湖北省武漢市武昌區(qū)2023屆高三上學(xué)期數(shù)學(xué)元月質(zhì)量檢測(cè)試卷

湖北省武漢市武昌區(qū)2023屆高三上學(xué)期數(shù)學(xué)元月質(zhì)量檢測(cè)試卷姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三四總分評(píng)分一、單選題1．若集合A={x∈N?|x是4和10的公倍數(shù)}，B={x∈R|A．? B．{?20C．{20} D．{202．若復(fù)數(shù)z滿足(z?3)(z?5)+2=0，則z?zA．4 B．17 C．16 D．173．已知tanα=12A．?22 B．?2 C．2 4．紅薯于1593年被商人陳振龍引入中國(guó)，也叫甘薯、番薯等.紅薯耐旱耐脊、產(chǎn)量豐富，曾于數(shù)次大饑荒年間成為不少人的“救命糧食”，現(xiàn)因其生食多汁、熟食如蜜，成為人們喜愛的美食甜點(diǎn).小澤和弟弟在網(wǎng)紅一條街買了一根香氣撲鼻的烤紅薯，準(zhǔn)備分著吃，如圖，該紅薯可近似看作三部分：左邊部分是半徑為R的半球；中間部分是底面半徑為R、高為3R的圓柱；右邊部分是底面半徑為R、高為R的圓錐，若小澤準(zhǔn)備從中間部分的甲、乙、丙、丁四個(gè)位置選擇一處將紅薯掰成兩塊，且使得兩塊的體積最接近，則小澤選擇的位置是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁5．在△ABC中，AB=2，BC=1，∠ABC=π3，若點(diǎn)M滿足BM=2A．12 B．23 C．1 6．若a=1011?e11A．b<c<a B．a(chǎn)<b<c C．c<b<a D．a(chǎn)<c<b7．已知隨機(jī)事件A，B，C滿足0<P(A)<1，0<P(B)<1，0<P(C)<1，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A．不可能事件Φ與事件A互斥B．必然事件Ω與事件A相互獨(dú)立C．P(A∣C)=P(AB∣C)+P(AD．若P(A|B)=P(8．已知A是橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上頂點(diǎn)，點(diǎn)B，CA．(0，33] B．(0，6二、多選題9．已知數(shù)列{an}的前nA．{Sn}是遞減數(shù)列 C．a(chǎn)n<0 10．在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)E在線段A．三棱錐D1B．若直線EF//平面ABC．不存在點(diǎn)F使平面DEF⊥平面BD．存在點(diǎn)F使直線EF與平面ABCD所成角為π11．已知點(diǎn)P是曲線C：x2+y2=|x|+|y|上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)QA．原點(diǎn)在曲線C上B．曲線C圍成的圖形的面積為π+1C．過Q(0，D．滿足P到直線y=x+3的距離為3212．聲音中包含著正弦函數(shù)，周期函數(shù)產(chǎn)生了美妙的音樂.若我們聽到的聲音的函數(shù)是f(x)=1A．f(x)的最小正周期是π B．f(π2)C．x=kπ(k∈Z)是f(x)的零點(diǎn) D．f(x)在(3π三、填空題13．若平面上有7條直線，其中沒有兩條平行，也沒有三條交于一點(diǎn)，則共有個(gè)交點(diǎn)（用數(shù)字作答）.14．若圓x2+y2+6x=0與圓x15．已知(1+x)n的展開式中第9項(xiàng)、第10項(xiàng)、第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，則正整數(shù)16．某校采用分層隨機(jī)抽樣采集了高一、高二、高三年級(jí)學(xué)生的身高情況，部分調(diào)查數(shù)據(jù)如下：項(xiàng)目樣本量樣本平均數(shù)樣本方差高一100167120高二100170150高三100173150則總的樣本方差s2=四、解答題17．已知a，b，c分別為△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且cos（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面積為3，求b，c.18．已知數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=1，a（1）求證：a（2）求使得|akS19．“惟楚有材”牌坊地處明清貢院舊址，象征著荊楚仕子朱衣點(diǎn)額的輝煌盛況和江城文脈的源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，某學(xué)生隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了來此參觀的100名游客，其中40名女性中有30名在“惟楚有材”牌坊下拍照，60名男性中有20名在“惟楚有材”牌坊下拍照.附：K2=P(00000k236710（1）用女性拍照的頻率估計(jì)概率，若再來4名女性（是否拍照互相之間不影響）中至少有2名在“惟楚有材”牌坊下拍照的概率；（2）根據(jù)小概率值α=0.20．在三棱錐P?ABC中，PC=AB=AC=22BC=1，PC⊥平面ABC，點(diǎn)M是棱PA上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是棱BC（1）當(dāng)x=22時(shí)，求證：（2）當(dāng)MN的長(zhǎng)最小時(shí)，求二面角A?MN?C的余弦值21．已知點(diǎn)A(a，?1)是拋物線C：y2=2px(p>0)上一點(diǎn)，斜率為2的動(dòng)直線l交C于M，N（異于A）的兩點(diǎn)，直線（1）求拋物線C的方程；（2）若|MN|=5，求sin22．已知函數(shù)f(x)=ax與g(x)=loga（1）求g(x)在(1，（2）若a>1，h(x)=f(x)?g(x)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】由題意可知A={x|x=20k，k∈N?}，由(20k)2≤1000因此，A∩B={20}.故答案為：C.

【分析】根據(jù)交集的定義進(jìn)行運(yùn)算可得答案.2．【答案】D【解析】【解答】因?yàn)?z?3)(z?5)+2=0，所以z2?8z+17=0，所以所以z=4±i，當(dāng)z=4?i時(shí)，z=4+i，z?當(dāng)z=4+i時(shí)，z=4?i，z?所以z?z故答案為：D.

【分析】求解實(shí)系數(shù)一元二次方程可得z，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)，可得答案.3．【答案】D【解析】【解答】cosα故答案為：D

【分析】利用兩角和的余弦公式結(jié)合弦化切可求得答案.4．【答案】B【解析】【解答】若從甲處分為兩塊，則左側(cè)體積為23右側(cè)體積為πR2?3R+若從乙處分為兩塊，則左側(cè)體積為23右側(cè)體積為πR2?2R+若從丙處分為兩塊，則左側(cè)體積為23右側(cè)體積為πR3+若從丁處分為兩塊，則左側(cè)體積為23右側(cè)體積為13πR故從乙處掰成兩塊，體積最接近，故答案為：B.

【分析】分從甲處分為兩塊，從乙處分為兩塊，從丙處分為兩塊，從丁處分為兩塊四種情況，再結(jié)合圓柱和圓錐的體積公式可得答案.5．【答案】C【解析】【解答】AM=?=?=?1故答案為：C.

【分析】AM?6．【答案】A【解析】【解答】因?yàn)閍=1011?e11所以只需要比較e1110，e2令f(x)=ex?e?x(x>1)因?yàn)閤>1，所以ex>e，則f'(x)=e故f(1110)>f(1)=0，則e所以a=10令g(x)=e2ln因?yàn)?<x<e，所以e?x>0，g'(x)=e?(e?x)x>0故g(1110)<g(e)=0，即e所以b=10綜上：b<c<a.故答案為：A.

【分析】令f(x)=ex?e?x(x>1)，求導(dǎo)可得f(x)在(1，+∞)上單調(diào)性，可得a>c，令g(x)=e27．【答案】D【解析】【解答】因?yàn)椴豢赡苁录蹬c事件A不會(huì)同時(shí)發(fā)生，所以互斥，A符合題意；因?yàn)镻(所以P(AΩ)=P(因?yàn)锳B∪AB=A，且所以P(A∣C)=P(AB∣C)+P(AB例如，拋擲一枚骰子1次的試驗(yàn)，設(shè)事件B為出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)小于等于4，事件A為出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)小于等于2，則P(A|B)=P(A故答案為：D.

【分析】根據(jù)不可能事件、必然事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件的定義和條件概率公式逐項(xiàng)進(jìn)行判斷，可得答案.8．【答案】B【解析】【解答】由題意可得：A(0，∵直線AB的斜率存在且不為0，設(shè)為k，則直線AB：聯(lián)立方程y=kx+bx2a2+y2即點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為?2kb同理可得：點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2kba由題意可得：|AB|=|AC|，即1+k整理得：(|k|?1)[|k|由題意結(jié)合橢圓的對(duì)稱性可得：關(guān)于|k|的方程(|k|?1)[|k|當(dāng)|k|=1是方程|k|2+(1?a2b若b2a2=13，則當(dāng)|k|=1不是方程|k|2+(1?a2b∵a>b>0，則f(t)=t2+(1?∴Δ=(1?a2綜上所述：13≤b2a故答案為：B.

【分析】由題意可設(shè)直線AB：y=kx+b，與橢圓方程聯(lián)立解出點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，同理可得點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，利用|AB|=|AC|，并且對(duì)a分類討論即可求出橢圓9．【答案】A,B,C【解析】【解答】對(duì)于A，因?yàn)镾n=(故Sn+1?S所以{S對(duì)于B，當(dāng)n=1時(shí)，a1當(dāng)n≥2時(shí)，an經(jīng)檢驗(yàn)，a1=?1所以an故當(dāng)n∈N*時(shí)，an+1對(duì)于C，由B知an對(duì)于D，因?yàn)镾n=(所以Sn故答案為：ABC.

【分析】由Sn=(12)n?1得Sn+110．【答案】A,B【解析】【解答】A，連接A1D，如圖所示：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為因?yàn)锳1所以四邊形A1所以B1又B1C?平面ADD1A所以B1C∥平面即B1C∥所以直線B1C上的所有點(diǎn)到平面ADD所以點(diǎn)F到平面ADD1的高度為由S△AD所以VDA符合題意，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，設(shè)CF=λ因?yàn)辄c(diǎn)E在線段BD上，且BE=12BD，所以E則A(1，所以AD設(shè)平面AB1Dm⊥令c=1，則a=1，所以平面AB1D由C(0，1，所以CF=(x0所以CF=λ所以x0所以F(λ直線EF//平面AB1即EF?解得λ=12，當(dāng)F處于C點(diǎn)時(shí)，平面DEF即為平面ABCD，而在正方體中平面ABCD⊥平面BB故存在點(diǎn)，F(xiàn)使得平面DEF⊥平面BBC不符合題意，由B選項(xiàng)知EF=(λ?12，1所以DD1=(0設(shè)直線EF與平面ABCD所成角為θ，由線面角的性質(zhì)有：sinθ=|假設(shè)存在點(diǎn)F使直線EF與平面ABCD所成角為π3則sinπ即4λ因?yàn)棣?(?6)所以不存在點(diǎn)F使直線EF與平面ABCD所成角為π3D選項(xiàng)不正確，故答案為：AB.

【分析】連接A1D，四邊形A1B1CD為平行四邊形，根據(jù)線面平行可得B1C∥平面ADD1，直線B1C上的所有點(diǎn)到平面ADD11．【答案】A,C,D【解析】【解答】對(duì)于A：將原點(diǎn)坐標(biāo)O(0，0)代入，對(duì)于B：當(dāng)x>0，曲線C：x2即x2即(x?1第一象限內(nèi)曲線C與坐標(biāo)軸圍成的圖形的面積為12所以總面積為：π+24B不符合題意；由函數(shù)圖象知過Q(0，原點(diǎn)到直線y=x+3的距離為：d=|?1×0+1×0+3|(?1)2+12=32故答案為：ACD.

【分析】分類討論后，根據(jù)對(duì)稱性畫出函數(shù)圖象，逐項(xiàng)進(jìn)行判斷求解，可得答案.12．【答案】A,C,D【解析】【解答】對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)y=12sin函數(shù)y=14sin函數(shù)y=16sin6x的最小正周期為因此，函數(shù)f(x)的最小正周期是π，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)閒(π又因?yàn)閒(?π故f(π2)對(duì)于C選項(xiàng)，對(duì)任意的k∈Z，f(kπ)=1故x=kπ(k∈Z)是f(x)的零點(diǎn)，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，∵f(x)=1則f==cos當(dāng)3π4<x<π時(shí)，3π2<2x<2π，則cos2x>0所以，2x=7π4，可得當(dāng)3π4<x<7π8時(shí)，當(dāng)7π8<x<π時(shí)，f'因此，f(x)在(3π故答案為：ACD.

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的周期性可判斷A；f(π2)=0，f(?π12)<0，可判斷B；對(duì)任意的k∈Z，f(kπ)=0，可判斷C；對(duì)f(x)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)可得函數(shù)13．【答案】21【解析】【解答】因?yàn)槠矫嫔嫌?條直線，其中沒有兩條平行，也沒有三條交于一點(diǎn)，所以任意兩條直線確定一個(gè)交點(diǎn)，則共有C7故答案為：21.

【分析】每?jī)蓷l直線確定一個(gè)點(diǎn)，只要求出7條直線任取兩條的方法數(shù)即可.14．【答案】(?∞【解析】【解答】解：將圓x2+y2+6x=0化為標(biāo)準(zhǔn)形式得(x+3)將圓x2+y2?2my+m2因?yàn)閳Ax2+y所以|CD|>R+r，即9+m2>7，即m2>40所以，實(shí)數(shù)m的取值范圍是(?∞故答案為：(?∞

【分析】求出兩個(gè)圓的圓心坐標(biāo)和半徑，利用兩個(gè)圓的圓心距大于半徑和，即可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍.15．【答案】14或23【解析】【解答】因?yàn)?1+x所以2Cn9化簡(jiǎn)可得n2?37n+322=0，解得n=14故答案為：14或23

【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)求出各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，利用等差數(shù)列的定義列出方程解得正整數(shù)n的值.16．【答案】146【解析】【解答】由題意知，總的樣本平均數(shù)為x=∴總的樣本方差為：s=故答案為：146.

【分析】由分層抽樣后的樣本方差公式計(jì)算可得答案.17．【答案】（1）解：已知cosC+3sin故sinA由B=π?A?C，得：sinB=代入上式，于是3sin由C∈(0，π)，得sinC≠0，從而上式消去sin于是2sin(A?π6)=1，即sin（2）解：由△ABC的面積為3得：12bcsinA=3，代入由余弦定理得a2=b2+c2?2bccosA由①②解得b=c=2.【解析】【分析】(1)根據(jù)兩角和差的正弦公式以及正弦定理進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可求出∠A的大??；

(2)根據(jù)余弦定理及三角形的面積公式即可求出b，c.18．【答案】（1）證明：由anaaa?a累加得a于是an（2）解：由a1=a2=1，a進(jìn)而an?a由（1）可知an=S于是只需求使得1ak?1從而只需求使得ak<101最大的正整數(shù)由a1=a2=1，an=an?2+an?1，列舉得：a1=1，a2=1，a3=2結(jié)合數(shù)列{an}單調(diào)遞增，于是使得a【解析】【分析】（1）利用遞推關(guān)系式結(jié)合累加法可證得an=Sn?2+1；

（2）對(duì)任意n∈N?，an=an?2+a19．【答案】（1）解：由頻率估計(jì)概率可知：每名女性在“惟楚有材”牌坊下拍照的概率p=3則再來4名女性，其中2名女性在“惟楚有材”牌坊下拍照的概率為C43名女性“惟楚有材”牌坊下拍照的概率為C44名女性“惟楚有材”牌坊下拍照的概率為(3∴至少2名女性在“惟楚有材”牌坊下拍照的概率為27128（2）解：由已知可得列聯(lián)表如下：

男性女性合計(jì)拍照203050不拍照401050合計(jì)6040100零假設(shè)H0K2根據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，【解析】【分析】（1）根據(jù)n次獨(dú)立概率公式，可求出至少有2名在“惟楚有材”牌坊下拍照的概率；

（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算K220．【答案】（1）證明：在平面ABC內(nèi)過點(diǎn)C作CD⊥AC，使得點(diǎn)D與點(diǎn)B在AC同側(cè)，∵PC⊥平面ABC，CD?平面ABC，AC?平面ABC，∴PC⊥AC，PC⊥CD，則PC，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CD，則C(0，0，0)，由AB=AC=22BC得：A∴△ABC為等腰直角三角形，∴B(1，同理可得：△APC為等腰直角三角形，當(dāng)x=22時(shí)，AM=12AP，CN=∴M(12，0，12∴MN?CA（2）解：由（1）可得：A(1，0，0)，P(0，∴M(22x則MN∴當(dāng)x=22時(shí)，MN最小，∴M，∴M(12，∴CM=(12，0，設(shè)平面CMN的法向量為α=(則CM?α=12x1+1設(shè)平面AMN的法向量β=(則AM?β=?12x2+1∴|cos由圖形可知：二面角A?MN?C為銳二面角，∴二面角A?MN?C的余弦值為13【解析】【分析】（1）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CD，CP正方向?yàn)閤，y，z軸，可建立空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，利用向量法可證得MN⊥AC；21．【答案】（1）解：由直線MN的斜率為2，設(shè)直線MN：x=12y+m，聯(lián)立y2=2pxx=12y+mm>?p由韋達(dá)定理得：y1由直線AM，AN的傾斜角互補(bǔ)且M，N為不同兩點(diǎn)，故直線AM，AN的斜率均存在，分別記為kAM，則kAMy1+11代入y得：?2pm+pm?pa+12由點(diǎn)A(a，?1)是拋物線C：y2=2px(p>0)上一點(diǎn)，代入上式消去a得：(2?p)m+1整理得：(2?p)(m?p+12p)=0，故故拋物線方程為y（2）解：由（1）可得y1故|MN|=(1+故m=0，滿足Δ>0，于是M(0，0)，N(1，2)，cos∠MAN=因?yàn)?<∠MAN<π，故sin【解析】【分析】（1）設(shè)直線MN：x