新教材2025版高中數(shù)學(xué)第六章立體幾何初步3空間點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系3.2刻畫(huà)空間點(diǎn)線面位置關(guān)系的公理第1課時(shí)空間圖形基本位置關(guān)系的認(rèn)識(shí)空間圖形的基本事實(shí)123學(xué)案北師大版必修第二冊(cè)

§3空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系最新課標(biāo)(1)借助長(zhǎng)方體，在直觀相識(shí)空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的定義，了解以下基本領(lǐng)實(shí)和定理．(2)基本領(lǐng)實(shí)1：過(guò)不在一條直線的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．(3)基本領(lǐng)實(shí)2：假如一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)．(4)基本領(lǐng)實(shí)3：假如兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線.3.1空間圖形基本位置關(guān)系的相識(shí)3．2刻畫(huà)空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的公理第1課時(shí)空間圖形基本位置關(guān)系的相識(shí)空間圖形的基本領(lǐng)實(shí)1、2、3[教材要點(diǎn)]要點(diǎn)一空間圖形的基本關(guān)系位置關(guān)系圖形表示符號(hào)表示點(diǎn)與線的位置關(guān)系點(diǎn)A不在直線a上A?a點(diǎn)B在直線a上B∈a點(diǎn)與面的位置關(guān)系點(diǎn)A在平面α內(nèi)A∈α點(diǎn)B在平面α外B?α直線與直線的位置關(guān)系平行a與b異面相交________異面直線與平面的位置關(guān)系線在面內(nèi)________線面相交________線面平行________平面與平面的位置關(guān)系面面平行________面面相交________eq\x(狀元隨筆)1.用集合語(yǔ)言描述位置關(guān)系時(shí)，“∈，?，∩”等符號(hào)雖然來(lái)源于集合符號(hào)，但在讀法上卻用幾何語(yǔ)言，例如，A∈α讀作“點(diǎn)A在平面α內(nèi)”；a?α讀作“直線a在平面α內(nèi)”；α∩β＝l讀作“平面α，β相交于直線l”．2．幾何符號(hào)的用法原則上與集合符號(hào)的用法一樣，但個(gè)別地方與集合符號(hào)略有差異．例如，不用a∩b＝{A}來(lái)表示直線a，b相交于點(diǎn)A，而是簡(jiǎn)記為a∩b＝A，這里的A既可以理解為一個(gè)點(diǎn)，又可以理解為只含一個(gè)元素(點(diǎn))的集合．要點(diǎn)二三個(gè)基本領(lǐng)實(shí)及三個(gè)推論內(nèi)容圖形符號(hào)基本領(lǐng)實(shí)1過(guò)________的三點(diǎn)，________一個(gè)平面A，B，C三點(diǎn)不共線?存在唯一的平面α使A，B，C∈α基本領(lǐng)實(shí)2假如一條直線上的________在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在________A∈l，B∈l且A∈α，B∈α?________基本領(lǐng)實(shí)3假如兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的________P∈α且P∈β?________要點(diǎn)三重要推論推論1經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．推論2經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面．推論3經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面．eq\x(狀元隨筆)對(duì)三個(gè)基本領(lǐng)實(shí)的理解1．“不在一條直線上”和“三個(gè)點(diǎn)”是基本領(lǐng)實(shí)1的重點(diǎn)字眼，假如沒(méi)有前者，那么只能說(shuō)“有一個(gè)平面”，但可能不唯一；假如將“三個(gè)點(diǎn)”改成“四個(gè)點(diǎn)”，那么過(guò)四個(gè)點(diǎn)不肯定存在一個(gè)平面．由此可見(jiàn)，“不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)”是確定一個(gè)平面的恰到好處的條件．這里的“有且只有”包括存在性和唯一性兩個(gè)方面，“有”表示“平面存在”，“只有”表示平面唯一．2．從集合的角度看基本領(lǐng)實(shí)2，即假如一條直線(集合)上有兩個(gè)點(diǎn)(元素)屬于一個(gè)平面(集合)，那么這條直線就是這個(gè)平面的真子集．這個(gè)結(jié)論闡述了兩個(gè)觀點(diǎn)：一是整條直線在平面內(nèi)，二是直線上的全部點(diǎn)在平面內(nèi)．3．基本領(lǐng)實(shí)3反映了平面與平面的一種位置關(guān)系——相交，且交線唯一．從集合的角度看，對(duì)于不重合的兩個(gè)平面，只要它們有公共點(diǎn)，那么公共點(diǎn)肯定有多數(shù)個(gè)，且這多數(shù)個(gè)點(diǎn)的集合構(gòu)成一條直線，就是兩平面的交線．[基礎(chǔ)自測(cè)]1．推斷正誤(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)不平行的兩條直線的位置關(guān)系為相交．()(2)兩個(gè)平面的交線可以是一條線段．()(3)空間不同的三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面．()(4)四邊形是平面圖形．()2．“直線a經(jīng)過(guò)平面α外一點(diǎn)P”用符號(hào)表示為()A．P∈a，a∥αB．a(chǎn)∩α＝PC．P∈a，P?αD．P∈a，aα3．兩個(gè)平面若有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面()A．相交B．重合C．相交或重合D．以上都不對(duì)4．依據(jù)如圖所示，在橫線上填入相應(yīng)的符號(hào)或字母：A________平面ABC，A________平面BCD，BD________平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝________.題型一三種語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化——自主完成1．依據(jù)下列符號(hào)表示的語(yǔ)句，說(shuō)明點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，并畫(huà)出相應(yīng)的圖形：①A∈α，B?α；②A∈α，m∩α＝A，A?l，l?α；③P∈l，P?α，Q∈l，Q∈α.2．用符號(hào)語(yǔ)言表示下列語(yǔ)句，并畫(huà)出圖形：①三個(gè)平面α，β，γ相交于一點(diǎn)P，且平面α與平面β相交于PA，平面α與平面γ相交于PB，平面β與平面γ相交于PC；②平面ABD與平面BDC相交于BD，平面ABC與平面ADC相交于AC.方法歸納(1)用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言表示一個(gè)圖形時(shí)，首先細(xì)致視察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著先用文字語(yǔ)言表示，再用符號(hào)語(yǔ)言表示．(2)要留意符號(hào)語(yǔ)言的意義，如點(diǎn)與直線的位置關(guān)系只能用“∈”或“?”表示；直線與平面的位置關(guān)系只能用“?”或“?”表示．(3)依據(jù)已知符號(hào)語(yǔ)言或文字語(yǔ)言畫(huà)相應(yīng)的圖形時(shí)，要留意實(shí)線和虛線的區(qū)分．題型二點(diǎn)、線共面問(wèn)題——師生共研例1證明：兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi)．eq\x(狀元隨筆)先說(shuō)明兩條相交直線確定一個(gè)平面，然后證明另外一條直線也在該平面內(nèi)．或利用基本領(lǐng)實(shí)1的推論，說(shuō)明三條相交直線分別確定兩個(gè)平面α，β，然后證明α，β重合．方法歸納證明點(diǎn)、線共面問(wèn)題的理論依據(jù)是基本領(lǐng)實(shí)1和基本領(lǐng)實(shí)2，常用方法有：(1)先由部分點(diǎn)、線確定一個(gè)面，再證其余的點(diǎn)、線都在這個(gè)平面內(nèi)，即用“納入法”；(2)先由其中一部分點(diǎn)、線確定一個(gè)平面α，其余點(diǎn)、線確定另一個(gè)平面β，再證平面α與β重合，即用“同一法”；(3)假設(shè)不共面，結(jié)合題設(shè)推出沖突，即用“反證法”．跟蹤訓(xùn)練1已知A∈l，B∈l，C∈l，D?l(如圖)，求證：直線AD，BD，CD共面．題型三點(diǎn)共線或線共點(diǎn)問(wèn)題——師生共研例2如圖，△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BC∩α＝R.求證：P，Q，R三點(diǎn)共線．方法歸納(1)證明三點(diǎn)共線，可以證明三點(diǎn)都在兩平面的交線上或第三點(diǎn)在兩點(diǎn)所確定的直線上．(2)證明三線共點(diǎn)的基本方法是先證明待證的三條直線中的兩條相交于一點(diǎn)，再證明第三條直線也過(guò)該點(diǎn)．常結(jié)合基本領(lǐng)實(shí)3，證明該點(diǎn)在不重合的兩個(gè)平面內(nèi)，即該點(diǎn)在兩個(gè)平面的交線(第三條直線)上，從而證明三線共點(diǎn)．跟蹤訓(xùn)練2在四面體ABCD中，E，G分別是BC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，點(diǎn)H在AD上，且DF：FC＝DH：HA＝2：3.求證：EF，GH，BD交于一點(diǎn)．易錯(cuò)辨析忽視基本領(lǐng)實(shí)的重要條件致誤例3已知A，B，C，D，E五點(diǎn)中，A，B，C，D共面，B，C，D，E共面，則A，B，C，D，E五點(diǎn)的位置關(guān)系是()A．共面B．不共面C．共線D．不確定解析：分兩類進(jìn)行探討．(1)若B，C，D三點(diǎn)不共線，則它們確定一個(gè)平面α.因?yàn)锳，B，C，D共面，所以點(diǎn)A在平面α內(nèi)．因?yàn)锽，C，D，E共面，所以點(diǎn)E在平面α內(nèi)．所以點(diǎn)A，E都在平面α內(nèi)，即A，B，C，D，E五點(diǎn)肯定共面．(2)若B，C，D三點(diǎn)共線于l，若A∈l，E∈l，則A，B，C，D，E五點(diǎn)肯定共面，但平面不唯一；若A，E中有且只有一個(gè)在l上，則A，B，C，D，E五點(diǎn)肯定共面；若A，E都不在l上，則A，B，C，D，E五點(diǎn)可能共面，也可能不共面．答案：D易錯(cuò)警示易錯(cuò)緣由糾錯(cuò)心得解本題時(shí)易誤認(rèn)為因?yàn)锳，B，C，D共面，所以點(diǎn)A在B，C，D所確定的平面內(nèi)，因?yàn)锽，C，D，E共面，所以點(diǎn)E也在B，C，D所確定的平面內(nèi)，所以點(diǎn)A，E都在B，C，D所確定的平面內(nèi)，即A，B，C，D，E五點(diǎn)肯定共面．以上錯(cuò)解忽視了基本領(lǐng)實(shí)1中“不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)”這個(gè)重要條件．事實(shí)上B，C，D三點(diǎn)有可能共線.對(duì)于確定平面問(wèn)題，在應(yīng)用基本領(lǐng)實(shí)1及三個(gè)推論時(shí)肯定要留意它們成立的前提條件.§3空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系3．1空間圖形基本位置關(guān)系的相識(shí)3．2刻畫(huà)空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的公理第1課時(shí)空間圖形基本位置關(guān)系的相識(shí)空間圖形的基本領(lǐng)實(shí)1、2、3新知初探·課前預(yù)習(xí)要點(diǎn)一a∩b＝Oa?αa∩α＝Aa∥αα∥βα∩β＝a要點(diǎn)二不在同一條直線上有且只有兩點(diǎn)此平面內(nèi)l?α公共直線α∩β＝l且P∈l[基礎(chǔ)自測(cè)]1．(1)×(2)×(3)×(4)×2．答案：C3．解析：若三個(gè)點(diǎn)在同一條直線上，則兩平面可能相交；若這三個(gè)點(diǎn)不在同始終線上，則這兩個(gè)平面重合．答案：C4．答案：∈??AC題型探究·課堂解透題型一1．解析：①點(diǎn)A在平面α內(nèi)，點(diǎn)B不在平面α內(nèi)；②直線l在平面α內(nèi)，直線m與平面α相交于點(diǎn)A，且點(diǎn)A不在直線l上；③直線l經(jīng)過(guò)平面α外一點(diǎn)P和平面α內(nèi)一點(diǎn)Q.圖形分別如圖①②③所示．2．解析：①符號(hào)語(yǔ)言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC.圖形表示如圖①所示．②符號(hào)語(yǔ)言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.圖形表示如圖②所示．題型二例1解析：已知：如圖所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求證：直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．法一∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1和l2確定一個(gè)平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2又l2?α，∴B∈α.同理同證C∈α，又B∈l3，C∈l3，∴l(xiāng)3?α.∴直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．法二：∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1，l2確定一個(gè)平面α.∵l2∩l3＝B，∴l(xiāng)2，l3確定一個(gè)平面β.∵A∈l2，l2?α，∴A∈α.∵A∈l2，l2?β，∴A∈β.同理可證，B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∵不共線的三個(gè)點(diǎn)A，B，C既在平面α內(nèi)，又在平面β內(nèi)，∴平面α和平面β重合，即直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．跟蹤訓(xùn)練1解析：因?yàn)镈?l，所以D和l可確定一平面，設(shè)為α.因?yàn)锳∈l，所以A∈α.又D∈α，所以AD?α.同理BD?α，CD?α，所以AD，BD，CD都在平面α內(nèi)，即它們共面．題型三例2證明：方法一∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈α.又AB?平面ABC，∴P∈平面ABC.由基本領(lǐng)實(shí)3可知點(diǎn)P在平面ABC與平面α的交線上，同理可證Q，R也在平面ABC與平面α的交線上，∴P，Q，R三點(diǎn)共線．方法二∵AP∩AQ＝A，∴直線AP與直線AQ確定平面APQ.又AB∩α＝P，AC∩α＝Q，∴平面APQ∩α＝PQ.∵B∈平面APQ，C∈平面APQ，∴BC?平面APQ.∵R∈BC，∴R∈平面APQ，又R∈α，∴R∈PQ，∴P，Q，R三點(diǎn)共線．跟蹤訓(xùn)練2解析：如圖，連接GE、HF因?yàn)镋，G分