初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)幾何模型專題講解16-三角形內(nèi)外角平分線的交角

1/43初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)幾何模型專題講解專題16三角形內(nèi)外角平分線的交角一、填空題1．如圖在△ABC中，BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE為外角∠ACD的平分線，交BO的延長線于點(diǎn)E，記，，則以下結(jié)論①，②，③，④，正確的是________．（把所有正確的結(jié)論的序號(hào)寫在橫線上）【答案】①④【分析】依據(jù)角平分線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)，即可得到∠1＝2∠2，∠BOC＝90°＋∠1，∠BOC＝90°＋∠2，再分析判斷．【詳解】∵CE為外角∠ACD的平分線，BE平分∠ABC，∴∠DCE＝∠ACD，∠DBE＝∠ABC，又∵∠DCE是△BCE的外角，∴∠2＝∠DCE?∠DBE＝（∠ACD?∠ABC）＝∠1，故①正確；∵BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠BOC＝180°?（∠OBC＋∠OCB）＝180°?（∠ABC＋∠ACB）＝180°?（180°?∠1）＝90°＋∠1，故②、③錯(cuò)誤；∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，∴∠ACO＝∠ACB，∠ACE＝∠ACD，∴∠OCE＝（∠ACB＋∠ACD）＝×180°＝90°，∵∠BOC是△COE的外角，∴∠BOC＝∠OCE＋∠2＝90°＋∠2，故④正確；故答案為：①④．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，以及角平分線的定義．2．如圖，在△中，，如果與的平分線交于點(diǎn)，那么＝_________度．【答案】125【分析】先利用三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，進(jìn)而可求的度數(shù)，最后再利用三角形內(nèi)角和定理即可求出答案．【詳解】，．∵BD平分，CD平分，，．故答案為：125．【點(diǎn)睛】本題主要考查與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題，掌握角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．3．（2018育才單元考）如圖，在△ABC中，和的角平分線交于點(diǎn)，得，和的角平分線交于點(diǎn)，得，……，和的角平分線交于點(diǎn)，得（1）若，則_______，________，________（2）若，則________．【答案】40°20°10°【分析】（1）利用角平分線的定義和三角形外角性質(zhì)，易證∠A1=∠A，進(jìn)而可求∠A1，同理易證∠A2=∠A1，∠A3=∠A2，進(jìn)而可求∠A2和∠A3；（2）利用角平分線的定義和三角形外角性質(zhì)，易證∠A1=∠A，進(jìn)而可求∠A1，同理易證∠A2=∠A1，∠A3=∠A2，…，以此類推可知∠A2015即可求得．【詳解】解：（1）∵∠A=∠ACD－∠ABC，∠A1=∠A1CD－∠A1BC∵和的角平分線交于點(diǎn)，∴∠A1CD=∠ACD，∠A1BC=∠ABC∴∠A1=∠A1CD－∠A1BC=∠ACD－∠ABC=（∠ACD－∠ABC）=∠A=40°同理可證：∠A2=∠A1=20°，∠A3=∠A2=10°故答案為：40°；20°；10°．（2）∵∠A=∠ACD－∠ABC，∠A1=∠A1CD－∠A1BC∵和的角平分線交于點(diǎn)，∴∠A1CD=∠ACD，∠A1BC=∠ABC∴∠A1=∠A1CD－∠A1BC=∠ACD－∠ABC=（∠ACD－∠ABC）=∠A=°同理可證：∠A2=∠A1=°，∠A3=∠A2=°∴∠A2015=°故答案為：°．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線定義和三角形外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是推導(dǎo)出∠A1=∠A，并依此找出規(guī)律．4．如圖，在△ABC中，∠A=60°，BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分別在DB、DC、BC的延長線上，BE、CE分別平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分別平分∠EBC、∠ECQ，則∠F=________．【答案】15°【分析】先由BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB得到∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，在△ABC中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=60°，則根據(jù)平角定理得到∠MBC+∠NCB=300°；再由BE、CE分別平分∠MBC、∠BCN得∠5+∠6=∠MBC，∠1=∠NCB，兩式相加得到∠5+∠6+∠1=（∠NCB+∠NCB）=150°，在△BCE中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算出∠E=30°；再由BF、CF分別平分∠EBC、∠ECQ得到∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，利用等量代換得到∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，再進(jìn)行等量代換可得到∠F=∠E．【詳解】解：∵BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，∠A=60°，∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，∴∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=×（180°-60°）=60°，

∴∠MBC+∠NCB=360°-60°=300°，∵BE、CE分別平分∠MBC、∠BCN，∴∠5+∠6=∠MBC，∠1=∠NCB，∴∠5+∠6+∠1=（∠NCB+∠NCB）=150°，∴∠E=180°-（∠5+∠6+∠1）=180°-150°=30°，∵BF、CF分別平分∠EBC、∠ECQ，∴∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，∵∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，即∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，∴2∠F=∠E，∴∠F=∠E=×30°=15°．故答案為：15°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．也考查了三角形外角性質(zhì)．二、解答題5．（1）如圖1所示，BD，CD分別是△ABC的內(nèi)角∠ABC，∠ACB的平分線，試說明：∠D=90°+∠A．（2）探究，請(qǐng)直接寫出下列兩種情況的結(jié)果，并任選一種情況說明理由：①如圖2所示，BD，CD分別是△ABC兩個(gè)外角∠EBC和∠FCB的平分線，試探究∠A與∠D之間的等量關(guān)系；②如圖3所示，BD，CD分別是△ABC一個(gè)內(nèi)角∠ABC和一個(gè)外角∠ACE的平分線，試探究∠A與∠D之間的等量關(guān)系．【答案】（1）證明見解析；（2）①∠A=180°?2∠D，理由見解析；②∠A=2∠D，理由見解析【分析】（1）首先利用角平分線性質(zhì)得出∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，再利用三角形內(nèi)角和定理得出∠A+∠ABC+∠ACB=180°以及∠DBC+∠DCB+∠D=180°，據(jù)此進(jìn)一步加以變形求證即可；（2）①首先理由角平分線性質(zhì)得出∠EBC=2∠DBC，∠FCB=2∠DCB，然后再利用三角形內(nèi)角和性質(zhì)進(jìn)一步整理得出∠A?2(∠DBC+∠DCB)=-180°，據(jù)此進(jìn)一步加以分析證明即可；②利用三角形外角性質(zhì)可知∠DCE=∠DBC+∠D，然后再利用角平分線性質(zhì)得出2∠DBC=∠ABC，2∠DCE=∠ACE，最后再結(jié)合∠A+∠ABC=∠ACE進(jìn)一步證明即可.【詳解】（1）∵BD，CD分別是∠ABC，∠ACB的平分線，∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠ACB=180°?∠A，又∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°，∴∠D=180°?(∠DBC+∠DCB)=180°?(∠ABC+∠ACB)=180°?(180°?∠A)=180°?90°+∠A=90°+∠A，即：∠D=90°+∠A；（2）①∠A=180°?2∠D，理由如下：∵BD，CD分別是∠EBC和∠FCB的平分線，∴∠EBC=2∠DBC，∠FCB=2∠DCB，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ABC=180°?(∠A+∠ACB)=180°?2∠DBC，∠ACB=180°?(∠A+∠ABC)=180°?2∠DCB，∴∠A+180°?2∠DBC+180°?2∠DCB=180°，∴∠A?2(∠DBC+∠DCB)=?180°，又∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°，∴∠DBC+∠DCB=180°?∠D，∴∠A?2(∠DBC+∠DCB)=∠A?2(180°?∠D)=?180°，即：∠A?360°+2∠D=?180°，∴2∠D=180°?∠A，即：∠A=180°?2∠D；②∠A=2∠D，理由如下：∵∠DCE是△ABC的一個(gè)外角，∴∠DCE=∠DBC+∠D，∵BD，CD分別是∠ABC和∠ACE的平分線，∴2∠DBC=∠ABC，2∠DCE=∠ACE，∵∠A+∠ABC=∠ACE，∴∠A+2∠DBC=2∠DCE，∴∠A+2∠DBC=2∠DBC+2∠D，∴∠A=2∠D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理與三角形外角性質(zhì)及角平分線性質(zhì)的綜合運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)方法是解題關(guān)鍵.6．在△ABC中，若存在一個(gè)內(nèi)角角度是另外一個(gè)內(nèi)角角度的n倍（n為大于1的正整數(shù)），則稱△ABC為n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝75°，∠C＝25°，可知∠B＝3∠C，所以△ABC為3倍角三角形．（1）在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，則△ABC為倍角三角形；（2）若銳角三角形MNP是3倍角三角形，且最小內(nèi)角為α，請(qǐng)直接寫出α的取值范圍為．（3）如圖，直線MN與直線PQ垂直相交于點(diǎn)O，點(diǎn)A在射線OP上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)A不與點(diǎn)O重合），點(diǎn)B在射線OM上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)B不與點(diǎn)O重合）．延長BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分線與∠BOQ的角平分線所在的直線分別相交于E、F，若△AEF為4倍角三角形，求∠ABO的度數(shù)．【答案】（1）2；（2）22.5°＜α＜30°；（3）45°或36°【分析】（1）由∠A＝80°，∠B＝60°，可求∠C的度數(shù)，發(fā)現(xiàn)內(nèi)角之間的倍數(shù)關(guān)系，得出答案，（2）△DEF是3倍角三角形，必定有一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的3倍，然后根據(jù)這兩個(gè)角之間的關(guān)系，分情況進(jìn)行解答，（3）首先證明∠EAF＝90°，分兩種情形分別求出即可．【詳解】解：（1）∵∠A＝80°，∠B＝60°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝40°，∴∠A＝2∠C，∴△ABC為2倍角三角形，故答案為：2；（2）∵最小內(nèi)角為α，∴3倍角為3α，由題意可得：3α＜90°，且180°﹣4α＜90°，∴最小內(nèi)角的取值范圍是22.5°＜α＜30°．故答案為22.5°＜α＜30°．（3）∵AE平分∠BAO，AF平分∠AOG，∴∠EAB＝∠EAO，∠OAF＝∠FAG，∴∠EAF＝∠EAO+∠OAF＝（∠BAO+∠OAG）＝90°，∵△EAF是4倍角三角形，∴∠E＝×90°或×90°，∵AE平分∠BAO，OE平分∠BOQ，∴∠E＝∠ABO，∴∠ABO＝2∠E，∴∠ABO＝45°或36°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，余角的意義，不等式組的解法和應(yīng)用等知識(shí)，讀懂新定義n倍角三角形的意義和分類討論是解題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵．7．在△ABC中，已知∠A＝α．（1）如圖1，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)D．求∠BDC的大?。ㄓ煤恋拇鷶?shù)式表示）；（2）如圖2，若∠ABC的平分線與∠ACE的平分線交于點(diǎn)F，求∠BFC的大?。ㄓ煤恋拇鷶?shù)式表示）；（3）在（2）的條件下，將△FBC以直線BC為對(duì)稱軸翻折得到△GBC，∠GBC的平分線與∠GCB的平分線交于點(diǎn)M（如圖3），求∠BMC的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）．【答案】（1）∠BDC＝90°+；（2）∠BFC＝；（3）∠BMC＝90°+．【分析】（1）由三角形內(nèi)角和可求∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，由角平分線的性質(zhì)可求∠DBC+∠BCD＝（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣，由三角形的內(nèi)角和定理可求解；（2）由角平分線的性質(zhì)可得∠FBC＝∠ABC，∠FCE＝∠ACE，由三角形的外角性質(zhì)可求解；（3）由折疊的性質(zhì)可得∠G＝∠BFC＝，方法同（1）可求∠BMC＝90°+，即可求解.【詳解】解：（1）∵∠A＝α，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠DBC＝∠ABC，∠BCD＝∠ACB，∴∠DBC+∠BCD＝（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣，∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠BCD）＝90°+；（2）∵∠ABC的平分線與∠ACE的平分線交于點(diǎn)F，∴∠FBC＝∠ABC，∠FCE＝∠ACE，∵∠ACE＝∠A+∠ABC，∠FCE＝∠BFC+∠FBC，∴∠BFC＝∠A＝；（3）∵∠GBC的平分線與∠GCB的平分線交于點(diǎn)M，∴方法同（1）可得∠BMC＝90°+，∵將△FBC以直線BC為對(duì)稱軸翻折得到△GBC，∴∠G＝∠BFC＝，∴∠BMC＝90°+.【點(diǎn)睛】此題考查三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，角平分線的性質(zhì)定理，折疊的性質(zhì).8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是直角三角形，，斜邊AB與y軸交于點(diǎn)C．（1）若，求證：；（2）如圖（2），延長AB，交x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)O作，且，求度數(shù)；（3）如圖（3），OF平分，的平分線交FO的延長線于點(diǎn)P，當(dāng)繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，斜邊AB與y軸正半軸始終相交于點(diǎn)C，在（2）的條件下，試問的度數(shù)是否發(fā)生改變？若不變，請(qǐng)求其度數(shù)；若改變，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）的度數(shù)不變，．【分析】（1）易證∠B與∠BOC分別是∠A與∠AOC的余角，等角的余角相等，就可以證出；（2）易證∠DOB＋∠EOB＋∠OEA＝90°，且∠DOB＝∠EOB＝∠OEA就可以得到；（3）∠P＝180°?（∠PCO＋∠FOM＋90°）根據(jù)角平分線的定義，就可以求出．【詳解】（1）是直角三角形，．，．（2），，即．，，；（3）的度數(shù)不變，．，．，OF平分，CP平分，，．．由（2）知，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義和直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的內(nèi)角和和角平分線的定義解答．9．如圖1，△ABC的外角平分線交于點(diǎn)F．（1）若∠A＝40°，則∠F的度數(shù)為；（2）如圖2，過點(diǎn)F作直線MN∥BC，交AB，AC延長線于點(diǎn)M，N，若設(shè)∠MFB＝α，∠NFC＝β，則∠A與α+β的數(shù)量關(guān)系是；（3）在（2）的條件下，將直線MN繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)．①如圖3，當(dāng)直線MN與線段BC沒有交點(diǎn)時(shí)，試探索∠A與α，β之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②當(dāng)直線MN與線段BC有交點(diǎn)時(shí)，試問①中∠A與α，β之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)說明理由；若不成立，請(qǐng)給出三者之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）70°（2）（3）①見解析②不成立；或【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義，即可得到∠F的度數(shù)；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義，即可得到∠BFC的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠A與α+β的數(shù)量關(guān)系；（3）①根據(jù)（2）中的結(jié)論∠BFC＝90°﹣∠A，以及平角的定義，即可得到∠A與α，β之間的數(shù)量關(guān)系；②分兩種情況進(jìn)行討論，根據(jù)（2）中的結(jié)論∠BFC＝90°﹣∠A，以及平角的定義，即可得到∠A與α，β之間的數(shù)量關(guān)系．【詳解】解：（1）如圖1，∵∠A＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝140°，∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣140°＝220°，又∵△ABC的外角平分線交于點(diǎn)F，∴∠FBC+∠FCB＝（∠DBC+∠ECB）＝×220°＝110°，∴△BCF中，∠F＝180°﹣110°＝70°，故答案為：70°；（2）如圖2，∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A，又∵△ABC的外角平分線交于點(diǎn)F，∴∠FBC+∠FCB＝（∠DBC+∠ECB）＝×（180°+∠A）＝90°+∠A，∴△BCF中，∠BFC＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A，又∵∠MFB＝α，∠NFC＝β，MN∥BC，∴∠FBC＝α，∠FCB＝β，∵△BCF中，∠FBC+∠FCB+∠BFC＝180°，∴α+β+90°﹣∠A＝180°，即α+β﹣∠A＝90°，故答案為：α+β﹣∠A＝90°；（3）①α+β﹣∠A＝90°，理由如下：如圖3，由（2）可得，∠BFC＝90°﹣∠A，∵∠MFB+∠NFC+∠BFC＝180°，∴α+β+90°﹣∠A＝180°，即α+β﹣∠A＝90°，②當(dāng)直線MN與線段BC有交點(diǎn)時(shí)，①中∠A與α，β之間的數(shù)量關(guān)系不成立．分兩種情況：如圖4，當(dāng)M在線段AB上，N在AC延長線上時(shí)，由（2）可得，∠BFC＝90°﹣∠A，∵∠BFC﹣∠MFB+∠NFC＝180°，∴90°﹣∠A﹣α+β＝180°，即β﹣α﹣∠A＝90°；如圖5，當(dāng)M在AB的延長線上，N在線段AC上時(shí)，由（2）可得，∠BFC＝90°﹣∠A，∵∠BFC﹣∠NFC+∠MFB＝180°，∴90°﹣∠A﹣β+α＝180°，即α﹣β﹣∠A＝90°；綜上所述，∠A與α，β之間的數(shù)量關(guān)系為β﹣α﹣∠A＝90°或α﹣β﹣∠A＝90°．【點(diǎn)睛】此題主要考查三角形的角度求解與證明，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意分情況作圖．10．如圖①，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度數(shù)；（2）如圖②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分線交于點(diǎn)Q，試探索∠Q、∠A之間的數(shù)量關(guān)系．（3）如圖③，延長線段BP、QC交于點(diǎn)E，△BQE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的3倍，請(qǐng)直接寫出∠A的度數(shù)．【答案】（1）130°；（2）；（3）60°或120°或45°或135°【分析】（1）運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理及角平分線的定義，首先求出∠ABC+∠ACB，進(jìn)而求出∠BPC即可解決問題；（2）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)分別表示出∠MBC與∠BCN，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解；（3）在△BQE中，由于∠Q＝90°﹣∠A，求出∠E＝∠A，∠EBQ＝90°，所以如果△BQE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的3倍，那么分四種情況進(jìn)行討論：①∠EBQ＝3∠E＝90°；②∠EBQ＝3∠Q＝90°；③∠Q＝3∠E；④∠E＝3∠Q；分別列出方程，求解即可．【詳解】（1）解：∵∠A＝80°．∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵點(diǎn)P是∠ABC和∠ACB的平分線的交點(diǎn)，∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×100°＝130°，（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分線交于點(diǎn)Q，∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝（180°+∠A）＝90°+∠A∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；（3）延長BC至F，∵CQ為△ABC的外角∠NCB的角平分線，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分線，∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E，又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A；∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ＝∠ABC+∠MBC＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．如果△BQE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的3倍，那么分四種情況：①∠EBQ＝3∠E＝90°，則∠E＝30°，∠A＝2∠E＝60°；②∠EBQ＝3∠Q＝90°，則∠Q＝30°，∠E＝60°，∠A＝2∠E＝120°；③∠Q＝3∠E，則∠E＝22.5°，解得∠A＝45°；④∠E＝3∠Q，則∠E＝67.5°，解得∠A＝135°．綜上所述，∠A的度數(shù)是60°或120°或45°或135°．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了三角形內(nèi)角和定理、外角的性質(zhì)，角平分線定義等知識(shí)；靈活運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理、外角的性質(zhì)進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．11．如圖，在△ABD中，∠ABD的平分線與∠ACD的外角平分線交于點(diǎn)E，∠A=80°，求∠E的度數(shù)【答案】40°【分析】由題意：設(shè)∠ABE=∠EBC=x，∠ACE=∠ECD=y，利用三角形的外角的性質(zhì)構(gòu)建方程組解決問題即可．【詳解】由題意：設(shè)∠ABE=∠EBC=x，∠ACE=∠ECD=y，

則有，

①-2×②可得∠A=2∠E，

∴∠E=∠A=40°．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外角的性質(zhì)，角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程組解決問題．12．如圖，AC∥DE，BD平分∠ABC交AC于F，∠ABC=70°，∠E=50°，求∠D，∠A的度數(shù)．【答案】【分析】根據(jù)BD平分∠ABC，∠ABC=70°得出,再根據(jù)得出,從而計(jì)算．【詳解】∵根據(jù)BD平分∠ABC交AC于F，∠ABC=70°∴又∵∴∴∴綜上所述：【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理以及平行線的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化相關(guān)的角度是解題關(guān)鍵．13．如圖1，AB∥CD，P為AB、CD之間一點(diǎn)（1）若AP平分∠CAB，CP平分∠ACD．求證：AP⊥CP；（2）如圖（2），若∠BAP∠BAC，∠DCP∠ACD，且AE平分∠BAP，CF平分∠DCP，猜想∠E+∠F的結(jié)果并且證明你的結(jié)論；（3）在（1）的條件下，當(dāng)∠BAQ∠BAP，∠DCQ∠DCP，H為AB上一動(dòng)點(diǎn)，連HQ并延長至K，使∠QKA＝∠QAK，再過點(diǎn)Q作∠CQH的平分線交直線AK于M，問當(dāng)點(diǎn)H在射線AB上移動(dòng)時(shí)，∠QMK的大小是否變化？若不變，求其值；若變化，求其取值范圍．【答案】（1）見解析；（2）∠E+∠F＝108°，證明見解析；（3）不變，是定值，值為15°【分析】（1）依據(jù)平行線的性質(zhì)，以及角平分線的定義，即可得到∠P＝180°﹣90°＝90°，進(jìn)而得到AP⊥CP；（2）過E作EG∥AB，過F作FH∥CD，依據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到∠AEC＝∠BAE＋∠DCE，∠AFC＝∠BAF＋∠DCF，再根據(jù)∠BAP∠BAC，∠DCP∠ACD，AE平分∠BAP，CF平分∠DCP，即可得到∠E＋∠F＝108°；（3）過Q作QE∥AB，依據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠AQC＝∠AQE＋∠CQE＝∠BAQ＋∠DCQ，依據(jù)∠BAQ∠BAP，∠DCQ∠DCP，即可得出∠AQC＝30°，再根據(jù)∠M＝∠MQH﹣∠K進(jìn)行計(jì)算，即可得出∠QMK的大小不變，是定值15°．【詳解】解：（1）∵AB∥CD，∴∠BAC＋∠ACD＝180°，又∵AP平分∠CAB，CP平分∠ACD，∴∠CAP∠CAB，∠ACP∠ACD，∴∠CAP＋∠ACP（∠BAC＋∠ACD）180°＝90°，∴△ACP中，∠P＝180°﹣90°＝90°，即AP⊥CP；（2）∠E＋∠F＝108°．證明：如圖2，過E作EG∥AB，過F作FH∥CD，∵AB∥CD，∴EG∥AB∥FH∥CD，∠BAC＋∠DCA＝180°，∴∠BAE＝∠AEG，∠DCE＝∠CEG，∠BAF＝∠AFH，∠DCF＝∠CFH，∴∠AEC＝∠BAE＋∠DCE，∠AFC＝∠BAF＋∠DCF，∵∠BAP∠BAC，∠DCP∠ACD，AE平分∠BAP，CF平分∠DCP，∴∠BAE∠BAC，∠DCF∠DCA，∴∠AEC∠BAC∠ACD，∠AFC∠BAC∠DCA，∴∠AEC＋∠AFC∠BAC∠ACD∠BAC∠DCA∠ACD∠BAC（∠BAC＋∠DCA）180°＝108°；（3）如圖，過Q作QE∥AB，∵AB∥CD，QE∥CD，∴∠BAQ＝∠AQE，∠DCQ＝∠CQE，∴∠AQC＝∠AQE＋∠CQE＝∠BAQ＋∠DCQ，由（1）可得∠BAP＋∠DCP＝180°﹣90°＝90°，又∵∠BAQ∠BAP，∠DCQ∠DCP，∴∠AQC＝∠BAQ＋∠DCQ∠BAP∠DCP（∠BAP＋∠DCP）＝30°，∵∠AQH是△AQK的外角，QA＝QK，∴∠K∠AQH，∵QM是∠CQH的平分線，∴∠MQH∠CQH，∵∠MQH是△MQK的外角，∴∠M＝∠MQH﹣∠K∠CQH∠AQH（∠CQH﹣∠AQH）∠AQC30°＝15°，即∠QMK的大小不變，是定值15°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)以及角平分線的定義的綜合運(yùn)用，解題時(shí)注意：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．解決問題的關(guān)鍵是過拐點(diǎn)作平行線．14．（1）在銳角中，邊上的高所在直線和邊上的高所在直線的交點(diǎn)為，，求的度數(shù)．（2）如圖，和分別平分和，當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)，，則_________．（3）在（2）的基礎(chǔ)上，當(dāng)點(diǎn)在直線外時(shí)，如下圖：，，求的度數(shù)．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）根據(jù)對(duì)頂角相等以及四邊形的內(nèi)角和進(jìn)行判斷即可；（2）根據(jù)以及和分別平分和，算出和,從而算出【詳解】如圖邊上的高所在直線和邊上的高所在直線的交點(diǎn)為∴又∵∴∵在四邊形中，內(nèi)角和為∴（2）∵和分別平分和∴又∵∴∴∴（3）如圖：連接AC∵，∴∴又∵和分別平分和∴∴∴【點(diǎn)睛】三角形的內(nèi)角和定理以及角平分線的定義是解決本題的關(guān)鍵．15．圖1，線段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試解答下列問題：（1）在圖1中，請(qǐng)直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系：；（2）仔細(xì)觀察，在圖2中“8字形”的個(gè)數(shù)：個(gè)；（3）圖2中，當(dāng)∠D＝50度，∠B＝40度時(shí)，求∠P的度數(shù)．（4）圖2中∠D和∠B為任意角時(shí)，其他條件不變，試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系．（直接寫出結(jié)果，不必證明）．【答案】（1）∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）6；（3）∠P＝45°；（4）2∠P＝∠D+∠B．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）根據(jù)“8字形”的定義，仔細(xì)觀察圖形即可得出“8字形”共有6個(gè)；（3）先根據(jù)“8字形”中的角的規(guī)律，可得∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P②，再根據(jù)角平分線的定義，得出∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，將①+②，可得2∠P＝∠D+∠B，進(jìn)而求出∠P的度數(shù)；（4）同（3），根據(jù)“8字形”中的角的規(guī)律及角平分線的定義，即可得出2∠P＝∠D+∠B．【詳解】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠C+∠B，故答案為：∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）①線段AB、CD相交于點(diǎn)O，形成“8字形”；②線段AN、CM相交于點(diǎn)O，形成“8字形”；③線段AB、CP相交于點(diǎn)N，形成“8字形”；④線段AB、CM相交于點(diǎn)O，形成“8字形”；⑤線段AP、CD相交于點(diǎn)M，形成“8字形”；⑥線段AN、CD相交于點(diǎn)O，形成“8字形”；故“8字形”共有6個(gè)，故答案為：6；（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，②∵∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，即2∠P＝∠D+∠B，又∵∠D＝50度，∠B＝40度，∴2∠P＝50°+40°，∴∠P＝45°；（4）關(guān)系：2∠P＝∠D+∠B．∠D+∠1＝∠P+∠3①∠B+∠4＝∠P+∠2②①+②得：∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，∵∠DAB和∠DCB的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4∴2∠P＝∠D+∠B．【點(diǎn)睛】此題也是屬于規(guī)律的題型，但也涉及到已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)，讀懂題目是關(guān)鍵，融合已學(xué)知識(shí)，進(jìn)行運(yùn)用.16．中，．（1）如圖①，若點(diǎn)是與平分線的交點(diǎn)，求的度數(shù)；（2）如圖②，若點(diǎn)是與平分線的交點(diǎn)，求的度數(shù)；（3）如圖③，若點(diǎn)是與平分線的交點(diǎn)，求的度數(shù)；（4）若.請(qǐng)直接寫出圖①，②，③中的度數(shù)，(用含的代數(shù)式表示)【答案】（1）115°；（2）65°；（3）25°；（4）分別為：①；②；③【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線定義得出∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）=65°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出∠P的度數(shù)；

（2）由三角形內(nèi)角和定理和鄰補(bǔ)角關(guān)系得出∠CBD+∠BCE=360°-130°=230°，由角平分線得出∠PBC+∠PCB=（∠CBD+∠BCE）=115°，再由三角形內(nèi)角和定理即可求出結(jié)果；（3）由三角形的外角性質(zhì)和角平分線的定義證出∠P=∠A，即可得出結(jié)果；

（4）由（1）（2）（3），容易得出結(jié)果．【詳解】解:（1），，點(diǎn)是與平分線的交點(diǎn)，，，，；（2），，點(diǎn)是與平分線的交點(diǎn)，，；（3）點(diǎn)是與平分線的交點(diǎn)，，，，，，；（4）若，在（1）中，；在（2）中，同理得：；在（3）中，同理得：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理、三角形的角平分線、三角形的外角性質(zhì)、鄰補(bǔ)角關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)；熟練掌握三角形內(nèi)角和定理，弄清各個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．17．（1）如圖1所示，在中，和的平分線將于點(diǎn)O，則有，請(qǐng)說明理由．（2）如圖2所示，在中，內(nèi)角的平分線和外角的平分線交于點(diǎn)O，請(qǐng)直接寫出與之間的關(guān)系，不必說明理由．（3）如圖3所示，AP，BP分別平分，，則有，請(qǐng)說明理由．（4）如圖4所示，AP，BP分別平分，，請(qǐng)直接寫出與，之間的關(guān)系，不必說明理由．【答案】(1)理由見解析；(2)∠BAC=2∠BOC；(3)理由見解析；(4)【分析】(1)根據(jù)OB是∠ABC的角平分線，OC是∠ACB的角平分線，利用三角形的內(nèi)角和等于180°即可得出結(jié)果；(2)根據(jù)OB是∠ABC的角平分線，OC是∠ACD的角平分線，利用三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)果；(3)根據(jù)AP是∠DAC的角平分線，BP是∠DBC的角平分線，利用三角形的外角性質(zhì)列出等式∠D+∠DAP=∠P+∠DBP，∠P+∠PAC=∠PBC+∠C，分析等式即可得出結(jié)果；(4)AP是∠MAC的角平分線，BP是∠DBC的角平分線，設(shè)∠DBP=∠PBC=x，∠MAP=∠PAC=y，利用三角形外角性質(zhì)和內(nèi)角和性質(zhì)即可得出結(jié)果．【詳解】解：(1)∵OB是∠ABC的角平分線，OC是∠ACB的角平分線∴∠ABO=OBC，∠ACO=∠OCB∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°∴∠OCB+∠OBC=∴∠BOC=(2)∵OB是∠ABC的角平分線，OC是∠ACD的角平分線∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCD∵∠BAC+∠ABC=∠ACD，∠OBC+∠BOC=∠OCD∴2∠OBC+2∠BOC=2∠OCD∴∠ABC+2∠BOC=∠ACD∴∠BAC=2∠BOC(3)∵AP是∠DAC的角平分線，BP是∠DBC的角平分線∴∠DAP=∠PAC，∠DBP=∠PBC∵∠D+∠DAP=∠P+∠DBP，∠P+∠PAC=∠PBC+∠C∴∠D-∠P=∠P-∠C∴(4)∵AP是∠MAC的角平分線，BP是∠DBC的角平分線∴∠MAP=∠PAC，∠DBP=∠PBC設(shè)∠DBP=∠PBC=x，∠MAP=∠PAC=y∴∠AGB=∠C+2x∴∠BEP=∠AEG=180°-（∠C+2x）-y∴∠P=180°-∠BEP-∠DBP=∠C+x+y∵∠D+∠AEG=∠MAP∴∠D+180°-（∠C+2x）-y=y∴x+y=∴∴【點(diǎn)睛】本題主要考查的是角平分線性質(zhì)的綜合運(yùn)用，正確的掌握角平分線的性質(zhì)以及運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．18．如圖1