杭州市蕭山區(qū)2024年八年級上學期《數(shù)學》期中試題與參考答案

6/26杭州市蕭山區(qū)2024年八年級上學期《數(shù)學》期中試題與參考答案一、選擇題共10小題，每小題3分，共30分。1．（3分）如圖所示圖形中，為軸對稱的圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．【解答】解：選項A、B、C不能找到這樣的一條直線，直線兩旁的部分能夠互相重合．選項D能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，所以是軸對稱圖形．故選：D．【點評】此題主要考查了軸對稱圖形，關(guān)鍵是正確確定對稱軸位置．2．（3分）已知三角形的三邊長分別為4，5，x，則x不可能是（）A．3 B．5 C．7 D．9【分析】已知兩邊時，第三邊的范圍是大于兩邊的差，小于兩邊的和．這樣就可以確定x的范圍，也就可以求出x的不可能取得的值．【解答】解：5﹣4＜x＜8+4，即1＜x＜6，故選：D．3．（3分）在△ABC中，畫出邊AC上的高，畫法正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)高的定義對各個圖形觀察后解答即可．【解答】解：根據(jù)三角形高線的定義，AC邊上的高是過點B向AC作垂線段垂足為E，縱觀各圖形，A、B、D選項都不符合高線的定義，C選項符合高線的定義．故選：C．【點評】本題主要考查了三角形的高線的定義，是基礎題，熟練掌握概念是解題的關(guān)鍵，三角形的高線初學者出錯率較高，需正確區(qū)分，嚴格按照定義作圖．4．（3分）對于命題“如果∠1與∠2互補，那么∠1＝∠2＝90°”，能說明這個命題是假命題的反例是（）A．∠1＝80°，∠2＝110° B．∠1＝10°，∠2＝169° C．∠1＝60°，∠2＝120° D．∠1＝60°，∠2＝140°【分析】寫出滿足∠1+∠2＝180°，而∠1≠∠2的兩個角即可．【解答】解：對于命題“如果∠1與∠2互補，那么∠5＝∠2＝90°”，∠2＝120°．故選：C．【點評】本題考查了命題與定理：命題的“真”“假”是就命題的內(nèi)容而言．任何一個命題非真即假．要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可．5．（3分）在△ABC中，線段AP，AQ，中線和角平分線，則（）A．AP≤AQ B．AQ≤AR C．AP＞AR D．AP＞AQ【分析】根據(jù)垂線段最短即可判斷．【解答】解：因為AP是BC邊上的高線，所以根據(jù)垂線段最短可知：PA≤AQ，故選：A．【點評】本題考查三角形的角平分線、高、中線，垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．6．（3分）根據(jù)下列已知條件，能畫出唯一的△ABC的是（）A．AB＝3，BC＝4，AC＝7 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° C．∠A＝60°，∠B＝45°，AC＝4 D．∠A＝∠B，AB＝6【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理和三角形的三邊關(guān)系理逐個判斷即可．【解答】解：A、3+4＜5，不能畫出三角形；B、AB＝4，∠A＝30°，不能畫出唯一的三角形；C、∠A＝60°，AC＝4，能畫出唯一的三角形；D、∠A＝∠B，不符合全等三角形的判定定理，故本選項不符合題意；故選：C．【點評】本題考查了全等三角形的判定定理和三角形三邊關(guān)系定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，兩直角三角形全等還有HL．7．（3分）如圖，△ABC中，D為AB中點，且BE⊥AC．若DE＝5，AE＝8，則BC的長度是（）A． B．8 C． D．【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線求出AB長，根據(jù)勾股定理求出BE即可．【解答】解：因為BE⊥AC，所以∠BEA＝90°，因為DE＝5，D為AB中點，所以AB＝2DE＝10，在Rt△ABE中，因為AE＝7，所以由勾股定理得：BE＝＝＝6，在Rt△CBE中，因為EC＝，BE＝6，所以由勾股定理得：BC＝＝＝．故選：C．【點評】本題考查直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，勾股定理的應用，掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（3分）如圖，Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝4，現(xiàn)將△ABC沿BD進行翻折，則CD的長為（）A． B． C．2 D．【分析】根據(jù)勾股定理得到BC＝5，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AB＝A'B＝3，∠A＝∠BA'D＝90°，AD＝A'D，由勾股定理即可求解．【解答】解：因為∠A＝90°，AB＝3，所以BC＝＝＝5，因為將△ABC沿BD進行翻折，使點A剛好落在BC上，所以AB＝A'B＝5，∠A＝∠BA'D＝90°，所以A'C＝5﹣3＝5，因為CD2＝A'D2+A'C7，所以CD2＝（4﹣CD）5+4，所以CD＝，故選：A．【點評】本題考查了翻折變換（折疊問題），勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（3分）如圖，AB＝AD，點B關(guān)于AC的對稱點E恰好落在CD上（0°＜α＜180°），則∠ACB的度數(shù)為（）A．90°﹣α B．α C．45° D．α﹣45°【分析】連接BE，過A作AF⊥CD于F，依據(jù)∠BAC＝∠EAC，∠DAF＝∠EAF，即可得出∠CAF＝∠BAD，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和以及三角形外角性質(zhì)，即可得到∠ACB＝∠ACE＝90°﹣∠BAD．【解答】解：如圖，連接BE，因為點B關(guān)于AC的對稱點E恰好落在CD上，所以AC垂直平分BE，所以AB＝AE，所以∠BAC＝∠EAC，因為AB＝AD，所以AD＝AE，又因為AF⊥CD，所以∠DAF＝∠EAF，所以∠CAF＝∠BAD＝α，又因為∠AFE＝90°，所以Rt△ACF中，∠ACE＝90°﹣α，所以∠ACB＝∠ACE＝90°﹣α，故選：A．10．（3分）如圖，BD是△ABC的角平分線，BA＝BC＝10，DE∥BC，P，Q分別是BD和BC上的任意一點，PC，PQ，給出下列結(jié)論：①PC+PQ≥AQ；②AE+DE＝BC；③PC+PQ的最小值是；④若PA平分∠BAC，則△APD的面積為9．其中正確的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【分析】①根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出BD垂直平分AC，得出AP＝PC，根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得出結(jié)論；②根據(jù)角平分線的定義，平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，證明∠EDB＝∠EBD，∠ADE＝∠BAD，得出EB＝ED，EA＝ED，即可得出結(jié)論；③過點A作AM⊥BC于點M，當點P在AM與BD交點上時，AP+PQ＝AM，此時AP+PQ最小，且最小值為AM，根據(jù)等積法求出AM即可；④過點P作PN⊥AB于點N，得出PN＝PD，求出，即可求出結(jié)果．【解答】解：①因為BA＝BC＝10，BD是△ABC的角平分線，所以BD⊥AC，AD＝CD，所以BD垂直平分AC，所以AP＝PC，所以PC+PQ＝AP+PQ，因為AP+PQ＞AQ，所以PC+PQ≥AQ，故①正確；②因為DE∥BC，所以∠EDB＝∠DBC，∠ADE＝∠ACB，因為BD是△ABC的角平分線，所以∠EBD＝∠DBC，所以∠EDB＝∠EBD，所以EB＝ED，因為AB＝BC，所以∠BAC＝∠ACB，因為∠ADE＝∠ACB，所以∠ADE＝∠BAD，所以EA＝ED，所以，所以AE+DE＝BC，故②正確；③根據(jù)解析①可知，PC+PQ＝AP+PQ，所以當AP+PQ最小時，PC+PQ最小，過點A作AM⊥BC于點M，如圖所示：當點P在AM與BD交點上時，AP+PQ＝AM，且最小值為AM，因為BD平分∠ABC，所以BD⊥AC，，所以，因為，所以，即PC+PQ的最小值是，故③錯誤；④過點P作PN⊥AB于點N，如圖所示：因為PA平分∠BAC，PD⊥AC，所以PN＝PD，所以，因為，所以，故④正確；綜上分析可知，正確的有①②④．故選：B．二、填空題本大題共6小題，每小題4分，共24分。11．（4分）命題“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命題是如果a2＝b2，那么a＝b，該逆命題是假（填“真”或“假”）命題．【分析】根據(jù)逆命題的概念寫出原命題的逆命題，再根據(jù)實數(shù)的乘方法則判斷即可．【解答】解：命題“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命題是如果a2＝b2，那么a＝b，逆命題是假命題，故答案為：如果a2＝b3，那么a＝b；假．12．（4分）如圖，∠ACD是△ABC的一個外角，若∠ACD＝110°，則∠A＝65°．【分析】根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式進行計算即可得解．【解答】解：因為∠ACD＝110°，∠B＝45°，所以∠A＝∠ACD﹣∠B＝110°﹣45°＝65°．故答案為：65°．【點評】本題主要考查了三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（4分）若等腰三角形一個內(nèi)角的度數(shù)為50°，則它的頂角的度數(shù)是50°或80°．【分析】可知有兩種情況（頂角是50°和底角是50°時），由等邊對等角求出底角的度數(shù)，用三角形的內(nèi)角和定理即可求出頂角的度數(shù)．【解答】解：如圖所示，△ABC中．有兩種情況：①頂角∠A＝50°；②當?shù)捉鞘?0°時，因為AB＝AC，所以∠B＝∠C＝50°，因為∠A+∠B+∠C＝180°，所以∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°，所以這個等腰三角形的頂角為50°或80°．故答案為：50°或80°．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理的理解和掌握，能對有的問題正確地進行分類討論是解答此題的關(guān)鍵．14．（4分）如圖，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，BD＝4cm，則點D到AB的距離為3cm．【分析】過D作DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出CD＝DE，求出CD即可．【解答】解：過D作DE⊥AB于E，因為∠C＝90°，所以AC⊥BC，因為AD平分∠BAC交BC于點D，DE⊥AB，所以CD＝DE，因為BC＝7cm，BD＝4cm，所以CD＝BC﹣BD＝2cm，所以DE＝3cm，即D到AB的距離為3cm，故答案為：7．【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)，能根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出CD＝DE是解此題的關(guān)鍵．15．（4分）如圖，CD是△ABC的角平分線，AE⊥CD于E，AC＝4，△ABC的面積是93．【分析】延長AE交BC于F，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CF＝AC＝4，得到BF＝2，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【解答】解：延長AE交BC于F，因為CD是△ABC的角平分線，所以∠ACE＝∠FCE，因為AE⊥CD于E，所以∠AEC＝∠CEF＝90°，因為CE＝CE，所以△ACE≌△FCE（ASA），所以CF＝AC＝4，因為BC＝6，所以BF＝2，因為△ABC的面積是9，所以S△ACF＝9×＝6，所以△AEC的面積＝S△ACF＝3，故答案為：5．16．（4分）如圖，已知等邊△ABC的邊長為4，點P是BC邊上一點，則AP＝，若點Q是AC邊上一點，BQ＝AP，則AQ＝1或3．【分析】連接AP，過A作AD⊥BC于D，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到BD＝CD＝BC＝×4＝2，∠BAD＝30°，解直角三角形即可得到結(jié)論．【解答】解：連接AP，過A作AD⊥BC于D，因為△ABC是等邊三角形，所以BD＝CD＝BC＝，∠BAD＝30°，所以AD＝AB＝2，因為PB＝2，所以PD＝1，所以PA＝＝＝；過B作BH⊥AC于H，當Q在線段CH之間時，連接BQ，所以AH＝AC＝2，所以BH＝AD＝8，所以HQ＝＝＝1，所以AQ＝AH+HQ＝3，當Q′在線段CH之間時，同理可求HQ′＝4所以AQ′＝AH﹣HQ′＝1，綜上：AQ＝3或5，故答案為：，3或1．【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．三、解答題共8小題，66分，解答應寫出文字說明或推理步驟。17．（6分）如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小方格的頂點叫做格點（1）在圖1中畫一個直角三角形，使它的三邊長都是有理數(shù)；（2）在圖2中畫一個直角三角形，使它的三邊長都是無理數(shù)；（3）在圖3中畫一個等腰三角形，使它的三邊長都是無理數(shù)（和圖2畫的三角形不全等）．【分析】（1）畫一個邊長3，4，5的三角形即可；（2）利用勾股定理，找長為、2、的線段，畫三角形即可．（3）利用勾股定理作一個邊長為的正方形即可得．【解答】解：（1）如圖1所示，Rt△ABC即為所求；（2）如圖所示，Rt△DEF即為所求；（3）如圖所示，OPQ即為所求．【點評】此題主要考查了作圖與應用作圖．本題需仔細分析題意，結(jié)合圖形，利用勾股定理即可解決．18．（6分）如圖，△ABC中，∠B＝30°（1）尺規(guī)作圖：作AB的垂直平分線交BC于點D，交AB于點E．（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）連結(jié)AD，求∠DAC的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可；（2）求出∠BAD，∠BAC，可得結(jié)論．【解答】解：（1）如圖，直線DE即為所求；（2）因為DE垂直平分線段AB，所以DA＝DB，所以∠B＝∠DAB＝30°，因為∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣30°﹣40°＝110°，所以∠DAC＝110°﹣30°＝80°．【點評】本題考查作圖﹣復雜作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．19．（6分）如圖，△ABC與△DCB中，AC與BD交于點E，AB＝DC．（1）求證：△ABE≌△DCE；（2）當∠AEB＝80°，求∠EBC的度數(shù)．【分析】（1）利用“角角邊”證明△ABE和△DCE全等即可；（2）根據(jù)全等三角形對應邊相等可得BE＝CE，再根據(jù)鄰補角的定義求出∠BEC，然后根據(jù)等腰三角形兩底角相等列式計算即可得解．【解答】（1）證明：在△ABE和△DCE中，，所以△ABE≌△DCE（AAS）；（2）解：因為△ABE≌△DCE，所以BE＝EC，所以∠EBC＝∠ECB，因為∠EBC+∠ECB＝∠AEB＝80°，所以∠EBC＝40°．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，是基礎題，熟練掌握三角形全等的判斷方法是解題的關(guān)鍵．20．（8分）如圖，CD＝BE，DG⊥BC，垂足分別為G，F(xiàn)，且DG＝EF．（1）求證：OB＝OC；（2）若∠B＝30°，判斷△ADO的形狀，并說明理由．【分析】（1）由“HL”可證Rt△EFB≌Rt△DGC，可得∠B＝∠C，可證OB＝OC；（2）由余角的性質(zhì)可得∠D＝∠DAO＝60°，可證△ADO是等邊三角形．【解答】（1）證明：因為DG⊥BC，EF⊥BC，所以∠DGC＝∠EFB＝90°，在Rt△EFB和Rt△DGC中，，所以Rt△EFB≌Rt△DGC（HL），所以∠B＝∠C，所以OB＝OC；（2）△ADO是等邊三角形，理由如下：因為∠B＝30°＝∠C，DG⊥BC，所以∠D＝60°＝∠BAG，所以∠D＝∠DAO＝60°，所以△ADO是等邊三角形．21．（8分）如圖所示，在△ABC中，AB＝BC，DE⊥AB于點E，DF⊥BC，連接BF．（1）若∠AFD＝155°，求∠EDF的度數(shù)；（2）若點F是AC的中點，判斷∠ABC與∠CFD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）先求得∠CFD的度數(shù)，進而求得∠C＝65°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠C＝∠A＝65°，理由三角形內(nèi)角和定理求得∠ABC＝50°，根據(jù)同角法余角相等即可求得∠EDF＝∠ABC＝50°；（2）根據(jù)AB＝BC，且點F是AC的中點，得到BF⊥AC，∠ABF＝∠CBF＝∠ABC，證得∠CFD＝∠CBF后即可證得∠CFD＝∠ABC．【解答】解：（1）因為∠AFD＝155°，所以∠DFC＝25°，因為DF⊥BC，DE⊥AB，所以∠FDC＝∠AED＝90°，在Rt△FDC中，所以∠C＝90°﹣25°＝65°，因為AB＝BC，所以∠C＝∠A＝65°，所以∠ABC＝180°﹣2×65°＝50°，因為∠ABC+∠BDE＝∠EDF+∠BDE＝90°，所以∠EDF＝∠ABC＝50°；（2）∠CFD＝∠ABC因為AB＝BC，且點F是AC的中點，所以BF⊥AC，∠ABF＝∠CBF＝，所以∠CFD+∠BFD＝90°，∠CBF+∠BFD＝90°，所以∠CFD＝∠CBF，所以∠CFD＝∠ABC．22．（10分）已知，DA，DB，且DA＝DB＝DC．（1）如圖①，若點D在線段AB上，連接AC，試判斷△ABC的形狀，并說明理由．（2）如圖②，連接AC，BC，且AB與CD相交于點E，若AC＝BC，DC＝10，求CE和AC的長．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠ACB＝90°，于是得到△ABC是直角三角形；（2）根據(jù)線段垂直平分線的判定定理得到CD垂直平分AB，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）△ABC是直角三角形，理由：因為DA＝DB＝DC，所以∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD，因為∠A+∠ACD+∠B+∠BCD＝180°，所以∠ACD+∠BCD＝90°，所以∠ACB＝90°，所以△ABC是直角三角形；（2）因為DA＝DB，所以點D在線段AB的垂直平分線上，因為AC＝BC，所以點C在線段AB的垂直平分線上，所以CD垂直平分AB，所以∠AEC＝∠AED＝90°，因為AB＝16，DC＝10，所以AE＝8，AD＝CD＝10，所以DE＝＝6，所以CE＝CD﹣DE＝4，所以AC＝＝＝4．23．（10分）如圖，在銳角△ABC中，點E是AB邊上一點，AD⊥BC于點D，AD與EC交于點G．（1）求證：△AEG是等腰三角形．（2）若BE＝10，CD＝3，G為CE中點【分析】（1）根據(jù)垂直定義可得∠ADB＝∠ADC＝90°，從而利用直角三角形的兩個銳角互余可得∠B+∠BAD＝90°，∠DCG+∠DGC＝90°，再利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠B＝∠DCG，然后利用等角的余角相等可得∠BAD＝∠DGC，再根據(jù)對頂角相等可得∠AGE＝∠DGC，從而可得∠BAD＝∠AGE，最后利用等角對等邊即可解答；（2）過點E作EF⊥AG，垂足為F，利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得AG＝2FG，再根據(jù)線段中點