新教材2025版高中數(shù)學第2章空間向量與立體幾何2.4空間向量在立體幾何中的應用2.4.4向量與距離第1課時點到直線的距離與點到平面的距離學生用書湘教版選擇性必修第二冊

第1課時點到直線的距離與點到平面的距離新知初探·課前預習——突出基礎性教材要點要點一點到直線的距離直線l的方向向量為v，點P為直線l外一點，A為直線l上隨意一點，則點P到直線l的距離d＝AP2批注?AP·vv是AP要點二點到平面的距離設平面α的法向量為n，點P是平面α外一點，點A是平面α內隨意一點，則點P到平面α的距離d＝?|AP|·|cos〈AP·n〉|＝________．批注?等于AP在向量n方向上射影的肯定值．基礎自測1．推斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)點到直線的距離是指過該點作直線的垂線，該點與垂足間的距離．()(2)兩異面直線間的距離不能轉化為點到平面的距離．()(3)平面α外一點P到平面α的距離在平面α內任一點與點P的距離中最短．()2．(多選)已知平面α的一個法向量n＝(－2，－2，1)，點A(－1，3，0)在平面α內，若點P(－2，1，z)到α的距離為103，則zA.－16B．－4C．4D．163．已知平面α的一個法向量為n＝(1，2，1)，A(1，0，－1)，B(0，－1，1)，且A?α，B∈α，則點A到平面α的距離為()A．13B．66C．題型探究·課堂解透——強化創(chuàng)新性點到直線的距離例1如圖，在空間直角坐標系中有長方體ABCD-A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求點B到直線A′C的距離．方法歸納向量法求點到直線距離的一般步驟鞏固訓練1已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求點B到直線A1C1的距離．點到平面的距離例2在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝23，M，N分別為AB，SB的中點，如圖所示．求點B到平面CMN的距離．方法歸納用向量法求點面距的一般步驟鞏固訓練2如圖，在棱長是2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為CD的中點，求點B1到平面AD1E的距離．第1課時點到直線的距離與點到平面的距離新知初探·課前預習[教材要點]要點二AP[基礎自測]1．(1)√(2)×(3)√2．解析：因為n＝(－2，－2，1)，AP＝(－1，－2，z)，且d＝AP·nn＝2+4+z4+4+1＝6+z3答案：AC3．解析：∵A(1，0，－1)，B(0，－1，1)，∴AB＝(－1，－1，2)，又平面α的一個法向量為n＝(1，2，1)，∴點A到平面α的距離為AB·nn答案：B題型探究·課堂解透例1解析：因為AB＝1，BC＝2，AA′＝3，所以A′(0，0，3)，C(1，2，0)，B(1，0，0)，所以直線A′C的方向向量A'又BC＝(0，2，0)，所以BC在A'C上的投影長為BC·所以點B到直線A′C的距離d＝BC2-BC·A鞏固訓練1解析：以B為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則B(0，0，0)，A1(4，0，1)，C1(0，3，1)，所以直線A1C1的方向向量A1C1所以點B到直線A1C1的距離d＝BC12-B例2解析：取AC的中點O，連接OS，OB.∵SA＝SC，AB＝BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO.∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC，∴SO⊥平面ABC.又BO?平面ABC，∴SO⊥BO.又∵△ABC為正三角形，O為AC的中點，∴AO⊥BO.如圖所示，分別以OA，OB，OS所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系O-xyz，則B(0，23，0)，C(－2，0，0)，S(0，0，22)，M(1，3，0)，N(0，3，∴CM＝(3，3，0)，MN＝(－1，0，2)，MB＝(－1，3，0)．設n＝(x，y，z)為平面CMN的一個法向量，則CM·n=3x+則x＝2，y＝－6，∴n＝(2，－6，1)．∴點B到平面CMN的距離d＝n·MBn鞏固訓練2解析：因為正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為2，故以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，則有D(0，0，0)，A(2，0，0)，D1(0，0，2)，E(0，1，0)，B1(2，2，2)．設平面AD1E的法向量是m＝(x，y，z)，則m⊥AD1，即m·又