福建省福州市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期10月月考試題數(shù)學(xué)含答案及解析

2024-2025學(xué)年第一學(xué)期福州第一中學(xué)第一次月考高一數(shù)學(xué)（完卷時間：120分鐘；滿分：150分）一、單項選擇題：本題共８小題，每小題5分，共４０分。1．已知全集，則集合（

）A． B． C． D．2．某城新冠疫情封城前，某商品的市場需求量y1（萬件），市場供應(yīng)量y2（萬件）與市場價格x（百元/件）分別近似地滿足下列關(guān)系：，，當(dāng)時的需求量稱為平衡需求量，解封后，政府為盡快恢復(fù)經(jīng)濟(jì)，刺激消費，若要使平衡需求量增加6萬件，政府對每件商品應(yīng)給予消費者發(fā)放的消費券補貼金額是（

）A．6百元 B．8百元 C．9百元 D．18百元3．設(shè)表示不超過的最大整數(shù)，對任意實數(shù)，下面式子正確的是（

）A．=|x| B．≥ C．> D．>4．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．5．設(shè)函數(shù)，若是f(x)的最小值，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．已知函數(shù)的定義域為，且，，則（

）A． B．為奇函數(shù)C． D．的周期為37．函數(shù)的定義域均為，且，關(guān)于對稱，，則的值為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，若有且僅有兩個整數(shù)、使得，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共１８分。9．下列命題正確的是（

）A．“”是“”的充分不必要條件B．“”是“”的必要不充分條件C．命題“”的否定是“，使得”D．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則“”是“在處取得極值”的充要條件10．若函數(shù)的定義域為，且，，則（

）A． B．為偶函數(shù)C．的圖象關(guān)于點對稱 D．11．已知函數(shù)是R上的奇函數(shù)，對于任意，都有成立，當(dāng)時，，給出下列結(jié)論，其中正確的是（

）A．B．點是函數(shù)的圖象的一個對稱中心C．函數(shù)在上單調(diào)遞增D．函數(shù)在上有3個零點三、填空題：本大題共３小題，沒小題５分，共15分。12．設(shè)函數(shù)，若為奇函數(shù)，則.13．=14．設(shè)m為實數(shù)，若，則m的最大值是．四、解答題：本題共５小題，共77分。15．（本題13分）閱讀下面題目及其解答過程．已知函數(shù)，（1）求f（－2）與f（2）的值；（2）求f(x)的最大值．解：（1）因為－2＜0，所以f（－2）＝①．因為2＞0，所以f（2）＝②．（2）因為x≤0時，有f(x)＝x＋3≤3，而且f（0）＝3，所以f(x)在上的最大值為③．又因為x＞0時，有，而且④，所以f(x)在（0，＋∞）上的最大值為1．綜上，f(x)的最大值為⑤．以上題目的解答過程中，設(shè)置了①~⑤五個空格，如下的表格中為每個空格給出了兩個選項，其中只有一個正確，請選出你認(rèn)為正確的選項，并填寫在答題卡的指定位置（只需填寫“A”或“B”）．空格序號選項①A．（－2）＋3＝1

B．②A．2＋3＝5

B．③A．3

B．0④A．f（1）＝1

B．f（1）＝0⑤A．1

B．316．（本題15分）如圖，某小區(qū)要在一個直角邊長為的等腰直角三角形空地上修建一個矩形花園．記空地為，花園為矩形．根據(jù)規(guī)劃需要，花園的頂點在三角形的斜邊上，邊在三角形的直角邊上，頂點到點的距離是頂點到點的距離的2倍．(1)設(shè)花園的面積為（單位：），的長為（單位：），寫出關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)?shù)拈L為多少時，花園的面積最大？并求出這個最大面積．17．（本題15分）已知定義在上的奇函數(shù)f（x）滿足：時，.(1)求的表達(dá)式；(2)若關(guān)于的不等式恒成立，求的取值范圍.18．（本題17分）已知，且．（1）請給出的一組值，使得成立；（2）證明不等式恒成立．19．（本題17分）對于非負(fù)整數(shù)集合（非空），若對任意，或者，或者，則稱為一個好集合．以下記為的元素個數(shù)．（1）給出所有的元素均小于的好集合．（給出結(jié)論即可）（2）求出所有滿足的好集合．（同時說明理由）（3）若好集合滿足，求證：中存在元素，使得中所有元素均為的整數(shù)倍2024-2025學(xué)年第一學(xué)期福州第一中學(xué)第一次月考高一數(shù)學(xué)參考答案1．C【分析】集合運算可得，即可求出結(jié)果【詳解】，所以故選：C2．C【分析】求出封城前的平衡需求量，可計算出解封后的需求量，利用需求量計算價格差距即為補貼金額.【詳解】封城前平衡需求量時的市場價格x為，平衡需求量為30，平衡價格為20，解封后若要使平衡需求量增加6萬件，則，，則補貼金額為.故選：C.3．D【詳解】分析：表示不超過的最大整數(shù)，表示向下取整，帶特殊值逐一排除．詳解：設(shè)，，，，，排除A、B，設(shè)，，，排除C．故選D點睛：比較大小，采用特殊值法是常見方法之一．4．B【解析】當(dāng)時，無解，此時，無零點；當(dāng)時，根據(jù)為增函數(shù)，且可得函數(shù)的零點為的零點，根據(jù)零點存在性定理可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，，無解，此時，無零點；當(dāng)時，為增函數(shù)，且.令，得，即，令，則函數(shù)的零點就是的零點，因為，，所以函數(shù)的零點所在區(qū)間為.故選：B.【點睛】本題考查了分段函數(shù)的零點問題，考查了根據(jù)零點存在性定理判斷零點所在的區(qū)間，考查了根據(jù)解析式判斷函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.5．C【分析】由，求得的范圍；再求得的單調(diào)性，討論，時函數(shù)在的最小值，即可得到所求范圍．【詳解】解：函數(shù)，若，可得，由是的最小值，由于可得在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，若，，則在處取得最小值，不符題意；若，，則在處取得最小值，且，解得，綜上可得的范圍是，．故選：．【點睛】本題考查分段函數(shù)的最值的求法，注意運用分類討論思想方法，以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查運算能力，屬于中檔題．6．C【分析】令，則得，再令即可得到奇偶性，再令則得到其周期性，最后根據(jù)其周期性和奇偶性則得到的值.【詳解】令，得得或，當(dāng)時，令得不合題意，故，所以A錯誤；令得，且的定義域為，故為偶函數(shù)，所以B錯誤；令，得，所以，所以，則，則，所以的周期為6，所以D錯誤；令，得，因為所以，所以，故C正確.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是利用賦值法得到其奇偶性和周期性，并依此性質(zhì)求出函數(shù)值即可.7．C【分析】利用已知、方程、函數(shù)的對稱性、周期性進(jìn)行計算求解.【詳解】因為，

，對于②式有：，由①+有：，即，又關(guān)于對稱，所以，由④⑤有：，即，，兩式相減得：，即，即，因為函數(shù)的定義域為，所以的周期為8，又，所以，由④式有：，所以，由，有：，所以，由⑤式有：，又，所以，由②式有：，所以，故A，B，D錯誤.故選：C.8．A【分析】由題意可知，滿足不等式的解中有且只有兩個整數(shù)，即函數(shù)在直線上方的圖象中有且只有兩個橫坐標(biāo)為整數(shù)的點，然后利用數(shù)形結(jié)合思想得出以及，由此可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】由，得.由題意可知，滿足不等式的解中有且只有兩個整數(shù)，即函數(shù)在直線上方的圖象中有且只有兩個橫坐標(biāo)為整數(shù)的點.如下圖所示：

由圖象可知，由于，該直線過定點.要使得函數(shù)在直線上方的圖象中有且只有兩個橫坐標(biāo)為整數(shù)的點，則有，即，解得，又，所以，，因此，實數(shù)的取值范圍是.故選A.【點睛】本題考查函數(shù)不等式的求解，解題的關(guān)鍵利用數(shù)形結(jié)合思想找到一些關(guān)鍵點來得出不等關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于難題.9．AB【解析】根據(jù)定義法判斷是否為充分、必要條件，由全稱命題的否定是，否定結(jié)論，即可知正確的選項.【詳解】A選項中，，但或，故A正確；B選項中，當(dāng)時有，而必有，故B正確；C選項中，否定命題為“，使得”，故C錯誤；D選項中，不一定有在處取得極值，而在處取得極值則，故D錯誤；故選：AB【點睛】本題考查了充分、必要條件的判斷以及含特稱量詞命題的否定，屬于簡單題.10．BCD【分析】對于A，令,可得；對于B，令，可得，即可判斷；對于C，令得f1=0，再令即可判斷；對于D，根據(jù)條件可得,繼而，進(jìn)一步分析可得函數(shù)周期為4，分析求值即可.【詳解】對于A，令，則，因為，所以，則，故A錯誤；對于B，令，則，則，故B正確；對于C，令得，，所以f1令得，，則的圖象關(guān)于點對稱，故C正確；對于D，由得，又，所以，則，，所以，則函數(shù)的周期為，又f1=0，則，，則f1所以，故D正確，故選：BCD.11．AB【分析】由，賦值，可得，故A正確；進(jìn)而可得是對稱中心，故B正確；作出函數(shù)圖象，可得CD不正確.【詳解】在中，令，得，又函數(shù)是R上的奇函數(shù)，所以，，故是一個周期為4的奇函數(shù)，因是的對稱中心，所以也是函數(shù)的圖象的一個對稱中心，故A、B正確；作出函數(shù)的部分圖象如圖所示，易知函數(shù)在上不具單調(diào)性，故C不正確；函數(shù)在上有7個零點，故D不正確.故選：AB【點睛】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，考查了邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題目.12．-1【解析】利用函數(shù)為奇函數(shù)，由奇函數(shù)的定義即可求解.【詳解】若函數(shù)為奇函數(shù)，則，即，即對任意的恒成立，則，得.故答案為：-1【點睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，需掌握奇偶性的定義，屬于基礎(chǔ)題.13．【分析】利用指數(shù)冪的運算性質(zhì)和對數(shù)的運算性質(zhì)計算即可求解.【詳解】原式==．故答案為：.14．【分析】設(shè)，，將兩個點集用平面區(qū)域表示，因為，故表示的平面區(qū)域在的內(nèi)部，根據(jù)這一條件得出的最大值．【詳解】解：設(shè)，，顯然點集表示以原點為圓心，5為半徑的圓及圓的內(nèi)部，點集是二元一次不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示，作圖可知，邊界交圓于點，邊界恒過原點，要求的最大值，故直線必須單調(diào)遞減，因為，所以當(dāng)過圖中B點時，取得最大，聯(lián)立方程組，解得，故，即．【點睛】本題表面上考查了集合的運算問題，實質(zhì)是考查了二元一次不等組表示的平面區(qū)域和二元二次不等式對應(yīng)平面區(qū)域的畫法，還考查了動態(tài)分析問題的能力，屬于中等偏難題．15．（1）①A

；

②B；（2）③A

；④A

；⑤B．【分析】依題意按照步驟寫出完整的解答步驟，即可得解；【詳解】解：因為，（1）因為，所以，因為，所以（2）因為時，有，而且，所以在上的最大值為．又因為時，有，而且，所以在0,+∞上的最大值為1．綜上，的最大值為．16．(1)(2)當(dāng)?shù)拈L為5m時，花園的面積最大，最大面積為150.【分析】（1）根據(jù)矩形面積即可求解，（2）根據(jù)基本不等式即可求解.【詳解】（1）則，，所以（2），當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故當(dāng)?shù)拈L為5m時，花園的面積最大，最大面積為150.17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性求得當(dāng)時的解析式，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)定義證明函數(shù)在上單調(diào)遞增，然后再結(jié)合是定義在上的奇函數(shù)，化簡不等式，求解即可得到結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)，則，因為時，，所以又因為是定義在上的奇函數(shù)，即所以當(dāng)時，綜上，的表達(dá)式為（2）由（1）可知，，設(shè)在上任取兩個自變量，令則因為，則，所以所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.即，由是定義在上的奇函數(shù)，可得即，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得恒成立，當(dāng)時，即，滿足；當(dāng)時，即，解得綜上，的取值范圍為18．（1）（答案不唯一）（2）證明見解析【解析】（1）找到一組符合條件的值即可；（2）由可得,整理可得,兩邊同除可得,再由可得,兩邊同時加可得,即可得證.【詳解】解析:（1）（答案不唯一）（2）證明:由題意可知,,因為,所以.所以,即.因為,所以,因為,所以,所以.【點睛】考查不等式的證明,考查不等式的性質(zhì)的應(yīng)用.19．（1），，，．（2）；證明見解析．（3）證明見解析．【解析】（1）根據(jù)好集合的定義列舉即可得到結(jié)果；