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文檔簡介
題1.1:已知質(zhì)點(diǎn)沿X軸作直線運(yùn)動,其運(yùn)動方程為x=2m+(6m.s-2)/一(2m-s-3)方。求(1)
質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動開始后4.0s內(nèi)位移的大?。唬?)質(zhì)點(diǎn)在該時間內(nèi)所通過的路程。
題1.1解:(1)質(zhì)點(diǎn)在49s內(nèi)位移的大小
A.r=x4-x0=-32m
(2)由9=(12m.s-2?_(6ms-3)產(chǎn)=0
dz
得知質(zhì)點(diǎn)的換向時刻為
%=2s0=0不合題意)
則:Aq=x2-xQ=8.0m
△x2=x4-x2=-40m
所以,質(zhì)點(diǎn)在4.0s時間間隔內(nèi)的路程為
s=U+1AY2I=48m
題1.2:一質(zhì)點(diǎn)沿x軸方向作直線運(yùn)動,其速度與時間的關(guān)系如圖所示。設(shè),=()時,工=0。
試根據(jù)已知的圖--,,畫出4T圖以及XT圖。
題1.2解:將曲線分為A。、BC、二個過程,
它們對應(yīng)的加速度值分別為
="二'=20m-s-2(勻加速直線運(yùn)動)
?BC=0(勻速直線)
acD=K*=T0m?s-2i勻減速直線運(yùn)動)
】D一%
由此,可計(jì)算在0?2和4~6s時間間隔內(nèi)各時刻的位置分別為
Z/S00.511.5244.555.56
x/m0-7.5-10-7.504048.75558.760
用描數(shù)據(jù)點(diǎn)的作圖方法,由表中數(shù)據(jù)可作0~2s和4~6s時間內(nèi)的X-/圖。在2~4s時
間內(nèi),質(zhì)點(diǎn)是作v=20m?「的勻速直線運(yùn)動,其x—/圖是斜率攵=20的一段直線。
題1.3:如圖所示,湖中有一小船。岸上有人用繩跨過定滑輪拉船靠岸。設(shè)滑輪距水面高度
為力,滑輪到原船位置的繩長為/。,試求:當(dāng)人以勻速r拉繩,船運(yùn)動的速度M為多少?
題1.3解1:取如圖所示的直角坐標(biāo)系,船的運(yùn)動方程為
題L3解2:取圖所示的極坐標(biāo)位,孫則
,drdrde,dr60
v=—=—e+r--=—e+r——e.-,
dtdtrdrd/rdi
號是船的徑向速度,「,品是船的橫向速度,而
上是收繩的速率。由于船速v與徑向速度之間夾角
dt
位。,所以
r?-i-i/2
,V..h1
V=---------1=-vI-----------I
cosO|_(/0-vr)'_
由此可知,收繩的速率只是船速沿繩方向的分量。
題1.4:一升降機(jī)以加速度1.22m.s-2上升,當(dāng)上升速度為2.44m.s-2時,有一螺絲自升降機(jī)
的天花板上松脫,天花板與升降機(jī)的底面相距2.74m。計(jì)算:(1)螺絲從天花板落到底面所
需要的時間;(2)螺絲相對升降機(jī)外固定柱子的下降距離。
題1.4解1:(1)以地面為參考系,取如圖所示的坐標(biāo)系,升降機(jī)與螺絲的運(yùn)動方程分別為
1
,12
為=A+v0/--^/-
當(dāng)螺絲落至底面時,有,=乃,即
12f12
vQt+—fit=h+vot--gt
=0.705s
⑵螺絲相對升降機(jī)外固定柱子下降的距離為
d=h-y2=-vot+;gJ=0716in
題1.4解2:(1)以升降機(jī)為參考系,此時,螺絲相對它的加速度大小,=g+〃,螺絲落至底
面時,有
O=/?_/(g+a尸
2/7
=0.705s
+a
⑵由于升降機(jī)在,時間內(nèi)上升的高度為
,,?2
h=vot+—at^
則d=〃-/i'=0,716m
題1.5:一質(zhì)點(diǎn)P沿半徑R=3.00m的圓周作勻速率運(yùn)動,運(yùn)動一周所需時間為20.0s,設(shè)f=0
時,質(zhì)點(diǎn)位于O點(diǎn)。按圖中所示坐標(biāo)系,求(I)質(zhì)點(diǎn)P在任意時刻的位矢;(2)5s時
的速度和加速度。
題1.5解:如圖所示,在。攵夕坐標(biāo)系中,
的參數(shù)方程為
,n.2%,八2乃
x=Ksiny=~^cos-z
坐標(biāo)變換后,在Oxy坐標(biāo)系中有
,n?27r,n27c
x=x=Rs\n—t,y=y+v0=-Rcos—t
則質(zhì)點(diǎn)尸的位矢方程為
r=Rsin—ti+\-Rcos—t+R\j
T{T)
=(3m)sin[(0.brs-1i+(3m)[l-cos(0.\ns')i]j
5s時的速度和加速度分別為
dr2乃2兀..冗.2兀.\.
v=—=R——cos——ti+R——sin——tj=[0.3乃ms
dtTTTT、"
a=^-=-Rsin半"+《半)cos臣==(-0.0加21n.s7萬
題1.6:一質(zhì)點(diǎn)自原點(diǎn)開始沿拋物線y=/>2運(yùn)動,它在Or釉上的分速度為一恒量,其值為
V,=4.0ms_,,求質(zhì)點(diǎn)位干x=2.0m處的速度和加速度。
題1.6解:因次=4.0m-sT為一常數(shù),故出=0。當(dāng)1=0時,%=0,由八=蟲積分可得
dr
x=vxl(1)
又由質(zhì)點(diǎn)的拋物線方程,有
y=6x2=*x/2Q)
由),方向的運(yùn)動方程可得該方向的速度和加速度分量分別為
%=7^+^=18.Om-sT
設(shè)網(wǎng)與x軸的夾角為a,則
tgc?
V0y2
a=12341'
(2)加速度的分量式為
=60m-s-2,a==-40m?s"
xdtydr
則加速度的大小為
a=Ja:+a;=72.1m-s-2
設(shè)。與K釉的夾角為小則
a2
t酸
ax3
尸=-334'(或32619')
題1.9:一質(zhì)點(diǎn)具有恒定加速度a=(6ms-2)i+(4ms-2)j,在r=0時,其速度為零,位置矢
量/*0=(1001"。求:(1)在任意時刻的速度和位置矢量;(2)質(zhì)點(diǎn)在平面上的軌跡方程,
并畫出軌跡的示意圖。
題1.9解:由加速度定義式,根據(jù)初始條件小=0時vo=O,積分可得
[;*=[:ad/=|^[(6ms-2)i+(4ms-2)j]d/
v=(6ms-2)z?+(4m-s-2)ij
又由,哼及初始條件「。時,—)i,積分可得
J。dr=J:=J:[(6m-s-2)/1+(4m-s-2)tj)d/
r=[10m+(3m-s-2)r]i+[(2m-s-2)V\j
由上述結(jié)果可得質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動方程的分量式,即
x=10m+(3ms-2)/2
y=(2ms-2)/2
消去參數(shù)/,可得運(yùn)動的軌跡方程
3y=2.v-20m
這是一個直線方程,直線斜率A=蟲=tana=2a=33°41\軌跡如圖所示。
d.v3
題1.10:飛機(jī)以lOOmfT的速度沿水平直線飛行,在離地面高為100m時,駕駛員要把物品
投到前方某一地面目標(biāo)處。問:(1)此時目標(biāo)在飛機(jī)下方前多遠(yuǎn)?(2)投放物品時,駕駛
員看目標(biāo)的視線和水平線成何角度?(3)物品投出2.00s后,它的法向加速度和切向加速
度各為多少?
題Lio解:(1)取如圖所示的坐標(biāo),物品卜.落時在水平和豎直方向的運(yùn)動方程分別為
X=1*),=518廣2
飛機(jī)水平飛行速度y=100m.sT,飛機(jī)離地面的
高度),=100m,由上述兩式可得目標(biāo)在飛機(jī)正
下方前的距離
=452m
(2)視線和水平線的夾角為
g=arctg』=125
X
(3)在任意時刻物品的速度與水平軸的夾角為
嗔G
a=arctg—=arctg一
匕v
取自然坐標(biāo),物品在拋出2s時,重力加速度的切向分量與法向分量分別為
a,=gsina=gsin=1.88ms-
-2
an=gcosa=gc。9.62ms
題1.11:一足球運(yùn)動員在正對球門前25.0m處以20.0m.「的初速率罰任意球,己知球門高
為3.44m。若要在垂直于球門的豎直平面內(nèi)將足球直接踢進(jìn)球門,問他應(yīng)在與地面成什么角
度的范圍內(nèi)踢出足球?(足球可視為質(zhì)點(diǎn))
題1.11解:取圖示坐標(biāo)系Qxy,由運(yùn)劭方程
x=vtcos6^,y=v/sin夕-g娟
消去/得軌跡方程
)'=MgO-券(1+tg七卜2
以x=25.0m,v=20.0msT及3.442y20代入后,可解得
71.11°>0x>69.92°
27.92°>02>18.89°
如何理解上述角度得范圍?
在初速度?定的條件下,球擊中球門底線或球門上緣都將對應(yīng)有兩個不同的投射傾角
(如圖所示)。如果以。>71.11?;?。<【8.89。踢出足球,都將因射程不足而不能直接射入球門;
由于球門高度的限制,0角也并非能取71.11。與18.89。之間的任何值。當(dāng)傾角取值為27.92。<
0<69.92。時,踢出的足球?qū)⒃竭^門緣而離去,這時也球不能射入球門。因此可取的角度范
圍只能是解中的結(jié)果。
題1.12:設(shè)從某一點(diǎn)O以同樣的速率,沿著同一豎直面內(nèi)各個不同方向同時拋出幾個物體。
試證:在任意時刻,這幾個物體總是散落在某個圓周上。
題1.12證:取物體拋出點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的坐標(biāo)系。物體運(yùn)動的參數(shù)方程為
A=v0rcos^,y=v(/sinO--gt'y
消去式中參數(shù)凡得任意時刻的軌跡方程為
/+(>'+?/)=M2―~7
這是一個以(0「;8產(chǎn))為圓心、皿為半徑的圓方程(如圖所-
示),它代表著所有物體在任意時刻,的位置。
題1.13:一質(zhì)點(diǎn)在半徑為R的圓周上以恒定的速率運(yùn)動,質(zhì)點(diǎn)由位置A運(yùn)動到位置8,OA
和07?所對的圓心角為△<?。
(1)試證位置A和B之間的平均加速度為萬=^(l-cosA^v2/(&W);
(2)當(dāng)△。分別等于90。、30。、10。和1。時,平均加速度各為多少?并對結(jié)果加以討論。
題1.13解:(1)由圖可看到Au=刈-匕,故
|Av|=’v;+近一2V嶺cos=vj2(l-cosA8)
而
MR\0
A/=——=----
vv
所以。=!^=J2(1—COSA6)
R\0
⑵將△9=90、30。,10。,1。分別代入上式,得
v2v2v2V2
4?0.9003—,Z7?0.9886—-,??0.9987—,?1.000—
R2R3RR
上述結(jié)果表明:當(dāng)△,-?()時,勻速率圓周運(yùn)動的平均加速
度趨于?極限值,該值即為法向加速度匚。
R
題1.14:一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為R的圓周按規(guī)律s=iV-g〃/2運(yùn)動,%、”都是常量。(D求,時
刻的總加速度;(2),為何值時總加速度在數(shù)值上等于8?(3)當(dāng)加速度達(dá)到。時,質(zhì)點(diǎn)已
沿圓周運(yùn)行了多少圈?
題1.14解:(1)質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動的速率為
山
v=——=%一b
dr
其加速度的切向分量和法向分量分別為
(1-5,1戶=(%一/爐
17=也凡=
RR
故加速度的大小為
0=曲心近HEm
R
其方向與切線之間的夾角為
0=arctg—=arctg-(…丫
Rb
(2)要使同=兒由?!"網(wǎng),2心-時=??傻?/p>
R
%
b
⑶從/=0開始到f=W6時,質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過的路程為
s=0一”=圣
因此質(zhì)點(diǎn)運(yùn)行的圈數(shù)為
2忒4加R
題1.15:碟盤是?張表面覆蓋??層信息記錄物質(zhì)的塑性圜片。若碟盤可讀部分的內(nèi)外半徑分
別為2.50cm和5.80cm。在回放時,碟盤被以恒定的線速度由內(nèi)向外沿螺旋掃描線(阿基米
德螺線)進(jìn)行掃描。(1)若開始時讀寫碟盤的角速度為50.0rad.sT,則讀完時的角速度為多
少?(2)若螺旋線的間距為1.60沖],求掃描線的總長度和回放時間。
題1.15分析:阿基米德螺線是一等速的螺旋線,在極坐標(biāo)下,它的參數(shù)方程可表示為
”7+,冶,式中「為極徑,力為初始極徑,四極角,Q為常量。它的圖線是等間距的,當(dāng)
間距為d時.,常量。=d/2隊(duì)因此,掃描線的總長度可通過積分$=卜山9得到。
解:(1)由于線速度恒定,則由v=5,可得外「已々,故碟盤讀完時的角速度為
-1
co2=@力Ir2=21.6rads
(2)在可讀范圍內(nèi),螺旋線轉(zhuǎn)過的極角〃=2不卜-,:)/4,故掃描線的總長度為
5=I>28=[旦夕=6-不)=5.38X1)m
JJ?!?一d
碟盤回放的時間為
/=5/v^=4.10xl0's?1.15h
本題在求掃描線的總長度對,也可采用平均周長的計(jì)算方法,即
5=2加*=2〃XX=5.38x"m
22d
題1.16:地面上垂直豎立一高20.0m的旗桿,已知正午時分太陽在旗桿的正上方,求在下午
2時止,桿頂在地面上的影子的速度的大小。在何時刻桿影將伸展至長20.0m?
題L16解:設(shè)太陽光線對地轉(zhuǎn)動的角速度為。,從正午時分開始計(jì)時,則桿的影長為s=
下午2時整,桿頂在地面上影子的速度大小為
drcos2cot
當(dāng)桿長等于影長時,即$=力,則
coh46y
即為下午3時整。
題1.17:一半徑為0.50m的飛輪在啟動時的短時間內(nèi),其角速度與時間的平方成正比。在
f=2.0s時測得輪緣一點(diǎn)速度值為4.0m.sT。求:(1)該輪在r=0.5$的角速度,輪緣一點(diǎn)
的切向加速度和總加速度:(2)該點(diǎn)在2.0s內(nèi)所轉(zhuǎn)過的侑度。
題1.17解:因4必=酎,由題意得比例系數(shù)
k=M=-^―=2rad-s-3
t2Rt2
所以co-co(t)=(2rads')t2
則年0.5s時的角速度、角加速度和切向加速度分別為
<y=(2rads-3)/*2=0.5rads"
a=(4rads")/,=2.0rad-s-2
a,=cr/?=1.0m-s-2
總加速度
a=a1+an=aRex+co~Ren
a=+(3")~=1.01ms-2
在2.0s內(nèi)該點(diǎn)轉(zhuǎn)過的角度
s_32_33
0-0n=j^<ycir=jj(2rads)rdz=-radst=5.33rad
0013/
題1.18:一質(zhì)點(diǎn)在半徑為0.10m的圓周上運(yùn)動,其角位置為8=2rad+(4rad.s")〃。(1)求
在f=2.0s時質(zhì)點(diǎn)的法向加速度和切向加速度。(2)當(dāng)切向加速度的大小恰等于總加速度大
小的一半時,夕值為多少?(3)[為多少時,法向加速度和切向加速度的值相等?
題1.18解:⑴由于0=2rad+(4rad-s7)「,則角速度/二包二標(biāo)亂心一)/,在/=2s時,
dr
法向加速度和切向加速度的數(shù)值分別為
=「3'=2.30xIO?ms-2
Id@4八八-2
4-=^—=4.80ms
(it
(2)當(dāng)4=3=1/a:+時,有3a;=a:,即
乙乙
3%(24rad?s-3)/]2=r2[(12rad-s_3)/2]4
t--s=0.29s
2V3
此時刻的角位置為
0=2rad+(4rad-s-3)/3=3.15rad
(3)要使*=q,則有
r[(l2rads_3)/2]2=324rad-s_3)/
/=0.55s
題1.19:一無風(fēng)的下雨天,一列火車以匕=20.0m.sT的速度勻速前進(jìn),在車內(nèi)的旅客看見
玻璃窗外的雨滴和垂線成75°角卜.降,求雨滴下落的速度匕。(設(shè)卜.降的雨滴作勻速運(yùn)動)
題1.19分析:這是一個相對運(yùn)動的問題。設(shè)雨滴為研究對象,地面為靜止參考系S,火車
為動參考系S1力為S,相對S的速度,也為雨滴相對S的速度,利用相對運(yùn)動速度的關(guān)系
即可解。
解:以地面為參考系,火車相對地面運(yùn)動的速度
為M,雨滴相對地面豎直下落的速度為V2,旅客
看到雨滴下落的速度W為相對速度,它們之間的
關(guān)系為%=吟+匕,于是可得
%=—^—=5.36ins-1
?唔75'
題1.20:設(shè)有一架飛機(jī)從4處向東飛到〃處,然后又向西飛回到八處,飛機(jī)相對空氣的速
率為/,而空氣相對地面的速率為〃,A、3間的距離為/,飛機(jī)相對空氣的速率/保持不
變。(1)假定空氣是靜止的(即“=0),試證來回飛機(jī)飛行時間為,0=2〃/:
(2)假定空氣的速度向東,試證來回飛行時間為4=r0(l-勺廣;
(3)假定空氣的速度向北,試證來回飛行時間為,2=小1-工廠”2。
V.
題1.20證:由相對速度的矢量關(guān)系y=/+〃,有
(I)空氣是靜止的,即〃=0,則往返時,飛機(jī)相對地面的&=0
飛行速度v就等于相對空氣的速度v',故飛行往返所需時
間為,
//2/
‘。=[+仆=7+7=7僅)
(2)按題意,當(dāng)飛機(jī)向東時,風(fēng)速與匕機(jī)相對與空氣的速度同向;而£機(jī)由東返回時,兩者
剛好反向。這時,飛機(jī)在往返飛行時,相對于地面的速度值分別為%=入〃和%A=K-〃。
因此,飛行往返所需時間為
(3)當(dāng)空氣速度向北時,飛機(jī)相對地面的飛行速度的大小由
了=/+〃可得為-=47。7,則飛機(jī)往返所需時間為
題1.21:如圖所示,一汽車在雨中沿宜線行使,其速率為匕,下落雨滴的速度方向偏于豎
直方向之前角0,速率為△,若車后有一長方形物體,問車速匕為多大時,此物體正好不會
被雨水淋濕?
題1.21分析:這也是一個相對運(yùn)動的問題??梢曈挈c(diǎn)為研究對象,地面為靜參考系S,汽
車為動參考系S\如圖所
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