高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題08 利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題解析版

專題08利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題一、單選題1．設(shè)為正實(shí)數(shù)，函數(shù)，若，，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【解析】，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，所以有成立，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此當(dāng)時(shí)，恒成立，一定有成立，即，因?yàn)?，所以?故選：A2．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（）A．1 B．0C．3 D．2【解析】∵在時(shí)恒成立，而時(shí)，，∴在上遞減，∴當(dāng)時(shí)，恒成立，即時(shí)，恒成立，故，∴實(shí)數(shù)a的最大值為3，故選：C.3．已知函數(shù)，對(duì)任意，不等式恒成立，則正數(shù)a的最小值為（）A． B． C． D．【解析】，在單調(diào)遞增，不妨取，則，恒成立令，即在單調(diào)遞增，又，，故選：A.4．已知，，且，，且，恒成立，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．【解析】，，且，恒成立，對(duì)，，且恒成立，令，則只需，對(duì)恒成立，即，對(duì)恒成立，只需，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，的取值范圍為．故選：B．5．當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【解析】令，∵時(shí)，∴不合條件.令，故恒成立，又，∴要在處取最大值，故為在上的極大值點(diǎn)，故，又，故，∴，故選：B.6．已知關(guān)于的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【解析】依題意，，故，令，故，而，令，故，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，即實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：B．7．已知函數(shù)，對(duì)于任意，，不等式恒成立，則整數(shù)的最大值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【解析】，設(shè)，，則有且，即恒成立，即，令，則在上單調(diào)遞增，即恒成立，即，，得，下證成立：，易證當(dāng)時(shí)，，考查函數(shù)：，則，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)造增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，據(jù)此可得：，當(dāng)時(shí)，，故成立．故選B．8．已知函數(shù)，若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（）A． B．C． D．【解析】由題意知函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以轉(zhuǎn)化為在上恒成立，因?yàn)椋栽谏虾愠闪?，即轉(zhuǎn)化為，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以.故選：D.二、多選題9．已知不等式對(duì)恒成立，以下命題中真命題是（）A．對(duì)，不等式恒成立B．對(duì)，不等式恒成立C．對(duì)，不等式恒成立D．對(duì)，且，不等式恒成立【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，由于不等式對(duì)恒成立，所以恒成立，所以A正確.對(duì)于B選項(xiàng)，由于不等式對(duì)恒成立，所以對(duì)恒成立，注意到，所以對(duì)恒成立，B正確.當(dāng)時(shí)，，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng)，對(duì)，且，不等式恒成立，等價(jià)于，即，下證此不等式對(duì)，且恒成立.當(dāng)時(shí)，，令，，所以在區(qū)間上遞增，，所以，即成立.當(dāng)時(shí)，，令，，所以在區(qū)間上遞增，，所以，即（證畢）.所以D選項(xiàng)正確.故選：ABD10．若，則下列不等式成立的是（）A． B．C． D．【解析】構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，即，所以選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.構(gòu)造函數(shù)，，易知在上單調(diào)遞增，而，時(shí)，，所以，使，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以無(wú)法判斷C選項(xiàng)的正確性.構(gòu)造函數(shù)，易知在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，即，所以選項(xiàng)D正確.故選：AD.11．已知函數(shù)，，若，，不等式成立，則的可能值為（）A．4 B．3 C．2 D．1【解析】，若，則，則在單調(diào)遞增，；若，則在單減，在單增，，∴.，則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，∴.∵，，不等式成立，∴若，，成立；若，，即，令，∴，∴h（x）在（1，+∞）單增.而，，，.故選：BCD.12．已知函數(shù)f（x）=ax2﹣x+lnx有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)x1，x2，若不等式恒成立，則t的取值可能是（）A． B．C． D．【解析】，，由題意得，為的兩不等正根，所以，解得，，令（a），，則，（a）在上單調(diào)遞增，（a），因?yàn)楹愠闪?，所以恒成立，所以．故選：BD．三、填空題13．已知函數(shù)，，若對(duì)于任意，都有成立，則__________.【解析】，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)x=1時(shí)，由，取得最大值.因?yàn)閷?duì)任意，都有成立，所以，即，即對(duì)任意，恒成立，所以，解得：.，令解得：，當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.于是，當(dāng)時(shí)，即，解得：a=4.14．已知函數(shù)．若對(duì)恒成立，實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________．【解析】對(duì)恒成立，等價(jià)于在上恒成立，即，令，則有，當(dāng)時(shí)，，則有在上單調(diào)遞減；當(dāng)或時(shí)，，則有在和上單調(diào)遞增；所以的最小值為或，又，，所以，即.15．已知函數(shù)，，若滿足恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.【解析】令，則，所以，若，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，符合題意；若，令，則，易得在上單調(diào)遞增，且，若，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，符合題意；若，則，則存在使得當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，，即，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，，不合題意；綜上，符合要求的a的取值范圍為.16．已知函數(shù)，，，若對(duì)任意的，，當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為______．【解析】因?yàn)?，所以，且，所以，故在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，恒成立等價(jià)于恒成立，即恒成立，設(shè)，則在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，而，所以在上恒成立，令，則，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，故實(shí)數(shù)的最大值為.四、解答題17．設(shè)，其中．（1）若有極值，求的取值范圍；（2）若當(dāng)，恒成立，求的取值范圍．【解析】（1）由題意可知：，且有極值，則有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，故，解得：，即．（2）由于，恒成立，則，即，由于，則①當(dāng)時(shí)，在處取得極大值、在處取得極小值，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，因?yàn)?，所以恒大于，?dāng)時(shí)，，解得：；②當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，且，則恒成立；③當(dāng)時(shí)，在處取得極大值、在處取得極小值，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，因?yàn)?，所以恒大于，?dāng)時(shí)，，解得，綜上所述，的取值范圍是．18．已知函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為.（1）求，的值；（2）當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)恒成立.【解析】（1）因?yàn)?，所以，解得，則，解得.（2）證明：因?yàn)?，所以要證對(duì)恒成立，只需證對(duì)恒成立.設(shè)函數(shù)（），則.因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞減，從而，則對(duì)恒成立，故當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立.19．已知函數(shù)且曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（1）求實(shí)數(shù)a，b的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若關(guān)于x的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解析】（1）代入得：，所以切點(diǎn)為.，所以.所以.，令，解得，（舍去）.所以，，為減函數(shù)，，，為增函數(shù).（2）因?yàn)楹愠闪?，即恒成立，化?jiǎn)為：恒成立.設(shè)，即即可.，因?yàn)樵跒樵龊瘮?shù)，且，所以，，為減函數(shù)，，，為增函數(shù).，即.20．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若對(duì)任意的，都有成立，求的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，所以切線的斜率為，因?yàn)?，所以切點(diǎn)為，所以在點(diǎn)處的切線方程為即（2）對(duì)任意的，都有成立，只要任意的，，由，得，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以，滿足題意，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，滿足題意，當(dāng)時(shí)，當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，所以，所以只要即可，而，所以不合題意，綜上所述：或，所以的取值范圍為21．已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若時(shí)有恒成立，求的取值范圍．【解析】（1）的定義域?yàn)?，所以．?dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由得；得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上可得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立．因?yàn)?，所以．令，．令，所以，故在上單調(diào)遞減，且，，故存在使得，故，即．當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；∴在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，∴，故．22．已知函數(shù)，且.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極大值；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【