2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)《圓》解答題專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)四（含答案）

2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)《圓》解答題專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)四LISTNUMOutlineDefault\l3如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的切線(xiàn)，切點(diǎn)為C，BE⊥CD，垂足為E，連接AC、BC．(1)求證：BC平分∠ABE；(2)若∠A＝60°OA＝4，求CE的長(zhǎng)．LISTNUMOutlineDefault\l3如圖，已知⊙O的直徑AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分線(xiàn)交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E．(1)求證：DE是⊙O的切線(xiàn)．(2)求DE的長(zhǎng)．LISTNUMOutlineDefault\l3如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠ABC＝45°，OC∥AD，AD交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于D，AB交OC于E.(1)求證：AD是⊙O的切線(xiàn)；(2)若⊙O的直徑為6，線(xiàn)段BC＝2，求∠BAC的正弦值.LISTNUMOutlineDefault\l3如圖，AC是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，連接PA，PB，AB，已知∠PBA＝∠C．⑴求證：PB是⊙O的切線(xiàn)；⑵連接OP，若OP∥BC，且OP＝8，⊙O的半徑為3，求BC的長(zhǎng)．LISTNUMOutlineDefault\l3如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線(xiàn)，經(jīng)過(guò)A、D兩點(diǎn)的圓的圓心O恰好落在AB上，⊙O分別與AB、AC相交于點(diǎn)E、F．(1)判斷直線(xiàn)BC與⊙O的位置關(guān)系并證明；(2)若⊙O的半徑為2，AC＝3，求BD的長(zhǎng)度．LISTNUMOutlineDefault\l3如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑作圓O，分別交BC于點(diǎn)D，交CA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AC于點(diǎn)H，連接DE交線(xiàn)段OA于點(diǎn)F．(1)求證：DH是圓O的切線(xiàn)；(2)若A為EH的中點(diǎn)，求EF：DF的值；(3)若EA＝EF＝1，求圓O的半徑．LISTNUMOutlineDefault\l3如圖，以O(shè)為圓心的弧BD的度數(shù)為60°，∠BOE＝45°，DA⊥OB于點(diǎn)A，EB⊥OB于點(diǎn)B.(1)求的值；(2)若OE與弧BD交于點(diǎn)M，OC平分∠BOE，連接CM，說(shuō)明：CM是⊙O的切線(xiàn)；(3)在(2)的條件下，若BC＝2，求tan∠BCO的值.LISTNUMOutlineDefault\l3如圖，在△ABC中，以BC為直徑的圓交AC于點(diǎn)D，∠ABD＝∠ACB．(1)求證：AB是圓的切線(xiàn)；(2)若點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，已知BE＝4，tan∠AEB＝eq\f(5,3)，AB：BC＝2：3，求圓的直徑．LISTNUMOutlineDefault\l3如圖，△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，且DA＝DC，過(guò)A，B，D三點(diǎn)作⊙O，AE是⊙O的直徑，連接DE．(1)求證：AC是⊙O的切線(xiàn)；(2)若sinC＝eq\f(4,5)，AC＝12，求⊙O的直徑．LISTNUMOutlineDefault\l3如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，AB經(jīng)過(guò)圓心O，且與小圓相交于點(diǎn)A，與大圓相交于點(diǎn)B．小圓的切線(xiàn)AC與大圓相交于點(diǎn)D，且CO平分∠ACB．(1)試判斷BC所在直線(xiàn)與小圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)試判斷線(xiàn)段AC、AD、BC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)若AB＝8，BC＝10，求大圓與小圓圍成的圓環(huán)的面積．

LISTNUMOutlineDefault\l3\s0答案LISTNUMOutlineDefault\l3(1)證明：∵CD是⊙O的切線(xiàn)，∴OC⊥DE，而B(niǎo)E⊥DE，∴OC∥BE，∴∠OCB＝∠CBE，而OB＝OC，∴∠OCB＝∠CBO，∴∠OBC＝∠CBE，即BC平分∠ABE；(2)解：∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，∴BC＝4eq\r(3)，∵∠OBC＝∠CBE＝30°，在Rt△CBE中，CE＝eq\f(1,2)BC＝2eq\r(3)．LISTNUMOutlineDefault\l3證明：(1)連接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠DAO，∴∠ODA＝∠DAE，∴OD∥AE，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O切線(xiàn)．(2)過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AC于點(diǎn)F，∴AF＝CF＝3，∴OF＝4．∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°，∴四邊形OFED是矩形，∴DE＝OF＝4．LISTNUMOutlineDefault\l3(1)證明：連接OA，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝2∠ABC＝90°，∴OA⊥OC，又∵AD∥OC，∴OA⊥AD，∴AD是⊙O的切線(xiàn)；(2)延長(zhǎng)CO交圓O于F，連接BF.∵∠BAC＝∠BFC，∴sin∠BAC＝sin∠BFC＝eq\f(1,3).LISTNUMOutlineDefault\l3證明：⑴如圖所示，連接OB.∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC＝90°，∠C＋∠BAC＝90°.∵OA＝OB，∴∠BAC＝∠OBA.∵∠PBA＝∠C，∴∠PBA＋∠OBA＝90°，即PB⊥OB.∴PB是⊙O的切線(xiàn)．⑵解：⊙O的半徑為3，∴OB＝3，AC＝6．∵OP∥BC，∴∠BOP＝∠OBC＝∠C.又∵∠ABC＝∠PBO＝90°，∴△ABC∽△PBO，∴即BC＝2.25．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)BC與⊙O相切．證明：連接OD．∵AD是∠BAC的平分線(xiàn)，∴∠BAD＝∠CAD．又∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA．∴∠CAD＝∠ODA．∴OD∥AC．∴∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC．又∵BC過(guò)半徑OD的外端點(diǎn)D，∴BC與⊙O相切．(2)由(1)知OD∥AC．∴△BDO∽△BCA．∴OB：AB＝OD：AC．∵⊙O的半徑為2，∴DO＝OE＝2，AE＝4．∴(BE＋2)：(BE＋4)＝2：3．∴BE＝2．∴BO＝4，∴BD＝2eq\r(3)．LISTNUMOutlineDefault\l3證明：(1)連接OD，如圖1，∵OB＝OD，∴△ODB是等腰三角形，∠OBD＝∠ODB①，在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB②，由①②得：∠ODB＝∠OBD＝∠ACB，∴OD∥AC，∵DH⊥AC，∴DH⊥OD，∴DH是圓O的切線(xiàn)；(2)如圖2，在⊙O中，∵∠E＝∠B，∴由(1)可知：∠E＝∠B＝∠C，∴△EDC是等腰三角形，∵DH⊥AC，且點(diǎn)A是EH中點(diǎn)，設(shè)AE＝x，EC＝4x，則AC＝3x，連接AD，則在⊙O中，∠ADB＝90°，AD⊥BD，∵AB＝AC，∴D是BC的中點(diǎn)，∴OD是△ABC的中位線(xiàn)，∴OD∥AC，OD＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)×3x＝eq\f(3,2)x，∵OD∥AC，∴∠E＝∠ODF，在△AEF和△ODF中，∵∠E＝∠ODF，∠OFD＝∠AFE，∴△AEF∽△ODF，(3)如圖2，設(shè)⊙O的半徑為r，即OD＝OB＝r，∵EF＝EA，∴∠EFA＝∠EAF，∵OD∥EC，∴∠FOD＝∠EAF，則∠FOD＝∠EAF＝∠EFA＝∠OFD，∴DF＝OD＝r，∴DE＝DF＋EF＝r＋1，∴BD＝CD＝DE＝r＋1，在⊙O中，∵∠BDE＝∠EAB，∴∠BFD＝∠EFA＝∠EAB＝∠BDE，∴BF＝BD，△BDF是等腰三角形，∴BF＝BD＝r＋1，∴AF＝AB﹣BF＝2OB﹣BF＝2r﹣(1＋r)＝r﹣1，在△BFD和△EFA中，綜上所述，⊙O的半徑為eq\f(1＋\r(5),2).LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵EB⊥OB，∠BOE＝45°，∴∠E＝∠EOB，∴BE＝BO，在Rt△OAD中，＝sin∠DOA＝，∴＝，∴＝＝；(2)∵OC平分∠BOE，∴∠BOC＝∠MOC，在△BOC和△MOC中，，∴△BOC≌△MOC，∴∠OMC＝∠OBC＝90°，∴CM是⊙O的切線(xiàn)；(3)∵△BOC≌△MOC，∴CM＝CB＝2，∵∠E＝∠EOB＝45°，∴CE＝eq\r(2)CM＝2eq\r(2)，∴BE＝2＋2eq\r(2)，∴OB＝2＋2eq\r(2)，∴tan∠BCO＝eq\r(2)＋1.LISTNUMOutlineDefault\l3證明：(1)∵BC是直徑，∴∠BDC＝90°，∴∠ACB＋∠DBC＝90°，∵∠ABD＝∠ACB，∴∠ABD＋∠DBC＝90°∴∠ABC＝90°∴AB⊥BC，∴AB是圓的切線(xiàn)．在RT△AEB中，tan∠AEB＝eq\f(5,3)，∴＝eq\f(5,3)，即AB＝eq\f(5,3)BE＝eq\f(20,3)，在RT△ABC中，＝eq\f(2,3)，∴BC＝eq\f(3,2)AB＝10，∴圓的直徑為10．LISTNUMOutlineDefault\l3證明：(1)∵AB＝AC，AD＝DC，∴∠C＝∠B，∠1＝∠C，∴∠1＝∠B，又∵∠E＝∠B，∴∠1＝∠E，∵AE是⊙O的直徑，∴∠ADE＝90°，∴∠E＋∠EAD＝90°，∴∠1＋∠EAD＝90°，即∠EAC＝90°，∴AE⊥AC，∴AC是⊙O的切線(xiàn)；(2)過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F，如圖，∵DA＝DC，∴CF＝eq\f(1,2)AC＝3，在Rt△CDF中，∵sinC＝＝，設(shè)DF＝4x，DC＝5x，∴CF＝3x，∴3x＝3，解得x＝1，∴DC＝5，∴AD＝5，∵∠ADE＝∠DFC＝90°，∠E＝∠C，∴△ADE∽△DFC，∴＝，即＝，解得AE＝eq\f(25,4)，即⊙O的直徑為eq\f(25,4)．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)BC所在直線(xiàn)與小圓相切．理由如下：過(guò)圓心O作OE⊥BC，垂足為E；∵AC是小圓的切線(xiàn)，AB經(jīng)過(guò)圓心O，∴OA⊥AC；又∵CO平分∠ACB，OE⊥BC，∴OE＝OA，∴BC所在直線(xiàn)是小圓的切線(xiàn)．(2)AC＋AD＝BC．理由如下：連接OD