新教材2025版高中數(shù)學(xué)第四章數(shù)列4.2等差數(shù)列4.2.1等差數(shù)列的概念第1課時等差數(shù)列的概念與通項公式課后提能訓(xùn)練新人教A版選擇性必修第二冊

4．2.1等差數(shù)列的概念第1課時等差數(shù)列的概念與通項公式A級——基礎(chǔ)過關(guān)練1．－2與11的等差中項為 ()A．－eq\f(9,2) B．－eq\f(13,2) C．eq\f(9,2) D．eq\f(13,2)【答案】C【解析】－2與11的等差中項為eq\f(－2＋11,2)＝eq\f(9,2).2．中位數(shù)為1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項為2022，則該數(shù)列的首項為 ()A．－1 B．－2 C．1 D．2【答案】B【解析】由等差中項的定義知a1＋2022＝2×1010，∴a1＝－2.3．等差數(shù)列{an}中，若a1＝－1，a3＝3，am＝9，則m＝ ()A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則a3＝a1＋(3－1)d＝－1＋2d＝3，解得d＝2，∴am＝a1＋(m－1)d，即9＝－1＋2(m－1)，解得m＝6.故選A.4．(2024年嘉興期末)若x≠y，兩個等差數(shù)列x，a1，a2，y與x，b1，b2，b3，y的公差分別為d1和d2，則eq\f(d2,d1)＝ ()A．eq\f(2,3) B．eq\f(3,2) C．eq\f(3,4) D．eq\f(4,3)【答案】C【解析】因為d1＝eq\f(y－x,4－1)＝eq\f(y－x,3)，d2＝eq\f(y－x,5－1)＝eq\f(y－x,4)，所以eq\f(d2,d1)＝eq\f(3,4).5．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列且a1＝2，a2＋a3＝13，則a4＋a5＋a6＝ ()A．45 B．43 C．42 D．40【答案】C【解析】在等差數(shù)列{an}中，∵a1＝2，a2＋a3＝13，∴(a1＋d)＋(a1＋2d)＝13，解得d＝3.又∵a4，a5，a6為等差數(shù)列，且a5為a4和a6的等差中項，∴2a5＝a4＋a6，∴a4＋a5＋a6＝3a5＝3(a1＋4d)＝3×(2＋3×4)＝42.6．(2024年成都模擬)《周髀算經(jīng)》有這樣一個問題：從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種，這十二個節(jié)氣日影長依次成等差數(shù)列，雨水、驚蟄、春分、清明日影長之和為32尺，前七個節(jié)氣日影長之和為73.5尺，則立夏日影長為 ()A．7.5尺 B．6.5尺C．5.5尺 D．4.5尺【答案】D【解析】設(shè)從冬至日起，日影長構(gòu)成等差數(shù)列{an}，且a5＋a6＋a7＋a8＝32，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝73.5，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋22d＝32，,7a1＋21d＝73.5，))解得a1＝13.5，d＝－1.故a10＝13.5－9×1＝4.5.7．(多選)(2024年福州期末改編)已知等差數(shù)列{an}的公差為d，a3＝16，a5＝12，則 ()A．d＝－2B．a(chǎn)1＝20C．a(chǎn)4＋a6＝28D．{2an＋3}是以－1為公差的等差數(shù)列【答案】AB【解析】因為a3＝16，a5＝12，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝a1＋2d＝16，,a5＝a1＋4d＝12，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝20，,d＝－2，))故選項A，B正確；由于an＝a1＋(n－1)d＝22－2n，a4＋a6＝14＋10＝24，故C錯誤；因為2(an＋1＋3)－(2an＋3)＝2(an＋1－an)＝2d＝－4，所以{2an＋3}是以－4為公差的等差數(shù)列，故D錯誤．故選AB.8．(2024年哈爾濱期末)用火柴棒按如圖的方法搭三角形．按圖示的規(guī)律搭下去，則第100個圖形所用火柴棒數(shù)為________．【答案】201【解析】由圖形可知，第一個圖形用3根火柴棒，以后每一個比前一個多兩根火柴棒，構(gòu)成等差數(shù)列，數(shù)列的首項為3，公差為2，所以an＝3＋(n－1)×2＝2n＋1，則第100個圖形所用火柴棒數(shù)為a100＝2×100＋1＝201.9．等差數(shù)列{an}的首項為a，公差為d；等差數(shù)列{bn}的首項為b，公差為e.若cn＝an＋bn，且c1＝4，c2＝8，則cn＝__________．【答案】4n【解析】因為cn－cn－1＝an＋bn－(an－1＋bn－1)＝an－an－1＋bn－bn－1＝d＋e，所以數(shù)列{cn}是以a＋b為首項，d＋e為公差的等差數(shù)列．因為c1＝4，c2＝8，所以d＋e＝c2－c1＝8－4＝4，所以cn＝4＋(n－1)×4＝4n.10．在正項數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1－eq\r(an＋1)＝an＋eq\r(an).(1)數(shù)列{eq\r(an)}是否為等差數(shù)列？說明理由．(2)求an的通項公式．解：(1)因為an＋1－eq\r(an＋1)＝an＋eq\r(an)，所以an＋1－an＝eq\r(an＋1)＋eq\r(an)，所以(eq\r(an＋1)＋eq\r(an))(eq\r(an＋1)－eq\r(an))＝eq\r(an＋1)＋eq\r(an).因為{an}是正項數(shù)列，所以eq\r(an＋1)＋eq\r(an)≠0，所以eq\r(an＋1)－eq\r(an)＝1，所以{eq\r(an)}是等差數(shù)列，公差為1.(2)由(1)知，eq\r(an)＝eq\r(a1)＋(n－1)d＝eq\r(1)＋(n－1)×1＝n，所以an＝n2.B級——實力提升練11．(多選)設(shè)an＝(n＋1)2，bn＝n2－n(n∈N*)，則下列命題中正確的是 ()A．{an＋1－an}是等差數(shù)列 B．{bn＋1－bn}是等差數(shù)列C．{an－bn}是等差數(shù)列 D．{an＋bn}是等差數(shù)列【答案】ABC【解析】因為an＝(n＋1)2，所以an＋1－an＝(n＋2)2－(n＋1)2＝2n＋3，設(shè)cn＝2n＋3，所以cn＋1－cn＝2，所以{an＋1－an}是等差數(shù)列，故A正確；因為bn＝n2－n，所以bn＋1－bn＝2n，設(shè)cn＝2n，所以cn＋1－cn＝2，所以{bn＋1－bn}是等差數(shù)列，故B正確；因為an＝(n＋1)2，bn＝n2－n，所以an－bn＝(n＋1)2－(n2－n)＝3n＋1，設(shè)cn＝3n＋1，所以cn＋1－cn＝3，所以{an－bn}是等差數(shù)列，故C正確；an＋bn＝2n2＋n＋1，設(shè)cn＝an＋bn，易知cn＋1－cn＝4n＋3，不是常數(shù)，故D錯誤．12．(2024年山東模擬)設(shè){an}是等差數(shù)列且公差不為0，下列結(jié)論中正確的是 ()A．若a1＋a2>0，則a2＋a3>0B．若a1＋a3<0，則a1＋a2<0C．若a1<0，則(a2－a1)(a2－a3)>0D．若0<a1<a2，則a2>eq\r(a1a3)【答案】D【解析】∵a1＋a2>0，∴a2＋a3＝(a1＋a2)＋2d，∵d的正負無法推斷，∴a2＋a3的正負無法推斷，故A錯誤；∵a1＋a3<0，∴(a1＋a2)＋d<0，a1＋a2的正負無法推斷，故B錯誤；(a2－a1)(a2－a3)＝－d2<0，故C錯誤；∵0<a1<a2＝a1＋d，∴d>0，則a22－a1a3＝(a1＋d)2－a1(a1＋2d)＝d2>0，即a2>eq\r(a1a3)，故D正確．13．已知等差數(shù)列{an}中，a4＝7，a8＝15，把數(shù)列{an}的全部奇數(shù)項按原依次排列，得到一個新數(shù)列，記為{bn}，則此新數(shù)列的通項公式為bn＝________．【答案】4n－3【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則由a4＝7，a8＝15，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋3d＝7，,a1＋7d＝15，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝2，))則an＝2n－1.由題意得b1＝a1＝1，b2＝a3＝5，b3＝a5＝9，…，則{bn}是以1為首項，4為公差的等差數(shù)列，故bn＝1＋4(n－1)＝4n－3.14．已知數(shù)陣eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co4(a11,a12,a13,a14,a21,a22,a23,a24,a31,a32,a33,a34,a41,a42,a43,a44)))中，每行、每列的四個數(shù)均成等差數(shù)列，假如數(shù)陣中a12＝2，a31＝1，a34＝7，那么a32＝________，a22＝________．【答案】3eq\f(5,2)【解析】設(shè)第三行的四個數(shù)的公差為d3，由a31＝1，a34＝7，得d3＝eq\f(7－1,4－1)＝2，所以a32＝1＋2＝3.因為其次列的四個數(shù)成等差數(shù)列，所以a22是a12，a32的等差中項，所以a22＝eq\f(a12＋a32,2)＝eq\f(2＋3,2)＝eq\f(5,2).15．(2024年柳州月考)數(shù)列{an}滿意a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1，2，…)，λ是常數(shù)．(1)當a2＝－1時，求λ及a3的值．(2)是否存在實數(shù)λ使數(shù)列{an}為等差數(shù)列？若存在，求出λ及數(shù)列{an}的通項公式；若不存在，請說明理由．解：(1)由于an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1，2，…)，且a1＝1，所以當a2＝－1時，得－1＝2－λ，故λ＝3，從而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝