高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題20 導(dǎo)數(shù)之洛必達(dá)法則解析版

專題20導(dǎo)數(shù)之洛必達(dá)法則試題1：已知函數(shù)在處取得極值，且曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】(1),；函數(shù)在處取得極值，；又曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，；解得：；（2）不等式恒成立可化為，即；當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，恒成立，令，則；令，則；令，則；得在是減函數(shù)，故，進(jìn)而（或，，得在是減函數(shù)，進(jìn)而）．可得：，故，所以在是減函數(shù)，而要大于等于在上的最大值，但當(dāng)時(shí)，沒(méi)有意義，變量分離失效，我們可以由洛必達(dá)法得到答案，，故答案為．試題2：已知函數(shù).（1）若在時(shí)有極值，求函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.【解析】（1）因?yàn)椋杂稍谔幦O值，得，求得，所以.（2）當(dāng)時(shí)，，即.①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，也即.記，，則.記，，則，因此在上單調(diào)遞增，且，所以；從而在上單調(diào)遞增，所以.由洛必達(dá)法則有：，即當(dāng)時(shí)，，所以，即有.綜上所述，當(dāng)，時(shí)，成立.試題3：已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為。（1）求、的值；（2）如果當(dāng)，且時(shí)，，求的取值范圍?！窘馕觥浚?）略（2）由題設(shè)可得，當(dāng)時(shí)，k<恒成立。令g(x)=(),則，再令()，則，，易知在上為增函數(shù)，且；故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)x（1，+）時(shí)，；在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)；故>=0，在上為增函數(shù)，=0，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)x（1，+）時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)x（1，+）時(shí)，，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，由洛必達(dá)法則知，，即k的取值范圍為（-，0]試題4：已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，若，都有恒成立，求的取值范圍.【解析】當(dāng)時(shí)，恒成立，等價(jià)于恒成立令則，再令，由得，當(dāng)時(shí)，<0,在單調(diào)遞減，，即，在單調(diào)遞增，，即，，，在單調(diào)遞增，由洛必達(dá)法則可得==1，，1，要使恒成立，只需，的取值范圍是試題5：若不等式對(duì)于恒成立，求的取值范圍.【解析】當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于.記，則.記，則.因?yàn)?，，所以在上單調(diào)遞減，且，所以在上單調(diào)遞減，且.因此在上單調(diào)遞減，且，故，因此在上單調(diào)遞減.由洛必達(dá)法則有，即當(dāng)時(shí)，，即有.故時(shí)，不等式對(duì)于恒成立.試題6：設(shè)函數(shù).設(shè)當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.【解析】由題設(shè)，此時(shí).①當(dāng)時(shí)，若，則，不成立；②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，即；若，則；若，則等價(jià)于，即.記，則.記，則，.因此，在上單調(diào)遞增，且，所以，即在上單調(diào)遞增，且，所以.因此，所以在上單調(diào)遞增.由洛必達(dá)法則有，即當(dāng)時(shí)，，即有，所以.綜上所述，的取值范圍是.試題7：設(shè)函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.【解析】當(dāng)時(shí)，，對(duì)任意實(shí)數(shù)a,均在；當(dāng)時(shí)，等價(jià)于令,則，令，則，，知在上為增函數(shù)，；知在上為增函數(shù)，；，g(x)在上為增函數(shù)。由洛必達(dá)法則知，，故綜上，知a的取值范圍為。試題8：已知函數(shù)，．（1）若函數(shù)是上的單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的最小值；（2）若，且對(duì)任意，都有不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】(1)∵函數(shù)在R上單調(diào)遞增，∴恒成立，∴，即，∴.(2)∵，∴函數(shù)，由對(duì)任意都成立，得恒成立.即恒成立.①當(dāng)，恒成立；②當(dāng)，恒成立；=3\*GB3③當(dāng)時(shí)，即：恒成立；令，則，∴在上單調(diào)遞增；∴（行不通，洛必達(dá)法則），所以：試題9：設(shè)函數(shù)．如果對(duì)任何，都有，