高中數(shù)學復習專題12 利用導數(shù)研究雙變量問題解析版

專題12利用導數(shù)研究雙變量問題一、單選題1．若函數(shù)存在兩個極值點，，（），則的取值范圍是（）A． B． C． D．【解析】根據(jù)題意，是有兩解，所以，所以，，，由可得，，由可得，，則，故選：D.2．若，令，則的最小值屬于（）A． B． C． D．【解析】設，則，，，令，，易知單增，且，，則存在，使，即，，單減；，，單增；又，則，易知在單減，即，故選：C3．若對于任意的，都有，則的最大值為（）A．1 B． C． D．【解析】，，，，，函數(shù)在定義域上單調遞增，在上恒成立，由，解得，故的最大值是.故選：C．4．設函數(shù)，，若對任意，不等式恒成立，則正數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【解析】因為在上遞減，在上遞增，所以當時，取得最小值，因為，所以，當時，，所以在上單調遞增，所以的最大值為，因為對任意，不等式恒成立，所以，因為，所以，解得.故選：D5．已知函數(shù)，且有兩個極值點，其中，則的最小值為（）A． B． C． D．【解析】的定義域，，令，則必有兩根，，所以，，，，當時，，遞減，所以的最小值為，故選：A.6．已知函數(shù)，若，，使得，且，則的最大值為（）A．2 B．3 C．4 D．6【解析】，，令，即，解得，，當時，，所以在上單調遞增；當時，，所以在上單調遞減；當時，，所以在上單調遞增.在處取得極大值，極大值為；在處取得極小值，極小值為.令，即，即，解得（舍）或；令，即，即，解得（舍）或；的最大值為.故選:C.7．已知函數(shù)，，若對任意的,存在，使，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【解析】由題意可知，，當時，，函數(shù)單調遞減，當時，，函數(shù)單調遞增，當時，取得最小值，，，，①當時，函數(shù)單調遞增，，即，解得：，不成立；②當時，，即，解得：或，不成立；③當時，函數(shù)單調遞減，，即，解得：，成立.綜上可知：.故選：B8．已知大于1的正數(shù)，滿足，則正整數(shù)的最大值為（）A．7 B．8 C．9 D．11【解析】由題干條件可知：等價于，令，，則，，當時，，當時，所以在上單調遞增，在上單調遞減，則有最大值.令，，則，當時，此題無解，所以，則，當，當，所以在上單調遞減，在上單調遞增，則有最小值.若成立，只需，即，即，兩邊取對數(shù)可得：.時，等式成立，當時，有，令，本題即求的最大的正整數(shù).恒成立，則在上單調遞減，，，，所以的最大正整數(shù)為9.故選：C.二、多選題9．關于函數(shù)，下列判斷正確的是（）A．是的極小值點B．函數(shù)有且只有1個零點C．存在正實數(shù)，使得恒成立D．對任意兩個正實數(shù)，，且，若則【解析】A：函數(shù)的的定義域為，，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，∴是的極小值點，即A正確；B：，∴，函數(shù)在上單調遞減，且，∴函數(shù).有且只有1個零點，即B正確；C：若恒成立，即恒成立.令，則，令，則，當時，，當時，，∴在上，函數(shù)單調遞增，上函數(shù)單調遞減，∴，∴，∴在上函數(shù)單調遞減，函數(shù)無最小值，當時，，∴不存在正實數(shù)，使得恒成立，即C不正確；D.由單調性可知，，，令，則，，令，則，∴在上單調遞減，則，∴時，，令，由，得，則，故D正確.故選：ABD.10．已知函數(shù)，若正實數(shù)滿足，則下列說法正確的是（）A．在函數(shù)上存在點，使得函數(shù)過該點的切線與只有一個交點B．過點可作兩條切線與函數(shù)相切C．D．的值與2的關系不確定【解析】對于選項A：的定義域為，設點處切線為，則切線為，設，所以，由可得：；由可得：，所以在單調遞減，在單調遞增，令則，可得在單調遞增，而，所以在上只有一個零點，故選項A正確；對于選項B：設點則切線為，若切線過點，可得，即，令，則，由可得：；由可得：，所以在單調遞減，在單調遞增，，所以無解，所以不存在過點的切線，故選項B不正確；對于選項C和D：，所以可得在單調遞增，由，，設，記，（），則，所以在單調遞增，因為，，所以，即即，即，根據(jù)在單調遞增，可得，所以，故選項C正確，選項D不正確，故選：AC.11．已知函數(shù)有兩個零點，則（）A．的取值范圍為 B．C． D．【解析】，因為，所以當時，單調遞增，函數(shù)至多有一個零點；當時，當時，單調遞減，當時，單調遞增，所以當時，函數(shù)有最大值，最大值為：，當時，，所以函數(shù)至多有一個零點；當時，，而，當時，，當時，，所以函數(shù)在內各有一個零點，所以，因此選項A不正確；選項B：因為，所以，因此本選項正確；選項C：因為，當時，，所以，因此，構造新函數(shù)，，因為，所以單調遞減，因此當時，，又因為，所以，而，因此，所以本選項正確；選項D：，令，顯然有，令，顯然，因此有：，設，所以有，當時，單調遞減，當時，單調遞增，因為，所以，令，即，因為，所以單調遞增，因為，所以，而，所以，因為，所以，當時，單調遞減，因此有，即，所以本選項說法正確，故選：BCD12．已知函數(shù)的極值點分別為，則下列命題正確的是（）A． B．C．若，則有三個零點 D．【解析】，∵的極值點分別為，∴是方程的兩根，∴，A正確；，B錯誤；不妨設，由題意可知，在單增，在單減，且，根據(jù)函數(shù)圖像趨勢，當時，，當時，，則有三個零點，C正確；，同理：，，∴，而，∴，D正確.故選：ACD.三、填空題13．已知函數(shù)，若存在，，使得，則的取值范圍是__________.【解析】，，得，，，當時，，，由，得，由，得，在上單調遞減，在上單調遞增，在處取得最小值，，，令，則，，當時，取得最小值，當時，取得最大值0，的取值范圍是，．14．已知函數(shù)，當，恒成立，則的最大值為___________.【解析】令，則，，當，恒成立，則有，，由得，因為任意的，都有，所以，，結合，得.當時，，令，，則，由得，；由得，；所以在上遞減，在上遞增，的最小值為，由，得，對恒成立.所以，取，有恒成立.綜上可知，的最大值為1.15．已知函數(shù)的兩個極值點為，，且，則的取值范圍是______．【解析】因為，且，是兩個極值點，所以，是的兩個根，所以，滿足，又因為，所以且，所以，所以，又因為，所以，所以，所以，所以解得，令，設，所以，所以在上單調遞減，所以，所以，所以的取值范圍是，故答案為：.16．已知函數(shù)有兩個極值點、，則的取值范圍為_________.【解析】函數(shù)的定義域為，，依題意，方程有兩個不等的正根、（其中），則，由韋達定理得，，所以，令，則，，當時，，則函數(shù)在上單調遞減，則，所以，函數(shù)在上單調遞減，所以，.因此，的取值范圍是.四、解答題17．已知，函數(shù).（1）若曲線與曲線在它們的交點處的切線互相垂直,求的值；（2）設,若對任意的,且,都有，求的取值范圍．【解析】（1）,依題意有,且,可得,解得,或.（2）.不妨設,等價于.設,則對任意的,且,都有,等價于在上是增函數(shù).,可得,依題意有,對任意,有恒成立.由,可得.18．已知函數(shù).（1）討論的單調性；（2）若有兩個相異零點，求證：.【解析】由題意得，①時，恒成立，所以，所以在單調遞增.②時，在上，在上，所以在單調遞減，在單調遞增.綜上，時，在單調遞增.時，在單調遞減，在單調遞增.（2）因為有兩個相異零點，，由（1）可知，，不妨設，因為，，所以，，所以，要證，即證，等價于證明，而，所以等價于證明，也就是.（*）令，則，于是欲證（*）成立，等價于證明成立，設函數(shù)，求導得，所以函數(shù)是上的增函數(shù)，所以，即成立，所以成立.19．已知函數(shù)，，若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的一個公共點的橫坐標為且兩函數(shù)圖象在點處的切線斜率之和為.（1）求的值；（2）對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）因為，所以，即，又，所以，，，由題意得，所以由得（2）由（1）得，對任意的，恒成立，所以，因為，令得，令得或.所以函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增.而，所以，而，當時，，故，所以實數(shù)的取值范圍是.20．已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的極值．（2）設為的導函數(shù)，若是函數(shù)的兩個不相等的零點，求證：【解析】（1）由題，，令，解得，令，解得，故函數(shù)在單調遞增，在上單調遞減，所以函數(shù)的極大值為，綜上可知，函數(shù)的極大值為，無極小值．（2）依題意，所以是的兩個不相等的正實數(shù)根，則，解得，，令，則，所以在上單調遞減，所以，即21．已知函數(shù)（為常數(shù)）.（1）若是定義域上的單調函數(shù)，求的取值范圍；（2）若函數(shù)存在兩個極值點，，且，求的范圍.【解析】（1）∵，∴只要，即時恒成立，在定義域上單調遞增.（2）由（1）知有兩個極值點則，的二根為，則，，，設，又，∴.則，，∴在遞增，.即的范圍是.22．已知函數(shù)（）.（1）當時，討