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文檔簡介

2025屆上海洋涇中學高三最后一模數(shù)學試題注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.圓柱被一平面截去一部分所得幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.2.在邊長為1的等邊三角形中,點E是中點,點F是中點,則()A. B. C. D.3.已知集合,則()A. B.C. D.4.下列不等式成立的是()A. B. C. D.5.已知雙曲線C:=1(a>0,b>0)的右焦點為F,過原點O作斜率為的直線交C的右支于點A,若|OA|=|OF|,則雙曲線的離心率為()A. B. C.2 D.+16.已知函數(shù)的最小正周期為,為了得到函數(shù)的圖象,只要將的圖象()A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度7.某學校調查了200名學生每周的自習時間(單位:小時),制成了如圖所示的頻率分布直方圖,其中自習時間的范圍是17.5,30],樣本數(shù)據(jù)分組為17.5,20),20,22.5),22.5,25),25,27.5),27.5,30).根據(jù)直方圖,這200名學生中每周的自習時間不少于22.5小時的人數(shù)是()A.56 B.60 C.140 D.1208.設全集,集合,則=()A. B. C. D.9.下列說法正確的是()A.“若,則”的否命題是“若,則”B.“若,則”的逆命題為真命題C.,使成立D.“若,則”是真命題10.已知圓關于雙曲線的一條漸近線對稱,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.11.已知雙曲線:的左、右兩個焦點分別為,,若存在點滿足,則該雙曲線的離心率為()A.2 B. C. D.512.“且”是“”的()A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,得到一個偶函數(shù)圖象,則________.14.已知關于的不等式對于任意恒成立,則實數(shù)的取值范圍為_________.15.等邊的邊長為2,則在方向上的投影為________.16.已知集合,,則__________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)(),不等式的解集為.(1)求的值;(2)若,,,且,求的最大值.18.(12分)在數(shù)列中,,(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若存在,使得成立,求實數(shù)的最小值19.(12分)已知,函數(shù)的最小值為1.(1)證明:.(2)若恒成立,求實數(shù)的最大值.20.(12分)在△ABC中,分別為三個內角A、B、C的對邊,且(1)求角A;(2)若且求△ABC的面積.21.(12分)在直角坐標系中,圓的參數(shù)方程為:(為參數(shù)),以坐標原點為極點,以軸的正半軸為極軸建立極坐標系,且長度單位相同.(1)求圓的極坐標方程;(2)若直線:(為參數(shù))被圓截得的弦長為,求直線的傾斜角.22.(10分)在多面體中,四邊形是正方形,平面,,,為的中點.(1)求證:;(2)求平面與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

三視圖對應的幾何體為如圖所示的幾何體,利用割補法可求其體積.【詳解】根據(jù)三視圖可得原幾何體如圖所示,它是一個圓柱截去上面一塊幾何體,把該幾何體補成如下圖所示的圓柱,其體積為,故原幾何體的體積為.故選:B.【點睛】本題考查三視圖以及不規(guī)則幾何體的體積,復原幾何體時注意三視圖中的點線關系與幾何體中的點、線、面的對應關系,另外,不規(guī)則幾何體的體積可用割補法來求其體積,本題屬于基礎題.2、C【解析】

根據(jù)平面向量基本定理,用來表示,然后利用數(shù)量積公式,簡單計算,可得結果.【詳解】由題可知:點E是中點,點F是中點,所以又所以則故選:C【點睛】本題考查平面向量基本定理以及數(shù)量積公式,掌握公式,細心觀察,屬基礎題.3、B【解析】

先由得或,再計算即可.【詳解】由得或,,,又,.故選:B【點睛】本題主要考查了集合的交集,補集的運算,考查學生的運算求解能力.4、D【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調性和正余弦函數(shù)的圖象可確定各個選項的正誤.【詳解】對于,,,錯誤;對于,在上單調遞減,,錯誤;對于,,,,錯誤;對于,在上單調遞增,,正確.故選:.【點睛】本題考查根據(jù)初等函數(shù)的單調性比較大小的問題;關鍵是熟練掌握正余弦函數(shù)圖象、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調性.5、B【解析】

以為圓心,以為半徑的圓的方程為,聯(lián)立,可求出點,則,整理計算可得離心率.【詳解】解:以為圓心,以為半徑的圓的方程為,聯(lián)立,取第一象限的解得,即,則,整理得,則(舍去),,.故選:B.【點睛】本題考查雙曲線離心率的求解,考查學生的計算能力,是中檔題.6、A【解析】

由的最小正周期是,得,即,因此它的圖象向左平移個單位可得到的圖象.故選A.考點:函數(shù)的圖象與性質.【名師點睛】三角函數(shù)圖象變換方法:7、C【解析】

試題分析:由題意得,自習時間不少于小時的頻率為,故自習時間不少于小時的頻率為,故選C.考點:頻率分布直方圖及其應用.8、A【解析】

先求得全集包含的元素,由此求得集合的補集.【詳解】由解得,故,所以,故選A.【點睛】本小題主要考查補集的概念及運算,考查一元二次不等式的解法,屬于基礎題.9、D【解析】選項A,否命題為“若,則”,故A不正確.選項B,逆命題為“若,則”,為假命題,故B不正確.選項C,由題意知對,都有,故C不正確.選項D,命題的逆否命題“若,則”為真命題,故“若,則”是真命題,所以D正確.選D.10、C【解析】

將圓,化為標準方程為,求得圓心為.根據(jù)圓關于雙曲線的一條漸近線對稱,則圓心在漸近線上,.再根據(jù)求解.【詳解】已知圓,所以其標準方程為:,所以圓心為.因為雙曲線,所以其漸近線方程為,又因為圓關于雙曲線的一條漸近線對稱,則圓心在漸近線上,所以.所以.故選:C【點睛】本題主要考查圓的方程及對稱性,還有雙曲線的幾何性質,還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.11、B【解析】

利用雙曲線的定義和條件中的比例關系可求.【詳解】.選B.【點睛】本題主要考查雙曲線的定義及離心率,離心率求解時,一般是把已知條件,轉化為a,b,c的關系式.12、A【解析】

畫出“,,,所表示的平面區(qū)域,即可進行判斷.【詳解】如圖,“且”表示的區(qū)域是如圖所示的正方形,記為集合P,“”表示的區(qū)域是單位圓及其內部,記為集合Q,顯然是的真子集,所以答案是充分非必要條件,故選:.【點睛】本題考查了不等式表示的平面區(qū)域問題,考查命題的充分條件和必要條件的判斷,難度較易.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

根據(jù)平移后關于軸對稱可知關于對稱,進而利用特殊值構造方程,從而求得結果.【詳解】向左平移個單位長度后得到偶函數(shù)圖象,即關于軸對稱關于對稱即:本題正確結果:【點睛】本題考查根據(jù)三角函數(shù)的對稱軸求解參數(shù)值的問題,關鍵是能夠通過平移后的對稱軸得到原函數(shù)的對稱軸,進而利用特殊值的方式來進行求解.14、【解析】

先將不等式對于任意恒成立,轉化為任意恒成立,設,求出在內的最小值,即可求出的取值范圍.【詳解】解:由題可知,不等式對于任意恒成立,即,又因為,,對任意恒成立,設,其中,由不等式,可得:,則,當時等號成立,又因為在內有解,,則,即:,所以實數(shù)的取值范圍:.故答案為:.【點睛】本題考查不等式恒成立問題,利用分離參數(shù)法和構造函數(shù),通過求新函數(shù)的最值求出參數(shù)范圍,考查轉化思想和計算能力.15、【解析】

建立直角坐標系,結合向量的坐標運算求解在方向上的投影即可.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系,由題意可知:,,,則:,,且,,據(jù)此可知在方向上的投影為.【點睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的坐標運算,向量投影的定義與計算等知識,意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.16、【解析】

解一元二次不等式化簡集合,再進行集合的交運算,即可得到答案.【詳解】,,.故答案為:.【點睛】本題考查一元二次不等式的求解、集合的交運算,考查運算求解能力,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)32【解析】

利用絕對值不等式的解法求出不等式的解集,得到關于的方程,求出的值即可;由知可得,,利用三個正數(shù)的基本不等式,構造和是定值即可求出的最大值.【詳解】(1)∵,,所以不等式的解集為,即為不等式的解集為,∴的解集為,即不等式的解集為,化簡可得,不等式的解集為,所以,即.(2)∵,∴.又∵,,,∴,當且僅當,等號成立,即,,時,等號成立,∴的最大值為32.【點睛】本題主要考查含有兩個絕對值不等式的解法和三個正數(shù)的基本不等式的靈活運用;其中利用構造出和為定值即為定值是求解本題的關鍵;基本不等式取最值的條件:一正二定三相等是本題的易錯點;屬于中檔題.18、(1);(2)【解析】

(1)由得,兩式相減可得是從第二項開始的等比數(shù)列,由此即可求出答案;(2),分類討論,當時,,作商法可得數(shù)列為遞增數(shù)列,由此可得答案,【詳解】解:(1)因為,,兩式相減得:,即,是從第二項開始的等比數(shù)列,∵∴,則,;(2),當時,;當時,設遞增,,所以實數(shù)的最小值.【點睛】本題主要考查地推數(shù)列的應用,屬于中檔題.19、(1)2;(2)【解析】分析:(1)將轉化為分段函數(shù),求函數(shù)的最小值(2)分離參數(shù),利用基本不等式證明即可.詳解:(Ⅰ)證明:,顯然在上單調遞減,在上單調遞增,所以的最小值為,即.(Ⅱ)因為恒成立,所以恒成立,當且僅當時,取得最小值,所以,即實數(shù)的最大值為.點睛:本題主要考查含兩個絕對值的函數(shù)的最值和不等式的應用,第二問恒成立問題分離參數(shù),利用基本不等式求解很關鍵,屬于中檔題.20、(1);(2).【解析】

(1)整理得:,再由余弦定理可得,問題得解.(2)由正弦定理得:,,,再代入即可得解.【詳解】(1)由題意,得,∴;(2)由正弦定理,得,,∴.【點睛】本題主要考查了正、余弦定理及三角形面積公式,考查了轉化思想及化簡能力,屬于基礎題.21、(1);(2)或【解析】

(1)消去參數(shù)可得圓的直角坐標方程,再根據(jù),,即可得極坐標方程;(2)寫出直線的極坐標方程為,代入圓的極坐標方程,根據(jù)極坐標的意義列出等式解出即可.【詳解】(1)圓:,消去參數(shù)得:,即:,∵,,.∴,.(2)∵直線:的極坐標方程為,當時.即:,∴或.∴或,∴直線的傾斜角為或.【點睛】本題主要考查了參數(shù)方程化為普通方程,直角坐標方程化為極坐標方程以及極坐標的幾何意義,屬于中檔題.22、(1)證明見解析(2)【解析】

(1)首先證明,,,∴平面.即可得到平面,.(2)以為坐標原點,,,所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直

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