天津市西青區(qū)楊柳青一中2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第四次階段性測(cè)試數(shù)學(xué)試題（含答案）

楊柳青一中2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期高三年級(jí)第四次階段性測(cè)試數(shù)學(xué)學(xué)科(2024.12)一.選擇題:本題共9小題,每小題5分,共45分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的,請(qǐng)將正確答案的序號(hào)填涂到答題卡上.1.已知全集U={1,2,A.{5}B.{2,8}2.“數(shù)列an為等差數(shù)列”是“a3+A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件3.如圖所示,5個(gè)(x,y)數(shù)據(jù),去掉D3,10A.相關(guān)系數(shù)r變小B.決定系數(shù)R2C.殘差平方和變小D.解釋變量x與預(yù)報(bào)變量y的相關(guān)性變?nèi)?.函數(shù)fx=2A.B.C.D.5.已知2m=3n=A.3B.6C.8D.96.已知m,n為空間兩條不同的直線,α,A.若m⊥α,n⊥α,則m//nC.若m//n,n//α,則m//α7.已知F1,F2為雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)A.x29?yC.x26?y8.已知函數(shù)fx=A①fx的圖象關(guān)于點(diǎn)4π3②fx的圖象關(guān)于直線x=?③fx的圖象可由y=2sin2x?④若方程gx=ftxt>0在0,5π69.已知函數(shù)y=fx是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),fx=54sinπ2x,0≤xA.?52,?94二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.請(qǐng)將正確的答案填寫到答題卡上.試題中包含2個(gè)空的,答對(duì)1個(gè)空的得3分,全部答對(duì)的得5分.10.已知i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z=11+3i1?2i,z為11.x?2xn12.已知fx=x2?lnx在x=113.已知一個(gè)不透明的袋中有大小、質(zhì)地相同的4個(gè)紅球,3個(gè)白球和2個(gè)黑球.若不放回地摸球,每次摸1個(gè)球,摸取4次,則恰有3次摸到紅球的概率為_____；若有放回地摸球,每次摸1個(gè)球,摸取3次,則摸到紅球的次數(shù)X的期望為_____.14.所有頂點(diǎn)都在兩個(gè)平行平面內(nèi)的多面體叫作擬柱體.在這兩個(gè)平行平面內(nèi)的面叫作擬柱體的底面,其余各面叫作擬柱體的側(cè)面,兩底面之間的垂直距離叫作擬柱體的高.現(xiàn)有一擬柱體,上下底面均為正六邊形,且下底面邊長為4,上底面各頂點(diǎn)在下底面的射影點(diǎn)為下底面各邊的中點(diǎn),高為2,則該擬柱體的體積為_____.15.已知平面向量a,b滿足a=2,b≤1,且3b?2a≤2.記a三.解答題:本大題共5小題,共75分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.16.(本小題滿分14分)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a(1)求角C;(2)若cosA=64,求(3)若c=7,△ABC的面積為33217.(本小題滿分15分)如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD為矩形,AF⊥平面ABCD,EF//AB,AD=2,AB=(1)求證:BF//平面APC(2)求平面ACP與平面BCF的夾角的余弦值；(3)求點(diǎn)F到平面ACP的距離.18.(本小題滿分15分)已知橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的左頂點(diǎn)為A?2,0,離心率為32,過點(diǎn)A(1)求橢圓的方程:(2)設(shè)點(diǎn)P為AD的中點(diǎn).若x軸上存在點(diǎn)Q,對(duì)于任意的kk≠0,都有OP⊥(i)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(ii)若1+4k2tan∠AQD19.(本小題滿分15分)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S(1)求an(2)求i=(3)若bn=ann,抽去數(shù)列bn中的第1項(xiàng),第4項(xiàng),第7項(xiàng),……,第3n-2項(xiàng),……余下的項(xiàng)順序不變,組成一個(gè)新數(shù)列cn,若cn的前n項(xiàng)和為Tn,求證:20.(本小題滿分16分)已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)fx在點(diǎn)(2)若函數(shù)fx的最大值為1,求a(3)在(2)的條件下證明fx

2024-2025學(xué)年第一學(xué)期高三年級(jí)第四次階段性測(cè)試數(shù)學(xué)學(xué)科答案一、選擇題1.B2.A3.C4.A5.D6.C7.B8.C9.D二、填空題10.-5;12.24;13.1063;4314.三、解答題16.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知2cosCacosB(3)若c=7,△ABC的積為332【詳解】(1)由正弦定理得,2cosC2∵C(2)A∴sinC∴cos2A(3)由余弦定理得c2=S∴則a+b=517.如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD為矩形,AF⊥平面ABCD,EF//AB,AD=2,AB=(1)求證:BF//平面APC(2)求平面ACP與平面BCF的夾角的余弦值;(3)求點(diǎn)F到平面ACP的距離.【詳解】(1)連接BD,交AC于點(diǎn)O,由P,O分別為DF和DB的中點(diǎn),得而PO?平面APC,BF?平面APC,所以BF//(2)由直線AF⊥平面ABCD,AB,AD?AF由矩形ABCD,得AD⊥AB,以A為原點(diǎn),直線AB,AD,AF分別為x,BC設(shè)平面BCF的法向量n=x,y,z,則n?BC=設(shè)平面APC的法向量為m=a,b,c令b=?1,得所以平面ACP與平面BCF的夾角的余弦值為cos?n(3)由(2)知,平面APC的法向量m=2,?1,所以點(diǎn)F到平面ACP的距離d=18.已知橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的左頂點(diǎn)為直線l與橢圓交于點(diǎn)D與y軸交于點(diǎn)E.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)點(diǎn)P為AD的中點(diǎn).若x軸上存在點(diǎn)Q,對(duì)于任意的kk≠0(O為原點(diǎn)).(i)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);(ii)若1+4k2tan∠AQD【詳解】(I)由已知得a=2又∵e=c(II)(i)假設(shè)x軸上存在著點(diǎn)Qm,0使得設(shè)AD所在的直線方程為:y=kx+由x2+4y2?2E0∵OP解得m=?12∴x軸上存在著點(diǎn)Q?(ii)∵∴tan∠∴tan∠QA∴∴∴k19.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為(1)求an(2)求i=(3)若bn=ann,抽去數(shù)列bn中的第不變,組成一個(gè)新數(shù)列cn,若cn的前n項(xiàng)和為Tn,求證:當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),【詳解】(1)由Sn=n?1Sn?1=n當(dāng)n=1時(shí),代入上式,求得所以an(2)由(1)知,an則a則i=1==(3)由題知,bn所以數(shù)列cn為2它的奇數(shù)項(xiàng)組成以4為首項(xiàng),公比為8的等比數(shù)列;偶數(shù)項(xiàng)組成以8為首項(xiàng),公比為8的等比數(shù)列;∴當(dāng)n為奇數(shù),即n=2kT=TT∵5∴12(本小題滿分16分)已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)fx在點(diǎn)(2)若函數(shù)fx的最大值為1,求a(3)在(2)的條件下證明f【解析】(I)由題意x>k=f′1=(II)f′故當(dāng)x∈0,ea?1時(shí),f′x所以函數(shù)fx在x∈0,ea所以fx在x=ea?1處取到最大值,即(III)解法一:欲證fx≤e?2x令?x則?′所以函數(shù)?′x為增函數(shù),又所以存在x0∈