2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三系列（蘇科版）專題74 銳角三角函數(shù)章末測試卷（培優(yōu)卷）（舉一反三）（蘇科版）含解析

2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三系列第7章銳角三角函數(shù)章末測

試卷（培優(yōu)卷）

【蘇科版】

考試時(shí)間：60分鐘；滿分：100分

姓名：班級(jí)：____________考號(hào)：

考卷信息：

本卷試題共23題，單選10題，填空6題，解答7題，滿分100分，限時(shí)60分鐘，本卷題型針對(duì)性較高，覆蓋

面廠，選題有深度，可衡量學(xué)生掌握本章內(nèi)容的具體情況！

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.（3分）（2021秋?淮北月考）已知角a為△ABC的內(nèi)角，且cosa=3，則a的取值范圍是（）

A.0°<a<30°B.30°<a<45°C.45°<a<60°D.60°<a<90°

2.（3分）（2021秋?芝呆區(qū)期中）在R【ZU8C中，ZC=90°,cos4二工則sin4=（）

3434

A.-B.-C.-D.-

4355

3.（3分）（2021秋?瑤海區(qū)校級(jí)月考）已知銳角a滿足tan（a+10°）=1,則銳角a的度數(shù)為（）

A.20°B.35°C.45°D.50°

4.（3分）（2021秋?普寧市期末）已知Ri△44C中，ZC=90°,4c=2,"。=3,那么下列各式中正確

的是（）

.2222

A.siii4=gB.tark4=可C.tanB=D.cosB=

5.（3分）（2021秋?萊蕪區(qū)期中）在RiZ\ACB中，ZC=90°,tanA=276,則sinB的值為（）

1

B.-C.V2D.V3

52

6.（3分）（2021秋?綠園區(qū)期末）如圖，在4X4的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為I,已知/a

且cosa=￥1^,則滿足條件的Na是（

的頂點(diǎn)位于正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上,）

7.（3分）（2021秋?寬城區(qū)期末）圖①是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（/CME）會(huì)徽，在其主體圖案中選擇

兩個(gè)相鄰的直角三角形，恰好能組合得到如圖②所示的四邊形OA8c.若A8=BC=1,ZAOB=a,則

【an/BOC的值為（

A.sina

8.（3分）（2021秋?天長市月考）在正方形網(wǎng)格中，△ABC在網(wǎng)格中的位置如圖，則sin8的值為（）

2V21

D.

2

9.（3分）（2021秋?孟津縣期末）數(shù)學(xué)課外興趣小組的同學(xué)們要測量被池塘相隔的兩棵樹A,3的距離,

他們?cè)O(shè)計(jì)了如圖的測量方案：從樹A沿著垂直于AB的方向走到E,再從E沿著垂直于AE的方向走到F,

C為AE上一點(diǎn)，其中4位同學(xué)分別測得四組數(shù)據(jù)：①AC,/AC&②七八DE,A。；③CD,ZACB,

Z1ADB,④/尸，Z1ADB,尸叢其中能根據(jù)所測數(shù)據(jù)求得A,5兩樹距離的有（）

A.\組B.2組C.3組D.4組

10.（3分）（2021?浙江自主招生）如圖，在△A8C中，NA8C=9（）°,。為4c的中點(diǎn)，點(diǎn)石在AB上,

AD,CE交于點(diǎn)尸，AE=EF=4,FC=9,則cosNACB的值為（）

二.填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）

4

11.（3分）（2021?東莞市校級(jí)一模）如圖，在RtZ\A8C中，ZACB=90°,CD垂直于AB,tanZDCB=^,

AC=12,則8C=

12.（3分）（2021秋?東莞市校級(jí)期末）在RtZXABC中，ZC=90°,sin4=空，BC=2瓜則AC的長

為.

13.（3分）（2021秋?黃浦區(qū)期末）已知一個(gè)銳角的正切值比會(huì)切值大，且兩者之和是3點(diǎn)則這個(gè)銳角的

正切值為.

14.（3分）（2021秋?徐匯區(qū)校級(jí)期中）如圖，在Rtz^ABC中，NB=90°,AB=BE=EF=FC,則NEA/

的余弦值為

15.（3分）（2021?新洲區(qū)模擬）如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,4c=10,8c=5,W是射線A4

上的一動(dòng)點(diǎn)，以AM為斜邊在△A8C外作RtZ\AMN,且使tan/MAN=/，。是8M的中點(diǎn)，連接ON.則

ON長的最小值為.

B

16.（3分）（2021秋?昆都侖區(qū)期末）如圖，點(diǎn)。在鈍角△ABC的邊BC上連接AD,N8=45°,ZCAD

=ZCDA,CA：CB=5：7,則NC4D的余弦值為

三.解答題（共7小題，滿分52分）

17.（6分）（2021秋?萊州市期中）計(jì)算：2cos45°-^tan30°cos30°+sin260o.

J

18.（6分）（2021秋?淮北月考）觀察下列等式：

?sin30=4，cos60°=

②sin45°=苧，cos45°=￥；

③sin60°=苧,cos30°=苧.

（1）根據(jù)上述規(guī)律，計(jì)算si/a+sit?（90°-a）=

（2）計(jì)算：sin2l°+sin220+sin23°+---+sin289°.

19.（8分）（2021秋?通許縣期中）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

我們所學(xué)的銳角三角函數(shù)反映了直角三角形中的邊角關(guān)系:

.BCACBC

如圖1.

sina=而,c°sa=宿tana=AC'

一般地，當(dāng)〃、0為任意角時(shí)，sin(a+p)與sin(a-p)的值可以用下面的公式求得:(a+P)=

sinacosp+cosasinp；sin(a-p)=sinacosp-cosasinp.

例如：sin150=sin(45°-30)=sin45°cos300-cos45sin30°=＞丁.

任務(wù)：

(1)計(jì)算：sin750=；

4

20.(8分)(2021秋?新北區(qū)期中)如圖，在aAB。中，AD1BC,BD=8,cosZABC=X8尸為△ABC

J

的角平分線，BF交AD于點(diǎn)E.求：

(1)A。的長；

(2)tan/FBC的值.

21.（8分）（2021秋?淮北月考）淮北市為緩解“停車難”問題，建造地下停車庫，如圖已知

ZBAD=\S°,C在8。上，BC=0.5.根據(jù)規(guī)定，停車庫坡道入口上方要張貼限高標(biāo)準(zhǔn)值，以告知駕駛

員能否安全駛?cè)?小明認(rèn)為。的長就是限高值，而小亮認(rèn)為應(yīng)該以CE的長作為限高值.（參考數(shù)據(jù)：

sin180=0.31,cosl80=0.95,tan18°=0.325,結(jié)果精確到

（1）請(qǐng)你判斷小明和小亮誰說的對(duì)？

（2）計(jì)算出正確的限高值.

22.（8分）（2021秋?萊州市期中）市政府為實(shí)現(xiàn)5G網(wǎng)絡(luò)全覆蓋,2021?2025年擬建設(shè)5G基站三千個(gè).如

圖，在斜坡C8上有一建成的基站塔A8,斜坡C8的坡比為1：2.4.小芳在坡腳。測得塔頂A的仰角為

45°,然后她沿坡面CB行走了13米到達(dá)。處，在D處測得塔頂A的仰角為53°.（點(diǎn)A、8、C、D

均在同一平面內(nèi)，CE為地平線）（參考數(shù)據(jù)：sin53°是，cos53°?tan53°?

（1）求。處的豎直高度；

（2）求基站塔AA的高.

23.（8分）（2021?永春縣模擬）如圖在等腰三角形A4C中，A8=AC,點(diǎn)。、E分別是43、BC的中點(diǎn),

過點(diǎn)B作BF.LAC于點(diǎn)F,BF與DE交于點(diǎn)G.

(1)求證：DE.LBF；

(2)連結(jié)EF,若S^CEF='S"OG,求cosZCEF的值.

第7章銳角三角函數(shù)章末測試卷（培優(yōu)卷）

【蘇科版】

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

I.（3分）（2021秋?淮北月考）已知角a為△48C的內(nèi)角，且cosa=1則a的取值范圍是（）

°

A.00<a<30°B.30°<a<45°C.45°<a<60°D.60°<a<90°

【解題思路】先求山cos30°=§,cos45°=§，利用己知三角函數(shù)值確定型V&V及，進(jìn)而求a的

22232

范圍.

【解答過程】W：Vcos30°=§,cos45°=挈,

V22,A/3

—V-V—,

232

/.cos450<cosa<cos30°,

/.45°<a<60°,

故選：C.

2.（3分）（2021秋?芝緊區(qū)期中）在RtZXABC中，ZC=90°,cosA=1則siM=（）

3434

A.-B.-C.-D.-

4355

【解題思路】根據(jù)同一銳角的王弦與余弦的平方和是1,即可求解.

4

【解答過程】解：??飛加24+85%=1,即si/A+（-）2=1,

5

/.sin2>4=9

/.sinA=（舍去），

...3

?.sin/\=引

故選：C.

3.（3分）（2021秋?瑤海區(qū)校級(jí)月考）已知銳角a滿足tan（a+10。）=1,則銳角a的度數(shù)為（）

A.20°B.35°C.45°D.50°

【解題思路】根據(jù)45°的正切值為I解答即可.

【解答過程】解：:tan（a+10°）=1,tan45°=1,

Aa+K)0=45°,

，a=35°,

故選：B.

4.（3分）（2021秋?普寧市期末）已知RtZ\ABC中，ZC=90°,AC=2,BC=3,那么下列各式中正確

的是（）

2222

---a-

3B.333

【解題思路】由勾股定理求出斜邊/W,再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義分別求出sinA、ian/1、tanB、cosB即

可.

【解答過程】解：中,NC=90°,

VAC=2,BC=3,

：.AB=>IAC2+BC2=g,

..人BC3713ABC3AC2BC3713

-sinA=AB=^3~,tanA=AC=2,tannB=BC=3,COsnB=AB=

故選：C.

5.（3分）（2021秋?萊蕪區(qū)期中）在中，/C=90°,tanA=276,則sinB的值為（）

11LL

A.-B.-C.V2D.V3

52

【解題思路】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答過程】解：設(shè)Rt/XACB中，ZC=90°,NA、/B、/C的對(duì)邊分別為a、b、c,

由于taivl=g=2V6?

可設(shè)a=2遍k,b=k,由勾股定理得，

c=Va2+b2=5k,

???sinB=tJ

故選：A.

6.（3分）（2021秋?綠園區(qū)期末）如圖，在4X4的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1,已知Na

的頂點(diǎn)位于正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，且cosa=#p,則滿足條件的Na是（）

A.B.

【解題思路】求出a的鄰邊和斜邊，根據(jù)cosa=絲等求得.

斜邊

【解答過程】解：如圖1,

圖1

???A8=2,8c=3,

：.AC=V22+32=V13,

.AB22s/13

,,cosa=k7n=F-，

如圖2,

由上得：AC=V13,A8=3,

AB_3_3x^13

cosa=^c=7J5=~^3-

22底

cosa=而二''

如圖4,

圖4

_3_3/10

=7w=io

故選：B.

7.（3分）（2021秋?寬城區(qū)期末）圖①是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（/CME）會(huì)徽，在其主體圖案中選擇

兩個(gè)相鄰的直角三角形，恰好能組合得到如圖②所示的四邊形。"C若"=4C=1,ZAOB=a,則

C

【anNBOC的值為（

A.sinaB.cosaC.tanaD?福

【解題思路】在RtaOAB中，sina=需，可得08的長度，在RtaOBC中，tan/8OC=器，代入即可

得出答案.

【解答過程】解：???48=8C=1,

AD

在RtZ\OA8中，sina=器,

1

:心=訴，

在中，tan/30C=歷=—j—=sina.

sma

故選:故

8.（3分）（2021秋?天長市月考）在正方形網(wǎng)格中，△/WC在網(wǎng)格中的位置如圖，則sin8的值為（)

2\f2

c.—D.

5532

【解題思路】構(gòu)造直徑三角形解決問題即可.

：.AB=7AH2+BH2=V42+22=2通,

..AH42若

?"mDb通=市=丁

故選:A.

9.（3分）（2021秋?孟津縣期末）數(shù)學(xué)課外興趣小組的同學(xué)們要測量被池塘相隔的兩棵樹A,8的距離,

他們?cè)O(shè)計(jì)了如圖的測量方案：從樹A沿著垂直于AB的方向走到E,再從E沿著垂直于AE的方向走到F,

C為AE上一點(diǎn)，其中4位同學(xué)分別測得四組數(shù)據(jù)：①AC,NACB；②EF,DE,A。；③CD,Z.ACB,

NAOB；④NF,ZADB,FB.其中能根據(jù)所測數(shù)據(jù)求得4,8兩樹距離的有（）

A.1組B.2組C.3組D.4組

【解題思路】根據(jù)二角形相似可知,要求出AB,只需求出月產(chǎn)即可.所以借助干（［）（3）,根據(jù)八月=經(jīng)￡

即可解答.

【解答過程】解：此題比較綜合，要多方面考慮，

第①組中，因?yàn)橹繬AC8和AC的長，所以可利用NAC8的正切來求AB的長；

第②組中可利用NAC8和NA08的正切求出AB；

第③組中設(shè)/1，AD=CD^"=而%,"二濡篇；

因?yàn)橐阎狢/九/AC-NA/M,可求出X,然后得出A從

第④組中，在直角△。切中已知條件中沒有邊，無法求得。/或石尸或。石的長度，從而無法求得/W的

長度；

10.（3分）（2021?浙江自主招生）如圖，在△48C中，N/WC=90°,。為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AB上,

40,CE交于點(diǎn)F,AE=EF=4,FC=9,則cosNACB的值為（）

【解題思路】如圖，延長4。到M,使得。M=。凡連接BM.利用全等三角形的性質(zhì)證明BM=C/=9,

AB=BM,利用勾股定理求出BC,AC即可解決問題.

【解答過程】解：如圖，延長AD到M,使得。M=/）F,連接BM.

二BD=DC,4BDM=/CD卜,DM=D卜,

:.△BDMmACDF(SAS),

：.CF=BM=9,NM=/CFD,

?:CE"BM,

ZAFE=ZM,

,:EA=EF,

：,ZEAF=ZEFA,

?"B=BM=9,

'：AE=4,

???BE=5,

VZEBC=90°,

:.BC=y/EC2-BE2=V132-52=12,

???AC=y/AB2+BC2=V92+122=15,

./“RBC124

??cosN4cB=m=謳=引

解法二：應(yīng)過。作OG平行CE交AB于G,△8OG相似于△8CE,相似于△AGO.再由題目條

件,可得cos角ACB的值，遇到分點(diǎn)問題想平行，構(gòu)造A或8字型相似.

故選：D.

二.填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）

□

11.（3分）（2021?東莞市校級(jí)一模）如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,CO垂直于43,tanNQC8二本

AC=\2,則4C=9

c

【解題思路】根據(jù)史角三角形的性質(zhì)、同角的余角相等得到N8CO=/A,根據(jù)正切的定義計(jì)算即可

【解答過程】解：???NACB=90°,

???NA+/8=90°

CDA.AB,

；?NBCD+NB=90°,

:./BCD=NA,

在RtAACB中，

tanA=tanZBCD=*=兼，

.\BC=1/4C=1xl2=9.

故答案為9.

12.（3分）（2021秋?東莞市校級(jí)期末）在RtZ\ABC中，ZC=90°,sinA=卓，BC=2瓜則AC的長

為4.

【解題思路】利用直角三角形的邊角間關(guān)系先求出A3,再利用勾股定理求出AC.

【解答過程】解：在RtZ\A8C中，

.?,人BC

?s】nA=而,

.2糜V5

??=?

AB3

???AB=6.

：.AC=\/AB2-BC2

=162_（2行）2

=VT6

=4.

故答案為：4.

13.（3分）（2021秋?黃浦區(qū)期末）已知一個(gè)銳角的正切值比會(huì)切值大,且兩者之和是3芯則這個(gè)銳角的

正切值為3

111

【解題思路】設(shè)這個(gè)銳角的正切值為/,根據(jù)余切的定義得到這個(gè)銳角的余切值為7則什9=3?解分

式方程得到八=3,Z2=然后利用銳角的正切值比余切值大確定/的值.

【解答過程】解：設(shè)這個(gè)銳角的正切值為3則這個(gè)銳角的余切值為3

根據(jù)題意得什;=3：

整理得3「-10，+3=0,解得刀=3,12=/

經(jīng)檢驗(yàn)”=3,12=義都為原方程的解，

為為?個(gè)銳角的正切值比余切值大，

所以，=3.

即這個(gè)銳角的正切值為3.

故答案為3.

14.（3分）（2021秋?徐匯區(qū)校級(jí)期中）如圖，在RlZXABC中，NB=90°,AB=BE=EF=FC,則NE4尸

的余弦值為

-TU-

A

【解題思路】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答過程】解：設(shè)則BE=E/=FC=2,即8/=2k,BC=3k,由勾股定理得,

AF=y/AB2+BF2=AE=>JAB2+BE2=V5匕AC=yjAB2+BC2=y/lOk,

EF\[2AE

??—=—,ZAEF=ZCEA

?AE2ECf

:.XNEFsXCEN、

：.ZEAF=ZECA,

(ERtAA^C中,

八i3/IU.

cos/ACB=—BC=—3k=—=cosZ/ErAFr,

3VIU

故答案為:

10

15.（3分）（2021?新洲區(qū)模擬）如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=10,5c=5,M是射線AB

上的一動(dòng)點(diǎn)，以AM為斜邊在△ABC外作且使tan/M4N=去。是BM的中點(diǎn)，連接ON.則

【解題思路】作于點(diǎn)P,設(shè)人M長為x,用含工代數(shù)式表示出OM然后通過配方求解.

【解答過程】解：作NP_L48于點(diǎn)P,

在RtZ\ACB中，由勾股定理得：

AB=y/AC2+BC2=V102+52=5倔

設(shè)人M長為x,則BM=5衣-X,

,?，tanNM4N=

:.AN=2MN,

：.AM=7AN?+NM?=店MN,

：.MN=^-AM=^-x,AN=2MN=

同理，在RtAANP中可得NP=增/N=>AP=2NP=1v,

???。為BM中點(diǎn)，

：.BO=勿M=

???AO=48?80="學(xué)，

?/w-ACAD5V號(hào)+%425%/5-3x

..OP=AO-AP=-------/二————,

在RtZ\ONP中，由勾股定理得。M=。產(chǎn)+可產(chǎn)2,

rc、25\/5—3X、l,0r—1r—0

即ON2=（-------------）2+（-r）2=焉（25/-150遙八+3125）='（/-6信+125）=[（x-3通）2+20,

10510044

???當(dāng)x=3西時(shí)，取最小值為20,

???ON最小值為2代.

故答案為：2遍.

16.（3分）（2021秋?昆都侖區(qū)期末）如圖，點(diǎn)。在鈍角△4BC的邊BC上連接4。，N8=45°,ZCAD

y/lQ

=ZCDA,CA：CB=5：7,則NCAC的余弦值為二7.

【解題思路】如圖作于"DELABTE,設(shè)AC=5hBC=7k,解直角三角形求出3”、AH.

4。、?！奔纯山鉀Q問題.

【解答過程】解：如圖作AH_LBC于”，設(shè)AC=CO=5hBC=lk,

VZfi=45°,乙仍B=90°,

:?AH=BH,設(shè)4H=BH=x,

在RtZkAC〃中，

,：AH2+HC1=AC2,

?,?,+（7k-x）2=（5k）2,

解得x=3火或4A（舍棄與鈍角三角形矛盾），

當(dāng)x=3k時(shí)，

:?BH=AH=3k,DH=k,

：,AD=同k,

PH_k_運(yùn)

cosZCAD=cosZADH=AD=710k=^

故答案為詈.

三.解答題（共7小題，滿分52分）

7

17.（6分）（2021秋?萊州市期中）計(jì)算：2cos45°-^tan30°cos300+sin260°.

【解題思路】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值代入計(jì)算即可.

【解答過程】解.?原式=2X妥|x梟空+《)2

13

-+-

V234

二魚+記.

18.(6分)(2021秋?淮北月考)觀察下列等式：

①sin3O。—2?cos60°—

②sin45°=孝，cos450=乎;

③sin60°=苧，cos30°=苧.

(1)根據(jù)上述規(guī)律,計(jì)算si/a+sii?(90°-a)—1.

(2)計(jì)算：sin2l°+sin22°+sin23°+-+sin2890.

【解題思路】(1)根據(jù)已知的式子可以得到sin(90°-a)=cosa,根據(jù)同角的正弦和余弦之間的關(guān)系

即可求解；

(2)利用(1)的結(jié)論即可直接求解.

【解答過程】解：(1):?根據(jù)已知的式子可以得到sin(90°-a)=cosa,

.*.sin2a+sin2(90°-a)=1：

(2)sin2l°+sin220+sin23°+-+sin2890

=(sin2l°+sin289)+(sin22°+sin288°)+???+sii?45°

=1+I+-1+1

=444-1

89

=T-

19.(8分)(2021秋?通許縣期中)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

我們所學(xué)的銳角三角函數(shù)反映了直角三角形中的邊角關(guān)系：

BCACBC

如圖1.sma=而'cosa=tana=

宿AC-

一般地，當(dāng)〃、0為任意角時(shí)，sin(a+p)與sin(a-p)的值可以用下面的公式求得：sin(a+p)=

sinacosP+cosasinP；sin(a-0)=sinacosP-cosasinp.

例如：sin150=sin(450-30)=sin45°cos300-cos45sin300=在4yz

任務(wù):

(1)計(jì)算：sin750="顯

4

【解題思路】（1）根據(jù)題目中給的公式即可求解;

（2）過點(diǎn)A作18c于。，在8c上找點(diǎn)E,使8E=AE,根據(jù)題目中的三角函數(shù)值即可求解.

【解答過程】解：(1)sin75°=sin(3OC+45°)

=sin3O;*cos45°+cos30°,sin45°

142^43^42

2

&+n

&遍

故答案為:

4

（2）過點(diǎn)4作4Q_LAC于Q,在故？上找點(diǎn)E,使

/.ZD/1C=45°，

：.AD=CD,

AD

ACf

mV2AD

即—=-F-,

22x/3-2

r./\D=V6-V2,

An

VZB=15°,sinB=

連一衣~

AB

???AB=4,

?：BE=AE,

：.^B=ZEAB=\5°,

AZAED=30Q,

：,AE=2AD=2>j6-2V2,

/AAD

can^-AED=,

V3V6-V2

.qiJI=,

3ED

:.ED=30一瓜,

CB=3?-V6+2V6+遍-&=2遍.

20.（8分）（2021秋?新北區(qū)期中）如圖，在△48C中，AD1HC,BD=8,cosZABC=BF為AABC

的角平分線，BF交AD于點(diǎn)E.求：

（1）4。的長；

（2）tanN戶5c的值.

【解題思路】(1)由銳角三角函數(shù)定義求出A8=10,再由勾股定理求出AD的長即可；

(2)過E作E/JLA8于凡證RlZXBHE也RtZ\BZ)E(”L),得BH=BD=8,再證NABC=NAEH,則

CUA0

cosNAE，=券=cosNABC=*設(shè)EQ=EH=4生則AE=53然后由AQ=5A+軟=6,解得口務(wù)則

8

-

ED3即可解決問題.

【解答過程】解：（I）???AO_L/ec,

AZADB=90°,

?/4ncBD4

..COSZ_/IDC=彳耳=F，

?.?8。=8,

?"8=IO,

：.AD=V/1F2-BD2="02-82=6：

(2)過E作E/_LA8于凡如圖所示：

/為△ABC的角平分線，ED1BC,

:,ED=EF,

在R3HE和RtABDE中,

\BE=BE

[EH=ED'

：?R5HEgRtABDE(HL):

:.BH=BD=8,

：?AH=AB-BE=2,

VZABC+ZBAD=90°,ZAEH+ZBAD=90°,

???ZABC=ZAEH,

FH4

cosZy4￡H==cos/人8C=耳，

設(shè)ED=EH=4k,則AE=5上

則AD=5k+4k=6,

2

解得-

3

8

--

ED3

21.（8分）（2021秋?淮北月考）淮北市為緩解“停車難”問題，建造地下停車庫，如圖已知

NZMQ=18°,C在5。上，8c=0.5.根據(jù)規(guī)定，停車庫坡道入口上方要張貼限高標(biāo)準(zhǔn)值，以告知駕駛

員能否安全駛?cè)?小明認(rèn)為。的長就是限高值，而小亮認(rèn)為應(yīng)該以CE的長作為限高值.（參考數(shù)據(jù)：

sinl80=0.31,cos18°=0.95,tan180=0.325,結(jié)果精確到0.1m）

（1）請(qǐng)你判斷小明和小亮誰說的對(duì)？

（2）計(jì)算出正確的限高值.

【解題思路】先根據(jù)CE_LAE,判斷出CE為高，再根據(jù)解直角三角形的知識(shí)解答.

【解答過程】解：（1）在△AB。中，ZABD=90°,Z^D=18°,BA=\Omt

BD

VtanZBAD=

BA'

.*.BD=10Xtanl80,

BC=10Xtanl80-0.5^2.7(w).

在△A8。中，ZCDE=900-ZBAD=12°,

CELED,

AsinZCDE=需，

ACE=sinZCDEXCD=sin72°X2.742.6(m),

V2.6W<2.7/H,CELAE,

,小亮說的對(duì)；

(2)作CE_L4E于￡在△4AQ中，

NA8O=90°,ZBAD=\S°,8A=10,

.*.BD=10Xtanl80,

???CO=B。-BC=10Xtan180-0.5^2.8

又NOCE=N8AO=18°,CELED,CE=CDXCOSZDCE=0.95X2.8^2.7

正確的限高值為2.7〃?.

22.（8分）（2021秋?萊州市期中）市政府為實(shí)現(xiàn)5G網(wǎng)絡(luò)全覆蓋，2021?2025年擬建設(shè)5G基站三千個(gè).如

圖，在斜坡C8上有一建成的基站塔A8,斜坡C8的坡比為1：2.4.小芳在坡腳。測得塔頂4的仰角為

45°,然后她沿坡面C8行走了13米到達(dá)。處，在。處測得塔頂4的仰角為53°.（點(diǎn)A、B、C、D

均在同一平面內(nèi),CE為地平線）（參考數(shù)據(jù)：sin53°cos53°?tan53°?

口DD

（1）求。處的豎直高度；

（2）求基站塔A8的高.

【解題思路】（1）通過作輔助線，利用斜坡的坡度為i=l：2.4,CD=13,由勾股定理可求出答案；

（2）設(shè)出。E的長，根據(jù)坡度表示BE,進(jìn)而表示出CF,由于△AC/是等腰直角三角形，可表示BE,

在△AOE中由銳角三角函數(shù)可列方程求出。E,進(jìn)而求出A8.

【解答過程】解：（1）如圖，過點(diǎn)C、D分別作48的垂線，交4B的延長線于點(diǎn)E、F,過點(diǎn)。作OM

?LCE,垂足為M.

???斜坡CB的坡比為1：2.4,

DM1

?■=?

CM2.4

卻絲=—,

CM12

設(shè)。M=5A米，則CM=12X米，

在RtZ\CQM中，?.?。。=13米，由勾股定理得,

CM2+DM2=CD2,

即（5火）2+（12&）2=132,

???解得4=1（負(fù)值舍去），

：.DM=5（米），CM=12（米）.

???。處的豎直高度為5米；

（2）設(shè)。/=12。米，則ME=12a米，"=5。米,

VZACE=45°,

：.ZCAE=ZACE=45°，

：.AE=CE=（12+12^）米，

：.AF=AE-EF=AE-DM=\2+\2a-5=（7+l2a）米.

在RtAADE中，

尸=12a米，AF=（7+12。）米，ZADF=53O,

?,八八萬AF。

-Aan^ADF=DF=^7+212T=43

7

-

4

7

.??AF=7+12a=7+12x；=28（米），

Br=5〃=5x[=苧（米），

oc77

??.A8=AF-4F=28-芋=彳（米）.

77

答：基站塔A8的高為二米.

4

23.（8分）（2021?永春縣模擬）如圖在等腰三角形A8C中，A8=AC,點(diǎn)。、E分別是A3、8C的中點(diǎn),

過點(diǎn)B作BF1AC于點(diǎn)F,BF與DE交于點(diǎn)G.

（1）求證：DELBFx

（2）連結(jié)EF,若SACEF=2BDG,求cosNCEF的值.

D.

B

E

【解題思路】（I）由兩個(gè)中點(diǎn)得三角形中位線，進(jìn)一步推平行，推角相等，進(jìn)一步得垂直；

（2）由平行推相似，用相似三角形的性質(zhì)推三角形的面積之比，再由己知推三角形面積之比，最后得出

結(jié)果.

【解答過程】證明：（1）;點(diǎn)。、￡分別是A8、8c的中點(diǎn)，

???。七是△ABC的中位線，

：.DE//AC.

:?NDGB=4AFB.

?：BFLAC.

，NAFB=NBFC=90°.

???NQGB=90°,

：.DELBF,

（2）VZZ?FC=90°,點(diǎn)￡是SC的中點(diǎn)，

：.EF=BE=EC,

：.4EFC=4C.

'：AB=AC,

:.ZABC=ZC.

AZCEF=180°-2NC=NB4C.

七〃AC,點(diǎn)。是A8的中點(diǎn)，

:.△BDGSABAF,

,S^BDG_1

???

S&ABF4

???點(diǎn)E是8c的中點(diǎn)，

S,\BFC=2SACEF,

..,3

S^,CEF=4sCBOG，

:.SbAFB-4S&BDG="5"SACEF?

22

/.SMBC=SMBF+SDBCF=SMBF+2S^CEF=-^S^CEF.

4FS&ABF16228

=-^SACEF：-5ACEF=五,

ACS&ABC

ApAF8

在RlZSAB尸中，cosZCEF=cosZ^4F==yy-

第7章銳角三角函數(shù)章末測試卷（拔尖卷）

【蘇科版】

考試時(shí)間：60分鐘；滿分：10（）分

姓名:,班級(jí):考號(hào):

考卷信息:

本卷試題共23題，單選10題，填空6題，解答7題，滿分1（）（）分，限時(shí)6（）分鐘，本卷題型針對(duì)性較高，覆蓋

向廠，選題有深度，可衡量學(xué)生掌握本章內(nèi)容的具體情況!

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.（3分）（2021秋?泉州期末）在RtA48C中，ZC=90°,則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.sinA+sinBVlB.sinA+sin8>l

C.siiL4+sinB=1D.sinA+sinBWl

2.(3分)(2021?杭州一模)在RtZkABC中,ZC=90°,AC：BC=\：2,則NA的正弦值為（）

2而Vs

A.一B.一C.2D.

552

3.（3分）（2021秋?江陰市校級(jí)月考）如圖，A(0,8)，B(0,2),點(diǎn)石為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)

的取值范圍是（)

343

--c-3

4B.54D.0</7/<]

4.（3分）（2021?溫江區(qū)校級(jí)自主招生）已知+cosa=(，0°<a<45°,則tana=()

34%3

A.-B.-CD.-

43一「35

5.（3分）（2021秋?冷水灘區(qū)期末）關(guān)于三角函數(shù)有如下公式:

sin(a+p)=sinacosp+cosasinp?sin(a-p)=sinacosp-cosasinp

cos(a+p)=cosacosp-sinasinp,cos(a-P)=cosacosp+sinasinp

tan（a+p）=J:L警I*Cv/V震v4Lv4鬻/LL）（1-tanatanp^O）,合理利用這些公式可以將一些角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為特

殊角的三角函數(shù)來求值，如sin90°=sin(30°+60°)=sin30°cos60°+cos300sin60°=1x1+^x

利用上述公式計(jì)算下列三角函數(shù)①sinlO5°=在譽(yù)，②⑶】1050=-2-V3,③sinl5°二與憶，④

44

cos900=0

其中正確的個(gè)數(shù)有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

6.（3分）（2021?杭州模擬）在△4忒?中，。、氏c分別為角4、8、C的對(duì)邊，若NB=60°,則一J+二

a+bc+b

的值為（）

7.（3分）（2021?建湖縣二模）在如圖所示8X8的網(wǎng)格中，小正方形的邊長為1,點(diǎn)4、B、C、力都在

格點(diǎn)上，48與C。相交于點(diǎn)￡,則NAE。的正切值是（）

8.（3分）（2021?溫州自主招生）已知aABC中，BC=a,AC=b,AB=c，且20="c,延長CA到。，

使AD=4B,連接BD,則tan^NB4c?￡an二NBCA的值為（）

22

113