《電路與信號》課件模塊5

模塊5基本信號及信號的運算5.1基本信號

5.2信號的運算

本模塊小結(jié)習題5 5.1基本信號

5.1.1指數(shù)信號

1.實指數(shù)信號

實指數(shù)信號的表達式為

f(t)=Eeat

(5.1.1)

式中,a為實數(shù)。f(t)的波形與a的大小有關，如圖5.1.1所示。

指數(shù)衰減信號在t＜0時函數(shù)值為零，稱為單邊指數(shù)衰減信號，其表示式為

其波形如圖5.1.2所示。在電路瞬態(tài)分析中該信號用得較多。(5.1.2)圖5.1.1指數(shù)信號圖5.1.2單邊指數(shù)衰減信號

2.復指數(shù)信號

當式(5.1.1)中的實指數(shù)因子a變?yōu)橐粡蛿?shù)s時，函數(shù)變?yōu)閺椭笖?shù)信號，其表示式為

f(t)=Eest

(5.1.3)

式中，s=σ+jω。根據(jù)歐拉公式：

ejωt=cos(ωt)+jsin(ωt)

可知，復指數(shù)信號又可以表示為

f(t)=Ee(σ+jω)t=Eeσtcos(ωt)+jEeσtsin(ωt)

(5.1.4)5.1.2單位斜變信號

單位斜變信號是指從某一時刻開始隨時間正比例增長的信號，如果增長的變化率是1，就稱為單位斜變信號，通常用R(t)表示，其波形如圖5.1.3(a)所示，其表示式為

如果將起點移至t0處，則其波形如圖5.1.3(b)所示，稱為R(t)的時移信號，表示式為(5.1.5)(5.1.6)圖5.1.3單位斜變信號5.1.3單位階躍信號

1.單位階躍信號的定義式

單位階躍信號簡稱為階躍信號，通常用ε(t)表示，其波形如圖5.1.4(a)所示，表示式為

在t=0時刻，函數(shù)未定義，可根據(jù)實際的物理意義，定義ε(t)在t=0處的函數(shù)值為0、1、1/2等。(5.1.7)圖5.1.4單位階躍信號單位階躍信號的物理意義是：當ε(t)為電路的電源時，相當于該電路在t=0時刻接入單位直流電源，且不再變化，其示意圖如圖5.1.5所示。圖5.1.5

ε(t)的物理意義圖5.1.4(b)、(c)分別表示將ε(t)右移至t0位置和左移至－t0位置所形成的圖形，它們的函數(shù)表達式分別是

ε(t－t0)和ε(t+t0)均稱為ε(t)的時移信號。(5.1.9)(5.1.8)

2.單位階躍信號的性質(zhì)

單位階躍信號具有截取信號的能力。所謂截取信號的能力，是指任一信號f(t)與單位階躍信號ε(t)的乘積f(t)ε(t)所表示的信號是f(t)中t>0的部分。同理，f(t)ε(t－t0)表示的信號是f(t)中t>t0的部分。

對實際問題中的信號，在確定時間以后或在有限的時間范圍內(nèi)，利用階躍信號幅度值為1的特點，就可以將這些信號用單位階躍信號及其時移信號來表示信號存在的時間范圍。

例如，單邊指數(shù)衰減信號可表示為

f(t)=Ee－atε(t)

(5.1.10)單位斜變信號可表示為

R(t)=tε(t)

(5.1.11)

比較式(5.1.10)和式(5.1.11)與式(5.1.2)和式(5.1.5)即可看出，這種表示法比分段表示的函數(shù)形式簡便得多。

應注意單邊指數(shù)衰減信號、單位斜變信號圖像與圖5.1.6所示的函數(shù)圖的區(qū)別。圖5.1.6指數(shù)衰減函數(shù)和正比例函數(shù)又如，一般的正弦信號是定義在全時間范圍內(nèi)的(見圖5.1.7(a))，即

f(t)=sin(ωt)

(－∞<t<∞)

(5.1.12)

(1)取t>0以后的正弦信號(見圖5.1.7(b))，即

f(t)=sin(ωt)

(t>0)

(5.1.13)

即可用ε(t)去限制它的時間區(qū)間，表示為

f1(t)=sin(ωt)ε(t)

(5.1.14)

(2)取t≥t0以后的正弦信號(見圖5.1.7(c))，用ε(t)可表示為

f2(t)=sin(ωt)ε(t－t0)

(5.1.15)圖5.1.7存在于不同區(qū)間的正弦信號

3.由階躍信號組成的門信號

門信號是另一個重要的信號，常用Gτ(t)表示，其波形如圖5.1.8所示，它是寬度為τ、幅度為1的矩形脈沖，且門信號的寬度的位置是可以任意選定的。

圖5.1.8所示的門信號的表示式為(5.1.16)(5.1.17)圖5.1.8門信號

【例5.1.1】分別用門信號和階躍信號表示圖5.1.9所示的信號。

解：f1(t)=2［ε(t+1)－ε(t)］+ε(t)－ε(t－2)=2ε(t+1)－ε(t)－ε(t－2)

因T=4π， ，故圖5.1.9例5.1.1圖5.1.4單位沖激信號

1．δ(t)函數(shù)的定義式

沖激函數(shù)的定義方式有多種，現(xiàn)給出它的工程定義式：

單位沖激信號的波形如圖5.1.10(a)所示。(5.1.18)圖5.1.10沖激信號沖激函數(shù)的另一種定義式是通過對某些滿足一定條件的規(guī)則信號取廣義極限而建立起來的。例如，選取圖5.1.11所示的矩形脈沖f(t)，該脈沖的寬度為τ，幅度為，面積為1。如果減小脈寬τ，則脈沖幅度必增大，但面積仍為1。當τ趨于零時，必趨于無窮大，但面積恒等于1不變。這個矩形脈沖在τ→0時的極限就是單位沖激信號δ(t)。它的數(shù)學表達式為(5.1.19)圖5.1.11沖激函數(shù)的另一種定義

2.沖激信號的主要性質(zhì)

單位沖激信號不同于其他常見的信號，它有幾個性質(zhì)比較突出。

(1)如果f(t)是一個在t=0或t=t0點連續(xù)且處處有界的函數(shù)，則有

f(t)δ(t)=f(0)δ(t)

(5.1.20)

f(t)δ(t－t0)=f(t0)δ(t－t0)

(5.1.21)

(2)沖激函數(shù)的抽樣性(也稱篩選性)如下：(5.1.22)(5.1.23)

(3)沖激函數(shù)是偶函數(shù),即

δ(t)=δ(－t)

(5.1.24)

(4)沖激函數(shù)與階躍函數(shù)的關系如下：(5.1.25)(5.1.26)(5.1.27)

【例5.1.2】完成下列運算。

(1)(t2－t+1)δ(t+1)；

(2)e－t［δ(t)－δ(t－1)］；

解：(1)(t2－t+1)δ(t+1)=3δ(t+1)

(2)e－t［δ(t)－δ(t－1)］=δ(t)－e－1δ(t－1)(3)；(4)。(3)(4)

【例5.1.3】已知信號f(t)的波形如圖5.1.12所示，試求出f(t)、f'(t)的表達式，并畫出導函數(shù)f'(t)的波形圖。

解：

f1(t)=ε(t)－ε(t－1)+t［ε(t－1)－ε(t－2)］

f'1(t)=δ(t)－δ(t－1)+ε(t－1)－ε(t－2)+t［δ(t－1)

－δ(t－2)］

=δ(t)+(t－1)δ(t－1)－tδ(t－2)+ε(t－1)－ε(t－2)

=δ(t)－2δ(t－2)+ε(t－1)－ε(t－2)圖5.1.12例5.1.3圖一這里的計算使用了公式f(t)δ(t－t0)=f(t0)δ(t－t0)和 、 ，得

(t－1)δ(t－1)=0

－tδ(t－2)=－2δ(t－2)

又因 ， ，所以

f2(t)=2［ε(t)－ε(t－1)］+ε(t－1)－ε(t－2)

f'2(t)=2［δ(t)－δ(t－1)］+δ(t－1)－δ(t－2)

=2δ(t)－δ(t－1)－δ(t－2)

可見，f'2(t)是由3個沖激信號組成的。

f'1(t)、f'2(t)的波形圖如圖5.1.13所示。圖5.1.13例5.1.3圖二由圖5.1.12和圖5.1.13可歸納出另一種求導函數(shù)f'(t)的更為簡捷的方法，具體步驟如下(以f1(t)為例)：

(1)因

所以

(2)若已知在函數(shù)f(t)不連續(xù)點處的跳變值，則導函數(shù)f'(t)在該點是一個強度等于這個跳變值的沖激信號。

因此，函數(shù)f1(t)在不連續(xù)點t=0處，f1(t)的跳變值是1，則該處的導函數(shù)f'1(t)是一個強度為1的沖激信號δ(t)；在不連續(xù)點t=2處，f1(t)的跳變值是－2，則該處的導函數(shù)f'1(t)是一個強度為－2的沖激信號－2δ(t－2)。

綜合以上兩步驟得知，導函數(shù)f'1(t)是由一個門信號和兩個沖激信號組成的,因此不難畫出f'1(t)的波形圖如圖5.1.13(a)所示。5.1.5正負號信號

正負號函數(shù)又稱符號函數(shù)，用sgn(t)表示，其表示式為

該函數(shù)的波形圖如圖5.1.14(a)所示。

圖5.1.14(b)、(c)的表示式是

f1(t)=Esgn(t)

(5.1.29)

f2(t)=sgn(t+t0)

(5.1.30)(5.1.28)

5.2信號的運算

5.2.1信號的和、積、微分與積分運算

1.信號的和、積運算

信號的和與積運算的方法是：信號在同一瞬間的函數(shù)值之和(積)等于和(積)信號在該瞬間的函數(shù)值。這一運算比較簡單，易于理解。

2.信號的微分與積分運算

信號的微分運算f'(t)已在5.1節(jié)例5.1.3中作了詳細的說明。應該特別注意的是，在不連續(xù)點處的微分是一個強度為跳變量大小的沖激函數(shù)。信號的積分運算定義為： ，表示從－∞到t時間內(nèi)對函數(shù)f(t)的積分，t為任一時刻，是一變量。

【例5.2.1】已知f(t)的波形如圖5.2.1(a)所示，試求出信號的微分運算f'(t)和信號的積分運算 ，并作出函數(shù)f'(t)和f－1(t)的波形圖。圖5.2.1例5.2.1圖

解：(1)微分運算。因為在1<t<2時，f'(t)=0，而t=1時，函數(shù)f(t)不連續(xù)，其跳變量為1，所以在t=1處，導函數(shù)f'(t)有一個沖激強度為1的沖激函數(shù)δ(t－1)。在t=2處，函數(shù)f(t)也不連續(xù)，其跳變量為－1，所以在t=2處，導函數(shù)f'(t)有一個沖激強度為-1的沖激函數(shù)δ(t－2)。

總結(jié)以上幾點，可將導函數(shù)f'(t)的波形圖畫出，如圖5.2.1(b)所示。

(2)積分運算。因為在t<1時，f(t)=0，所以因為在1<t<2時，f(t)=1，所以

因為在t>2時，f(t)=0,所以

總結(jié)以上幾點，可將導函數(shù)f－1(t)的波形圖畫出，如圖5.2.1(c)所示。5.2.2信號的時移、反折、尺度運算

1.信號的時移運算

信號的時移運算是指將信號f(t)表達式中的t用t±t0替換，成為f(t±t0)(t0>0)，同時f(t)定義域中的t也要被t±t0替換，新信號f(t±t0)稱為原信號f(t)的時移信號。例如，圖5.1.3(b)所示的R(t－t0)，圖5.1.4(b)、(c)所示的ε(t－t0)和ε(t+t0)，圖5.1.10(b)、(d)所示的δ(t－t0)和Bδ(t－t0)，圖5.1.14(c)所示的sgn(t+t0)，均為時移信號。

由以上波形圖可知，f(t+t0)的波形比f(t)的波形在時間上超前t0，即f(t+t0)的波形是f(t)的波形沿時間軸向左平移t0；f(t－t0)的波形比f(t)的波形在時間上滯后t0，即f(t－t0)的波形是f(t)的波形沿時間軸向右平移t0。

2.信號的反折運算

信號的反折運算是指將信號f(t)的表達式以及定義域中的所有自變量t用－t替換，成為f(－t)，新信號f(－t)稱為原信號f(t)的反折信號。

信號的反折運算的方法是：將f(t)的波形圖沿縱軸進行折疊(即左、右翻轉(zhuǎn)180°)，就得到了反折信號f(－t)。

例如，ε(－t)的波形圖如圖5.2.2所示。圖5.2.2反折運算

【例5.2.2】已知函數(shù)f(t)的波形圖如圖5.2.3(a)所示，試作出函數(shù)f(－t)的波形圖。

解：按照反折運算的方法，畫出f(t)的反折運算f(－t)的波形圖如圖5.2.3(b)所示。

信號的時移運算和反折運算經(jīng)常是一起應用的，此時，建議讀者按照先時移、后反折的順序運算，這樣不易出現(xiàn)錯誤。圖5.2.3例5.2.2圖

【例5.2.3】已知f(t)的波形圖如圖5.2.3(a)所示，試作出f(1－t)的波形圖。

解：將f(t)先進行時移運算，f(t)變成了f(t+1)，如圖5.2.4(a)所示，然后進行反折運算，則f(t+1)變成了f(1－t)，如圖5.2.4(b)所示。圖5.2.4例5.2.3圖

3.信號的尺度運算

信號的尺度運算就是將信號f(t)轉(zhuǎn)換成新信號f(at)的過程，即用新的時間變量at(a≠0)替換f(t)中的時間變量t后，所得到的新信號就是f(at)。f(at)就是f(t)經(jīng)過尺度運算后的信號。

【例5.2.4】設信號f(t)的波形如圖5.2.5(a)所示，其數(shù)學表達式為

試作出f(2t)、f(t/2)的波形圖。圖5.2.5例5.2.4圖

解：(1)以新的時間變量2t替換f(t)中的時間變量t，可得到

據(jù)此畫出f(2t)的波形圖如圖5.2.5(b)所示。

(2)以新的時間變量替換f(t)中的時間變量t，可得到

據(jù)此畫出f(t/2)的波形圖如圖5.2.5(c)所示。

【例5.2.5】已知f(t)的波形如圖5.2.3(a)所示，試作出f(1－2t)的波形圖。

解：此例是含有尺度、時移、反折三種運算的綜合題目。建議讀者按下列順序來進行運算：先時移，后反折，再尺度。這樣不易出現(xiàn)時移錯誤，即按下列順序進行：

f(t)→f(t+1)→f(1－t)→f(1－2t)

例5.2.3已將f(t+1)、f(1－t)的波形圖畫出，根據(jù)f(1－t)的波形圖，對其進行尺度運算，即可得到f(1－2t)的波形圖，如圖5.2.6所示。圖5.2.6例5.2.5圖

本模塊小結(jié)

1.基本信號

本模塊重點介紹了常見信號的定義式、波形、特性以及信號的基本運算，包括指數(shù)信號、單位斜變信號、單位階躍信號、門信號、單位沖激信號和正負號信號等。

單位階躍信號和門信號均有截取信號的能力，可以用單位階躍信號及其時移信號和門信號來表示信號存在的時間范圍。

單位沖激信號的工程定義式為單位沖激信號具有以下性質(zhì)：

f(t)δ(t)=f(0)δ(t)

f(t)δ(t－t0)=f(t0)δ(t－t0)

2．信號運算

(1)信號的和、積運算：兩信號逐點逐段相加(乘)作為和(積)信號在該處的函數(shù)值。

(2)微分運算：先對f(t)求導，然后求在不連續(xù)點處的導函數(shù)，這是一個強度為跳變量大小的沖激函數(shù)。

(3)積分運算：表示從－∞到t時間內(nèi)對函數(shù)f(t)積分。t為任一時刻，是一變量。

(4)時移運算：將f(t)波形沿橫軸向右(左)平移t0就得到了f(t－t0)、f(t+t0)的波形。

(5)反折運算：將f(t)波形以縱鈾為對稱鈾折疊(即翻轉(zhuǎn)180°)便得到了f(－t)的波形。

(6)尺度運算：將f(t)的波形圖由原點擴展(或壓縮)到原來的1/a，即得到f(at)的波形。

習題5

5.1試用門函數(shù)寫出習題5.1圖所示信號的表達式。習題5.1圖

5.2作以下各信號的波形圖。

(1)f1(t)=－t［ε(t+1)－ε(t－1)］；

(2)f2(t)=sint［ε(t)－ε(t－6π)］；

(3)f3(t)=(t+1)［ε(t－1)－ε(t)］；

(4)f4(t)=－(t－2)［ε(t)－ε(t－1)］；

(5)f5(t)=e－(t－2)ε(t－1)；

(6)f6(t)=e－tε(t+1)；

(7)f7(t)=e－(t－1)ε(t+1)；