新教材2025版高中數(shù)學(xué)課時作業(yè)13祖暅原理與幾何體的體積新人教B版必修第四冊

課時作業(yè)(十三)祖暅原理與幾何體的體積一、選擇題1．如圖所示，在長方體ABCD-A′B′C′D′中，用截面截下一個棱錐C′-A′DD′，則棱錐C′-A′DD′的體積與剩余部分的體積之比為()A．1∶5B．1∶4C．1∶3D．1∶22．圓臺的上、下底面半徑分別為2，4，母線長為3，則圓臺的體積為()A．eq\f(28\r(5),3)π B．28πC．28eq\r(5)π D．eq\f(28\r(7),3)π3．在棱長為1的正方體上，分別用過共頂點(diǎn)的三條棱中點(diǎn)的平面截該正方體，則截去8個三棱錐后，剩下的凸多面體的體積是()A．eq\f(2,3) B．eq\f(7,6)C．eq\f(4,5) D．eq\f(5,6)4．已知A，B，C為球O的球面上的三個點(diǎn)，⊙O1為△ABC的外接圓，若⊙O1的面積為4π，AB＝BC＝AC＝OO1，則球O的表面積為()A．64πB．48πC．36πD．32π二、填空題5．如圖，OABC是邊長為1的正方形，eq\x\to(AC)是四分之一圓弧，則圖中陰影部分繞軸OC旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體的體積為________________．6．已知三棱錐S-ABC的棱長均為4，則該三棱錐的體積是________．7．如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E為線段B1C上的一點(diǎn)，則三棱錐A-DED1的體積為________．三、解答題8．如圖，一個圓錐形的空杯子上面放著一個半球形的冰淇淋，假如冰淇淋溶化了，會溢出杯子嗎？請用你的計(jì)算數(shù)據(jù)說明理由．9．如圖，圓柱的底面半徑為r，球的直徑與圓柱底面的直徑和圓柱的高相等，圓錐的頂點(diǎn)為圓柱上底面的圓心，圓錐的底面是圓柱的下底面．(1)計(jì)算圓柱的表面積；(2)計(jì)算圖中圓錐、球、圓柱的體積比．[尖子生題庫]若E，F(xiàn)是三棱柱ABC-A1B1C1側(cè)棱BB1和CC1上的點(diǎn)，且B1E＝CF，三棱柱的體積為m，求四棱錐A-BEFC的體積．課時作業(yè)(十三)祖暅原理與幾何體的體積1．解析：由圖知：VC′-A′DD′＝eq\f(1,3)·C′D′·S△A′DD′，VABCD-A′B′C′D′＝C′D′·SA′D′DA，而SA′D′DA＝2S△A′DD′，∴剩余部分的體積為VABCD-A′B′C′D′－VC′-A′DD′＝eq\f(5,3)C′D′·S△A′DD′，∴棱錐C′-A′DD′的體積與剩余部分的體積之比為1∶5.答案：A2．解析：因圓臺的上、下底面半徑分別為2，4，母線長為3，則圓臺的高為eq\r(32－22)＝eq\r(5)，所以圓臺的體積為V＝eq\f(1,3)π(22＋2×4＋42)×eq\r(5)＝eq\f(28\r(5),3)π.答案：A3．解析：如圖，去掉的一個棱錐的體積是eq\f(1,3)×(eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2))×eq\f(1,2)＝eq\f(1,48)，剩余幾何體的體積是1－8×eq\f(1,48)＝eq\f(5,6).答案：D4．解析：設(shè)圓O1的半徑為r，球的半徑為R，依題意，得πr2＝4π，所以r＝2，由正弦定理可得AB＝2rsin60°＝2eq\r(3)，所以O(shè)O1＝AB＝2eq\r(3)，依據(jù)球截面性質(zhì)得OO1⊥平面ABC，所以O(shè)O1⊥O1A，R＝OA＝eq\r(OOeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋O1A2)＝eq\r(OOeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋r2)＝4，所以球O的表面積S＝4πR2＝64π.答案：A5．解析：幾何體是一個圓柱挖去一個半球后剩余的部分，且圓柱的底面半徑是1，高是1，球的半徑是1，所以圓柱的體積是π×12×1＝π，半球的體積是eq\f(1,2)×eq\f(4π,3)×13＝eq\f(2π,3)，因此所求幾何體的體積為π－eq\f(2π,3)＝eq\f(π,3).答案：eq\f(π,3)6．解析：如圖，在三棱錐S-ABC中，作高SO，連接AO并延長AO交BC于點(diǎn)D，則AO＝eq\f(\r(3),2)×4×eq\f(2,3)＝eq\f(4\r(3),3).在Rt△SAO中，SO＝eq\r(42－（\f(4\r(3),3)）2)＝eq\f(4\r(6),3)，所以V＝eq\f(1,3)×eq\f(4\r(6),3)×eq\f(\r(3),4)×42＝eq\f(16\r(2),3).答案：eq\f(16\r(2),3)7．解析：將三棱錐A-DED1選擇△ADD1為底面，E為頂點(diǎn)，則VA-DED1＝VE-ADD1＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)8．解析：因?yàn)閂半球＝eq\f(1,2)×eq\f(4π,3)R3＝eq\f(1,2)×eq\f(4π,3)×43＝eq\f(128π,3)(cm3)，V圓錐＝eq\f(π,3)r2h＝eq\f(π,3)×42×10＝eq\f(160π,3)(cm3)，V半球<V圓錐，所以，冰淇淋溶化了，不會溢出杯子．9．解析：(1)已知圓柱的底面半徑為r，則圓柱和圓錐的高為h＝2r，圓錐和球的底面半徑為r，則圓柱的表面積為S圓柱表＝2×πr2＋4πr2＝6πr2.(2)由(1)知V圓錐＝eq\f(π,3)r2×2r＝eq\f(2π,3)r3，V圓柱＝πr2×2r＝2πr3，V球＝eq\f(4π,3)r3，V圓錐∶V球∶V圓柱＝eq\f(2π,3)r3∶eq\f(4π,