【計量經(jīng)濟(jì)學(xué)】題和答案解析

第四章：多重共線性

二、簡答題

1、導(dǎo)致多重共線性的原因有哪些？

2、多重共線性為什么會使得模型的預(yù)測功能失效？

3、如何利用輔回歸模型來檢驗多重共線性？

4、判斷以下說法正確、錯誤，還是不確定？并簡要陳述你的理由。

⑴盡管存在完全的多重共線性，OLS估計量還是最優(yōu)線性無偏估計量〔BLUE〕。

⑵在高度多重共線性的情況下，要評價一個或者多個偏回歸系數(shù)的個別顯著性是不可能的。

(3)如果某一輔回歸顯示出較高的值，那么必然會存在高度的多重共線性。

(4)變量之間的相關(guān)系數(shù)較高是存在多重共線性的充分必要條件。

(5)如果回歸的目的僅僅是為了預(yù)測，那么變量之間存在多重共線性是無害的o

5、考慮下面的一組數(shù)據(jù)：

Y-10-8-6-4-202468：0

1234567891011

x2

13579111315171921

X3

如果我們用模型：

來對以上數(shù)據(jù)進(jìn)展擬合回歸。

(1)我們能得到這3個估計量嗎？并說明理由。

(2)如果不能，那么我們能否估計得到這些參數(shù)的線性組合？可以的話，寫出必要的計

算過程。

6、考慮以下模型：

由于X?和X，是X的函數(shù)，那么它們之間存在多重共線性。這種說法對嗎？為什么？

7、在涉及時間序列數(shù)據(jù)的回歸分析中，如果回歸模型不僅含有解釋變量的當(dāng)前值，同時還

含有它們的滯后值，我們把這類模型稱為分布滯后模型〔distributed-lagmodel］。我們考慮以

下模型：

其中丫——消費(fèi)，X——收入，t——時間。該模型表示當(dāng)期的消費(fèi)是其現(xiàn)期的收入及其滯后

三期的收入的線性函數(shù)。

(1)在這一類模型中是否會存在多重共線性？為什么？

(2)如果存在多重共線性的話，應(yīng)該如何解決這個問題？

8、設(shè)想在模型

中，X2和X3之間的相關(guān)系數(shù)電為零。如果我們做如下的回歸：

〔1〕會不會存在且%=自？為什么？

〔2〕A會等于由或，?或兩者的某個線性組合嗎？

：3〕會不會有var(A)=var02)JLvar(%)=var(R)?

9、通過一些簡單的計量軟件〔比方EViews、SPSS],我們可以得到各變量之間的相關(guān)矩陣:

1r23「Ik'

R=0；：…勺。

?2…1>

怎樣可以從相關(guān)矩陣看出完全多重共線性、近似多重共愛性或者不存在多重共線性？

三、計算題

1、考慮消費(fèi)函數(shù)

其中，C、丫、曲依次表示消費(fèi)、收入與財富。下面是假想數(shù)據(jù)。

CYW

7080810

651001009

901201273

951401425

1101601633

1151801876

1202002252

1402202201

1552402435

1502602686

⑴作C對丫和中'的普通最小二乘回歸。

⑵這一回歸方程是否存在著多重共線性？你的判斷依據(jù)是什么？

(3)分別作C對Y和W的回歸，這些回歸結(jié)果說明了什么？

(4)作W.對Y的回歸。這一回歸結(jié)果說明了什么？

(5)如果存在嚴(yán)重的共線性，你是否會刪除一個解釋變量？為什么？

2、下表給出了美國1971;986年期間新客車出售的數(shù)據(jù)。

年份Y

X5乂6

%2X3兀

197110227112.0121.3776.84.8979367

197210872111.0125.3839.64.5582153

197311350111.1133.1949.87.3885064

19748775117.5147.71038.48.6186794

19758539127.6161.21142.86.1685846

19769994135.7170.51252.65.2288752

197711046142.9181.51379.35.5092021

197811164153.8195.31551.27.7896048

197910559166.0217.71729.310.2598824

19808979179.3247.01918.011.2899303

19818535190.2272.32127.613.73100397

19827980197.6286.62261.411.2099526

19839179202.6297.42428.18.69100834

198410394208.5307.62670.69.65105005

198511039215.2318.52841.17.75107150

198611450224.4323.43022.16.31109597

Y——新車出售量，未經(jīng)季節(jié)調(diào)整數(shù)量；

X2——新車，消費(fèi)者價格指數(shù)，1967年=100,未經(jīng)季芍調(diào)整;

——消費(fèi)者價格指數(shù)，1967年=100,未經(jīng)季節(jié)調(diào)整;

x4——個人可支配收入，10億美元，未經(jīng)季節(jié)調(diào)整；

x5——利率，百分?jǐn)?shù)，金融公司票據(jù)直接使用；

x6—民間就業(yè)勞動人數(shù)〔個人〕，未經(jīng)季節(jié)調(diào)整。

(1)如果你決定使用表中全部回歸元作為解釋變量，可能會遇到多重共線性嗎？為什

么？

(2)如果你這樣認(rèn)為的話，你準(zhǔn)備怎樣解決這個問題？明確你的假設(shè)并說明全部計算。

(3)制定適當(dāng)?shù)木€性或者對數(shù)線性的模型，以估計美國對汽車的需求函數(shù)。

第二局部：參考答案

一、術(shù)語解釋

1、多重共線性：對于經(jīng)典線性回歸模型[CLRM)

如果上式中某兩個或多個解釋變量之間出現(xiàn)了相關(guān)性，那么稱為存在多重共線性。依據(jù)解釋

變量之間共線性的程度不同，可以分為完全多重共線性和近似多重共線性。

2、完全多重共線性與近似多重共線性：所謂完全多重共線性，是指線性回歸模型中的

假設(shè)干解釋變量或全部解釋變量之間具有嚴(yán)格的線性關(guān)系，也就是說，對于多元線性回歸模

型，假設(shè)各解釋變量X],*2,…，X上的之間存在如下的關(guān)系式：

式中4,4,…,4是不全為零的常數(shù)，那么稱這些解釋變量之間存在完全多重共線性。

當(dāng)各解釋變量X1,X2,…,X*的之間存在如下的近似的線性關(guān)系：

那么可以說上述解釋變量之間存在近似多重共線性。還可以采用如下的方式，在近似

線性關(guān)系式中，假設(shè)400,那么可將此近似線性關(guān)系表示為：

其中%=4/4，匕為隨機(jī)誤差項。

3、輔回歸：在變量之間存在多重共線性的情況下，有一個解釋變量能由其它解釋變量

近似的線性表示出來。為了找出哪個解釋變量和其它變量有這種關(guān)系，我們可以將每個%對

其余變量進(jìn)展回歸，即

這種回歸叫做輔回歸，它是相對于Y對各個X的主回歸而言的°

二、簡答題

1、答：

經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)中大量存在多重共線性這一現(xiàn)象，主要原因在于：經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域很難象其它實險學(xué)

科那樣從控制性試臉中獲得數(shù)據(jù)；此外，可能有經(jīng)濟(jì)變量構(gòu)造上的原因，也有數(shù)據(jù)收集與模

型設(shè)定方面的原因，具體的，有以下幾種：

〔1〕所使用的數(shù)據(jù)收集方法。我們只能在一個有限的范圍內(nèi)得到觀察值，無法進(jìn)展重

發(fā)試臉。

〔2〕模型或從中取樣的總體受到約束〔經(jīng)濟(jì)變量的共同趨勢〕。

〔3〕模型設(shè)定的偏誤。

〔4〕過度決定的模型。這種情況尤其容易發(fā)生在解釋變量的個數(shù)大于觀測值個數(shù)的情

形。

由于上述原因，實際應(yīng)用中，解釋變量之間總會存在一定程度的線性相關(guān)，因此，問題

不是多重線性有無，而是多重共線性的嚴(yán)重程度。

2、答：

多元線性回歸模型的一個重要應(yīng)用是經(jīng)濟(jì)預(yù)測。對于模型

如果給定樣本以外的解釋變量的觀測值X。，就可以得到被解釋變量的預(yù)測值

但是，這只是被解釋變量的預(yù)測值的估計值而不是預(yù)測值。預(yù)測值僅以某一個置信水平位于

以該估計值為中心的一個區(qū)間中。對于預(yù)測的置信區(qū)間，我們利用的是構(gòu)造，統(tǒng)計量，得到

在給定（1一a）的置信水平下為的置信區(qū)間為

顯然，當(dāng)解釋變量之間存在多重共線性時，（X'X）7非常大，故而丫。的置信區(qū)間也很

大，因此，模型的預(yù)測功能失效。

3、答：

輔回歸是相對于丫對各個X的主回歸而言的。在變量之間存在多重共線性的情況下，

有一個解釋變量能由其它解釋變量近似的線性表示出來。為了找出哪個解釋變量和其它變量

有這種關(guān)系，我們可以將每個X,對其余變量進(jìn)展回歸，即

Xj+a,.+1X/+l++4，

并計算相應(yīng)的決定系數(shù)，分別記為R；。然后，我們在建立統(tǒng)計量：

它服從自由度為k-2和n-k+l的F分布。其中n為樣本大小，k為包括常數(shù)項在內(nèi)的解釋變

量個數(shù)。如果計算出的片超過了相應(yīng)自由度的臨界值，邨么認(rèn)為這個X,和其余的解釋變量

存在共線性；如果”.未超過臨界值，那么認(rèn)為這個X,和其余的解釋變量不存在共線性。這

種輔回歸模型檢臉不僅可以檢驗是否存在多重共線性，而且還可以得到多重共線性的具體形

式。

4、答：

〔1〕錯。如果變量之間存在完全的線性關(guān)系時，我們甚至無法估計其系數(shù)或者標(biāo)準(zhǔn)誤。

〔2〕錯。在高度多重共線性的情況下，仍然可以得到一個或者多個顯著的t值。

〔3〕錯。OLS估計量的方差有下式給出：

從此式可以看出，一個很高的R；可被一個很低的或者很高的2片抵消掉。

〔4〕錯。如果一個模型只有兩個回歸元，兩兩之間的高度相關(guān)系數(shù)便表示存在多重共

線性。但是在變量之間存在多重共線性的前提下，可能是幾個變量之間的關(guān)系。變量之間的

相關(guān)系數(shù)較高是存在多重共線性的充分非必要條件。

〔5〕不確定。如果觀測到共線性在后來的樣本數(shù)據(jù)中繼續(xù)存在，或許無害。但如果不

是這樣，或者目的在于做出準(zhǔn)確的估計的話，多重共線性便成為問題。如果僅僅要是預(yù)測的

話，預(yù)測有效的前提條件是模型構(gòu)造的穩(wěn)定。

5、答：

〔1〕不能。通過對和乂3的觀察，我們可以知道它們存在以下的關(guān)系：

X3/=2X2/-1,所以可知變量X2和X3是完全線性相關(guān)的。

〔2〕把方程寫成

其中％=氏、%=22+2月O

因此，我們可以唯一的估計出四和二？，但無法估計出原始的尸，因為兩個方程無法

解出三個未知數(shù)。

6、答：

這種說法不正確。因為Y和火；都是X的非線性函數(shù)，把它們包括在回歸模型中并不違

反經(jīng)典性線性回歸模型的根本假設(shè)。多重共線性的相關(guān)是指的變量之間的線性相關(guān)。

7、答：

〔1〕是的。經(jīng)濟(jì)時間序列數(shù)據(jù)有同向變動的趨勢。在這里，收入的滯后變量一般也可

以一樣的方向變動O

〔2〕在遇到時間序列數(shù)據(jù)存在線性相關(guān)性時，我們一般都是采用一階或者高階差分變

換來消除共線性。

8、答：

〔1〕是的。這是因為X2和X3之間的相關(guān)系數(shù)為0,所以夕系數(shù)的表達(dá)式

（Z丫也）（Z靖）-（Z丁再）（Z々也）

A=------------------------------------------、

（Z）（Z**）-（1>2/3廣

中的穿插乘積項消失，從而變成與a和/系數(shù)同樣的表示式。

12〕是它們的一個線性組合。證明如下：

因此有B1=?|+/）-Ko

〔3〕不是。原因如下:

32

var(d2)=

Z4

9、答：

我們可以利用相關(guān)矩陣的行列式來判斷多重共線性與否，可以利用R的行列式大小來

判斷多重共線性的強(qiáng)弱。

(1)假設(shè)R的行列式為0時，那么存在完全的共線性。

(2)假設(shè)R的行列式很小接近于。時，那么存在近似的共線性。

(3)假設(shè)R的行列式為1時，那么變量正交、不存在共線性。

三、計算題

1、解：

〔1〕使用EViews軟件進(jìn)展回歸

DependentVariable:SER01

Method:LeastSquares

Date:07/02/06Time:19:32

Sample:110

Includedobservations:10

VariableCoefficientSrd.Errort-St￡tisticProb.

C24.336986.2800513.8752840.0061

W-0.0349520.030120-1.1604330.2839

Y0.8716400.3143792.7725760.0276

R-squared0.968182Meandependentvar111.0000

AdjustedR-squarcd0.959092S.D.dependentvar31.42893

S.E.ofregression6.356758Akaikeinfbcriterion6.780239

Sumsquaredresid282.8586Schwarzcriterion6.871015

Ix)glikelihood-30.90120F-statistic106.5019

Durbin-Watsonstat2.941201Prob(F-statistic)0.000006

回歸得到的方程為?

AAA

〔2〕有。R-squarcd的值為0.968182,但是系數(shù)W通過不過顯著性檢臉。

⑶

VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C24.454556.4138173.8127910.0051

Y0.5090910.03574314.243170.0000

R-squarcd0.962062Meandependentvar111.0000

AdjustedR-squarcd0.957319S.D.dependentvar31.42893

S.E.ofregression6.493003Akaikeinfocriterion6.756184

Sumsquaredresid337.2727Schwarzcriterion6.816701

I^oglikelihood-31.78092F-statisric202.8679

Durbin-Watsonstat2.680127Prob(F-statistic)0.000001

VariableCoefficientStd.Errort-SutisticProb.

c26.451988.4461653.1318330.0140

w0.0480390.00454310.575190.0000

R-squared0.933241Meandependentvar111.0000

AdjustedR-squarcd0.924896S.D.dependentvar31.42893

S.E.ofregression8.613107Akaikeinfocriterion7.321304

Sumsquaredresid593.4849Schwarzcriterion7.381821

Loglikelihood-34.60652I7-statistic111.8346

Durbin-Watsonstat2.389869Prob(F-statistic)0.000006

在這兩個回歸中，系數(shù)是顯著的，而在同時對兩個變量進(jìn)展回歸時，卻存在局部系數(shù)的

不顯著，說明變量之間存在多重共線性。

⑷

VariableCoefficientStd.Errort-SutisticProb.

C336363673.70690-0.0456350.9647

Y10.372730.41075325.252990.0000

R-squarcd0.987611Meandependentvar1760.000

AdjustedR-squared0.986062S.D.dependentvar632.0272

S.E.ofregression74.61690Akaikeinfocriterion11.63947

Sumsquaredresid44541.45Schwarzcriterion11.69998

Ix)glikelihood-56.19734F-statistic637.7133

Durbin-Watsonstat2.366673Prob(F-statistic)0.0()0000

VariableCoefficientStd.Errort-SutisticProb.

Y10.354970.12399183.514000.0000

R-squarcd0.987607Meandependentvar1760.000

AdjustedR-squarcd0.987607S.D.dependentvar632.0272

S.E.ofregression70.35864Akaikeinfocriterion11.43973

Sumsquaredresid44553.05Schwarzcriterion11.46999

Ix)glikelihood-56.19864Durbin-Watsonstat2.366224

不管是否帶上常數(shù)項，R-squared的值都非常大(>0.98],而且Y的系數(shù)都通過顯著性

檢臉，說明w.和丫存在高度的共線性。

〔5〕在滿足模型的經(jīng)濟(jì)含義的前提下〔以免造成模型設(shè)置失誤〕，我們還是可以通過

舍去W或者Y來消除共線性的

2、解：

〔1〕首先我們發(fā)現(xiàn)各個變量在數(shù)量級上存在較大差異，所以我們一般考慮對數(shù)線性回

歸模型。如果我們的對數(shù)回歸模型中包含了所有的解釋變量，那么得到如下的結(jié)果：

DependentVariable:I.OG(Y)

Method:LeastSquares

Date:07/02/06Time:20:31

Sample:19711986

Includedobservations:16

VariableCoefficientStd.Errort-SutisticProb.

C3.25485919.116560.1702640.8682

LOG(X2)1.7901530.8732402.0500120.0675

LOG(X3)-4.1085181.599678-2.5683410.0280

LOG(X4)2.1271991.2578391.6911540.1217

LQG(X5)-0.0304480.121848-0.2498840.8077

LOG(X6)0.2777922.0369750.1363750.8942

R-squarcd0.854803Meandependentvar9.204273

AdjustedR-squarcd0.782205S.D.dependentvar0.119580

S.E.ofregression0.055806Akaikeinfocriterion-2.653874

Sumsquaredresid0.031143Schwarzcriterion-2.364153

Toglikelihood27.23099F-statistic11.77442

Durbin-Watsonstat1.793020Prob(F-statistic)0.000624

我們發(fā)現(xiàn)R-squared=0.854803>0.80,LOG(X4)、LOG(X5)、LOG(X6)都不能通過0.10

的顯著性檢臉。我們可以得出結(jié)論，各變量之間存在多重共線性。

〔2〕由于有5個解釋變量，我們可以考慮消除局部解釋變量重新對參數(shù)進(jìn)展估計，以

得到正確的回歸方程。

我們首先得到個解釋變量之間的相關(guān)系數(shù)矩陣：

X2X3X4X5X6

X210.996864584320.991353674830.525829679620.97214455418

675

X30.9968645843210.991273632980.543312899970.96523922955

974

X40.991353674830.9912736329810.461436278030.97261537151

6