函數(shù)極限存在的夾逼準(zhǔn)則(課件全)

一.函數(shù)極限存在的夾逼準(zhǔn)則

定理2.且節(jié)極限存在準(zhǔn)則及兩個(gè)重要極限2021/6/271證明證:當(dāng)時(shí),設(shè)則2021/6/272當(dāng)則從而有故

也可寫為時(shí),令用于1型2021/6/273例：

1、求原式公式：2021/6/2742021/6/275證:當(dāng)即時(shí)，2021/6/276例.

1、求解:原式2021/6/2772、

求解:

原式=3、求解:

令則因此原式2021/6/278令2021/6/279

第一章都是無窮小,第七節(jié)引例.但無窮小趨于0的速度是多樣的.無窮小的比較2021/6/2710定義：設(shè)

,

對(duì)同一自變量的變化過程為無窮小,且

是

的高階無窮小

是

的低階無窮小

是

的同階無窮小

是

的等價(jià)無窮小

是

的k階無窮小記作記作或2021/6/2711例如

,

當(dāng)～時(shí)又如

，時(shí)是關(guān)于x的二階無窮小,～且2021/6/2712例.

當(dāng)時(shí),是的幾階無窮小?解：無窮小量比較階時(shí)，要找最低階數(shù)2021/6/2713例.

證明:當(dāng)時(shí),～證:～2021/6/2714～～～～～常用等價(jià)無窮小:～～～～～說明：以上各式中的x可換為任意無窮小2021/6/2715～～定理1.證:即即例如,～～故2021/6/2716定理2.

設(shè)且存在,則證:例如,自變量變化過程相同2021/6/2717設(shè)對(duì)同一變化過程,

,

為無窮小,說明:無窮小的性質(zhì),(1)和差取大規(guī)則:由等價(jià)可得簡化某些極限運(yùn)算的下述規(guī)則.若

=o(

),例如,去掉高階(2)和差代替規(guī)則:例如,和差代替有條件2021/6/2718因式代替規(guī)則:界,則例如,

乘除可代替2021/6/2719例1.求解:原式乘除可代替和差代替有條件2021/6/2720例2.求解:2021/6/2721第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)2021/6/2722一、函數(shù)連續(xù)性的定義1、f(x)在x0點(diǎn)處連續(xù)對(duì)自變量的增量有函數(shù)的增量稱函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)反映自變量的變化很微小時(shí)，函數(shù)值的變化也很微小。定義：f(x)在x0的某一鄰域內(nèi)有定義1、可正可負(fù)，不為零。2、可正可負(fù)可為零。2021/6/2723例.

證明函數(shù)在內(nèi)任意一點(diǎn)連續(xù).證:即這說明在內(nèi)任意一點(diǎn)連續(xù).2021/6/2724函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)有下列等價(jià)命題:2021/6/2725可見,函數(shù)在點(diǎn)定義:在的某鄰域內(nèi)有定義,則稱函數(shù)(1)在點(diǎn)即(2)極限(3)設(shè)函數(shù)連續(xù)必須具備下列條件:存在;且有定義,存在;2021/6/2726若在某區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù),則稱它在該區(qū)間上連續(xù),或稱它為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)

.2、f(x)在區(qū)間上連續(xù)稱f(x)在x0

點(diǎn)處左連續(xù)稱f(x)在x0

點(diǎn)處右連續(xù)其圖像是一條連續(xù)而不間斷的曲線。ab2021/6/2727在二、函數(shù)的間斷點(diǎn)(1)函數(shù)(2)不存在;(3)函數(shù)存在,但

不連續(xù):設(shè)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有定義,則下列情形這樣的點(diǎn)之一函數(shù)f(x)在點(diǎn)雖有定義,且稱為間斷點(diǎn)

.在無定義

;2021/6/2728間斷點(diǎn)分類:第一類間斷點(diǎn):及均存在,若稱若稱第二類間斷點(diǎn):及中至少一個(gè)不存在,稱若其中有一個(gè)為振蕩,稱若其中有一個(gè)為為可去間斷點(diǎn)

.為跳躍間斷點(diǎn)

.為無窮間斷點(diǎn)

.為振蕩間斷點(diǎn)

.2021/6/2729為其無窮間斷點(diǎn).為其振蕩間斷點(diǎn).為可去間斷點(diǎn).例如:2021/6/2730顯然為其可去間斷點(diǎn).(4)(5)為其跳躍間斷點(diǎn).2021/6/2731左連續(xù)右連續(xù)第一類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)左右極限都存在第二類間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)左右極限至少有一個(gè)不存在在點(diǎn)間斷的類型在點(diǎn)連續(xù)的等價(jià)形式3、若在某區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù),則稱它在該區(qū)間上連續(xù),或稱它為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)

.其圖像是一條連續(xù)而不間斷的曲線。2021/6/2732第九節(jié)連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性2021/6/2733定理2.

連續(xù)單調(diào)遞增函數(shù)的反函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)一、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則定理1.

在某點(diǎn)連續(xù)的有限個(gè)函數(shù)經(jīng)有限次和,差,積,商(分母不為0)

運(yùn)算,結(jié)果仍是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù).例如,例如,在上連續(xù)單調(diào)遞增，其反函數(shù)(遞減).在[－1,1]上也連續(xù)單調(diào)遞增.遞增(遞減)也連續(xù)單調(diào)2021/6/2734定理3.

連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的.在上連續(xù)單調(diào)遞增,其反函數(shù)在上也連續(xù)單調(diào)遞增.即：設(shè)函數(shù)于是復(fù)合函數(shù)又如,

且即2021/6/2735例如,是由連續(xù)函數(shù)鏈因此在上連續(xù).復(fù)合而成,2021/6/2736二、初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)有限次四則運(yùn)算的結(jié)果連續(xù)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)連續(xù)有限個(gè)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)2021/6/2737的連續(xù)區(qū)間為(端點(diǎn)為單側(cè)連續(xù))的連續(xù)區(qū)間為的定義域?yàn)橐虼怂鼰o連續(xù)點(diǎn)而例如,2021/6/2738三、求連續(xù)區(qū)間、并討論間斷點(diǎn)。1、初等函數(shù)的連續(xù)區(qū)間即為其定義域，定義域外的點(diǎn)為間斷點(diǎn)。例：討論的連續(xù)區(qū)間及間斷點(diǎn)例：討論的連續(xù)區(qū)間及間斷點(diǎn)2021/6/27392、分段函數(shù)連續(xù)區(qū)間的求法-----分界點(diǎn)為可能間斷點(diǎn)。例：討論的連續(xù)區(qū)間及間斷點(diǎn)例：討論的連續(xù)區(qū)間及間斷點(diǎn)2021/6/2740根據(jù)連續(xù)定義確定待定系數(shù)例3.

設(shè)函數(shù)在x=0連續(xù),則

a=

,b=

.解:2021/6/2741四、利用初等函數(shù)的連續(xù)性求極限2、設(shè)函數(shù)于是2021/6/2742例4.求解:原式2021/6/2743第十節(jié)一、最值定理二、零點(diǎn)定理、介值定理閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)2021/6/2744注意:

若函數(shù)在開區(qū)間上連續(xù),結(jié)論不一定成立.一、最值定理定理1.閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)即:使或在閉區(qū)間內(nèi)有間斷在該區(qū)間上必有最大(小)值點(diǎn)

,2021/6/2745例如,無最大值和最小值也無最大值和最小值又如,

2021/6/2746推論.

二、介值定理定理2.

(零點(diǎn)定理)至少有一點(diǎn)且在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界.2021/6/2747定理3.(介值定理)設(shè)且則對(duì)A

與B

之間的任一數(shù)C,一點(diǎn)證:

作輔助函數(shù)則且故由零點(diǎn)定理知,至少有一點(diǎn)使即推論:使至少有在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必取得介于最小值與最大值之間的任何值

.2021/6/2748例1.證明方程一個(gè)根.證:令又故據(jù)零點(diǎn)定理,至少存在一點(diǎn)使即在區(qū)間內(nèi)至少有通過作輔助函數(shù)F(x),再利用零點(diǎn)定理輔助函數(shù)的作法：1、把結(jié)論中的（或）改寫成2、移項(xiàng)，使等式右邊為零，令左邊式子為F(x)2021/6/2749例2：至少有一個(gè)不超過4的證：證明令且根據(jù)零點(diǎn)定理,原命題得證.內(nèi)至少存在一點(diǎn)在開區(qū)間顯然正根.2021/6/2750則證明至少存在使提示:

令則易證例3：

設(shè)一點(diǎn)2021/6/2751三、判斷函數(shù)有界的方法：1、若f(x)在[a,b]上連續(xù)f(x)在[a,b]有界2、若f(x)在（a,b）上連續(xù)f(x)在（a,b）有界2021/6/2752習(xí)題課二、連續(xù)與間斷一、函數(shù)三、極限2021/6/27532.設(shè)函數(shù)求解:一、函數(shù)1、已知,求解:2021/6/27544.

設(shè)求解:3.

設(shè)求及其定義域.由得

解:2021/6/2755解:利用函數(shù)表示與變量字母的無關(guān)的特性.代入原方程得代入上式得設(shè)其中求令即即令即畫線三式聯(lián)立即5.2021/6/2756有無窮間斷點(diǎn)及可去間斷點(diǎn)解:為無窮間斷點(diǎn),所以為可去間斷點(diǎn),極限存在6.

設(shè)函數(shù)試確定常數(shù)a

及b.二、連續(xù)與間斷2021/6/27577.

設(shè)

f(x)

定義在區(qū)間上,,若f(x)在連續(xù),提示