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文檔簡介
陜西省商洛市洛南縣2025屆高考仿真卷數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.函數(shù)在上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.2.設(shè)復(fù)數(shù)滿足,在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,則不可能為()A. B. C. D.3.已知為非零向量,“”為“”的()A.充分不必要條件 B.充分必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件4.設(shè),滿足約束條件,則的最大值是()A. B. C. D.5.已知將函數(shù)(,)的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象,若和的圖象都關(guān)于對(duì)稱,則下述四個(gè)結(jié)論:①②③④點(diǎn)為函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是()A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.②③④6.設(shè),,是非零向量.若,則()A. B. C. D.7.已知是虛數(shù)單位,若,,則實(shí)數(shù)()A.或 B.-1或1 C.1 D.8.相傳黃帝時(shí)代,在制定樂律時(shí),用“三分損益”的方法得到不同的竹管,吹出不同的音調(diào).如圖的程序是與“三分損益”結(jié)合的計(jì)算過程,若輸入的的值為1,輸出的的值為()A. B. C. D.9.已知函數(shù),若,則下列不等關(guān)系正確的是()A. B.C. D.10.若某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為()A.240 B.264 C.274 D.28211.已知不重合的平面和直線,則“”的充分不必要條件是()A.內(nèi)有無數(shù)條直線與平行 B.且C.且 D.內(nèi)的任何直線都與平行12.已知集合,,則集合的真子集的個(gè)數(shù)是()A.8 B.7 C.4 D.3二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知的展開式中含有的項(xiàng)的系數(shù)是,則展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為______.14.函數(shù)在區(qū)間(-∞,1)上遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____15.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則______,的最大值是______.16.某陶瓷廠準(zhǔn)備燒制甲、乙、丙三件不同的工藝品,制作過程必須先后經(jīng)過兩次燒制,當(dāng)?shù)谝淮螣坪细窈蠓娇蛇M(jìn)入第二次燒制,再次燒制過程相互獨(dú)立.根據(jù)該廠現(xiàn)有的技術(shù)水平,經(jīng)過第一次燒制后,甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為0.5、0.6、0.4,經(jīng)過第二次燒制后,甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為0.6、0.5、0.75;則第一次燒制后恰有一件產(chǎn)品合格的概率為________;經(jīng)過前后兩次燒制后,合格工藝品的件數(shù)為,則隨機(jī)變量的期望為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某企業(yè)為了了解該企業(yè)工人組裝某產(chǎn)品所用時(shí)間,對(duì)每個(gè)工人組裝一個(gè)該產(chǎn)品的用時(shí)作了記錄,得到大量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù).從這些統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取了個(gè)數(shù)據(jù)作為樣本,得到如圖所示的莖葉圖(單位:分鐘).若用時(shí)不超過(分鐘),則稱這個(gè)工人為優(yōu)秀員工.(1)求這個(gè)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù);(2)以這個(gè)樣本數(shù)據(jù)中優(yōu)秀員工的頻率作為概率,任意調(diào)查名工人,求被調(diào)查的名工人中優(yōu)秀員工的數(shù)量分布列和數(shù)學(xué)期望.18.(12分)某工廠為提高生產(chǎn)效率,需引進(jìn)一條新的生產(chǎn)線投入生產(chǎn),現(xiàn)有兩條生產(chǎn)線可供選擇,生產(chǎn)線①:有A,B兩道獨(dú)立運(yùn)行的生產(chǎn)工序,且兩道工序出現(xiàn)故障的概率依次是0.02,0.03.若兩道工序都沒有出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本為15萬元;若A工序出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本增加2萬元;若B工序出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本增加3萬元;若A,B兩道工序都出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本增加5萬元.生產(chǎn)線②:有a,b兩道獨(dú)立運(yùn)行的生產(chǎn)工序,且兩道工序出現(xiàn)故障的概率依次是0.04,0.01.若兩道工序都沒有出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本為14萬元;若a工序出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本增加8萬元;若b工序出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本增加5萬元;若a,b兩道工序都出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本增加13萬元.(1)若選擇生產(chǎn)線①,求生產(chǎn)成本恰好為18萬元的概率;(2)為最大限度節(jié)約生產(chǎn)成本,你會(huì)給工廠建議選擇哪條生產(chǎn)線?請(qǐng)說明理由.19.(12分)已知橢圓,上頂點(diǎn)為,離心率為,直線交軸于點(diǎn),交橢圓于,兩點(diǎn),直線,分別交軸于點(diǎn),.(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)求證:為定值.20.(12分)設(shè)函數(shù),.(1)求函數(shù)的極值;(2)對(duì)任意,都有,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.21.(12分)一個(gè)工廠在某年里連續(xù)10個(gè)月每月產(chǎn)品的總成本(萬元)與該月產(chǎn)量(萬件)之間有如下一組數(shù)據(jù):1.081.121.191.281.361.481.591.681.801.872.252.372.402.552.642.752.923.033.143.26(1)通過畫散點(diǎn)圖,發(fā)現(xiàn)可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系,請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說明;(2)①建立月總成本與月產(chǎn)量之間的回歸方程;②通過建立的關(guān)于的回歸方程,估計(jì)某月產(chǎn)量為1.98萬件時(shí),產(chǎn)品的總成本為多少萬元?(均精確到0.001)附注:①參考數(shù)據(jù):,,,,.②參考公式:相關(guān)系數(shù),,.22.(10分)如圖,為等腰直角三角形,,D為AC上一點(diǎn),將沿BD折起,得到三棱錐,且使得在底面BCD的投影E在線段BC上,連接AE.(1)證明:;(2)若,求二面角的余弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
對(duì)分類討論,當(dāng),函數(shù)在單調(diào)遞減,當(dāng),根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì),求出單調(diào)遞增區(qū)間,即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以,的遞增區(qū)間是,所以,即.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性,熟練掌握簡單初等函數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】
依題意,設(shè),由,得,再一一驗(yàn)證.【詳解】設(shè),因?yàn)椋裕?jīng)驗(yàn)證不滿足,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的幾何意義,還考查了推理論證能力,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】
由數(shù)量積的定義可得,為實(shí)數(shù),則由可得,根據(jù)共線的性質(zhì),可判斷;再根據(jù)判斷,由等價(jià)法即可判斷兩命題的關(guān)系.【詳解】若成立,則,則向量與的方向相同,且,從而,所以;若,則向量與的方向相同,且,從而,所以.所以“”為“”的充分必要條件.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查充分條件和必要條件的判定,考查相等向量的判定,考查向量的模、數(shù)量積的應(yīng)用.4、D【解析】
作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,由目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,通過平移即可求z的最大值.【詳解】作出不等式組的可行域,如圖陰影部分,作直線:在可行域內(nèi)平移當(dāng)過點(diǎn)時(shí),取得最大值.由得:,故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】
首先根據(jù)三角函數(shù)的平移規(guī)則表示出,再根據(jù)對(duì)稱性求出、,即可求出的解析式,從而驗(yàn)證可得;【詳解】解:由題意可得,又∵和的圖象都關(guān)于對(duì)稱,∴,∴解得,即,又∵,∴,,∴,∴,,∴①③④正確,②錯(cuò)誤.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,三角函數(shù)的變換規(guī)則,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】試題分析:由題意得:若,則;若,則由可知,,故也成立,故選D.考點(diǎn):平面向量數(shù)量積.【思路點(diǎn)睛】幾何圖形中向量的數(shù)量積問題是近幾年高考的又一熱點(diǎn),作為一類既能考查向量的線性運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積及平面幾何知識(shí),又能考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力及轉(zhuǎn)化與化歸能力的問題,實(shí)有其合理之處.解決此類問題的常用方法是:①利用已知條件,結(jié)合平面幾何知識(shí)及向量數(shù)量積的基本概念直接求解(較易);②將條件通過向量的線性運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化,再利用①求解(較難);③建系,借助向量的坐標(biāo)運(yùn)算,此法對(duì)解含垂直關(guān)系的問題往往有很好效果.7、B【解析】
由題意得,,然后求解即可【詳解】∵,∴.又∵,∴,∴.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題8、B【解析】
根據(jù)循環(huán)語句,輸入,執(zhí)行循環(huán)語句即可計(jì)算出結(jié)果.【詳解】輸入,由題意執(zhí)行循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖,可得:第次循環(huán):,,不滿足判斷條件;第次循環(huán):,,不滿足判斷條件;第次循環(huán):,,滿足判斷條件;輸出結(jié)果.故選:【點(diǎn)睛】本題考查了循環(huán)語句的程序框圖,求輸出的結(jié)果,解答此類題目時(shí)結(jié)合循環(huán)的條件進(jìn)行計(jì)算,需要注意跳出循環(huán)的判定語句,本題較為基礎(chǔ).9、B【解析】
利用函數(shù)的單調(diào)性得到的大小關(guān)系,再利用不等式的性質(zhì),即可得答案.【詳解】∵在R上單調(diào)遞增,且,∴.∵的符號(hào)無法判斷,故與,與的大小不確定,對(duì)A,當(dāng)時(shí),,故A錯(cuò)誤;對(duì)C,當(dāng)時(shí),,故C錯(cuò)誤;對(duì)D,當(dāng)時(shí),,故D錯(cuò)誤;對(duì)B,對(duì),則,故B正確.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性、不等式性質(zhì)的運(yùn)用,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】
將三視圖還原成幾何體,然后分別求出各個(gè)面的面積,得到答案.【詳解】由三視圖可得,該幾何體的直觀圖如圖所示,延長交于點(diǎn),其中,,,所以表面積.故選B項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查三視圖還原幾何體,求組合體的表面積,屬于中檔題11、B【解析】
根據(jù)充分不必要條件和直線和平面,平面和平面的位置關(guān)系,依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】A.內(nèi)有無數(shù)條直線與平行,則相交或,排除;B.且,故,當(dāng),不能得到且,滿足;C.且,,則相交或,排除;D.內(nèi)的任何直線都與平行,故,若,則內(nèi)的任何直線都與平行,充要條件,排除.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了充分不必要條件和直線和平面,平面和平面的位置關(guān)系,意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.12、D【解析】
轉(zhuǎn)化條件得,利用元素個(gè)數(shù)為n的集合真子集個(gè)數(shù)為個(gè)即可得解.【詳解】由題意得,,集合的真子集的個(gè)數(shù)為個(gè).故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的化簡和運(yùn)算,考查了集合真子集個(gè)數(shù)問題,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】
由二項(xiàng)式定理及展開式通項(xiàng)公式得:,解得,令得:展開式中各項(xiàng)系數(shù)和,得解.【詳解】解:由的展開式的通項(xiàng),令,得含有的項(xiàng)的系數(shù)是,解得,令得:展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為,故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理及展開式通項(xiàng)公式,屬于中檔題.14、【解析】
根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)、對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域列不等式組,解不等式求得的取值范圍.【詳解】由二次函數(shù)的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得解得.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式,列出方程組,求出首項(xiàng)和公差的值,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,可求出的表達(dá)式,然后利用雙勾函數(shù)的單調(diào)性可求出的最大值.【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,則,解得,所以,數(shù)列的通項(xiàng)公式為;(2),,令,則且,,由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知,函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減,在時(shí)單調(diào)遞增,當(dāng)或時(shí),取得最大值為.故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和的求法,考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是中檔題.16、0.380.9【解析】
考慮恰有一件的三種情況直接計(jì)算得到概率,隨機(jī)變量的可能取值為,計(jì)算得到概率,再計(jì)算數(shù)學(xué)期望得到答案.【詳解】第一次燒制后恰有一件產(chǎn)品合格的概率為:.甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率分別為:,,.故隨機(jī)變量的可能取值為,故;;;.故.故答案為:0.38;0.9.【點(diǎn)睛】本題考查了概率的計(jì)算,數(shù)學(xué)期望,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)43,47;(2)分布列見解析,.【解析】
(1)根據(jù)莖葉圖即可得到中位數(shù)和眾數(shù);(2)根據(jù)數(shù)據(jù)可得任取一名優(yōu)秀員工的概率為,故,寫出分布列即可得解.【詳解】(1)中位數(shù)為,眾數(shù)為.(2)被調(diào)查的名工人中優(yōu)秀員工的數(shù)量,任取一名優(yōu)秀員工的概率為,故,,,的分布列如下:故【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)莖葉圖求眾數(shù)和中位數(shù),求離散型隨機(jī)變量分布列,根據(jù)分布列求解期望,關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求解概率,若能準(zhǔn)確識(shí)別二項(xiàng)分布對(duì)于解題能夠起到事半功倍的作用.18、(1)0.0294.(2)應(yīng)選生產(chǎn)線②.見解析【解析】
(1)由題意轉(zhuǎn)化條件得A工序不出現(xiàn)故障B工序出現(xiàn)故障,利用相互獨(dú)立事件的概率公式即可得解;(2)分別算出兩個(gè)生產(chǎn)線增加的生產(chǎn)成本的期望,進(jìn)而求出兩個(gè)生產(chǎn)線的生產(chǎn)成本期望值,比較期望值即可得解.【詳解】(1)若選擇生產(chǎn)線①,生產(chǎn)成本恰好為18萬元,即A工序不出現(xiàn)故障B工序出現(xiàn)故障,故所求的概率為.(2)若選擇生產(chǎn)線①,設(shè)增加的生產(chǎn)成本為(萬元),則的可能取值為0,2,3,5.,,,,所以萬元;故選生產(chǎn)線①的生產(chǎn)成本期望值為(萬元).若選生產(chǎn)線②,設(shè)增加的生產(chǎn)成本為(萬元),則的可能取值為0,8,5,13.,,,,所以,故選生產(chǎn)線②的生產(chǎn)成本期望值為(萬元),故應(yīng)選生產(chǎn)線②.【點(diǎn)睛】本題考查了相互獨(dú)立事件的概率,考查了離散型隨機(jī)變量期望的應(yīng)用,屬于中檔題.19、(Ⅰ);(Ⅱ),證明見解析.【解析】
(Ⅰ)根據(jù)題意列出關(guān)于,,的方程組,解出,,的值,即可得到橢圓的方程;(Ⅱ)設(shè)點(diǎn),,點(diǎn),,易求直線的方程為:,令得,,同理可得,所以,聯(lián)立直線與橢圓方程,利用韋達(dá)定理代入上式,化簡即可得到.【詳解】(Ⅰ)解:由題意可知:,解得,橢圓的方程為:;(Ⅱ)證:設(shè)點(diǎn),,點(diǎn),,聯(lián)立方程,消去得:,,①,點(diǎn),,,直線的方程為:,令得,,,,同理可得,,,把①式代入上式得:,為定值.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、定值問題的求解;關(guān)鍵是能夠通過直線與橢圓聯(lián)立得到韋達(dá)定理的形式,利用韋達(dá)定理化簡三角形面積得到定值;考查計(jì)算能力與推理能力,屬于中檔題.20、(1)當(dāng)時(shí),無極值;當(dāng)時(shí),極小值為;(2).【解析】
(1)求導(dǎo),對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論,即可容易求得函數(shù)的極值;(2)構(gòu)造函數(shù),兩次求導(dǎo),根據(jù)函數(shù)單調(diào)性,由恒成立問題求參數(shù)范圍即可.【詳解】(1)依題,當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞增,此時(shí)函數(shù)無極值;當(dāng)時(shí),令,得,令,得所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.此時(shí)函數(shù)有極小值,且極小值為.綜上:當(dāng)時(shí),函數(shù)無極值;當(dāng)時(shí),函數(shù)有極小值,極小值為.(2)令易得且,令所以,因?yàn)?,,從而,所以,在上單調(diào)遞增.又若,則所以在上單調(diào)遞增,從而,所以時(shí)滿足題意.若,所以,,在中,令,由(1)的單調(diào)性可知,有最小值,從而.所以所以,由零點(diǎn)存在性定理:,使且在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí),.故當(dāng),不
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