廣東省清遠市2023屆高三上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷

廣東省清遠市2023屆高三上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、單選題1．復(fù)數(shù)(1+i)2A．3?i B．3+i C．?1+3i D．1+3i2．已知集合A={x|x(x?5)<0}，B={x|x>2}，M=A∩B，則（）A．4?M B．10∈M C．5∈M D．3．已知f(x)=x3g(x)為定義在RA．g(x)=(13C．g(x)=(134．古希臘的數(shù)學(xué)家阿基米德早在2200多年前利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.如圖，某種橢圓形鏡子按照實際面積定價，每平方米200元，小張要買的鏡子的外輪廓是長軸長為1.8米且離心率為53A．1356元 B．341元 C．339元 D．344元5．已知函數(shù)f(x)=sin(ωx?π3)(ω>0)的圖象關(guān)于點(π6A．{2} B．{8}C．{2，8} 6．在三棱錐A?BCD中，“三棱錐A?BCD為正三棱錐”是“AB⊥CD且AC⊥BD”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．已知P，Q為圓x2+y2=4A．3 B．2+32 C．68．如圖，已知OAB是半徑為2km的扇形，OA⊥OB，C是弧AB上的動點，過點C作CH⊥OA，垂足為H，某地區(qū)欲建一個風(fēng)景區(qū)，該風(fēng)景區(qū)由△AOC和矩形ODEH組成，且OH=2OD，則該風(fēng)景區(qū)面積的最大值為（）A．52km2 B．114k二、多選題9．某市經(jīng)濟開發(fā)區(qū)的經(jīng)濟發(fā)展取得階段性成效，為深入了解該區(qū)的發(fā)展情況，現(xiàn)對該區(qū)兩企業(yè)進行連續(xù)11個月的調(diào)研，得到兩企業(yè)這11個月利潤增長指數(shù)折線圖（如下圖所示），下列說法正確的是（）A．這11個月甲企業(yè)月利潤增長指數(shù)的平均數(shù)超過82%B．這11個月的乙企業(yè)月利潤增長指數(shù)的第70百分位數(shù)小于82%C．這11個月的甲企業(yè)月利潤增長指數(shù)較乙企業(yè)更穩(wěn)定D．在這11個月中任選2個月，則這2個月乙企業(yè)月利潤增長指數(shù)都小于82%的概率為410．我國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，問日增幾何?”其大意是：現(xiàn)有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走d里，九天他共行走了一千二百六十里，求d的值.關(guān)于該問題，下列結(jié)論正確的是（）A．d=15B．此人第三天行走了一百二十里C．此人前七天共行走了九百一十里D．此人有連續(xù)的三天共行走了三百九十里11．已知棱長為2的正方體ABCD?A1B1CA．所得的截面可以是五邊形B．所得的截面可以是六邊形C．該截面的面積可以為3D．所得的截面可以是非正方形的菱形12．設(shè)a=e0.02?1，b=A．b<a B．b<c C．d<b D．d<c三、填空題13．在平行四邊形ABCD中，E是線段BD的中點，若AB=mAD+nEC14．x2(2x?115．已知P為雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0，b>0)上異于頂點A1，A216．設(shè)函數(shù)f(x)=?x2+4x，x≤4，|log2(x?4)|，x>4，若關(guān)于x的方程f(x)=t有四個實根x1四、解答題17．a(chǎn)，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊.已知7acos（1）求cos2A（2）若b+c=9，a2=12b18．2022年卡塔爾世界杯于北京時間11月20日在卡塔爾正式開賽，該比賽吸引了全世界億萬球迷觀看.為了了解喜愛觀看世界杯是否與性別有關(guān)，某體育臺隨機抽取200名觀眾進行統(tǒng)計，得到如下2×2列聯(lián)表.

男女合計喜愛看世界杯602080不喜愛看世界杯4080120合計100100200附：χ2=nα0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828（1）試根據(jù)小概率值α=0.（2）在喜愛觀看世界杯的觀眾中，按性別用分層抽樣的方式抽取8人，再從這8人中隨機抽取2人參加某電視臺的訪談節(jié)目，設(shè)參加訪談節(jié)目的女性觀眾與男性觀眾的人數(shù)之差為X，求X的分布列.19．在四棱錐P?ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，E是PD的中點，PA=PD，AB=2，∠ABC=60°.（1）證明：PB//平面EAC.（2）若四棱錐P?ABCD的體積為4620．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1（1）求{a（2）記bn=log2an21．已知拋物線C：y2=4x，F(xiàn)為拋物線C的焦點，且直線l與拋物線（1）若直線l的方程為x+y?2=0，求△ABF的面積；（2）設(shè)線段AB的中點為T，已知點P是不同于A，B的一點，若PM=λMA，PN=λ22．已知函數(shù)f(x)=12(（1）求f(x)在(0，（2）設(shè)f'(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)g(x)=(2a?1)x+(a+2)xcosx?sin2x+f

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】(1+i)=1+2i?1+i+1=1+3i.故答案為：D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運算求得正確答案.2．【答案】B【解析】【解答】由A={x|x(x?5)<0}={x|0<x<5}，又B={x|x>2}，所以M=A∩B={x|2<x<5}，所以4∈M，A不符合題意，10∈M5?M，C不符合題意，6?M，D不符合題意，故答案為：B.

【分析】先解二次不等式得出集合A，然后利用集合交集運算得出集合M，最后判斷元素與集合間的關(guān)系.3．【答案】A【解析】【解答】由于f(x)=x3g(x)所以f(?x)=?x所以g(?x)=?g(x)，所以g(x)是奇函數(shù).在四個選項中，A選項g(x)=(故答案為：A

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性確定正確答案.4．【答案】C【解析】【解答】解：設(shè)鏡子對應(yīng)的橢圓的長半軸長與短半軸長分別為a米，b米，因為長軸長為1.8米且離心半為53∴2a=1.∴Sπ=0∴0.故答案為：C.

【分析】設(shè)鏡子的外輪廓對應(yīng)的橢圓的長半軸長與短半軸長分別為a米，b米，進而結(jié)合題意得a=0.5．【答案】C【解析】【解答】f(x)關(guān)于點(π6，所以π6ω?0<x<5π48，?π所以5π48ω?π3由①②得ω的取值集合為{2，故答案為：C

【分析】根據(jù)已知條件列式，由此求得ω的取值集合.6．【答案】A【解析】【解答】解：充分性：如圖，在A?BCD中，E為DC中點，連接BE若三棱錐A?BCD為正三棱錐，則△BCD為正三角形，且AB=AC=AD，因為E為DC中點，所以AE⊥DC，BE⊥DC，又AE∩BE=E所以DC⊥平面ABE，又AB?平面ABE，則AB⊥CD，同理可得AC⊥BD，故充分性成立；必要性：如圖，在直四棱柱AEBF?GCHD中，底面AFBE為菱形，且AE=AG，但AD≠CD由直四棱柱AEBF?GCHD及底面AFBE為菱形，易得AB⊥CD，又AE=AG，則直四棱柱的側(cè)面均為正方形，易得AC⊥BD，且AD=AC=BC=BD，由于AD≠CD，則△BCD不為正三角形，故三棱錐A?BCD不為正三棱錐，故必要性不成立；綜上，“三棱錐A?BCD為正三棱錐”是“AB⊥CD且AC⊥BD”的充分不必要條件.故答案為：A.

【分析】驗證充分性可根據(jù)正三棱錐的幾何性質(zhì)通過線面垂直的判定及性質(zhì)判斷線線垂直，必要性驗證借助直四棱柱構(gòu)造三棱錐滿足AB⊥CD，AC⊥BD，結(jié)合直四棱柱的性質(zhì)判斷三棱錐A?BCD是否為正三棱錐即可.7．【答案】C【解析】【解答】設(shè)PQ的中點為N，由PM⊥QM，得|PN|=|QN|=|MN|，設(shè)N(x，y)，由得x2+y即(x+所以N點的軌跡是以(?12，則點O到直線PQ的距離的最大值為62故答案為：C

【分析】設(shè)PQ的中點為N，求得點N的軌跡，由此求得正確答案.8．【答案】A【解析】【解答】設(shè)∠COA=θ，其中θ∈(0，π2又OH=2OD，則OD=cos則風(fēng)景區(qū)面積S=1又cos則2co當且僅當sinθ=12故答案為：A

【分析】設(shè)∠COA=θ，其中θ∈(0，π29．【答案】A,C【解析】【解答】顯然甲企業(yè)大部分月份位于82%以上，故利潤增長均數(shù)大于82%，A符合題意；乙企業(yè)潤增長指數(shù)按從小到大排列分別是第2，1，3，4，8，5，6，7，9，11，10又因為11×70%=7.7，所以從小到大排列的第8個月份，即7月份是第70百分位，從折線圖可知，7月份利潤增長均數(shù)大于82%，B不符合題意；觀察折現(xiàn)圖發(fā)現(xiàn)甲企業(yè)的數(shù)據(jù)更集中，所以甲企業(yè)月利潤增長指數(shù)較乙企業(yè)更穩(wěn)定，C符合題意；P（2個月乙企業(yè)月利潤增長指數(shù)都小于82%）=C故答案為：AC

【分析】根據(jù)折線圖估算AC，對于B項把月利潤增長指數(shù)從小到大排列，計算11×70%=7.7可求，對于D項用古典概型的概率解決.10．【答案】B,C,D【解析】【解答】由題意設(shè)此人第一天走a1里，第n天走an里，a1=100，a3S7a3故答案為：BCD

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的知識進行分析，從而確定正確答案.11．【答案】B,C,D【解析】【解答】過正方體中心的平面截正方體所得的截面至少與四個面相交，所以可能是四邊形、五邊形、六邊形，又根據(jù)正方體的對稱性，截面不會是五邊形，但可以是正六邊形和非正方形的菱形（如圖）A不符合題意，BD符合題意；因為四邊形A1B1C1D1的面積為4，當截面過中心O且平行與底面ABCD時，截面為矩形（此時也是正方形），且面積為4<33，若這個截面繞著中心故答案為：BCD．

【分析】利用正方體的對稱性逐一判斷即可.12．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：a=e0.02?1，b=對于A，設(shè)f(x)=ex?ln(x+1)?1，x∈(0所以f'(x)在x∈(0，+∞)上單調(diào)遞增，則f'則f(0.02)=e0.對于B，設(shè)h(x)=xlnx?x，x∈(1，+∞)，則則h(1.02)=1.02ln對于D，設(shè)m(x)=(2x+1)2?當x∈(0，1)時，m'(x)=?(3x+1)(x?1)>0，所以所以有m(0.02)=(1+0.04)2?由前面可知d<c，c<b，所以故答案為：ACD.

【分析】逐項分析，構(gòu)造函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性來確定a與b，b與c，d與b，d與c大小關(guān)系.13．【答案】-3【解析】【解答】∵四邊形ABCD為平行四邊形，E為BD中點，∴E為AC中點，

∴AB=AC+CB∴m?n=?1?2=?3.故答案為：-3.

【分析】根據(jù)平面向量線性運算直接求解即可.14．【答案】60【解析】【解答】(2x?1x)令6?2k=?2，解得k=4，所以x2(2x?1故答案為：60.

【分析】根據(jù)(2x?1x)6的展開式的通項公式求出15．【答案】x2【解析】【解答】設(shè)P(x0，y0k1所以3<b2a2<40<2c<8a所以滿足條件的雙曲線的標準方程是x2故答案為：x2

【分析】首先設(shè)P(x0，y0)，16．【答案】-15；15【解析】【解答】畫出f(x)的圖象如下圖所示.由圖可知x1+x因為?log2整理得x3且x4所以(2當且僅當2+x1又因為4≥24(當且僅當4(x3?4)=所以(2+x故答案為：-15；15

【分析】畫出f(x)的圖象，結(jié)合圖象求得x1，x2，x317．【答案】（1）解：∵7acos∴由正弦定理得：7∴7∵0<A<π，∴sin∴cos∴cos即：cos2A=?（2）解：∵cosA=b∴b2又∵b+c=9②，a2=12聯(lián)立①②③解得：a=c=7，b=2，∴a+b+c=16.即△ABC的周長為：16.【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊換角，再用和差公式化簡，代入倍角公式即可求解；

（2）利用余弦定理的變形公式代入即可求解.18．【答案】（1）解：零假設(shè)為H0根據(jù)列表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到χ2根據(jù)小概率值α=0.001的獨立性檢驗，推斷所以喜愛觀看世界杯與性別有關(guān)聯(lián).（2）解：按照分層抽樣的方式抽取8人，其中男觀眾6人，女觀眾2人，X的可能取值為?2，P(X=?2)=C所以X的分布列為：X?202P1531【解析】【分析】（1）計算χ2的值，由此作出判斷.

（2）根據(jù)分布列的求法求得X19．【答案】（1）證明：連接BD交AC于F，連接EF，因為四邊形ABCD是菱形，所以F是BD的中點，又E是PD的中點，所以EF//PB，因為EF?平面EAC，PB?平面所以PB//平面EAC.（2）解：取AD的中點O，連接PO，則PO⊥AD，因為平面PAD⊥平面ABCD且交線為AD，PO?平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.設(shè)PD=a，則VP?ABCD=1因為底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，所以O(shè)C⊥AD，且OC=3以O(shè)為坐標原點，以O(shè)C，OD，OP所在直線分別為x軸，則A(0，?1，CE=(?設(shè)平面PAB的法向量為n=(x則n?故可設(shè)n=(4則|cos所以直線EC與平面PAB所成角的正弦值為410【解析】【分析】（1）通過構(gòu)造中位線的方法來證得PB//平面EAC；

（2）根據(jù)四棱錐P?ABCD的體積求得PD=3，以O(shè)為坐標原點，以O(shè)C，OD，OP所在直線分別為x軸，20．【答案】（1）解：因為{2?Snan}所以2?Snan當n≥2時，Sn?1=an?1(2?12n?2即an=an(2?所以數(shù)列{an}是以a故an（2）解：由（1）可得bn所以T=1?1【解析】【分析】（1）由{2?Snan}是公比為12的等比數(shù)列，可得Sn=an(2?21．【答案】（1）解：設(shè)A(x拋物線C的焦點為F(1，0)，直線l與x軸交于點由y2=4xx+y?2=0消去yx1所以|AB|=1+F到直線l的距離d=|1+0?2|所以三角形ABF的面