高中數(shù)學復習專題12 利用導數(shù)研究雙變量問題解析版_第1頁
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專題12利用導數(shù)研究雙變量問題一、單選題1.若函數(shù)存在兩個極值點,,(),則的取值范圍是()A. B. C. D.【解析】根據(jù)題意,是有兩解,所以,所以,,,由可得,,由可得,,則,故選:D.2.若,令,則的最小值屬于()A. B. C. D.【解析】設,則,,,令,,易知單增,且,,則存在,使,即,,單減;,,單增;又,則,易知在單減,即,故選:C3.若對于任意的,都有,則的最大值為()A.1 B. C. D.【解析】,,,,,函數(shù)在定義域上單調遞增,在上恒成立,由,解得,故的最大值是.故選:C.4.設函數(shù),,若對任意,不等式恒成立,則正數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.【解析】因為在上遞減,在上遞增,所以當時,取得最小值,因為,所以,當時,,所以在上單調遞增,所以的最大值為,因為對任意,不等式恒成立,所以,因為,所以,解得.故選:D5.已知函數(shù),且有兩個極值點,其中,則的最小值為()A. B. C. D.【解析】的定義域,,令,則必有兩根,,所以,,,,當時,,遞減,所以的最小值為,故選:A.6.已知函數(shù),若,,使得,且,則的最大值為()A.2 B.3 C.4 D.6【解析】,,令,即,解得,,當時,,所以在上單調遞增;當時,,所以在上單調遞減;當時,,所以在上單調遞增.在處取得極大值,極大值為;在處取得極小值,極小值為.令,即,即,解得(舍)或;令,即,即,解得(舍)或;的最大值為.故選:C.7.已知函數(shù),,若對任意的,存在,使,則實數(shù)的取值范圍是A. B. C. D.【解析】由題意可知,,當時,,函數(shù)單調遞減,當時,,函數(shù)單調遞增,當時,取得最小值,,,,①當時,函數(shù)單調遞增,,即,解得:,不成立;②當時,,即,解得:或,不成立;③當時,函數(shù)單調遞減,,即,解得:,成立.綜上可知:.故選:B8.已知大于1的正數(shù),滿足,則正整數(shù)的最大值為()A.7 B.8 C.9 D.11【解析】由題干條件可知:等價于,令,,則,,當時,,當時,所以在上單調遞增,在上單調遞減,則有最大值.令,,則,當時,此題無解,所以,則,當,當,所以在上單調遞減,在上單調遞增,則有最小值.若成立,只需,即,即,兩邊取對數(shù)可得:.時,等式成立,當時,有,令,本題即求的最大的正整數(shù).恒成立,則在上單調遞減,,,,所以的最大正整數(shù)為9.故選:C.二、多選題9.關于函數(shù),下列判斷正確的是()A.是的極小值點B.函數(shù)有且只有1個零點C.存在正實數(shù),使得恒成立D.對任意兩個正實數(shù),,且,若則【解析】A:函數(shù)的的定義域為,,當時,,單調遞減,當時,,單調遞增,∴是的極小值點,即A正確;B:,∴,函數(shù)在上單調遞減,且,∴函數(shù).有且只有1個零點,即B正確;C:若恒成立,即恒成立.令,則,令,則,當時,,當時,,∴在上,函數(shù)單調遞增,上函數(shù)單調遞減,∴,∴,∴在上函數(shù)單調遞減,函數(shù)無最小值,當時,,∴不存在正實數(shù),使得恒成立,即C不正確;D.由單調性可知,,,令,則,,令,則,∴在上單調遞減,則,∴時,,令,由,得,則,故D正確.故選:ABD.10.已知函數(shù),若正實數(shù)滿足,則下列說法正確的是()A.在函數(shù)上存在點,使得函數(shù)過該點的切線與只有一個交點B.過點可作兩條切線與函數(shù)相切C.D.的值與2的關系不確定【解析】對于選項A:的定義域為,設點處切線為,則切線為,設,所以,由可得:;由可得:,所以在單調遞減,在單調遞增,令則,可得在單調遞增,而,所以在上只有一個零點,故選項A正確;對于選項B:設點則切線為,若切線過點,可得,即,令,則,由可得:;由可得:,所以在單調遞減,在單調遞增,,所以無解,所以不存在過點的切線,故選項B不正確;對于選項C和D:,所以可得在單調遞增,由,,設,記,(),則,所以在單調遞增,因為,,所以,即即,即,根據(jù)在單調遞增,可得,所以,故選項C正確,選項D不正確,故選:AC.11.已知函數(shù)有兩個零點,則()A.的取值范圍為 B.C. D.【解析】,因為,所以當時,單調遞增,函數(shù)至多有一個零點;當時,當時,單調遞減,當時,單調遞增,所以當時,函數(shù)有最大值,最大值為:,當時,,所以函數(shù)至多有一個零點;當時,,而,當時,,當時,,所以函數(shù)在內各有一個零點,所以,因此選項A不正確;選項B:因為,所以,因此本選項正確;選項C:因為,當時,,所以,因此,構造新函數(shù),,因為,所以單調遞減,因此當時,,又因為,所以,而,因此,所以本選項正確;選項D:,令,顯然有,令,顯然,因此有:,設,所以有,當時,單調遞減,當時,單調遞增,因為,所以,令,即,因為,所以單調遞增,因為,所以,而,所以,因為,所以,當時,單調遞減,因此有,即,所以本選項說法正確,故選:BCD12.已知函數(shù)的極值點分別為,則下列命題正確的是()A. B.C.若,則有三個零點 D.【解析】,∵的極值點分別為,∴是方程的兩根,∴,A正確;,B錯誤;不妨設,由題意可知,在單增,在單減,且,根據(jù)函數(shù)圖像趨勢,當時,,當時,,則有三個零點,C正確;,同理:,,∴,而,∴,D正確.故選:ACD.三、填空題13.已知函數(shù),若存在,,使得,則的取值范圍是__________.【解析】,,得,,,當時,,,由,得,由,得,在上單調遞減,在上單調遞增,在處取得最小值,,,令,則,,當時,取得最小值,當時,取得最大值0,的取值范圍是,.14.已知函數(shù),當,恒成立,則的最大值為___________.【解析】令,則,,當,恒成立,則有,,由得,因為任意的,都有,所以,,結合,得.當時,,令,,則,由得,;由得,;所以在上遞減,在上遞增,的最小值為,由,得,對恒成立.所以,取,有恒成立.綜上可知,的最大值為1.15.已知函數(shù)的兩個極值點為,,且,則的取值范圍是______.【解析】因為,且,是兩個極值點,所以,是的兩個根,所以,滿足,又因為,所以且,所以,所以,又因為,所以,所以,所以,所以解得,令,設,所以,所以在上單調遞減,所以,所以,所以的取值范圍是,故答案為:.16.已知函數(shù)有兩個極值點、,則的取值范圍為_________.【解析】函數(shù)的定義域為,,依題意,方程有兩個不等的正根、(其中),則,由韋達定理得,,所以,令,則,,當時,,則函數(shù)在上單調遞減,則,所以,函數(shù)在上單調遞減,所以,.因此,的取值范圍是.四、解答題17.已知,函數(shù).(1)若曲線與曲線在它們的交點處的切線互相垂直,求的值;(2)設,若對任意的,且,都有,求的取值范圍.【解析】(1),依題意有,且,可得,解得,或.(2).不妨設,等價于.設,則對任意的,且,都有,等價于在上是增函數(shù).,可得,依題意有,對任意,有恒成立.由,可得.18.已知函數(shù).(1)討論的單調性;(2)若有兩個相異零點,求證:.【解析】由題意得,①時,恒成立,所以,所以在單調遞增.②時,在上,在上,所以在單調遞減,在單調遞增.綜上,時,在單調遞增.時,在單調遞減,在單調遞增.(2)因為有兩個相異零點,,由(1)可知,,不妨設,因為,,所以,,所以,要證,即證,等價于證明,而,所以等價于證明,也就是.(*)令,則,于是欲證(*)成立,等價于證明成立,設函數(shù),求導得,所以函數(shù)是上的增函數(shù),所以,即成立,所以成立.19.已知函數(shù),,若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的一個公共點的橫坐標為且兩函數(shù)圖象在點處的切線斜率之和為.(1)求的值;(2)對任意,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.【解析】(1)因為,所以,即,又,所以,,,由題意得,所以由得(2)由(1)得,對任意的,恒成立,所以,因為,令得,令得或.所以函數(shù)在上單調遞減,在上單調遞增.而,所以,而,當時,,故,所以實數(shù)的取值范圍是.20.已知函數(shù).(1)若,求函數(shù)的極值.(2)設為的導函數(shù),若是函數(shù)的兩個不相等的零點,求證:【解析】(1)由題,,令,解得,令,解得,故函數(shù)在單調遞增,在上單調遞減,所以函數(shù)的極大值為,綜上可知,函數(shù)的極大值為,無極小值.(2)依題意,所以是的兩個不相等的正實數(shù)根,則,解得,,令,則,所以在上單調遞減,所以,即21.已知函數(shù)(為常數(shù)).(1)若是定義域上的單調函數(shù),求的取值范圍;(2)若函數(shù)存在兩個極值點,,且,求的范圍.【解析】(1)∵,∴只要,即時恒成立,在定義域上單調遞增.(2)由(1)知有兩個極值點則,的二根為,則,,,設,又,∴.則,,∴在遞增,.即的范圍是.22.已知函數(shù)().(1)當時,討

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