大學(xué)物理(第四版)課后習題及答案-量子物理

第十七章量子物理

題17.1：天狼星的溫度大約是11000℃。試由維思位移定律計算其輻射峰值的波長。

題17.1解：由維思位移定律可得天狼星單色輻出度的格值所對應(yīng)的波長該波長

_7

2InII=-=2.57xlOm=257nm

屬紫外區(qū)域，所以天狼星呈紫色

題17.2：已知地球跟金星的大小差不多，金星的平均溫度約為773K,地球的平均溫度約為

293Ko若把它們看作是理想黑體，這兩個星體向空間輻射的能量之比為多少？

題17.2解：由斯特藩一玻耳茲曼定律=可知，這兩個星體輻射能量之比為

旦=化］=48.4

M地vifi>

題17?3：太陽可看作是半徑為7.0K108m的球形黑體，試計算太陽的溫度。設(shè)太陽射到地球

表面上的輻射能量為1.4x103Wm-2,地球與太陽間的跑離為1.5x10,Jmo

題17.3解：以太陽為中心，地球與太陽之間的距離d為半徑作一球面，地球處在該球面的某

一位置上。太陽在單位時間內(nèi)對外輻射的總能量將均勻地通過該球面，因此有

4冰一

M(T)=oT4(2)

由式(1)、(2)可得

(d2E\/4

T=――=5800K

題174鴇的逸出功是4.52eV,鋼的選出功是2.50eV,分別計算鴇和鎖的截止頻率。哪一

種金屬可以用作可見光范圍內(nèi)的光電管陰極材料？

題17.4解：鴇的截止頻率%=些=1.09x1015Hz

鋼的截止頻率匕合=—=0.63x1015

02hHz

對照可見光的頻率范圍可知，鋼的截止頻率%2正好處于該范圍內(nèi)，而鋁的截止頻率！大

于可見光的最大頻率，因而銀可以用于可見光范圍內(nèi)的光電管材料。

題17.5：鉀的截止頻率為4.62x1014Hz,今以波長為435.8nm的光照射,求鉀放出的光電子

的初速度。

題17.5解：根據(jù)光電效應(yīng)的愛因斯坦方程

hv=—/zzv2+W

2

其中W=//v0?v-c!A,

可得電子的初速度

1

5-1

v=——-vn11=5.74xl0ms

由于選出金屬的電子的速度yvvc,故式中，〃取電子的靜止質(zhì)量。

題17.6：在康普頓效應(yīng)中，入射光子的波長為3.0x10-3nm,反沖電子的速度為光速的60%,

求散射光子的波長及散射角。

題17.6解：根據(jù)能量守恒，相對論質(zhì)速關(guān)系以及散射公式有

m="7()(1—V2/c‘)”2

4-4)=4(1-cose)

由式（1）和式（2）可得散射光子的波長

4/V

2=-------------4.35x10-3nm

4。一勾〃0c

洛入值代入式（3）,得散射角

4—4

0=arccos

題17?7：一具有LOxlO^eV能量的光子，與一靜止的自由電子相碰撞，碰撞后，光子的散射

角為60。。試問：（1）光子的波長、頻率和能量各改變多少？（2）碰撞后，電子的動能、動

量和運動方向又如何？

題17.7解：（1）入射光子的頻率和波長分別為

Ec

匕）=—=2.41x1018Hz?%=——=0.124nm

h%

散射前后光子波長、頻率和能量的改變量分別為

3

AA=2V（1-cos^）=1.22x10-nm

式中負號表示散射光子的頻率要減小，與此同時:光子也將失去部分能量。

（2）由能量守恒可知，反沖電子獲得的動能，就是散射光子失去的能量

=/?v0-/?v=|AE|=95.3eV

由相對論中粒子的能量動量關(guān)系式以及動量守恒定律在。），軸上的分量式（圖17-7）可得

E；=E%+pl?（1）

&=%+Ek.⑵

生^sin6一〃csin°=0（3）

由式（1）和式（2）可得電子動量

Jf~ke+2foe/?n-24v-I

p=---------------------=5.27x1（）kg?m-s

cc

將其代入（3）式可得電子運動方向

hv.

(p=arcsin-----sink)

_PS_

=arcsin|g^sine]=59032,

LP4I

題17?8：波長為0.10nm的輻射，射在碳上，從

而產(chǎn)生康普頓效應(yīng)。從實驗中測量到散射輻射的

方向與入射輻射的方向相垂直。求：（1）散射輻

射的波長；（2）反沖電子的動能和運動方向。

題17.8解：（1）由散射公式得

Z=/10+2+2C（1-cos^）=0.1024nm

（2）反沖電子的動能等于光子失去的能量，因

此有

4-15

E4=10E,=1.33X10J

〃4=J04^=4.22xl0-24kgms-1

4

/??4=10w,=1.47x10-32kg

hr

-1

(5)當4=1xlO'm時，E5=Itv5==1.99x10'J

2s

22-1

p5=—=6.23x10kgms

%

-0

m5—=2.21x10'kg

c~CA5

題17.10：計算氫原子光譜中萊曼系的最短和最長波長，并指出是否為可見光。

1I

題17.10解：萊曼系的譜線滿足2F

/tnfh)

令n\=2,得該譜系中最長的波長4nax=12L5nm

令〃if8,得該譜系中1最短的波長4訕=91.2nm

對照可見光波長范圍(400?760nm),可知萊理系中所有的譜線均不是可見光，它們處在紫

外線部分。

題17.11：在玻爾氫原子理論中，當電子由量子數(shù)％=5的軌道躍遷到〃『=2的軌道上時，對

外輻射光的波長為多少？若再將該電子從如二2的軌道躍遷到游離狀態(tài)，外界需要提供多少能

量？

題17.11解：根據(jù)氫原子輻射的波長公式，電子從“=5躍遷到=2軌道狀態(tài)時對外輻射光

的波長滿足

則2=4.34xIO-7m=43.4f.im

而電子從〃f=2躍遷到游離態(tài)Rf8所需的能量為

EF

AE=E,-ET——=-3.4eV

~22Z00

負號表示電子吸收能量。

題17.12：如用能量為12.6eV的電子轟擊氫原子，將產(chǎn)生哪些譜線？

題17.12解：根據(jù)躍遷假設(shè)和波數(shù)公式有

A/7口Q￡1E\

△

E=Ef-Ei=---------7(1)

%

11

~2

1%?

將K=-13.6eV,m=1和AE=13.6eV（這是受激氫原子可以吸收的最多能量）代入式（1）,

可得，4=3.69,取整“二3（想一想為什么？），即此時氫原子處于〃=3的狀態(tài)。

由式（2）可得氫原子回到基態(tài)過程中的三種可能輻射，所對應(yīng)的譜線波長分別為102.6nm、

657.9nm和121.6nmo

題17.13：試證在基態(tài)氫原子中，電子運動時的等效電流為1.05x10-3A在氫原子核處，這個

電流產(chǎn)生的磁場的磁感強度為多大？

題17.13解：基態(tài)時，電子繞核運動的等效電流為

/="'=―^—7=1.05x10-3A

2肛4/〃始

式中V1為基態(tài)時電子繞核運動的速度，匕=」一

2加痔

該圓形電流在核處的磁感強度

B="12.5T

2八

上述過程中電子的速度uv<c,故式中〃，取電子的靜止質(zhì)量。

題17.14：已知a粒子的靜質(zhì)量為6.68X1027kg,求速率為5000km/s的a粒子的德布羅意波

長。

題17.14解：由于a粒子運動速率uvvc,故有m=而，則其德布羅意波長為

/?I].

2=-=—-=1.99xlO-5nm

P

題17.15：求動能為1.0eV的電子的德布羅高波的波長.

2

題17.15解：由于電子的靜能Eo=^oc=O.512MeV,而電子動能線《4，故有

〃=（2?）仇）”2,則其德布羅意波長為

hh

4==1.23nm

7一（2%反）“2

題17.16：求溫度為27℃時，對應(yīng)于方均很速率的氧氣分子的德布羅意波的波長。

題17.16解：理想氣體分子的方均根速率JL=J對應(yīng)的氧分子的德布羅意波長

VM

hhNA〃

=---=-------^==—―=2.58x10"nm

P〃/"U3MRT

題17.17：若電子和光子的波長均為0.20nm,則它們的動量和動能各為多少?

題17.17解:由于光子與電子的波長相同，它們的動量均為

h

p=—=3.22x10-24kg-ms-1

光子的動能￡k=E=pc=6.22KeV（對光子：=O,Eo=0）

E=-^=37.8keV

電子的動能k（此處電子動能用非相對論方法計算）

2Mo

題17.18：用德布羅意波，仿照弦振動的駐波公式來求解一維無限深方勢阱中自由粒子的能量

與動量表達式。

題17.18解：勢阱的自由粒子來回運動，就相當于物質(zhì)波在區(qū)間。內(nèi)形成了穩(wěn)定的駐波，由

兩端固定弦駐波的條件可知，必有。=〃彳/2,即

^=~（〃=L2,3,…）

由德布羅意關(guān)系式〃二夕，可得自由粒子的動量表:iA式

hnh

p=-=一(〃=1,2,3,…)

A2a

由非相對論的動量與動能表達式E=《’可得自由粒子的能量表達式

n2h2

E=5=1,2,3,…)

8/776/2

從上述結(jié)果可知，此時自由粒子的動量和能量都是量子化的。

題17.19：電子位置的不確定量為5.0xlO^nm時，其速率的不確定量為多少？

題17.19解：因電子位置的不確定量AxMSxIO'm,由不確定關(guān)系式以及A/4二〃?小，,可得

電子速率的不確定量

7-1

Avr='=1.46x10ms

題17.20：鈾核的線度為7.2x10一5][1。求其中一個質(zhì)子的動量和速度的不確定量。

題17.20解：對質(zhì)子來說，其位置的不確定量△r=Z^Qm=3.6xl（）T5m,由不確定關(guān)系

2

式△心pNh以及&>=〃]△丫,可得質(zhì)子動量和速度的不確定量分別為

△p=—=1.89xIO-20kg-m-s-1

Ar

=I.13x107ms-1

m

題17.21：一質(zhì)量為40g的子彈以I.Ox103m/s的速率飛行，求：（1）其德布羅意波的波長;

（2）若子彈位置的不確定量為0.10求其速率的不確定量。

題17.21解：（1）子彈的德布羅意波長為

/l=—=1.66xlCr35m

tnv

（2）由不確定關(guān)系式以及Az，、="公匕可得子彈速率的不確定量為

Av=--^―=1.66xlO28m-s-1

mmAx

由計算可知，由于〃值極小，其數(shù)量級為10-34,故不確定關(guān)系式只對微觀粒子才有實際

意義，對于宏觀物體，其行為可以精確地預(yù)言。

題17.22：試證如果粒子位置的不確定量等于其德布羅意波長，則此粒子速度的不確定量大于

或等于其速度。

題17.22證：由題意知，位置不確定量?=%,由不確定關(guān)系式可得△〃N上■=《，而△八竺，

AxXm

故速度的不確定量

Av>-^-=—,BPAv>v

〃沈m

題17.23：已知一維運動粒子的波函數(shù)為

/、小”x>0

W（x）=〈

[ox<0

式中丸>0,試求：（1）歸一化常數(shù)4和歸一化波函數(shù)；（2）該粒子位置坐標的概率分布函

數(shù)（又稱概率密度）；（3）在何處找到粒子的概率最大。

題17.23解：⑴由歸一化條件，：.（刈2成=1,有

[°02（ir+[A2x2e2^dx=fxA2x2e2^dx==1

JrJ0J04萬

2b

A=（注：利用積分公式「ye->dy=jr）

經(jīng)歸一化后的波函數(shù)為

x>0

2I。x<0

（2）粒子的概率分布函數(shù)為

x>0

I3片產(chǎn)x<0

（3）令3.（刈?=o,,有4才（2xe-2Zx-2^2e~2Ar）=0,得x=0,工=工和xfoo時，函數(shù)卜（x）廣

dxA

有極值。由二階導(dǎo)數(shù)'忸⑶><。可知，在工=!史，帆（用「有最大值，即粒子在該處出

心一I4

x=-

現(xiàn)的概率最大。

題17.24：設(shè)有一電子在寬為0.20nm的一維無限深的方勢阱中。（1）計算電子在最低能級的

能量；（2）當電子處于第一激發(fā)態(tài)（n=2）時，在勢阱中何處出現(xiàn)的概率最小，其值為多少？

題17.24解：（I）一維無限深勢餅中粒子的可能能量紇=〃2上二，式中。為勢阱寬度，當

量子數(shù)〃=1時，粒子處于基態(tài)，能量最低。因此，電子在最低能級的能量為

E.=—=1.51x10,8J=9.43eV

Sma

（2）粒子在無限深方勢阱中的波函數(shù)為

2.〃乃

=J-sin—x,n=1,2,...

Vaa

當它處于第一激發(fā)態(tài)（〃=2）時，波函數(shù)為

y/（x）=J-sin—0<x<a

用應(yīng)的概率密度函數(shù)為

2

M（刈2=-|sin孑x,0<x<a

令也忒1=0

civ

得

81.2公2G?

-^-sin---cos---=0

a~aa

在OWa的范圍內(nèi)討論可得，當x=0,%%和a時，函數(shù)眄4取得極值。由

訓(xùn)］＞0可知,函數(shù)在x=0,x=〃/2和x=〃（即A=0,0.1Onm,0.20nm）處概率最小,

dx

其值均為零。

題17.25：在線度為1.0x1CPm的細胞中有許多質(zhì)量為〃7=1。x10-7kg的生物粒子，若將生

物粒子作為微觀粒子處理，試估算該粒子的〃=100和八=101的能級和能級差各是多大。

題17.25解：按一維無限深方勢阱這一物理模型計算，可得

川

A?=100ll'J,E.=/?2——=5.49X10-37J

Sma27

扇

〃二101時，E,=/——=5.60X10-37J

-8"蘇7

38

它們的能級差A(yù)E=￡2-￡I=l.llxlO-J

題17.26：一電子被限制在寬度為l.Ox10-7口的一維無限深勢阱中運動。（1）欲使電子從基

態(tài)躍遷到第一激發(fā)態(tài)，需給它多少能量？（2）在基態(tài)時，電子處于汨=0.090X10」。m與念

=0.110xIO-10m之間的概率為多少？（3）在第一激發(fā)態(tài)時，電子處于范'=0與

,

x2=0.25xl0-1°m之間的概率為多少?

題17.26解：（1）電子從基態(tài)（〃=1）躍遷到第一激發(fā)態(tài)（〃=2）所需能量為

/；2h2

\E=E,-E.=?；—H-=112eV

~'Sina-Sma-

（2）當電子處于基態(tài)（?=1）時，電子在勢阱中的概率密度為忸（刈2=去出2/工。所求

區(qū)間寬度8=%-玉，區(qū)間的中心位置兒=土笠，則電子在所求區(qū)間的概率近似為

1

<二J：M")l讓w帆區(qū))「Ax=2sin2(X?，；")(%—X])=3.8x10-3

（3）同理，電子在第一激發(fā)態(tài)（〃=2）的概率密度為|%（幻『=[sin22三x,則電子在所

求區(qū)間的概率近似為

P,=-sin2(—-^±^)(.7)=0.25

aa2

題17.27：在描述原子內(nèi)電子狀態(tài)的量子數(shù)%/,叫中，（1）當m=5時，，的可能值是多少？

（2）當/=5時，也的可能值為多少？（3）當/=4時，〃的最小可能值是多少？⑷當〃=

3時，電子可能狀態(tài)數(shù)為多少？

題17.27解：（1）〃=5時，/的可能值為5個，它們是/=0,1,2,3,4；

（2）/=5時，%的可能值為11個,它們是〃?,=0,±1,±2,±3,±4,±5；

（3）/=4時,因為/的最大可能值為（〃-1）,所以〃的最小可能值為5；

（4）〃=3時，電子的可能狀態(tài)數(shù)為2層=18。

題17.28：氫原子中的電子處于〃=4、/=3的狀態(tài)。問：（