北京市海淀區(qū)2024屆中考數(shù)學(xué)四模試卷含解析

北京市海淀區(qū)重點(diǎn)達(dá)標(biāo)名校2024年中考數(shù)學(xué)四模試卷

請(qǐng)考生注意：

1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0.5亳米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀(guān)題的答

案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿好上均無(wú)效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。

一、選擇題（每小題只有一個(gè)正確答案，每小題3分，滿(mǎn)分30分）

1.如圖，△ABC中，AD1BC,AB=AC,ZBAD=30°,且AD=AE,則NEDC等于（）

A.10"B.12.5°C.15°D.20

2.由一些大小相同的小正方體搭成的幾何體的俯視圖如圖所示，其中正方形中的數(shù)字表示該位置上的小正方體的個(gè)數(shù),

那么該幾何體的主視圖是（）

A.2B.1C.-2D.-1

4.在0.3,-3,0,-"這四個(gè)數(shù)中，最大的是（）

D.-石

5.如圖①是半徑為2的半圓，點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，現(xiàn)將半圓如圖②方式翻折，使得點(diǎn)C與圓心O重合，則圖中陰

A.3B.4-&C.2、萬(wàn)+?D.273-

JJJD

6.如果解關(guān)于x的分式方程一々-3=1時(shí)出現(xiàn)增根，那么m的值為

x-22-x

A.-2B.2C.4D.-4

7.下列計(jì)算正確的是()

A.(a—3)2=a2—6a—9B.(a+3)(a—3)=a?—9

C.(a—b)2=a2—b2D.(a4-b)2=a2+a2

8.如圖是由四個(gè)相同的小正方體堆成的物體，它的正視圖是()

10.如圖，若AB〃CD,則a、卜y之間的關(guān)系為()

A.a+p+y=36O0B.a-p+y=180°

C.a+p-y=180°D.a+p+y=180。

二、填空題［共7小題，每小題3分，滿(mǎn)分21分)

-2

11.已知關(guān)于工的一元二次方程A+mx+n=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是x?=-2,x2=4,則m+n的值為.

12.將半徑為5,圓心角為144。的扇形圍成一個(gè)圈錢(qián)的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的底面半徑為.

3

13.如圖，在△ABC中，ZACB=W,AB=8,AB的垂直平分線(xiàn)MN交AC于D,連接DB,若lanNCBD=一，則

BD=

A'B

叫

20

14.如圖，矩形AOC'b的兩邊OC、OA分別位于x軸、y軸上，點(diǎn)八的坐標(biāo)為b（一7,5）,。是A8邊上的一點(diǎn).將

△川。0沿直線(xiàn)0。翻折，使A點(diǎn)恰好落在對(duì)角線(xiàn)0B上的點(diǎn)E處，若點(diǎn)？在一反比例函數(shù)的圖像上，那么k的值是

16.不等式組）：一’：［的解集是.

2x-5<l

17.對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)a、b,定義運(yùn)算“十”，使下列式子成立：l02=~,2?l=1,（-2）05=-^,50（-2）=-^,...,

則a十b=.

三、解答題［共7小題，滿(mǎn)分69分）

18.（10分）列方程解應(yīng)用題：

某商場(chǎng)用8萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)一批新款襯衫，上架后很快銷(xiāo)售一空，商場(chǎng)又緊急購(gòu)進(jìn)第二批這種襯衫，數(shù)量是第一次的2倍，

但進(jìn)價(jià)漲了4元/件，結(jié)果共用去17.6萬(wàn)元.該商場(chǎng)第一批購(gòu)進(jìn)襯衫多少件？商場(chǎng)銷(xiāo)售這種襯衫時(shí)，每件定價(jià)都是58

元，剩至15（1件時(shí)按八折出售，全部售完.售完這兩批襯衫，商場(chǎng)共盈利多少元？

19.（5分）某種蔬菜的銷(xiāo)售單價(jià)R與銷(xiāo)售月份x之間的關(guān)系如圖（1）所示，成本yz與銷(xiāo)售月份之間的關(guān)系如圖（2）

所示（圖（1）的圖象是線(xiàn)段圖（2）的圖象是拋物線(xiàn)）

分別求出”、yz的函數(shù)關(guān)系式（不寫(xiě)自變量取值范圍）;

圖(2)

通過(guò)計(jì)算說(shuō)明：哪個(gè)月出售這種蔬菜，每千克的收益最大？

20.（8分）（1）計(jì)算：1―J^+Gtan6O?！?U+J^sin45,

3（x+l）+xA-5

⑵解不等式組：2x+l1-x^,

------------匕I

32

21.（10分）三知，如圖，直線(xiàn)MN交。O于A(yíng),B兩點(diǎn)，AC是直徑，AD平分NCAM交。O于D,過(guò)D作DE_LMN

若DE=6cm,AE=3cm,求0O的半徑.

22.（10分）已知：二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（3,5）,且拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（l,3）.求此拋物線(xiàn)的表達(dá)式；如果點(diǎn)A關(guān)

于該拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是B點(diǎn)，且拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)是C點(diǎn)，求△ABC的面積.

23.（12分）已知關(guān)于'的一元二次方程——（5-3?-/〃=0.求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；如果方程的兩實(shí)

根為X],與，且xj+*2~—X\X1=7,求m的值.

24.（14分）如圖1,在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且DF=BE,求證：CE=CF；

如圖2,在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，G是AD上一點(diǎn)，如果/GCE=45。，請(qǐng)你利用（1）的結(jié)論證明：GE

=BE+GD；運(yùn)用（1）（2）解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題：

如圖3,在直角梯形ABCD中，AD〃BC（BC>AD）,ZB=90%AB=BC,E是AB上一點(diǎn)，且NDCE=45。，BE

=4,DE=1O,求直角梯形ABCD的面

圖1圖2圖3

參考答案

一、選擇題（每小題只有一個(gè)正確答案，每小題3分，滿(mǎn)分30分）

1、C

【解題分析】

試題分析：根據(jù)三角形的三線(xiàn)合一可求得NDAC及NADE的度數(shù)，根據(jù)NEDC=9（T-NADE即可得到答案.

?.'△ABC中，AD1BC,AB=AC,ZBAD=30°,

.,.ZDAC=ZBAD=3O°,

VAD=AE（已知）,

ZADE=753

ZEDC=<WJ-ZADE=15°.

故選C.

考點(diǎn)：本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理

點(diǎn)評(píng)：解答本題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的頂角平分線(xiàn)、底邊上的中線(xiàn)、底邊上的高相互重合.

2、A

【解題分析】

由三視圖的俯視圖,從左到右依次找到最高層數(shù)，再由主視圖和俯視圖之間的關(guān)系可知，最高層高度即為主視圖高度.

【題目詳解】

解:幾何體從左到右的最高層數(shù)依次為1,2,3,

所以主視圖從左到右的層數(shù)應(yīng)該為1,23

故選A.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了三視圖的簡(jiǎn)單性質(zhì)，屬于簡(jiǎn)單題，熟悉三視圖的概念，主視圖和俯視圖之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

3、B

【解題分析】

Va+b=3,

（a+b）2=9

?'.a2+2ab+b2=9

Va2+b2=7

/.7+2ab=9,7+2ab=9

r.ab=l.

故選B.

考點(diǎn)：完全平方公式；整體代入.

4、A

【解題分析】

根據(jù)正數(shù)大于0,0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于負(fù)數(shù)，比較即可

【題目詳解】

V-3<-73?)<0.3

，最大為0.3

故選A.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查實(shí)數(shù)比較大小，解題的關(guān)鍵是正確理解正數(shù)大于0,0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于負(fù)數(shù)，本題屬于基礎(chǔ)題型.

5、D

【解題分析】

連接OC交MN于點(diǎn)P,連接OM、ON,根據(jù)折疊的性質(zhì)得到OP=5OM,得到NPOM=6D。，根據(jù)勾股定理求出MN,

2

結(jié)合圖形計(jì)算即可.

【題目詳解】

解：連接OC交MN于點(diǎn)P,連接OM、ON,

圖②

由題意知，OCJLMN,且OP=PC=L

在RSMOP中，?.?OM=2,OP=1,

OP?______

；?cosZPOM=—-=-，AC=xloM2-OP2=退，

OM2

，NPOM=60。，MN=2MP=27J,

，NAOB=2NAOC=120°,

則圖中陰影部分的面積=§華.-2S弓形MCN

1.\20TTX221,6,、

=—X^X22-2X(--------------------x2J3xl)

23602

=26-

故選D.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了粕對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)的運(yùn)用、勾股定理的運(yùn)用、三角函數(shù)值的運(yùn)用、扇形的面積公式的運(yùn)用、三角形的面積公式

的運(yùn)用，解答時(shí)運(yùn)用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)求解是關(guān)犍.

6、D

【解題分析】

ntOY

----^=1,去分母，方程兩邊同時(shí)乘以（X-1）,得：

x-22-x

m+lx=x-l,由分母可知，分式方程的增根可能是1.

當(dāng)x=l時(shí)，ni+4=l-1,m=-4,

故選D.

7、B

【解題分析】

利用完全平方公式及平方差公式計(jì)算即可.

【題目詳解】

解:A、原式=a16a+9,本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、原式=a，9,本選項(xiàng)正確；

C、原式』2-2ab+l?,本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、原式=a2+2ab+b\本選項(xiàng)錯(cuò)誤，

故選：B.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了邛方差公式和完全平方公式，熟練掌握公式是解題的關(guān)鍵.

8、A

【解題分析】

【分析】根據(jù)正視圖是從物體的正面看得到的圖形即可得.

【題目詳解】從正面看可得從左往右2列正方形的個(gè)數(shù)依次為2,1,

如圖所示：

故選A.

【題目點(diǎn)撥】本題考查了三視圖的知識(shí)，正視圖是從物體的正面看得到的視圖.

9、B

【解題分析】

由圓周角定理即可解答.

【題目詳解】

???△ABC是。。的內(nèi)接三角形，

r.Z4=-乙BOC,

2

而N3OC=120。，

AZA-60°.

故選B.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了圓周角定理，熟練運(yùn)用圓周角定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

10、C

【解題分析】

過(guò)點(diǎn)E作痔〃AB,如圖，易得C7)〃EF,然后根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可得NBAE+N尸EA=18。。，ZC=ZFEC=y,進(jìn)一步

即得結(jié)論.

【題目詳解】

解：過(guò)點(diǎn)E作E尸〃A8,如圖，'：AB//CD,AB//EF,：.CD//EF,

AN3AE+NF￡A=180,ZC=ZFEOy,

；./FEA呻-y,.\a+(p-Y)=l80o,即a+6-y=180°.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了平行公理的推論和平行線(xiàn)的性質(zhì)，屬于?？碱}型，作EF〃A5、熟練掌握平行愛(ài)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

二、填空題［共7小題，每小題3分，滿(mǎn)分21分)

11、-10

【解題分析】

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出-2+4=-m,-2x4=n,求出即可.

【題目詳解】

???關(guān)于X的一元二次方程F+〃優(yōu)+"=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為。=.2,x?=%

.*.-2+4=-m,-2x4=n,

解得：m=-2.n=-8,

.'.m+n=-10?

故答案為：-10

【題目點(diǎn)撥】

此題考查根與系數(shù)的關(guān)系，掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵

12、1

【解題分析】

考點(diǎn)：圓錐的計(jì)算.

分析：求得扇形的孤長(zhǎng)，除以1“即為圓錐的底面半徑.

144^-x5

解:扇形的弧長(zhǎng)為：J=而；

這個(gè)圓錐的底面半徑為：4n-ln=l.

點(diǎn)評(píng)：考查了扇形的弧長(zhǎng)公式：圓的周長(zhǎng)公式；用到的知識(shí)點(diǎn)為：圓錐的靠長(zhǎng)等于底面周長(zhǎng).

13、275.

【解題分析】

CD3

由tan/CBD=—=-設(shè)CD=3a、BC=4a,據(jù)此得出BD=AD=5a、AC=AD+CD=8a,由勾股定理可得（8a）?+（4a）

BC4

2=82,解之求得a的值可得答案.

【題目詳解】

CD3

解：在RSBCD中，VtanZCBD=——=一,

BC4

???設(shè)CD=3a、BC=4a,

則BD=AD=5a,

AC=AD+CD=5a+3a=8a,

在RSABC中，由勾股定理可得（8a）2+（4a）2=82,

解得：a=￥或8=.竽（舍），

貝ijBD=5a=275,

故答案為24.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端點(diǎn)的蛇國(guó)相等的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是熱記性質(zhì)與定理并準(zhǔn)

確識(shí)圖.

14、-12

【解題分析】

過(guò)E點(diǎn)作EF1OC于F,如圖所示:

EF八,“BC53

=tanZ.BOC=——=—=-

由條件可知：OE=OA=5,OFOC204,

T

所以EF=3,0F=4,

則E點(diǎn)坐標(biāo)為（4,3）

設(shè)反比例函數(shù)的解析式是y=一,

貝情k=-4x3=-12.

故答案是：“2.

15、xi=O,xj=l

【解題分析】

先移項(xiàng)，然后利用因式分解法求解.

【題目詳解】

x2=lx

x2-lx=O,

x(x-l)=O,

x=0或x-l=O.

.*.X1=O,X2=l.

故答案為：x=0,X2=l

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右邊變形為0,再把方程左邊分解為兩個(gè)一次式的乘積，這樣原方

程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，然后解一次方程即可得到一元二次方程的解

16、x<l

【解題分析】

分析：分別求出不等式組中兩個(gè)不等式的解集，找出解集的公共部分即可確定出不等式組的解集.

x-i<o(D

詳解:

2x-5<l?

由①得：x<l.

由②得：x<3.

則不等式組的解集為：xwl.

故答案為x<1.

點(diǎn)睛：本題主要考查了解一元一次不等式組.

【解題分析】

試題分析：根據(jù)己知數(shù)字等式得出變化規(guī)律，即可得出答案:

住,!號(hào)，2初子彳親(-2腳=小昌白5。(-2)號(hào)=高胃

a十b=3'

ab

三、解答題(共7小題，滿(mǎn)分69分)

18、(1)200D件；(2)90260元.

【解題分析】

(1)設(shè)該商場(chǎng)第一批購(gòu)進(jìn)襯衫x件，則第二批購(gòu)進(jìn)村衫2、件，根據(jù)單價(jià)=總價(jià)。數(shù)量結(jié)合第二批比第一批的進(jìn)價(jià)漲了

4元/件，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論;

(2)用(1)的結(jié)論x2可求出第二批購(gòu)進(jìn)該種襯衫的數(shù)量，再利用總利潤(rùn)=錯(cuò)售收入-成本，即可得出結(jié)論.

【題目詳解】

解：(1)設(shè)該商場(chǎng)第一批購(gòu)進(jìn)襯衫,件，則第二批購(gòu)進(jìn)襯衫2x件,

1760(X)8()(XX)

根據(jù)題意得：—--------=4

2xx

解得：x=200l).

經(jīng)檢驗(yàn)，x=2間。是所列分式方程的解，且符合題意.

答：商場(chǎng)第一批購(gòu)進(jìn)襯衫2000件.

（2）2000x2=4000（件），

（20（K）+4000150）x58+150x58x0.8-80000-176000=90260（兀）.

答：售完這兩批襯衫，商場(chǎng)共盈利90260元.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2：根據(jù)數(shù)量關(guān)系，列式計(jì)算.

217

2

19、（1）yi=--x+7;y2=-x-4x+2；（2）5月出售每千克收益最大，最大為

【解題分析】

（1）觀(guān)察圖象找出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出山和yz的解析式.

（2＞由收益W=〉-yz列出W與x的函數(shù)關(guān)系式，利用配方求出二次函數(shù)的最大值.

【題目詳解】

"2

3k+b=5

解：（1）設(shè)y=kx+b,將（3,5）和（6,3）代入得,,解得3.

6k+b=3

h=l

.*.yi="-x+1.

設(shè)〉=a(x-6)2+b把(3,4)代入得，

4=a(3-6)2+l,解得a=；.

.'.y2=；(x-6)2+l?即yi—x2-4x+2.

(2)收益環(huán)=>-y2,

21

=----x+1-(-x2-4x+2)

33

1,、i7

=----(x-5)2+—,

33

Va=--<!),

3

?,.當(dāng)x=5時(shí)，Wax?=j.

故5月出售每千克收益最大，最大為g元.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式是解題關(guān)鍵，掌握配方法是求二次函數(shù)最大值

常用的方法

20、(1)7-石-5右；(2)-2<x<I.

【解題分析】

(1)根據(jù)絕對(duì)值、特殊角的三角函數(shù)值可以解答本題;

(2)根據(jù)解一兀一次不等式組的方法可以解答本題.

【題目詳解】

o

(1)|3->/5|+>/3tan60->/50+V2sin45"

=3-4+gx6-S丘+

2

=3-石+3-5、份+1

=7-75-572：

3(%+1)+4-5①

⑵⑵包上<1②

32

由不等式①，得

x>-2,

由不等式②，得

x<1,

故原不等式組的解集是?2<蟀1.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查解一元一次不等式組、實(shí)數(shù)的運(yùn)算、特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關(guān)鍵是明確解它們各自的解答方法.

21、解：(1)證明見(jiàn)解析：

(2)。。的半徑是7.5cm.

【解題分析】

(1)連接0D,根據(jù)平行線(xiàn)的判斷方法與性質(zhì)可得/ODE=NDEM=90。，且D在。0上，故DE是G?O的切線(xiàn).

(2)由直角三角形的特殊性質(zhì)，可得AD的長(zhǎng)，又有AACDS^ADE.根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，代入數(shù)

據(jù)即可求得圓的半徑.

【題目詳解】

(1)證明；連接OD.

VOA=OIh

.,.ZOAD=ZODA.

VZOAD=ZDAE,

???NODA=NDAE.

；.DO〃MN.

VDEXMN,

.?.ZODE=ZDEM=90\

即OD1DE.

YD在(DO上，OD為。O的半徑，

，DE是。O的切線(xiàn).

(2)解：7ZAED=90°,DE=6,AE=3,

：?AD=>lDE2+AE2=3石?

連接CD.

?；AC是。。的直徑，

.?.ZADC=ZAED=90°.

,/ZCAD=ZDAE,

/.△ACD^AADE.

.ADAC

??-----=------■

AEAD

.3x/5AC

??----=—產(chǎn).

3375

則AC=15(cm).

AOO的半徑是7.5cm.

考點(diǎn)：切線(xiàn)的判定；平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)；圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì).

22、(1)y=--(x-3)2+5(2)5

【解題分析】

(1)設(shè)頂點(diǎn)式尸a(x.3)2+5,然后把A點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a即RJ得到拋物線(xiàn)的解析式；

(2)利用拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性得到B(5,3),再確定出C點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形面積公式求解.

【題目詳解】

(1)設(shè)此拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y=a(x-3)2+5,

將點(diǎn)A(L3的坐標(biāo)代入上式，得3=a(l—3戶(hù)+5,解得〃=一],

??.此拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y=-；(x-3尸+5.

(2)VA(1,3),拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=3,

.*.8(5,3).

令x=0,)，=-3*-3)2+5=3，則。(0,》，

,△ABC的面積=；x(5-l)x(3-；)=5.

【題目點(diǎn)撥】

考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)的

解析式是解題的關(guān)鍵.

23、(1)證明見(jiàn)解析(1)1或1

【解題分析】

試題分析：(D要證明方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，只要證明原來(lái)的一元二次方程的△的值大于0即可；

(1)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可以得到關(guān)于m的方程，從而可以求得，”的值.

試題解析：(I)證明：VX2-(,n-3)X-/?!=(),；.△=[-(.in-3)j1-4xlx(-m)=m'-lni+9=(.m-1)'+8>0,

???方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根