沖刺2024年高考數(shù)學真題重組卷02

沖刺2024年高考數(shù)學真題重組卷（新高考專用）

真題重組卷02

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

第I卷（選擇題）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要

求的。

1.（2023?全國統(tǒng)考高考真題）已知集合”={-2,-1,0,1,2},/V=|X|X2-X-6>0},則（）

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.2

2.（2022?浙江?統(tǒng)考高考真題）已知訴R,a+3i=（b+i）i（i為虛數(shù)單位），則（）

A.?=1,/?=-3B.?=-1,/?=3c.a=-\,b=-3D.。=1,〃=3

3.（2023?天津?統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)/（X）的一條對?稱軸為直線x=2,一個周期為4,則/（力的解析式

可能為()

A.sin—xC.sin—x

(2)14J

4.（2022?全國統(tǒng)考高考真題）圖1是中國古代建筑中的舉架結構，是桁，相鄰桁的水

平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖.其中。2，CC「84，A4是舉，

O4gC%%是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為償=05*=加普=&，魯=&.已知。&A

C//>|LzC|CO|o74|

成公差為o.l的等差數(shù)列，且直線。4的斜率為0.725,則勺二（）

5.12021?全國J卷統(tǒng)考高考真題）已知“，尸2是橢圓C：卷+?=1的兩個焦點，點何在C上，則1MHM用

的最大值為（）

A.13B.12C.9D.6

6.（2023?全國?乙卷統(tǒng).”甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外

讀物中恰有1種相同的選法共有（)

A.30種B.60種C.120種D.240種

7.（2023?全國.甲卷統(tǒng)考高考真題）已知向量a/3滿足同=W=l1c：|=x/5，且a+〃+c=0，則

cos{a-c,b-c)=()

4

A.BD

5-4-I-?

8.（2021?全國/卷統(tǒng)考高考真題）若過點（。/）可以作曲線），=』的兩條切線，則（）

A.B.ea<bC.0<?<eAD.0<b<ea

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多以符合題目的

要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分。

9.（2021.全國山卷統(tǒng)考高考真題）下列統(tǒng)計量中，能度量樣本土,占，7”的離散程度的是（）

A.樣本小勺，…，與的標準差B.樣本王,馬，…,人的中位數(shù)

C.樣本和林?,山的極差D.樣本內(nèi),七，?，Z的平均數(shù)

10.（2023?全國?H卷統(tǒng)考高考真題）已知圓錐的頂點為P,底面圓心為O,48為底面直徑，ZA尸8=120。，

心=2,點C在底面圓周上，且二面角。一47-0為45。，則（）.

A.該圓錐的體積為兀B.該圓錐的側面積為46冗

C.AC=2y/2D.△P4C的面積為75

11.（2022?全國」卷統(tǒng)考高考真題：已知O為坐標原點，點41J）在拋物線C.x2=2py（p>0）上,過點B（0,-l）

的直線交C于P,。兩點，則（）

A.C的準線為y=TB.直線4B與C相切

C.\OP\-\OQ\>\OA^D.\BP\\BQ\>\BAf

12.（2023?全國?1卷統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)/（力的定義域為R,）=y2/（x）+x2〃y）,則（）.

A./（0）=0B.“1）=0

c.f（x）是偶函數(shù)D.x=0為f（x）的極小值點

第II卷（非選擇題）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（2023.天津.統(tǒng)考高考真題）在2/的展開式中,小項的系數(shù)為

14.（2023全國?甲卷統(tǒng)考高考真題）若/（力=（1）2+依+呵%+?為偶函數(shù)，則。=.

15.（2022?全國?甲卷統(tǒng)考高考真題）已知中，點。在邊8C上，ZADB=120°MZ）=2,CD=2BD.當

AC

而取得最小值時，BD=

16.（2021?個國?【卷統(tǒng)考M考真題）某校學生在研究民間剪紙藝術時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱

軸把紙對折，規(guī)格為20dmx12dm的長方形紙，對折1次共可以得到lOdmxl2dm,20dmx&lm兩種規(guī)格的

圖形，它們的面積之和'=240dn/,對折2次共可以得到5dmx12dm,lOdinx6dm,20dmx3chn三種規(guī)格

的圖形，它們的面積之和S?=180dm）以此類推，則對折4次去可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為；如

果對折〃次，那么之耳=dm2.

hl

四、解答題：本題共6小題，共7。分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。

17.（10分）

（2022.全國山卷統(tǒng)考高考真題）已知｛叫為等差數(shù)列，他｝是公比為2的等比數(shù)列，且

a2-b2=a3-b3=hA-aA.

（1）證明：％=々；

（2）求集合任期=%+%1工屋500｝中元素個數(shù).

18.（12分）

21.（12分）

（2022.全國.乙卷統(tǒng)考島考真題）某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山.為估計一林區(qū)某

種樹木的總材積量，隨機選取了1?？眠@種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：m?）和材積量（單位：

mD,得到如下數(shù)據(jù)：

樣本號i12345678910總和

根部橫械面積N0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

材積量H0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

101010

并計算得ZX=0-038.Z3<=1.6158,Zu=0.2474.

i-lt?l-I

（1）估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；

（2）求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣木相關系數(shù)（精確到0.01）:

（3）現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為186m2.已

知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比.利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值.

附：相關系數(shù)r=I“，JT嬴之1.377.

、力％-丁茂（》-蘇

Vi-li?l

22.（12分）

（2021.全國J卷統(tǒng)考高考真題）在平面直角坐標系My中，已知點川-如,0）、6（a,0川加用-四眉=2,

點仞的軌跡為C.

（1）求C的方程；

⑵設點/在直線x上，過7的兩條直線分別交。于A、6兩點和凡Q兩點，且|刑?|用=|丁斗|圖,

求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.

沖刺2024年高考數(shù)學真題重組卷（新高考專用）

真題重組卷02

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

第I卷（選擇題）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要

求的。

1.（2023?全國/統(tǒng)考高考真題）已知集合用={-2,-1,0,1,2},N=?7—6N0},則（）

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.2

【答案】C

【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N,即可根據(jù)交集的運算解出.

方法二：將集合M中的元素逐個代入不等式驗證，即可解出.

【解析】方法一；因為N=kk2_x_6\0}=（-8,—2]33,+8）,

而”={-2,-1,0,1,2},所以何cN={—2}.故選：C.

方法二：因為M={-2,-1,012},將一2,-1,0,1,2代入不等式產(chǎn)一尸6之0,

只有-2使不等式成立，所以McN={-2}.故選：C.

2.（2022?浙江?統(tǒng)考高考真題）已知訴R,〃+3i=S+i）i（i為虛數(shù)單位），則（）

A.。=1,）=-3B.a=-l,b=3C.?=-l,Z>=-3D,a=\,b=3

【答案】B

【分析】利用復數(shù)相等的條件可求。力.

【解析】a+3i=-\+bi,而。，力為實數(shù)，故〃=-1,力=3,故選：B.

3.（2023?天津?統(tǒng)考商考真題）已知函數(shù)的一條對稱軸為直線x=2,一個周期為4,則/（x）的解析式

可能為（）

【答案】B

【分析】由題意分別考查函數(shù)的最小正周期和函數(shù)在x=2處的函數(shù)值,

排除不合題意的選項即可確定滿足題意的函數(shù)解析式.

【解析】由函數(shù)的解析式考查函數(shù)的最小周期性:

FI=_2_71_AA丁f__2_冗__A人

A選項中￡,B選項中￡

22

T-97二2"二g

C選項中一工一，D選項中四一，排除選項CD,

44

對「A選項，當x=2時，函數(shù)值sinyx2l=0,故(2.0)是函數(shù)的一個對稱中心，排除選項A,

對于B選項，當x=2時，函數(shù)值cos^x2j=-I,故％=2是函數(shù)的一條對稱軸，故選：B.

4.(2022?全國11統(tǒng)考高考真題)圖1是中國古代建筑中的舉架結構，A4'.B8,CC',。。'是桁，相鄰桁的水

平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖.其中。A，CG,34,A4是舉，

叫g,C綜納是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為黑-0.5,盤=配萼=禽普=&.已知"，心

CO|o/Aj

成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線。4的斜率為0.725,則3=()

A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9

【答案】D

【分析】設OR=OG=CB|=BA=1.則可得關于心的方程.求出其解后可得正確的選項.

【解析】設OD1=DC,=CB1=%=1，則CG=k1,BBX=&,AA=&,

DDy+CC]+BR+AAy

依題意，有&-0.2=心與一().1=&2,且=0.725,

OR+DC[+CB1+BAy

0.5+3&—0.3

所以=0.725,故占=09,故選：D

4

/V2

5.12021?全國I卷統(tǒng)考高考真題)已知片，鳥是橢圓C：---1----=1的兩個焦點，點M在。上,則|岬|.|咽|

94

的最大值為（）

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【分析】本題通過利用橢圓定義得到|M用+|"周=2a=6,

借助基本不等式|〃。|用周/幽士幽］即可得到答案.

【解析】由題,/=9,6=4,則|M用+|M圖=2〃=6,

所以6區(qū)區(qū)需幽P=9（當且僅當|崢|=|M段=3時，等號成立）.故選：C.

6.（2023/；國?乙卷統(tǒng)考高考真迎）甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外

讀物中恰有1種相同的選法共有（）

A.3（）種B.6（）種C.120種D.240種

【答案】C

【分析】相同讀物有6種情況，剩余兩種讀物的選擇再進行排列，最后根據(jù)分步乘法公式即可得到答案.

【解析】首先確定相同得讀物，共有C；種情況，

然后兩人各自的另外一種讀物相當于在剩余的5種讀物里，選出兩種進行排列，共有A；種，

根據(jù)分步乘法公式則共有C>-A；=120種，故選：C.

7.（2023?全國?甲卷統(tǒng)考高考真題）已知向量。也。滿足|a|=W=l,|c|=夜，且a+b+c=0則

cos（a-c,b-c）=（）

A.--B.--C.-D.-

5555

【答案】D

【分析】作出圖形,根據(jù)幾何意義求解.

【解析】因為％+〃+c：=0,所以￡+Z?=」,即片+2〃力=T,即1+1+2。?〃=2,所以“?方=0.

如圖，設OA=a,OB=Z?.OC=c,

c

b-c

由題知1,。4=。8=1,0。=夜，048是等腰直角三角形，

/W邊上的高0。二也，皿「巫，

22

所以。。=。。+。。=&+也=逑，

22

tanZ.ACD==-,cosZ.ACD=~^=*

CD3加

cos(a-c,b-c}=cosZ.ACB=cos2Z.ACD=2cos2Z.ACD-1=2x-1=1.故選:D.

8.(2021?全國?1卷統(tǒng)考高考真題)若過點(“〃)可以作曲線)，=e，的兩條切線，則()

A.eh<aB.e<bC.0<a<ehD.Ovbve"

【答案】D

【分析】解法一：根據(jù)導數(shù)幾何意義求得切線方程，再構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)圖象，結合圖形確定

結果：解法二：畫出曲線)，=er的圖象，根據(jù)直觀即可判定點(。力)在曲線下方和x軸上方時才可以作出兩

條切線.

【解析】在曲線y=e'上任取一點2億，)，對函數(shù)產(chǎn)-求導得y'=e"

所以，曲線尸-在點夕處的切線方程為y—/=e'(xT),即)，=￡H(1T)，，

由題意可知，點(&/?)在直線y=e'x+(]-t)e'±.,可得匕=〃/+(}-t)el=(a+\-t)e'.

令/⑴=(a+lT)d,則:(/)=(〃—)，.

當時，/'(，)>0,此時函數(shù)/⑴單調(diào)遞增，

當/>〃時，r(/)<o,此時函數(shù)/⑺單調(diào)遞減，

所以，=/(〃)=/，

由題意可知，直線y=A與曲線），=/（，）的圖象有兩個交點，則〃

當rva+1時，7（/）＞0,當f＞4+l時，/（，）＜0,作H函數(shù)/（，）的圖象如下圖所示:

由圖可知，當。"時，直線），=〃與曲線），=/“）的圖象有兩個交點.故選：D.

解法二：畫出函數(shù)曲線,="的圖象如圖所示，

根據(jù)直觀即可判定點（。力）在曲線下方和x軸上方時才可以作出兩條切線.由此可知

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的

要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分。

9.（2021?全國卷統(tǒng)考高考真題）下列統(tǒng)計量中，能度量樣本加兀.…,孔的離散程度的是（）

A.樣本對勺，,，%的標準差B.樣本玉,馬,,，人的中位數(shù)

C.樣本和?，，與的極差D.樣本和?，，%的平均數(shù)

【答案】AC

【分析】考查所給的選項哪些是考查數(shù)據(jù)的離散程度，哪些是考查數(shù)據(jù)的集中趨勢即可確定正確選項.

【解析】由標準差的定義可知，標準差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度：

由中位數(shù)的定義可知，中位數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢；

由極差的定義可知，極差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；

由平均數(shù)的定義可知，平均數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢；故選：AC.

10.(2023?全國山卷統(tǒng)考高考真題)已知圓錐的頂點為P,底面圓心為。，48為底面直徑，NA尸8=120。,

%=2,點C在底面圓周上，且二面角2一月。一0為45。，則().

A.該圓錐的體積為兀B.該圓錐的側面現(xiàn)為4公冗

C.AC=2y/2D.△PAC的面積為G

【答案】AC

【分析】根據(jù)圓錐的體積、側面積判斷A、B選項的正確性，利用二面角的知識判斷C、D選項的正確性.

【解析】依題意，ZA尸8=120。，PA=2,所以。尸=1,04=08=6，

A選項，圓錐的體積為gx兀x(g)\i=兀，A選項正確：

B選項，圓錐的側面積為兀x石X2=2GTT，B選項偌誤；

C選項，設。是AC的中點，連接

則AClOD^AClPD,所以4W是二面角P-AC—。的平面角,

則NPOO=45。，所以OP=O/)=1,

故AO=CO==則AC=2&,C選項正確；

D選項，夕0=戶下=&，所以S,"二gx2&x0=2,D選項錯誤.故選：AC.

11.(2022?全國?【卷統(tǒng)考高考真題」已知O為坐標原點，點A(l,l)在拋物線C：x2=2〃)，(p>0)上，過點3(01)

的直線交C于P,。兩點，則()

A.。的準線為y=-lB.直線A3與。相切

C.\OP\-\OQ\>\OA)[D.18Pl|80|>|以|2

【答案】BCD

【分析】求出拋物線方程可判斷A,聯(lián)立AB與拋物線的方程求交點可判斷B,利用距離公式及弦長公式可

判斷C、D.

【解析】將點A的代入拋物線方程得1=2〃，

所以拋物線方程為“=，故準線方程為尸廿，A錯誤;

心8=〒彳=2,所以直線A8的方程為+,=2x7,

1-0

聯(lián)立<2，可得V-2x+l=(),解得x=l,故B正確；

=y

設過8的直線為/,若直線/與)軸重合，則直線/與拋物線c只有一個交點，

所以，直線/的斜率存在，設其方程為丁=丘-1,夕(%/)，。*2，*)，

y=H-1

聯(lián)乂(2，得Y一區(qū)+]=(),

x"=y

△=/一4>0

所以，X)+x2=k,所以攵>2或A<-2,)1乃=(中2『=1，

中2=1

又[0一|=jH+y：=Qyry；,|OQ|=父=M+y：,

所以|OP||Q2I=廊了工而工5力=向溫=左l>2=|OA|2,故C正確：

因為|/7P|=J1+&2|,|，|8。|=J1+公⑷,

所以15PH5。|=(1+22)|%也|=1+上>5,而|8A|2=5,故D正確.故選:BCD

12.(2023?全國?1卷統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(x)的定義域為R,fM=y2f(x)+x2f(y),則().

A./(O)=OB./(1)=0

C.“X)是偶函數(shù)D.工=0為/'(X)的極小值點

【答案】ABC

【分析】方法一：利用賦值法，結合函數(shù)奇偶性的判斷方法可判斷選項ABC,舉反例/。)=。即可排除選項

D.方法二：選項ABC的判斷與方法一同，對TD,可構造特殊函數(shù)/=由弓"二°進行判斷即可.

0,x=0

【解析】方法一：因為/(盯)=_/〃/)+//(),),

對于A,令x=y=0,/(0)=0/(0)+0/(0)=0,故A正確.

對于B,令x=y=l,.f(l)=l〃l)+"⑴，則/⑴=0,故B正確.

對于C,令x=y=-l,/(I)=/(-1)+/(-1)=2/(-1),則/(一1)=0,

令丁=7,/(-x)=/'(X)+x2f(-\)=f(x)，

乂函數(shù)/“）的定義域為R,所以/"）為偶函數(shù)，故C正確，

對于D,不妨令/*）=0,顯然符合題設條件，此時/⑶無極值，故D錯誤.

方法二:因為/(孫)=y2f(X)+x2/(y),

對于A,令x=)，=0,/(O)=0/(0)+0/(0)=0,故A正確.

對于B,令x=y=l,/(I)=1/(1)+1/(1),則/(1)=0,故B正確.

對于C,令人=y=-1,/(I)=/(-1)+/(-1)=2/(-1),則/(—1)=0,

令)'=T，f(-x)=f(x)+?/(-1)=f(x),

又函數(shù)/“）的定義域為R，所以/*）為偶函數(shù)，故C正確，

對于D,當Vy2工。時，對/（孫）=y2/（M+x2/（y）兩邊司時除以％2）,2,得至=+絆

xyxy

故可以設△^=h1|X（xNO）,則嗎,4工0,

?T1［0,x=0

當x＞0肘，f（x）=x2Inx,則r（%）=2xhix+x2,=x（21nx+l）,

X

令r（x）＜0,得o-T；令/軻＞。，得.（〉內(nèi)

故f（x）在fo,eT］上單調(diào)遞減，在（eW+oo］上單調(diào)遞增，

因為J"）為偶困數(shù)，所以八x）在一e-5,0上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,

顯然，此時％=0是f（x）的極大值，故D錯誤.故選：ABC.

第n卷（非選擇題）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（2023?天津?統(tǒng)考高考真題）在（2.d-的展開式中，/項的系數(shù)為

【答案】60

【分析】由二項式展開式的通項公式寫出其通項公式小=(-1)鼠26-隈。，/』，令18-必=2確定k的值,

然后計算/項的系數(shù)即可.

(解析】展開式的通項公式加廣或(2/廣，-斗=(-1/x2jxC：x/』,

I-T/

令18—必=2可得，2=4,

則/項的系數(shù)為(T)'x2…xC：=4xl5=60.故答案為：60.

14.(2023全國?甲卷統(tǒng)考高考真題)若/(x)=(x-l)2+or+sinx+3為偶函數(shù)，則"=______

乙)

【答案】2

【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)得到/q=/從而求得。=2,再檢驗即可得解.

【解析】因為1y=/(x)=(x—l)2+ar+sinx+g=(.r—l『+or+cosx為偶函數(shù)，定義域為R,

X乙)

n九

+—a+cos—

所以抬M3哈可22

則必=(1+1)-(.-1=2兀，故a=2,

此時/(x)=(x-l)'+2x+cosx=x2+1+cosx,

所以/(-A:)=(-X)2+14-cos(-.r)=x2+l+cosx=/(x),

乂定義域為R,故/("為偶函數(shù)，所以。=2.故答案為：2.

15.(2022?全國?甲卷統(tǒng)考高考真題)已知A4C中，點。在邊8。上，ZADB=120°,AD=2,CD=2BD.當

取得最小值時，BD=______.

AB

【答案】g

【分析】設8=28O=2〃z>0,利用余弦定理表示出某后，結合基本不等式即可得解.

【解析】［方法一］:余弦定理

設CD=2AO=2〃z>0,

則在AABD中，AB~=BD2+AD1-2BD-ADcosZADB=tn2+4+2m，

在-ACD中，AC2=CD'+AD2-2CD-ADcosZADC=4w2+4-4/〃，

2

AC=4〃y+4-4〃?=4(〃/+4+2/〃)-12(1+6)=4_12>4.口=4_2^

所以48?加+4+2〃？/+4+2加W+i)+告2^1-F1)—

當且僅當6+1=二7即m=6-1時，等號成立，

m+\

Ar

所以當商取最小值時，〃，坨T.故答案為：V3-1,

［方法二］:建系法

令BD二t,以D為原點，0C為x軸，建立平面直角坐標系.

則C(2t,0),A(1,>/3),B(-t,0)

,￡=(2一)：+3=4i4=4一_

A/?+l)-+3廠+2/+4(z+1)+_3_

')t+\

當且僅當7+1=#,即5。=6-耐等號成立。

［方法三］:余弦定理

設BD=x,CD=2x.由余弦定理得

c2=x2+4+2%,,,

,,,,「，，:.2c~+b-=12+6x，

b~=4+4x--4X

c2=x2+4+2x

.-.2r+/?2=12+6x2,

h2=4+4x2-4.v

令生』

則2c2+re2=12+6x2?

AH

2r12+6x2124-6x2

+2=-----；—=------------r2>4-2x/3.

c~x~+2x+4

當且僅當川二合，即釬石+i時等號成立.

［方法四1：判別式法

設用）=x,則CD=2x

在Z\ABD中，AB?=BD2+AD2-2BDAOcosZADB=f+4+2x，

在^ACD中，AC2=CD：+AD1-2CDAOcosZADC=4x2+4-4x，

AC~4x"+4-4.r!4x~+4-4x

所以一r=---------，記/--------

AB~x-+4+2xx~+4+2x

fjiiJ（4-r）x2-（4+2/）x+（4-4r）=0

由方程有解得：A=（4+2r）2-4（4-/）（4-4r）＞0

即『-81+4W0，解得：4-2限Y4+26

所以」=4一26,此時人尹」6-1

4-t

所以當繪取最小值時，x=6-\，即BZ）=G-1.

AB

16.（2021?企國?【卷統(tǒng)考高考真題）某校學生在研究民間剪紙藝術時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱

軸杷紙對折，規(guī)格為20dmxl2dm的長方形紙，對折1次共可以得到lOdmxl2dm,20dmx6dm兩種規(guī)格的

圖形，它們的面積之和S=240dm。對折2次共可以得到5dmxl2dm,10dmx6dm,20dmx3dm三種規(guī)格

的圖形，它們的面積之和S?=180dm：以此類推，則對折4次表可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為；如

果對折〃次，那么丑&=dm2.

￡?1

-we..15（3+〃）

【答案】5720

【分析】（1）按對折列舉即可；（2）根據(jù)規(guī)律可得S“，再根據(jù)錯位相減法得結果.

【解析】（1）由對折2次共可以得到5dmxl2dm,10dmx6dm,20dmx3dm三種規(guī)格的圖形，

所以對著三次的結果有：：xl2,5x6,10x3；20x；,共4種不同規(guī)格（單位dm?）：

故對折4次可得到如下規(guī)格：^5x12,|5x6,5x3,10x]3,20x（3,共5種不同規(guī)格；

（2）由于每次對著后的圖形的面積都減小為原來的一半，故各次對著后的圖形，

不論規(guī)格如何，其面枳成公比為g的等比數(shù)列，首項為120（出/）,

第〃次對折后的圖形面積為120x（gJI

對于第n此對折后的圖形的規(guī)格形狀種數(shù)，根據(jù)（1）的過程和結論，

猜想為〃+i種（證明從略），故得猜想邑」2r2+1）,

120x2120x3120x4120(/1+1)

設S=Z'=2。++L+

*=12"一’

則：5=120x2120x3120〃1205+1)

++^~+-2"----'

2'

120(〃+1)60

-S=240+120[-+4-++120(/2+1)

兩式作差得:4^=240+一

2U222"

1-----

2

120120(〃+1)_360120(〃+3)

=360一聲一

2〃2〃

240(/2+3)”八15(n+3)

因止匕，5=720

2"2“一4

15(〃+3)

故答案為：5；720――3r

四、解答題：本題共6小題,共70分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。

17.(10分)

（2022?全國卷統(tǒng)考高考真題）已知｛q｝為等差數(shù)列，｛仇｝是公比為2的等比數(shù)列，且

（1）證明：4=。；

（2）求集合｛=品十%,1工m<500｝中元素個數(shù).

【答案】（1）證明見解析；（2）9.

【分析】（1）設數(shù)列｛4｝的公差為d,根據(jù)題意列出方程組即可證出;

（2）根據(jù)題意化簡可得川=2卜2,即可解出.

【解析】（I）設數(shù)列｛4｝的公差為d.

a.+d-2b.=a,+2d-4bl/

所以.「〃一紇18Mq+3辦即可解得—所以原命題得證.

(2)由(1)知，b1=a、=；,所以4=4+4X2*T=4+("?-1"+4,

即2i=2〃z,亦即〃7=2-41,500],解得24<10,

所以滿足等式的解A=2,3,4,,10,

故集合卜也=4+%/。區(qū)500｝中的元素個數(shù)為10-2+1=9.

18.(12分)

（2023?北京?統(tǒng)考高考真題）如圖，在三楂錐P—A4c中，PA_L平面A5C,PA=AB=8C=1,PC=+.

（1）求證：8C工平面以8；

（2）求二面角A—PC-3的大小.

【答案】（1）證明見解析；（2）y

【分析】（1）先由線面垂直的性質(zhì)證得尸A_L8C,再利用勾股定理證得3C_L依，從而利用線面垂直的判

定定理即可得證；

（2）結合（1）中結論，建立空間直角坐標系，分別求得平面PAC與平面尸伙?的法向量，再利用空間向量

夾角余弦的坐標表示即可得解.

【解析】⑴因為尸A_L平面A8cBeu平面48C,

所以。4_L〃C,同理

所以二Q48為直角三角形，

又因為尸8=，一不+人）=近,BC=\,PC=y/3,

所以。82+8。2=。02,則二PBC為直角三角形，故8C_LP8,

又因為3clp4,PA\PB=P,所以BC/平面PAR

（2）由（1）BCJ.平面以8,又A8u平面PAN,則8C_L/W,

以A為原點，A8為“軸，過A且與8C平行的直線為＞軸，”為z軸,

建立空間直角坐標系，如圖，

則A(0,0,0),P(0,0』).C(l,1,0),4(1,0,0),

所以AP=(0,0,1),AC=(1,1,0),BC=(0,1,0),PC=(1,1,-1),

設平面PAC的法向量為〃z=(X,y,z?),

m-AP=0Z[=0,

則，即]

m-AC-0x+y=0,

令芭=1,則y=T,所以機=（1,一1,0）,

n-BC=0），2=°

設平面P8C的法向量為〃=(工2，%，22)，則，，即《

n-PC=0x2+y2-z2=0

令9=1，則Z2=l,所以〃=（1,0,1）,

/\m-n\1

所以cos

乂因為二面角A-PC-4為銳二面角，所以二面角4-夕。一4的大小為'.

19.(12分)

(2023?全國?1統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)〃x)=a(e'+a)-x.

(1)討論的單調(diào)性；

3

(2)證明：當a>0時，/(x)>21nt/+-.

【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析

【分析】(1)先求導，再分類討論々，()勺々>0兩種情況，結合導數(shù)y函數(shù)單調(diào)性的關系即可得解；

(2)方法一：結合(I)中結論，將問題轉化為/-3一皿?！?。的恒成立問題，

構造函數(shù)g(a)=/-g-ln“a>0),利用導數(shù)證得屋。)〉0即可.

方法二：構造函數(shù)人(x)=e'-x-l,證得e'Nx+1,從而得到了⑴2x+lna+1+/-x,

進而將問題轉化為片—g—In。>0的恒成立問題，由此得證.

【解析】(1)因為/。)=。佇+〃)-%,定義域為R,所以/'(》)=止'-1,

當時，由于e、>0,則ae'YO,故/'(6=優(yōu)'-1<0恒成立，所以/(可在R上單調(diào)遞減:

當〃>0時，令r(x)=ae'—l=0,解得x=-lna,

當.tv-Ina時，/'⑴<0,則/(x)在(Y?,Tna)上單調(diào)遞減：

當x>7na時，f\x)>0,則/(*)在(—hw,”)上單調(diào)遞增；

綜上:當時，f(x)在R上單調(diào)遞減;

當〃>0時，/(X)在(70,Tn上單調(diào)遞減，/(X)在(-Ina,收)上單調(diào)遞增.

ln<J2

(2)方法一：由(I)得，f(x)n.n=/(-In?)=?(e"+?)+In?=1+a+\na,

i31

要證/@)>21na+二，即證l+a2+ina>21na+-,即證/——lna>0恒成立,

222

令g(a)="-《-In””。)，則/(a)=2a-L=至__1,

2aa

令/(a)<0,則0<〃<曰；令<(a)>0,則a>當；

所以g(。)在上單調(diào)遞減，在母+81:單調(diào)遞增，

所以4叱.(用=(用-1-,n2f-=，n^>0.

則g(a)>0恒成立,

3

所以當a>0時，/(x)>21na+5恒成立，證畢.

方法二：令〃(x)=e-x—1,則“(x)=e=1,

由于尸e，在R上單調(diào)遞增，所以“(x)=e、-1在R上單調(diào)遞增，

又〃(0)=犬-1=0,所以當x<0時，”(力<0；當x>0時,Az(x)>0；

所以〃(力在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,y)上單詭遞增，

故〃(X)2/7(O)=O,則e-x+l,當且僅當x=0時，等號成立，

因為/(x)=a(e'+a)-x=ae'+a2-x=e,+lnw+a2-x>x+\na+\+a2-x,

當且僅當x+lna=0,即x=-lna時，等號成立，

33i

所以要證/'(x)>21na+-,印證x+lna+l+/-x>21na+-,即證/——\na>0,

-222

令g(a)=/-^--lna(67>0),貝ijg，(a)=2a」=+——-,

2aa

令g〈a)vO,則()<4〈等；令g〈a)>0,貝卜/>當；

所以g⑷在0,孝|上單調(diào)遞減，在(日,+8上單調(diào)遞增，

所以g（〃）min=g（用=（用-^-ln^=lnV2>0,則g(