；（3）S=又∵x≠?4，y≠∴x+42≠0∴k?25=0，∴k=25；（4）因為M，N為“雅美數(shù)”，則令M=a2+b2，N=c2+d∴M?N===又∵a，b，c，d為整數(shù)∴ac+bd，bc?ad均為整數(shù)∴M?N是“雅美數(shù)”．【點睛】本題考查的是配方法的應(yīng)用，掌握完全平方公式、偶次方的非負性是解題關(guān)鍵．【題型5利用配方法求最值】【例5】（23-24九年級·浙江寧波·期中）新定義：關(guān)于x的一元二次方程a1(x?c)2+k=0與a2(x?c)2+k=0稱為“同族二次方程”．例如：5(x?6)2+7=0與6【答案】2024【分析】此題考查了配方法的應(yīng)用，非負數(shù)的性質(zhì)，以及一元二次方程的定義，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．利用“同族二次方程”定義列出關(guān)系式，再利用多項式相等的條件列出關(guān)于m與n的方程組，求出方程組的解得到m與n的值，進而利用非負數(shù)的性質(zhì)確定出代數(shù)式的最大值即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程(m+2)x2+(n?4)x+8=0∴(m+2)x∴(m+2)x∴n?4=?2(m+2)m+3=8解得m=5n=?10∴m=5=5(x?1)∵5(x?1)∴5(x?1)∴mx故答案為：2024．【變式5-1】（23-24九年級·江蘇南通·階段練習(xí)）已知實數(shù)x，y滿足2x+y=4，則代數(shù)式xy?2x+2y?4的最大值為．【答案】9【分析】將y=4?2x代入代數(shù)式，利用配方法可得?2(x?【詳解】解：由題意得：y=4?2x，將y=4?2x代入代數(shù)式得：xy?2x+2y?4=x(4?2x)?2x+2(4?2x)?4=?2=?2=?2(x?∵2(x?∴?2(x?∴?2(x?∴原代數(shù)式的最大值為：92故答案為：92【點睛】本題考查了配方法的應(yīng)用、不等式的性質(zhì)及平方的非負性，熟練掌握配方法是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（23-24·河北石家莊·一模）已知A=x2+6x+n2A．B?A的最大值是0 B．B?A的最小值是?1C．當(dāng)B=2A時，x為正數(shù) D．當(dāng)B=2A時，x為負數(shù)【答案】B【分析】利用配方法表示出B?A，以及B=2A時，用含n的式子表示出x，確定x的符號，進行判斷即可．【詳解】解：∵A=x2+6x+∴B?A=2=2==x?1∴當(dāng)x=1時，B?A有最小值?1；當(dāng)B=2A時，即：2x∴2x∴?8x=n∴x≤0，即x是非正數(shù)；故選項A,C,D錯誤，選項B正確；故選B．【點睛】本題考查整式加減運算，配方法的應(yīng)用．熟練掌握合并同類項，以及配方法，是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（23-24九年級·湖北黃岡·自主招生）設(shè)實數(shù)x，y，z滿足x+y+z=1，則M=xy+2yz+3zx的最大值為．【答案】3【分析】先將已知等式變形可得z=1?x?y，然后代入M中，利用配方法將右側(cè)配方，最后利用平方的非負性即可求出結(jié)論．【詳解】解：∵x+y+z=1∴z=1?x?y∴M=xy+2yz+3zx=xy+2y=xy+2y?2xy?2=?3=?2=?2=?2=?2=?2∵?2∴?2∴M=xy+2yz+3zx的最大值為3故答案為：34【點睛】此題考查的是配方法的應(yīng)用和非負性的應(yīng)用，掌握完全平方公式和平方的非負性是解決此題的關(guān)鍵．【題型6利用配方法在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式】【例6】（23-24九年級·上海黃浦·期中）在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：x2+6x?5=【答案】x+3+【分析】先利用配方法進行整理，再根據(jù)平方差公式進行因式分解即可?！驹斀狻拷猓簒2根據(jù)平方差公式可得x+32故x2故答案為：x+3+14【點睛】本題考查實數(shù)范圍內(nèi)的因式分解，注意在實數(shù)范圍內(nèi)進行因式分解的式子的結(jié)果一般要分到出現(xiàn)無理數(shù)為止是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（23-24九年級·上海普陀·期中）在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解：2x2【答案】2【分析】根據(jù)配方法化為平方差的形式，進而因式分解，即可求解．【詳解】解：2=2=2=2=2x?故答案為：2x?【點睛】本題考查了實數(shù)范圍內(nèi)因式分解，熟練掌握配方法是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（23-24九年級·上海浦東新·期中）在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：2x【答案】(【分析】先利用配方法，再利用平方差公式即可得．【詳解】解：原式=2=2(=2==(2【點睛】本題考查了用配方法和平方差公式法進行因式分解，因式分解的常用方法有：配方法、公式法、提取公因式法、十字相乘法等．【變式6-3】（23-24九年級·上海浦東新·階段練習(xí)）在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解：2【答案】2【分析】先配方，再采用平方差公式進行分解.【詳解】解：原式=2=2=2=2=2=2【點睛】本題考查實數(shù)范圍內(nèi)分解因式，熟練掌握配方法與平方差公式是解題的關(guān)鍵.【題型7利用配方法確定三角形形狀】【例7】（23-24九年級·全國·課后作業(yè)）選取二次三項式ax2+bx+c(a≠0)中的兩項，配成完全平方式的過程叫作配方．例如①選取二次項和一次項配方：x2?4x+2=(x?2)2根據(jù)上述材料解決下面問題：（1）寫出x2（2）已知x2+y（3）已知a、b、c為三條線段，且滿足14a2+b2+c【答案】（1）詳見解析；（2）1；（3）不能圍成三角形，理由詳見解析．【分析】（1）根據(jù)配方的概念，分別對一次項和常數(shù)項進行配方；（2）根據(jù)x2（3）將原式進行轉(zhuǎn)換，得出a、b、c之間的等量關(guān)系，從而進行判斷．【詳解】（1）x2?8x+4=x（2）∵x∴(x+∴x=?1，y=2．∴x（3）不能，理由如下：原式變形：14a∴(4a即(2a?b)2∴b=2a，c=3a，3b=2c．∴a+b=3a=c．∴a、b、c三條線段不能圍成三角形．【點睛】本題考查了整式的運算，根據(jù)題意理解新概念并掌握整式的運算，求解出未知數(shù)或者他們之間的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（23-24九年級·江蘇·單元測試）已知三角形三邊長為a、b、c，且滿足a2?4b=7，b2A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．無法確定【答案】A【詳解】解：∵a2﹣4b=7，b2﹣4c=﹣6，c2﹣6a=﹣18，∴a2﹣4b+b2﹣4c+c2﹣6a=7﹣6﹣18，整理得：a2﹣6a+9+b2﹣4b+4+c2﹣4c+4=0，即（a﹣3）2+（b﹣2）2+（c﹣2）2=0，∴a=3，b=2，c=2，∴此三角形為等腰三角形．故選A．點睛：本題考查了因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確的進行因式分解．【變式7-2】（23-24九年級·全國·課后作業(yè)）已知a，b，c是△ABC的三邊，若a，b，c滿足a2－6a＋b2－8b＋c?5＋25＝0，則△ABC是三角形；若a，b，c滿足a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，則△ABC是三角形．【答案】直角;等邊.【分析】把25分成9、16，利用配方法把a2－6a＋b2－8b＋c?5＋25＝0改寫為(a-3)2+(b-4)2+c?5=0，利用非負數(shù)的性質(zhì)求出a、b、c的值，根據(jù)勾股定理逆定理判斷即可；利用配方法把a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0改寫為(a-b)2+(b-c)2+(a-c)【詳解】∵a2－6a＋b2－8b＋c?5∴(a-3)2+(b-4)2+c?5∴a=3，b=4，c=5，∵32+42=52，∴△ABC是直角三角形；∵a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，∴(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0,∴a=b，b=c，a=c，∴a=b=c，∴△ABC是等邊三角形.故答案為直角；等邊.【點睛】此題考查了配方法的應(yīng)用、勾股定理逆定理、非負數(shù)的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是注意配方法的步驟,在變形的過程中不要改變式子的值.【變式7-3】（23-24九年級·全國·單元測試）先閱讀，再解決問題，例題：若m2+2mn+2n解：∵m∴(∴m+n∴n=3，(1)若x2+2y(2)已知ΔABC的三邊長a，b，c都是正整數(shù)，且滿足a2+(3)根據(jù)以上的方法是說明代數(shù)式：x2【答案】(1)14(2)△ABC是等邊三角形；(3)答案見解析．【分析】（1）將原式配方得(x?y)2（2）將原式配方得(a?3)2+(b?3)（3）利用配方法可以對式子x2【詳解】（1）解：x2∴x?y∴x∴x（2）解：a==0，∴a∴ΔABC（3）解：∵==(故x2【點睛】本題考查配方法的應(yīng)用、非負數(shù)的性質(zhì)：絕對值、偶次方，解題的關(guān)鍵是明確如何運用配方法化簡題目中所求的問題，根據(jù)三角形的三邊可以判斷三角形的形狀．【題型8利用配方法求幾何圖形面積最值】【例8】（23-24九年級·福建泉州·階段練習(xí)）閱讀下面內(nèi)容：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了《二次根式》和《乘法公式》，聰明的你可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)a>0，b>0時，∵a?b2=a?2ab(1)當(dāng)x>0時，則x+1(2)）若y=x2+7x+11(3)如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，△AOB、△COD的面積分別為4和9，求四邊形

【答案】(1)2；(2)y最小值為4；(3)25．【分析】（1）當(dāng)x>0時，按照公式a+b≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b（2）將y=x2+7x+11（3）設(shè)S△BOC=x，已知SΔAOB=4，SΔCOD=9，則由等高三角形可知：S△BOC【詳解】（1）當(dāng)x>0時，x+1x≥2∴當(dāng)x>0時，x+1故答案為：2；（2）由y=x∵x>?2，∴y=x+2+1當(dāng)且僅當(dāng)x+2=1x+2，即當(dāng)當(dāng)x=?1時，y最小值為4；（3）設(shè)S△BOC=x，已知S則由等高三角形可知：S∴x:9=4:∴:S∴四邊形ABCD面積=4+9+x+36當(dāng)且僅當(dāng)x=6時取等號，即四邊形ABCD面積的最小值為25．【點睛】本題考查了配方法在最值問題中的應(yīng)用，同時本題還考查了分式化簡和等高三角形的性質(zhì)，本題難度中等略大，屬于中檔題．【變式8-1】（23-24九年級·湖北武漢·階段練習(xí)）配方(1)若x2?6x+7=(x+m)2+n≥n(2)如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=12，BC=24，動點P從點A開始沿邊AB向點B以2cm/s的速度移動，動點Q從點B開始沿邊BC以4cm/s的速度移動.如果P、Q兩點分別從A、B兩點同時出發(fā)，同時停止運動．設(shè)動點運動時間為t(0<t≤6)，當(dāng)t為何值時，(3)式子3?x【答案】(1)?3，?2；(2)當(dāng)t=3時，△PBQ的面積最大，最大為36(3)3?【分析】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)，三角形面積公式、一元二次方程的應(yīng)用以及二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是能正確配方；（1）利用配方法即可求解；（2）依題意可知：BQ=4tcm，BP=AB?AP=12?2t(cm)，（3）根據(jù)配方可得x2【詳解】（1）解：∵x∴(x+m)∴m=?3故答案為：?3，?2；（2）解：依題意可知：BQ=4tcm，∴S△PBQ=當(dāng)t=3時，△PBQ的面積最大，最大為36cm（3）解：∵x∴當(dāng)x=?2時，x